高中數(shù)學(xué)二學(xué)案：2.1.3 第2課時　兩條直線的垂直

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時兩條直線的垂直學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩條直線垂直的條件.2。能根據(jù)已知條件判斷兩條直線垂直.3.會利用兩直線垂直求參數(shù)及直線方程。知識點兩條直線垂直的判斷思考1兩條垂直直線的傾斜角之間有什么關(guān)系?思考2如果兩條直線垂直，那么斜率一定互為負(fù)倒數(shù)嗎?梳理圖示對應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線斜率都存在)?____l1的斜率不存在，l2的斜率為0?______類型一兩條直線垂直關(guān)系的判定例1判斷下列各組中的直線l1與l2是否垂直：(1）l1經(jīng)過點A(－1,－2),B(1，2)，l2經(jīng)過點M（－2，－1），N（2,1）；（2）l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10，2），B（20,3)；（3)l1經(jīng)過點A（3，4),B（3,100)，l2經(jīng)過點M(－10,40），N(10，40）.反思與感悟判斷兩直線垂直的步驟方法一方法二若兩條直線的方程均為一般式:l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.則l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0。跟蹤訓(xùn)練1下列各組中直線l1與l2垂直是________.(填序號)①l1：2x－3y＋4＝0和l2:3x＋2y＋4＝0;②l1:2x－3y＋4＝0和l2:3y－2x＋4＝0；③l1：2x－3y＋4＝0和l2：－4x＋6y－8＝0；④l1：（－a－1）x＋y＝5和l2：2x＋（2a＋2)y＋4＝0。類型二由兩直線垂直求參數(shù)或直線方程命題角度1由兩直線垂直求參數(shù)的值例2三條直線3x＋2y＋6＝0,2x－3m2y＋18＝0和2mx－3y＋12＝0圍成直角三角形，求實數(shù)m的值.反思與感悟此類問題常依據(jù)兩直線垂直的條件列關(guān)于參數(shù)的方程或方程組求解。跟蹤訓(xùn)練2已知直線l1經(jīng)過點A(3，a)，B(a－2，－3)，直線l2經(jīng)過點C（2,3),D（－1,a－2），如果l1⊥l2，則a的值為________。命題角度2由垂直關(guān)系求直線方程例3求與直線4x－3y＋5＝0垂直，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形AOB周長為10的直線方程.反思與感悟(1)若直線l的斜率存在且不為0，與已知直線y＝kx＋b垂直，則可設(shè)直線l的方程為y＝－eq\f(1，k）x＋m(k≠0)，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程。（2)若直線l與已知直線Ax＋By＋C＝0垂直，則可設(shè)l的方程為Bx－Ay＋m＝0，然后利用待定系數(shù)法求參數(shù)m的值，從而求出直線l的方程。跟蹤訓(xùn)練3已知點A（2,2)和直線l：3x＋4y－20＝0，求過點A且與直線l垂直的直線l1的方程.類型三垂直與平行的綜合應(yīng)用例4已知四邊形ABCD的頂點B（6，－1），C(5，2），D(1，2）。若四邊形ABCD為直角梯形，求A點坐標(biāo)。反思與感悟有關(guān)兩條直線垂直與平行的綜合問題，一般是根據(jù)已知條件列方程（組)求解。如果涉及到有關(guān)四邊形已知三個頂點求另外一個頂點,注意判斷圖形是否惟一，以防漏解。跟蹤訓(xùn)練4已知矩形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A（0，1),B(1,0），C(3，2），求第四個頂點D的坐標(biāo).1。下列直線中，與直線l:y＝3x＋1垂直的是__________。（填序號)①y＝－3x＋1； ②y＝3x－1；③y＝eq\f(1,3)x－1； ④y＝－eq\f（1,3）x－1.2.已知A(1,2)，B（m，1），直線AB與直線y＝0垂直，則m的值為________。3。直線l1,l2的斜率分別是方程x2－3x－1＝0的兩個根，則l1與l2的位置關(guān)系是________。4。直線x＋y＝0和直線x－ay＝0互相垂直,則a＝________.5。過點(3,－1)與直線3x＋4y－12＝0垂直的直線方程為__________。1。兩條直線垂直與斜率的關(guān)系圖形表示對應(yīng)關(guān)系l1，l2的斜率都存在，分別為k1,k2，則l1⊥l2?k1·k2＝－1l1與l2中的一條斜率不存在，另一條斜率為零，則l1與l2的位置關(guān)系是l1⊥l22。l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0。3。與l:Ax＋By＋C＝0垂直的直線可設(shè)為Bx－Ay＋C1＝0.

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點思考1兩條直線的傾斜角相差90°.思考2如果兩條直線垂直，當(dāng)斜率都存在時互為負(fù)倒數(shù)，當(dāng)一條直線的斜率不存在時，另一條直線的斜率為0。梳理k1·k2＝－1l1⊥l2題型探究例1(1)l1與l2不垂直．(2)l1⊥l2。(3）l1⊥l2.跟蹤訓(xùn)練1①④例2解①當(dāng)直線3x＋2y＋6＝0與直線2x－3m2y＋18＝0垂直時，有6－6m2＝0，∴m＝1或m＝－1。當(dāng)m＝1時,直線2mx－3y＋12＝0也與直線3x＋2y＋6＝0垂直，因而不能構(gòu)成三角形，故m＝1應(yīng)舍去．∴m＝－1。②當(dāng)直線3x＋2y＋6＝0與直線2mx－3y＋12＝0垂直時，有6m－6＝0,得m＝1(舍)．③當(dāng)直線2x－3m2y＋18＝0與直線2mx－3y＋12＝0垂直時,有4m＋9m2＝0，∴m＝0或m＝－eq\f(4,9)。經(jīng)檢驗,這兩種情形均滿足題意．綜上所述,所求的結(jié)果為m＝－1或0或－eq\f（4,9）。跟蹤訓(xùn)練25或－6例3解設(shè)所求直線方程為3x＋4y＋b＝0.令x＝0，得y＝－eq\f（b，4），即Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f（b，4）));令y＝0，得x＝－eq\f（b,3)，即Beq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(b，3），0)）。又∵三角形周長為10，即OA＋OB＋AB＝10，∴eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(－\f(b,4))）＋eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1（－\f(b,3）)）＋eq\r（\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(b,4)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(b,3）））2)＝10,解得b＝±10，故所求直線方程為3x＋4y＋10＝0或3x＋4y－10＝0。跟蹤訓(xùn)練3解因為kl·k1＝－1，所以k1＝eq\f（4，3)，故直線l1的方程為y－2＝eq\f(4，3）（x－2),即4x－3y－2＝0。例4解①若∠A＝∠D＝90°，如圖(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A（1，－1)．②若∠A＝∠B＝90°，如圖(2)．設(shè)A（a，b），則kBC＝－3,kAD＝eq\f(b－2，a－1)，kAB＝eq\f(b＋1，a－6).由AD∥BC?kAD＝kBC，即eq\f（b－2,a－1)＝－3；①由AB⊥BC?kAB·kBC＝－1，即eq\f（b＋1,a－6)·（－3）＝－1.②解①②得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(12,5)，,b＝－\f(11，5）,)）故A(eq\f（12，5)，－eq\f（11，5)）．綜上所述：A點坐標(biāo)為（1，－1)或eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（12，5），－\f（11,5)）).跟蹤訓(xùn)練4解設(shè)第四個頂點D的坐標(biāo)為（x，y)，因為AD⊥CD，AD∥BC，所以kAD·kCD＝－1,且kAD＝kBC.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（y－1，x－0）×\f(y－2,x－3)＝－1，，\f（y－1，x－0)＝\f(2－0,3－1)，))解得eq\b\lc\