矩形的性質(zhì)與判定

6.2矩形的判定目前一頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)復(fù)習(xí)回顧四邊形集合平行四邊形集合矩形集合定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。四邊形平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行一個(gè)角是直角∟矩形目前二頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)矩形的性質(zhì)(1)邊：對(duì)邊平行且相等(2)角：四個(gè)角都是直角(3)對(duì)角線：相等且互相平分ABDC∵矩形ABCD,∴ABCD，ADBC．∵矩形ABCD∴AC=BD且OA=OB=OC=OD.∵矩形ABCD∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．O性質(zhì)目前三頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)課前熱身1、矩形的四個(gè)內(nèi)角都是______。2、矩形的對(duì)角線______且__________。直角相等互相平分3、矩形是______________對(duì)稱圖形。軸對(duì)稱和中心4、在直角三角形中，______角所對(duì)的直角邊等于斜邊的_______。5、在直角三角形中，斜邊上的______等于斜邊的______。30°一半中線一半目前四頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)矩形的判定方法1：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.∵在ABCD中∠B=90°∴四邊形ABCD是矩形由定義入手:ABCD∟目前五頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)情境：工人師傅為了檢驗(yàn)兩組對(duì)邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線長度，如果對(duì)角線長相等，則窗框一定是矩形，你知道為什么嗎？猜想：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。目前六頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)命題：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。已知：在□ABCD中,AC,DB是它的兩條對(duì)角線，AC=BD。求證：四邊形ABCD是矩形。ABCD證明:AB=CDBC=BCAC=BD∴△ABC≌△DCB（SSS）又∵

AB//CD∴∠ABC+∠DCB=180°

∴∠ABC=∠DCB=90°

∴四邊形ABCD是矩形∴

∠ABC=∠DCB∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC,AB∥DC在△ABC和△DCB中目前七頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。ABDC幾何語言：∵在ABCD中

AC=BD∴ABCD是矩形0判定定理2：目前八頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)有一個(gè)角是直角有兩個(gè)角是直角的四邊形是矩形嗎？有三個(gè)角是直角ABDC(有一個(gè)角是直角)ABDC(有二個(gè)角是直角)ABDC(有三個(gè)角是直角)探究猜想：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。P15你能證明上述結(jié)論嗎？目前九頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)已知：在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°求證：四邊形ABCD是矩形。ABCD∟∟∟證明：∵

∠A=∠B=90°∴∠A+∠B=180°∴AD∥BC同理可證：AB∥CD∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵

∠A=90°∴四邊形ABCD是矩形命題：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。目前十頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形ABCD

∵∠A=∠B=∠C=90°∴四邊形ABCD是矩形幾何語言：矩形的判定方法（3）目前十一頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形。）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。方法1：方法2：方法3：歸納：目前十二頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)任意一個(gè)四邊形，三角直角定矩形。對(duì)于平行四邊形，一個(gè)直角即可定；對(duì)線相等也矩形。矩形的判定口訣：目前十三頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)你有什么方法檢查你家（或教室）剛安裝的門框是不是矩形？【P16議一議】如果僅有一根較長的繩子，你怎樣檢查？目前十四頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)你來評(píng)判下列各句判定矩形的說法是否正確？（1）有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）（2）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形；（）（4）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（）（5）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形（）（3）四個(gè)角都是直角的四邊形是矩形。（）（6）兩組對(duì)邊分別平行，且對(duì)角線相等的四邊形是矩形．()目前十五頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)例：如圖，在□ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△ABO是等邊三角形，AB=4cm，求這個(gè)□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OA，BD=2OB，∵△AOB是等邊三角形∴OA=OB，∴AC=BD，∴□ABCD是矩形.在Rt△ABC中，∵AB=4cm，AC=2AO=8cm,∴BC=∴S□ABCD=AB·BC=4×4=16(cm2).ABCDO目前十六頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)已知：如圖，在□ABCD中，

M是AD邊的中點(diǎn)，且MB=MC。求證：四邊形ABCD是矩形。ABCDMP17隨堂練習(xí)目前十七頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)∠A=∠B=∠C=90°ABCDAC=BDABCD∠A=90°

ABCD是矩形四邊形ABCD是矩形談一談，今天你有何收獲？判定一個(gè)四邊形是矩形的方法是：目前十八頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)作業(yè)P17習(xí)題6.5第1,2題目前十九頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)2．如圖，工人師傅做鋁合金窗框分下面幾個(gè)步驟進(jìn)行：(1)先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗(如圖①)使AB=CD、EF=GH；(2)擺放成(如圖②)的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是

，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

。(3)將直角尺靠緊窗框的一個(gè)角(如圖③)調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時(shí)(如圖④)，說明窗框合格這時(shí)窗框是

，根據(jù)的數(shù)學(xué)道理是

。有一個(gè)內(nèi)角是直角相等矩形矩形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形平行四邊形1．

的平行四邊形是矩形．對(duì)角線

的平行四邊形是矩形．有三個(gè)角是直角的四邊形是

形。平行四邊形有一個(gè)角是直角的的平行四邊形是矩形目前二十頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)3、已知如圖四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AD=BC，試說明四邊形ABCD是矩形。證明：∵AD=CBAD∥CB∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB⊥BC∴∠B=90°

∴□

ABCD是矩形ABCD∟目前二十一頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)4、如圖，平行四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=10，求證:四邊形ABCD是矩形。DBCA證明：∵AB=6,BC=8,AC=10∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2∴

∠B=90°又∵四邊形ABCD是平行四邊形∴□

ABCD是矩形目前二十二頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)5、BD、BE分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角的平分線，AE⊥BE，AD⊥BD，求證：四邊形AEBD是矩形。證明：∵AE⊥BE，AD⊥BD∴∠E=90°,∠D=90°∵BD，BE分別是∠ABC與它的鄰補(bǔ)角∠CBP的平分線∴∠1=∠ABC,∠2=∠ABP∴□

AEBD是矩形CBADEP∟∟⌒⌒12∴∠1+∠2=(∠ABC+∠ABP)=×180°=90°即∠DBE=90°目前二十三頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)AOBDC6、已知如圖四邊形ABCD中

AO=BO=CO=DO，試說明四邊形ABCD是矩形。證明：∵AO=BO=CO=DO∴AO=CO，BO=DO∴四邊形EFGH是平行四邊形即AC=BD∴四邊形ABCD是矩形又∵AO+CO=BO+DO目前二十四頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)ABCDEFGHO7、已知：矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于O，E、F、G、H分別是AO、BO、CO、DO上的一點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH。求證：四邊形EFGH是矩形。證明：∵四邊形ABCD是矩形∴AO=BO=CO=DO又∵AE=BF=CG=DH∴OE=OF=OG=OH∴四邊形EFGH是平行四邊形又∵EO+OG=FO+OH即EG=FH∴四邊形EFGH是矩形目前二十五頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)ABDCHEFG∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠DAB+∠ABC=180°8、如圖，ABCD四個(gè)內(nèi)角的平分線圍成四邊形EFGH，猜想四邊形EFGH的形狀，并說明理由證明：同理：∠EFG=90°、∠FGH=90°∴四邊形EFGH是矩形∵AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°目前二十六頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)ABDCHEFG8、如圖，ABCD四個(gè)內(nèi)角的平分線圍成四邊形EFGH，猜想四邊形EFGH的形狀，并說明理由證明：MPNQ∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠ABC=∠ADC又∵AN、DM是∠ABC、∠ADC的平分線∴∠ABQ=∠QBC=∠ADM=∠CDM又∵AD∥BC∴∠AQB

∠QBC==∠ADM∴BQ∥DM∵AE、BE分別平分∠DAB、∠ABC∴∠EAB+∠EBA=90°即∠AEB=90°∴∠HEF=90°∴四邊形EFGH是矩形同理：AN∥CP∴四邊形EFGH是平行四邊形目前二十七頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)變式：平行四邊形ABCD，AF、BH、CH、DF分別是BAD、ABC、BCD、CDA的平分線。求證：EF=GH.MLKNFGHEDCBA目前二十八頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)9、如圖,在△ABC中,點(diǎn)0是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)0作直線MN∥BC,若MN交∠BCA的平分線于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F,ABCMN0)1)2(5(4(3(6(1)求證:0E=0F(2)當(dāng)0運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF為矩形?說明理由EF證明：∵CF平分∠ACD∴∠1=∠2又∵M(jìn)N∥BC∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴OC=OF同理可證：OC=OE∴OE=OFD答：當(dāng)點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形理由：由（1）知0E=0F，又AO=CO∴四邊形AECF是平行四邊形又∵EC平分∠ACB，F(xiàn)C平分∠ACD∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°∴四邊形AECF是矩形目前二十九頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)祝同學(xué)們學(xué)習(xí)快樂!目前三十頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)拓展：(1)對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎?

(2)需要添加什么條件才能使對(duì)角線相等的四邊形是矩形嗎?歸納：對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形

∵AC=BD且OA=OCOB=OD∴四邊形ABCD是矩形等腰梯形目前三十一頁\總數(shù)三十六頁\編于四點(diǎn)測(cè)量…？

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