第二章一元二次函數(shù)方程和不等式期中備考能力提升卷（解析版）

第二單元期中備考能力提升卷選擇題（本題共5小題）1．已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，記M＝a1a2，N＝a1+a2﹣1，則M與N的大小關(guān)系是（）A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．無(wú)法確定【解答】解：M﹣N＝a1a2﹣（a1+a2﹣1）＝（a1﹣1）（a2﹣1），∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，∴a1﹣1＜0，a2﹣1＜0，∴（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，∴M＞N，故選：B．2．若a＜b＜0，則下列不等式正確的是（）A．B．a(chǎn)b＞a2C．|a|＜|b|D．a(chǎn)2＞b2【解答】解：A，當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣1時(shí)，則＞，∴A錯(cuò)誤，B，當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣1時(shí)，則ab＜a2，∴B錯(cuò)誤，C，當(dāng)a＝﹣2，b＝﹣1時(shí)，則|a|＞|b|，∴C錯(cuò)誤，D，∵a＜b＜0，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＞0，∴a2＞b2，∴D正確，故選：D．3．在R上定義運(yùn)算⊙：a⊙b＝﹣a+b2，則不等式x⊙（x﹣2）＜0的解集為（）A．（0，2）B．（1，4）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣1，4）【解答】解：由題意可得不等式x⊙（x﹣2）＜0，即﹣x+（x﹣2）2＜0，即（x﹣4）（x﹣1）＜0，求得1＜x＜4，故選：B．4．已知a＜0，關(guān)于x的一元二次不等式ax2﹣（2+a）x+2＞0的解集為（）A．{x|x＜或x＞1}B．{x|＜x＜1}C．{x|x＜1或x＞}D．{x|1＜x＜}【解答】解：∵a＜0，∴ax2﹣（2+a）x+2＞0，等價(jià)于（ax﹣2）（x﹣1）＞0，即（x﹣）（x﹣1）＜0，解得＜x＜1，故不等式的解集為{x|＜x＜1}，故選：B．5．為配制一種藥液，進(jìn)行了二次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出10升后用水補(bǔ)滿，攪拌均勻第二次倒出8升后用水補(bǔ)滿，若第二次稀釋后桶中藥液含量不超過(guò)容積的60%，則V的取值范圍為（）A．5≤V≤40B．10≤V≤40C．5＜V＜40D．10＜V＜40【解答】解：第一次操作后，剩下的純藥液為V﹣10，第二次操作后，剩下的純藥液為V﹣10﹣，因?yàn)榈诙蜗♂尯笸爸兴幰汉坎怀^(guò)容積的60%，所以V﹣10﹣≤V×60%，解得5≤V≤40，又V＞10，所以V的取值范圍為（10，40]．故選：D．多項(xiàng)選擇（本題共6小題）（多選）6．設(shè)A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax﹣1＝0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的值可以為（）A．B．0C．3D．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，B＝{x|ax﹣1＝0}，A∩B＝B，∴B?A，當(dāng)a＝0時(shí)，B＝?，當(dāng)a≠0時(shí)，B＝{}，∴B＝?或B＝{3}或B＝{5}，∴不存在，或＝3，或＝5．解得a＝0或a＝，或a＝．∴實(shí)數(shù)a的值可以為0，，．故選：ABD．（多選）7．設(shè)A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，B＝{x|ax+1＝0}，若A∩B＝B，則實(shí)數(shù)a的值可以為（）A．B．0C．3D．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}＝{3，5}，B＝{x|ax+1＝0}，A∩B＝B，∴B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，a＝0；當(dāng)B≠?時(shí)，B＝{﹣}，則﹣＝3或﹣＝5，解得a＝﹣或a＝﹣，∴實(shí)數(shù)a的值可以為0，﹣，﹣．故選：ABD．（多選）8．下列命題中的假命題是（）A．?x∈R，x2+|x|≥0B．?x∈N*，（x﹣1）2＞0C．?x∈R，x2+x+1＝0D．?x∈R，【解答】解：?x∈R，x2+|x|≥0，顯然是真命題；?x∈N*，（x﹣1）2＞0，x＝1時(shí)，表達(dá)式為0，所以B不正確；是假命題；?x∈R，x2+x+1＝0，因?yàn)棣ぃ?﹣4＝﹣3＜0，所以x2+x+1＞0恒成立，所以C是假命題；?x∈R，，當(dāng)x＝﹣1時(shí)成立，所以D是真命題；故選：BC．（多選）9．下列命題的否定中，是全稱量詞且為真命題的有（）A．?x∈R，B．所有的正方形都是矩形C．?x∈R，x2+2x+2≤0D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x3+1＝0【解答】解：∵B是全稱命題，其否定為特稱命題，故排除，A是特稱命題，其否定為：?x∈R，≥0，即（x﹣）2≥0為真命題，C是特稱命題，其否定為：?x∈R，x2+2x+2＞0，即（x+1）2+1＞0為真命題，D是特稱命題，其否定為：任意實(shí)數(shù)x，都有x3+1≠0，﹣1代入不成立，為假命題，故選：AC．（多選）10．已知a，b＞0，a+b2＝1，則下列選項(xiàng)一定正確的是（）A．a(chǎn)﹣b≤1B．的最大值為C．D．【解答】解：∵a，b＞0，a+b2＝1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，∴a﹣b＜1，故a﹣b≤1成立，即選項(xiàng)A正確；∵a＝1﹣b2，∴b＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)b＝，a＝時(shí)，等號(hào)成立，故b的最大值為，故選項(xiàng)B正確；∵≤＝，∴+b≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝，a＝時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵（a+b）2≥4ab，∴a+b≥＝，∴+＝+≥，當(dāng)且僅當(dāng)b＝時(shí)，等號(hào)成立，∵0＜b＜1，∴1﹣b2+b＝﹣（b﹣1）2+≤，當(dāng)且僅當(dāng)b＝時(shí)，等號(hào)成立，故+≥≥＝，∵兩次取等號(hào)的條件不一致，∴+＞，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD．（多選）11．某輛汽車以xkm/h的速度在高速公路上勻速行駛（考慮到高速公路行車安全，要求60≤x≤120）時(shí)，每小時(shí)的油耗（所需要的汽油量）為，其中k為常數(shù)．若汽車以120km/h的速度行駛時(shí)，每小時(shí)的油耗為11.5L，欲使每小時(shí)的油耗不超過(guò)9L，則速度x的值可以為（）A．60B．80C．100D．120【解答】解：記每小時(shí)的油耗為y，則根據(jù)題意有，則當(dāng)x＝120時(shí)，，解得k＝100，所以，當(dāng)y?9時(shí)，即，解得45?x?100，又因?yàn)?0?x?120，則x的取值范圍為[60，100]．故選：ABC．填空題（本題共1小題）12．若關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≥0在{x|1≤x≤4}內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】{a|a≤﹣2}【解答】解：關(guān)于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≥0在{x|1≤x≤4}內(nèi)有解，等價(jià)于在{x|1≤x≤4}內(nèi)，a≤（x2﹣4x﹣2）max，當(dāng)1≤x≤4時(shí)，x2﹣4x﹣2的最大值為﹣2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|a≤﹣2}．故答案為：{a|a≤﹣2}．解答題13．已知x、y∈R+，且x+y＝1，求證：（1）xy≤；（2）（1+）（1+）≥9．【解答】證明：（1）證明：因?yàn)閤y∈R+，且x+y＝1，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；（2）∵x＞0，y＞0，x+y＝1，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴，即得證．14．某小微公司每年燃料費(fèi)約20萬(wàn)元．為了“環(huán)評(píng)”達(dá)標(biāo)，需要安裝一面積為x（x≥0）（單位：平方米）可用10年的太陽(yáng)能板，其工本費(fèi)為（單位：萬(wàn)元），并與燃料供熱互補(bǔ)工作，從此，公司每年的燃料費(fèi)為（x≥0，k為常數(shù)）萬(wàn)元．記y為該公司10年的燃料費(fèi)與安裝太陽(yáng)能板的費(fèi)用之和．（1）求k的值，并寫(xiě)出函數(shù)y＝f（x）的表達(dá)式：（2）求y的最小值，并指出此時(shí)所安裝的太陽(yáng)能板的面積x．【解答】解：（1）由題意，當(dāng)x＝0時(shí)，，解得k＝800，則該公司10年的燃料費(fèi)與安裝太陽(yáng)能板的費(fèi)用之和為10＝，所以k＝800，函數(shù)的表達(dá)式為y＝f（x）＝；（2）由（1）可知，x≥0時(shí)，y＝＝＝40﹣2＝38，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝36時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，所以y的最小值為38萬(wàn)元，此時(shí)所安裝的太陽(yáng)能板的面積為36平方米．15．南康某服裝廠擬在2021年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）m萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用x（0≤x≤4）萬(wàn)元滿足．已知2021年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元．廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的2倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）．（1）將2021年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該服裝廠2021年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大？【解答】解：（1）由題意可得，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為，則y＝?m﹣（8+16m+x）＝8+16m﹣x＝8+﹣x＝，x∈[0，4]．（2）y＝＝57﹣57﹣，當(dāng)且僅當(dāng)，即x＝3時(shí)，等號(hào)成立，故該服裝廠2021年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，利潤(rùn)最大．16．已知函數(shù)f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，其中a為實(shí)常數(shù)．（1）a＝1時(shí)，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）≥x﹣2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍．【解答】解：（1）∵a＝1時(shí)，f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0恒成立，∴不等式f（x）＜0的解集為?；（2）∵不等式f（x）≥x﹣2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?x2﹣（a+2）x+a+2≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，∴Δ＝（a+2）2﹣4（a+2）≤0，解得：﹣2≤a≤2，∴a的取值范圍為[﹣2，2]．17．已知二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx﹣a+2．（1）若關(guān)于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）若b＝2，a＞0，當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．【解答】解：（1）∵關(guān)于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，∴﹣1，3是方程ax2+bx﹣a+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且a＜0，∴，解得，∴實(shí)數(shù)a，b的值分別為﹣1，2；（2）當(dāng)b＝0，a＞0時(shí)，f（x）＝ax2+2x﹣a+2，函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x＝﹣＜0，所以f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，故f（x）min＝f（0）＝2﹣a，所以f（x）的值域?yàn)閇2﹣a，+∞）．18．一個(gè)服裝廠生產(chǎn)風(fēng)衣，月銷售量x（件）與售價(jià)p（元/件）之間的關(guān)系式為p＝160﹣2x，生產(chǎn)x件風(fēng)衣的成本R＝500+30x（元）．（1）該廠月產(chǎn)量多大時(shí)，月利潤(rùn)不少于1300元？（2）當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【解答】解：（1）設(shè)該廠的月獲利為y，由題意得，y＝（160﹣2x）x﹣（5