韋達(dá)定理專題

根的判別式與韋達(dá)定理專題【課標(biāo)求一的判別式及應(yīng)用eq\o\ac(△,=b)

-4ac)：一元二次方程

2

bxa

的根的判別式為：

。根的判別式的應(yīng)用：當(dāng)

時(shí)方程有兩個(gè)數(shù)根。當(dāng)

0

時(shí)，方程有兩個(gè)不相的數(shù)；當(dāng)0時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)

時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根。(1)定一元二次程根的情況。(2)定字母的值取值范圍。例1不解程判斷下列方程的根的情況。x(2)326x(3)52x(4)x22kx0例題2.若方程

ax

0

，問(wèn)：取值時(shí)方程（）兩個(gè)不相等實(shí)根（）2個(gè)等的實(shí)數(shù)根（）有實(shí)數(shù)根？【例】求證：無(wú)論

取何值，方程

9x2mx0

都有兩個(gè)相的根。分析列出△代數(shù)式，證其恒大于零?！纠慨?dāng)為什么值時(shí)，關(guān)于x的方(

2x2

2(m

有根。≠0兩種形討論。分析：設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分和m

2

＝略解：當(dāng)

2

＝0即

m

時(shí)，2(

≠0，方程為一元一方，有根當(dāng)m

≠即m

時(shí)，方程有根的條件是：△＝

24)20

≥0解得m≥

∴當(dāng)≥

且

m

時(shí)，方程有實(shí)根。綜上所述：當(dāng)

m

≥

時(shí)，方程有實(shí)根。探索與創(chuàng)新：1

22【問(wèn)題一】已關(guān)于方程kx2(2k0有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x、，2問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。0略解：kk0x0k2

01化簡(jiǎn)得12三、試證：關(guān)于

x

的方程

x

必有實(shí)根。七、已知n＞，于x的程

)

mn

m有個(gè)等的正實(shí)根，求的n值。四、已知關(guān)于

x

的方程0

的根的判別式零方的個(gè)根為1，求

m

、

的值。2

二達(dá)定理的應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系(韋達(dá)定)的用：韋達(dá)定理如一元二次方程+bx+c=0(a≠0)的兩根為x、x，+x=—

，xx=。a已一求一及知系數(shù)1若=

是二次方程x＋＋＝0的一根則＝，該方程的另一個(gè)根2已=1是方程x

+的個(gè)根，則方程的另一個(gè)根是（）3已3是于的程

－x＋＝的一個(gè)根，則這個(gè)方程的另一個(gè)根是4若x=2是于x的程

x2

的一個(gè)根，則a的值______.5已關(guān)于x方程

x2mx

的一個(gè)根為2,m=_____,另根是_______.6、已知是方x－2x－＝的個(gè)根，則2m－4m的是（)求與程的根關(guān)代式值1關(guān)x的程ax2a有個(gè)不相等的實(shí)根x，a的是1A．1B－．或－1D．2

1

、

2

，有【答案】2若元二次方程式ab之值為何？

(1)(1)(x2)＋bx(x

的根為、，A．2B5．7D．8【答案】3是程+x-1=0的，則式子m+2m+2009的值為)A.2008B.2009C.2010D.2011答案：4．若a為方17的值為（）

)的一根，為程=17的根，且、都正數(shù)，則A．13B．．－7．答案：5設(shè)

，b是程x

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

的為（）A．2006答案：

B．2007C．D．20096若于

的一元二次方程

2x2

2

的數(shù)為0，

的等于（）A、、、或2D、答案：B7已是程x－－＝的個(gè)根，則2m－的是A、5B10C、－、－3

-4ac=0,則方c-4ac=0,則方c8已方程x-5x+2=0的個(gè)解分別為x，x，則x+x1

-

xx

的為（）A.-7B.-3。C.7D.39已、是程

的根，則(n

與(m

2004

的積是.

答：10方程－x－1=0的個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則x－－1)=．已知m,是方程x

的兩根，且

2

n7)

，則的等于。答案：－已兩求方；1求一個(gè)一元二方程使它的根分別是原方程各根的數(shù)，則這個(gè)一元二次方程是（）A．x+32x+1=0;B．x+32x-1=0C．x-32x+1=0Dx-32x-1=0答案：已兩的與，這兩個(gè)；確根符:(x，是程根。12（3）、應(yīng)韋定時(shí)要保一元次程根即定要判根判式否負(fù)求作一元次程，般求作方的次系設(shè)1，即x、為根一二方為122+x)x+xx=0;字系的時(shí)，使次系≠0，同滿eq\o\ac(△,≥)eq\o\ac(△,)0;求代式112值，常整思，所代數(shù)式形為有根和+x，?根積x的數(shù)式的1212式，整代。1下四個(gè)結(jié)論，正確的是1A.方程＋=－有兩不相等的實(shí)數(shù)根1B.方程＋=1兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根1C.方程＋=2兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D.方程＋【答案】

1

=a（其中a為數(shù)，|a|>2）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2①b=2a+

c,一元二次方程ax必一根為2；②若ac<0,則程

x

+bx+a=O有個(gè)等實(shí)數(shù)根；③若

2

+bx+a=O有個(gè)相等實(shí)數(shù)根；其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．個(gè)B.l個(gè)個(gè)．個(gè)【案C3對(duì)一元二次方程ax+bx+c=O(a≠，下列法：4

①若

a+=-1則方程axc

+bx+c=O一有一根是x=1;②若c=a

，

，則方程ax

+bx+c=O有個(gè)相等的實(shí)根；③若a<0，，c>0則方程cx+bx+a=0必實(shí)數(shù)根；④若ab-bc=0且

a

<-l則方程cx+bx+a=0的兩實(shí)數(shù)根一定互為相反數(shù)．．其中正確的結(jié)是)A①②③④B．①②④C①③D．②④答案：4對(duì)一元二次方程ax+bx+c=O(a≠，列說(shuō)法①若a+c=0，方程ax

+bx+c=O必實(shí)數(shù)根；②若，方程ax

+bx+c=O一有實(shí)數(shù)根；③若a-b+c=0，則方程ax+bx+c=O一有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根；④若方程ax

+bx+c=O有個(gè)實(shí)數(shù)根，則方程cx+bx+a=0一有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．其中正確的是)A．②B．①③C．②D．③④答案：5已關(guān)于x的方x

＋bx＋＝有個(gè)根是－≠，則ab的值為A．－１．C．1D．【答案】6已知關(guān)于的元二次方(a－－2x+1=0有個(gè)不相等的實(shí)數(shù),則a的取范圍是()A.a<2B,a>2C.a<2且a≠－·【答案】·7如關(guān)于x的程kx

－2x－1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么k的值范圍是（）A．

B．

．

k

．

答案：8若于的元次方程

2

2

的一個(gè)為1，則的為()A．－．

C．．或

答案：9關(guān)于x的方程－

－4－1＝有數(shù)根，則a滿（）A．a(chǎn)≥Ba＞且≠5C．≥且a≠D．≠5

答案：10列哪一個(gè)數(shù)與方程

16

的根最接近（）A、2B、、、【答案】11于的程3－)－x＋＝有數(shù)根，則滿)A.a≠3B.≥C.a2且≠3D.≥2且≠答案B12已知關(guān)于的一二次方程

m

22

(2mx0

有個(gè)相的數(shù)，則m的值范圍是（）A.

m

34

B.

m

34C.

m

33且2D.44

且

m答案：C13關(guān)于的元二次方程

2

m

2

2

的數(shù)為0，的值等于（）A、、、或2D、答案：B14關(guān)于x的程x22的兩根x滿足()212的值是.答案：－

x41

，則k15

（

2y2x2y2)0，2y=.答案：16知關(guān)于x的方x－（－）x+k=0有個(gè)實(shí)數(shù)根x，.（）k的值范圍；（分（）x求k的.6分）121【答案】解：（1）依題意，得即[k1)]2k02xx（）法一：依題意，得.121以下分兩種情況討論：2①當(dāng)xx時(shí)則，即k12212解得k1∵

，得

.∴②

kk1xx12

不合題意，舍去時(shí)，則有212

，即

2(解得

k16

∵

，∴

k綜合①、②可知﹣解法二：依題意可知由（）知

x1

.∴

，xx12∴

2

解得kk1∵，k2、（重慶一中級(jí)10—11學(xué)度下期3月月考）已知x是元二次方程x

0

的實(shí)數(shù)，求代數(shù)式：

3x2

5

的．3、（2011北京四中模）已知，△的邊AB、AC的是關(guān)于x的元二次方程-(2k+3)x+k+3k+2=0的兩實(shí)根，第三邊BC的長(zhǎng)5。問(wèn)：（）為值時(shí)，ABC是以BC為邊直角三角形。（2）為值，ABC是腰三角形，并eq\o\ac(△,求)ABC的長(zhǎng)答案：（）k=2（）時(shí)周長(zhǎng)為14；k=4時(shí)，周長(zhǎng)為162011北京四中五模）已知關(guān)于x的一元二次方程x＋2k－1）＋2+1＝如方程的兩根之和等于兩根之積，求k的值.解：∵

＋x＝x1

（2分∴2k＋＝k2＋（分∴k＝，＝－2（分12當(dāng)＝時(shí)△＝－＜，當(dāng)＝2時(shí)，＝＞，∴k＝－（分127

3在腰ABC中三邊分別