復(fù)變函數(shù)與積分變換課件分式線性映射

復(fù)變函數(shù)與積分變換課件分式線性映射第一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六一、分式線性映射的一般形式定義(

為復(fù)數(shù)且)

由分式線性函數(shù)構(gòu)成的映射，稱為分式線性映射；特別地，若則稱為(整式)線性映射。

(2)分式線性映射的逆映射也是一個(gè)分式線性映射：

(1)兩個(gè)分式線性映射的復(fù)合，仍是一個(gè)分式線性映射；

注第二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解分析分式線性函數(shù)可改寫為：(1)當(dāng)時(shí)，(2)當(dāng)時(shí)，第三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解分析因此，一個(gè)一般形式的分式線性映射可以由下面四種最簡單的分式線性映射復(fù)合而成。(1)(

b

為復(fù)數(shù)

)；(2)(

為實(shí)數(shù)

)；(3)(

r

為正數(shù)

)；復(fù)合成(整式)線性映射。

在后面的討論中，有時(shí)會(huì)根據(jù)需要，只對(duì)(整式)線性映射和第

(4)

種映射分別進(jìn)行討論。復(fù)合成分式線性映射。(4)第四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解1.平移映射(

b

為復(fù)數(shù)

)令則有向量的方向平移一段距離

.

它將點(diǎn)集(點(diǎn)曲線區(qū)域等)沿著、、

下面分別對(duì)四種映射進(jìn)行討論。為了比較映射前后的變化，將

w

平面與

z

平面放在同一個(gè)平面上。第五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解2.旋轉(zhuǎn)映射旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度

它將點(diǎn)集(點(diǎn)曲線區(qū)域等)、、(

為實(shí)數(shù)

)令則有

當(dāng)時(shí)，沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)；當(dāng)時(shí)，沿順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。第六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解3.相似映射

其特點(diǎn)是保持點(diǎn)的輻角不變，(

r

為正數(shù)

)令則有但模擴(kuò)大(或縮小)r倍。

它將曲線或者區(qū)域相似地?cái)U(kuò)大(或縮小)r倍。

特別適合于過原點(diǎn)(或含原點(diǎn))的曲線或區(qū)域。第七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六單位圓外(或內(nèi))，且輻角反號(hào)。二、分式線性映射的分解4.反演(或倒數(shù))映射

它將單位圓內(nèi)(或外)的點(diǎn)映射到令則有

如圖，反演(或倒數(shù))映射通常還可以分為兩步來完成：(1)將映射為滿足(2)將

映射為滿足第八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解

圓周對(duì)稱的概念定義設(shè)某圓周

C

的半徑為

R

，則稱

A

和A

,B

兩點(diǎn)位于從圓心

O5.兩個(gè)特殊的對(duì)稱映射

自然地，規(guī)定圓心

O

與無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于該圓周對(duì)稱。

CBAROB

是關(guān)于圓周

C

對(duì)稱的。出發(fā)的射線上(如圖)，且TP145定義

6.3

第九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解5.兩個(gè)特殊的對(duì)稱映射(1)關(guān)于單位圓周的對(duì)稱映射令則有即(2)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射令則有即第十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六二、分式線性映射的分解5.兩個(gè)特殊的對(duì)稱映射(1)關(guān)于單位圓周的對(duì)稱映射(2)關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱映射共形映射來使用。注意上述兩個(gè)映射并不是解析的，因此它們不能單獨(dú)地作為

映射的變化過程。即其主要作用是為了能更好地看清倒數(shù)第十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解平移倒數(shù)旋轉(zhuǎn)相似平移比如(1)(2)P43例6.5

第十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六則點(diǎn)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)記為因此，函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)可由函數(shù)在原點(diǎn)的性態(tài)來刻畫。三、保形性

為了在整個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面上進(jìn)行討論，首先要對(duì)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行某些技術(shù)處理和補(bǔ)充說明。令即則

“認(rèn)為”

函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)也解析。

比如

若函數(shù)在原點(diǎn)

解析，

(1)對(duì)于函數(shù)則有思想(回顧)其思想已在§5.2

節(jié)中介紹過。第十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六則點(diǎn)對(duì)應(yīng)于點(diǎn)三、保形性

為了在整個(gè)擴(kuò)充復(fù)平面上進(jìn)行討論，首先要對(duì)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行某些技術(shù)處理和補(bǔ)充說明。令即思想(回顧)其思想已在§5.2

節(jié)中介紹過。曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)可由像曲線

在原點(diǎn)

的性態(tài)來刻畫。比如

z

平面上兩曲線在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的交角，(2)對(duì)于

平面上過無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的曲線

C

，它們?cè)谟成?/p>

下的像曲線在原點(diǎn)的交角。同樣有可定義為第十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三、保形性1.倒數(shù)映射的保形性由此，倒數(shù)映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是雙方單值的。(1)當(dāng)且時(shí)，

單值性當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，規(guī)定：

解析性函數(shù)解析，且(2)當(dāng)時(shí)，令則函數(shù)在處

解析，且倒數(shù)映射在擴(kuò)充復(fù)平面上除外是共形映射。第十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三、保形性1.倒數(shù)映射的保形性倒數(shù)映射在擴(kuò)充復(fù)平面上除外是共形映射。映射在

w

擴(kuò)充復(fù)平面上除外是共形映射。同理，映射在處是共形映射，特別有，倒數(shù)映射在處是共形映射。結(jié)論倒數(shù)映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射。由此即得：第十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三、保形性1.倒數(shù)映射的保形性由此，線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是雙方單值的。當(dāng)時(shí)，

單值性當(dāng)時(shí)，規(guī)定：

解析性2.線性映射的保形性函數(shù)解析，且線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上除外是共形映射。(結(jié)論同上,

跳過?)第十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三、保形性1.倒數(shù)映射的保形性2.線性映射的保形性線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上除外是共形映射。當(dāng)

時(shí)，令函數(shù)

在處

解析，且則且當(dāng)時(shí)，因此，映射在處是共形映射,第十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三、保形性1.倒數(shù)映射的保形性2.線性映射的保形性線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上除外是共形映射。當(dāng)

時(shí)，令則映射在處是共形映射,且又映射

在

處也是共形映射，線性映射在處是共形映射。結(jié)論線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射。即得：第十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六三、保形性1.倒數(shù)映射的保形性2.線性映射的保形性3.分式線性映射的保形性

由于分式線性映射可分解為線性映射和倒數(shù)映射的復(fù)合，因此就得到了如下定理。定理分式線性映射在擴(kuò)充復(fù)平面上是共形映射。注意

該定理不僅從理論上確保了分式線性映射是共形映射，而且其中的保角性在分式線性映射的構(gòu)造中非常實(shí)用。P146定理6.5第二十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六四、保圓性1.倒數(shù)映射的保圓性分析令

由有(

A

)將

(

A

)

式代入，即得到其像曲線所滿足的方程為：(當(dāng)時(shí)為直線

)，(當(dāng)時(shí)為直線

)。對(duì)于平面上一個(gè)任意給定的圓：第二十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六四、保圓性1.倒數(shù)映射的保圓性2.線性映射的保圓性由于這三種映射顯然將圓仍然映射為圓，

線性映射可分解為平移映射

旋轉(zhuǎn)映射和相似映射的復(fù)合

,、3.分式線性映射的保圓性約定將直線看作是半徑為無窮大的圓。將圓映射為圓。因此線性映射能P147定理6.6第二十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六四、保圓性3.分式線性映射的保圓性定理在擴(kuò)充復(fù)平面上，分式線性映射能把圓變成圓。約定將直線看作是半徑為無窮大的圓。(1)

如果給定的圓(或直線)上沒有點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，注則它就映射成半徑有限的圓；(2)

如果給定的圓(或直線)上有一點(diǎn)映射成無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則它就映射成直線；(精彩之處)！(3)對(duì)稱映射和也具有保圓性。第二十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六四、保圓性

在分式線性映射下，求圓(或圓弧段)的像曲線的方法方法一分解為四種簡單映射的復(fù)合。方法二利用保圓性，選三點(diǎn)定圓。對(duì)于圓弧段(或直線段)，兩個(gè)端點(diǎn)必須選定。方法三綜合利用保圓性與保角性。(1)找出原像曲線中的一些

“特殊點(diǎn)”

所對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)，從而能夠大致地確定出像曲線的位置。(2)找出一些

“特殊曲線”

(如坐標(biāo)軸等)所對(duì)應(yīng)的像。(3)由原像之間的關(guān)系(如夾角等)確定像之間的關(guān)系。第二十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解方法一分解為四種簡單映射平移倒數(shù)旋轉(zhuǎn)相似平移平移倒數(shù)相似平移旋轉(zhuǎn)P147例6.6修改第二十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解方法二利用保圓性，直接三點(diǎn)定圓找三點(diǎn)另找三點(diǎn)(

不是蠻好直接定圓

)(

可以了，Ok了)第二十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解方法三借助特殊點(diǎn)和特殊曲線(3)由于

和

在

點(diǎn)正交，(1)特殊點(diǎn)故

和在

點(diǎn)正交；故其像曲線

是經(jīng)過兩點(diǎn)的圓(或直線)；將虛軸記為在直線

C

上取兩點(diǎn)和由于(2)特殊線則其像曲線為實(shí)軸；(?)

第二十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解首先作一個(gè)簡單的定性分析(3)由于被映射為被映射為

0，被映射為從原點(diǎn)出發(fā)且相互垂直的兩條射線。(1)區(qū)域

D

的邊界和是圓弧段，且和的交角為90度；(2)由于所給的映射為分式線性映射，因此具有保圓性與保角性；因此圓弧

和P148例6.7

第二十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解方法一利用保圓性，直接三點(diǎn)定圓

其中第二十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解方法二利用保圓性，保角性

(1)(2)由和在點(diǎn)正交，(3)由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90

度到，知和在點(diǎn)正交；(保大小)知順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

90

度到。(保方向)第三十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六解方法三借助特殊曲線(2)由與的交角及位置關(guān)系，知與的交角及位置關(guān)系，從而很容易地確定出和

。(1)將虛軸上從到的一段記為則第三十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六中一個(gè)交點(diǎn)映射為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，

本例的重要啟示

(1)區(qū)域D

很特別！圓弧圍成，它們相交于和；(2)映射很特別！

它的分母將其它的分子將另一個(gè)交點(diǎn)映射為原點(diǎn)。頂點(diǎn)在原點(diǎn)的角形域。

它的邊界由兩段從而將區(qū)域D

映射為第三十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六五、保對(duì)稱點(diǎn)性引理擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn)關(guān)于“圓”

C

對(duì)稱的充要條件是過的任意“圓”都與

C

正交。(1)當(dāng)

C

為直線時(shí)，結(jié)論顯然(?)成立。(2)當(dāng)

C

為半徑有限的圓，且在和中有一個(gè)為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，結(jié)論顯然(?)成立。P149引理6.1(一道中學(xué)的幾何題，跳過?)證明第三十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六五、保對(duì)稱點(diǎn)性引理擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn)關(guān)于“圓”

C

對(duì)稱的充要條件是過的任意“圓”都與

C

正交。證明且和

均為有限點(diǎn)，(3)設(shè)C

為半徑有限的圓，R必要性“”已知關(guān)于

C

對(duì)稱，且為過的任意一個(gè)圓，[當(dāng)為直線時(shí)，如圖，設(shè)與

C

交于點(diǎn)，故與C

正交。由切割線定理有，為的切線，即時(shí)，顯然與

C

正交

]則有第三十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六且和

均為有限點(diǎn)，

五、保對(duì)稱點(diǎn)性引理擴(kuò)充復(fù)平面上兩點(diǎn)關(guān)于“圓”

C

對(duì)稱的充要條件是過的任意“圓”都與

C

正交。證明(3)設(shè)C

為半徑有限的圓，充分性“”已知過的任意圓都與

C

正交，[由過的圓與

C

正交，又與

C

正交，故為的切線，故關(guān)于C

對(duì)稱。由切割線定理有R故被

C

隔開，知與圓心

O

共線

]

第三十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六五、保對(duì)稱點(diǎn)性的象點(diǎn)也關(guān)于象曲線

對(duì)稱。設(shè)點(diǎn)

關(guān)于圓周

C

對(duì)稱，則在分式線性映射下，它們定理證明(1)設(shè)

是過點(diǎn)的任意一個(gè)“圓”，由于分式線性映射具有雙方單值性和保圓性，因此

的原像一定是過點(diǎn)的一個(gè)“圓”；P150定理

6.7

第三十六頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六五、保對(duì)稱點(diǎn)性(2)根據(jù)引理的必要性可得，與C

正交，由于分式線性映射具有保角性，故與正交，再根據(jù)引理的充分性可得，點(diǎn)關(guān)于

對(duì)稱。的象點(diǎn)也關(guān)于象曲線

對(duì)稱。設(shè)點(diǎn)

關(guān)于圓周

C

對(duì)稱，則在分式線性映射下，它們定理證明第三十七頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六分析六、唯一決定分式線性映射的條件

分式線性映射中含有四個(gè)常數(shù)

如果用這四個(gè)數(shù)中的一個(gè)去除分子和分母，則可以將分式線性映射中的四個(gè)常數(shù)化為三個(gè)獨(dú)立的常數(shù)。

由此可見，只需要給定三個(gè)條件，就能決定一個(gè)分式線性映射。P151定理

6.8

第三十八頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六六、唯一決定分式線性映射的條件設(shè)分式線性映射為

，證明(僅證明存在性)代入條件得同理第三十九頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六設(shè)分式線性映射為

，六、唯一決定分式線性映射的條件證明(僅證明存在性)代入條件得同理將上式整理后，即得到所要的分式線性映射。第四十頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六注(1)由于分式線性映射具有保圓性，為過三點(diǎn)的圓。把過三點(diǎn)的圓映射直接應(yīng)用于：(2)如果和中有一個(gè)為將對(duì)應(yīng)點(diǎn)公式中含有的項(xiàng)換成

1。因此對(duì)應(yīng)點(diǎn)公式通常則只需P152推論

6.1

六、唯一決定分式線性映射的條件第四十一頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六特別地，若則(k

待定)

設(shè)為分式線性映射，且推論則它可表示為:(

k

為任意復(fù)常數(shù)

)。

非常實(shí)用各有妙用P152推論

6.2

六、唯一決定分式線性映射的條件第四十二頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六例已知區(qū)域求一分式線性映射，將區(qū)域

D

映射為第一象限。解方法一(1)令則這個(gè)可以沒有(2)旋轉(zhuǎn)可由保角性直接得P152例6.9

第四十三頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六例已知區(qū)域求一分式線性映射，將區(qū)域

D

映射解為第一象限。故再要求將得方法二令k

待定，(2)可否要求將或者其它點(diǎn)?思考(1)式子中

各自有何作用?

如何進(jìn)一步將其映射到上半平面或者單位圓?問題第四十四頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六七、兩個(gè)典型區(qū)域間的映射1.將上半平面映射成單位圓域特點(diǎn)這兩個(gè)區(qū)域的邊界都是圓。求解方法一(

三點(diǎn)定圓

)

在實(shí)軸上和單位圓周上分別取三點(diǎn)：根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)公式有整理得

顯然，如果取另外的三點(diǎn)則會(huì)得到另外的結(jié)果。P153例6.10第四十五頁，共五十二頁，編輯于2023年，星期六七、兩個(gè)典型區(qū)域間的映射1.將上半平面映射成單位圓域特點(diǎn)這兩個(gè)區(qū)域的邊界都是圓。求解方法二(

求通式

)

根據(jù)前面的推論有