2020屆高考二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)專題透析數(shù)學(xué)理科題型3解答題答題模板構(gòu)建與搶分攻略

血題型3解答題答題模板構(gòu)建與搶分攻略

01解三角形的答題模板構(gòu)建

模板

M構(gòu)建

MUBANGOUJIAN

模型（一）正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

【案例1]（2017年全國(guó)/卷理T17）A/18U的內(nèi)角48（的對(duì)邊分別為己81已知力/的面積為篇.

（1）求sin5sinC,

（2）若6cos5tosU=l,a=3,求的周長(zhǎng).

【審題流程】（1）利用三角形的面積公式和正弦定理-把邊轉(zhuǎn)化為角■進(jìn)行約分一求出結(jié)果.

（2）由已知及兩角和的余弦公式求出角4的值一由余弦定理求出邊與邊之間的關(guān)系-求出。+c的值?求出

三角形的周長(zhǎng).

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

?（1）由題設(shè)彳逑cin§=蕊，即扣in3=品.（2分）

第一步

由正弦定理得|sindin3=普.（4分）找條件:尋找三角形中已知的邊和角，確

定轉(zhuǎn)化方向.

故sin5sin0*（5分）第二步

定工具:根據(jù)已知條件和轉(zhuǎn)化方向，選擇

⑵由題設(shè)及⑴得cosSeosC-sin5sinC--^,適用的定理和公式，實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)

化.

即。=口所以故/岑分）

cos（8+（7第三步

求結(jié)果:根據(jù)前面的分析，約分，應(yīng)用公式,

由題意得JbeinZ=J，,a=3,所以6c=8.（9分）

得出結(jié)果.

第四步

由余弦定理得〃+夕-陵=9,即（6+02-36C=9.

再反思:轉(zhuǎn)化過程中要注意轉(zhuǎn)化的方向，

由仇?=&得Z?+C=A/33.（H分）

審視結(jié)果的合理性.

故”8c的周長(zhǎng)為3^33.（12分）

【評(píng)分細(xì)則】

L第一小問：

（1）運(yùn)用面積公式得出關(guān)系式彳導(dǎo)2分.

（2）根據(jù)已知條件，利用正弦定理得出角與角之間的關(guān)系彳導(dǎo)2分.

（3）根據(jù)得出的式子進(jìn)行化簡(jiǎn)彳導(dǎo)1分.

2.第二小問：

（1）求出角力的值，得2分.

（2）運(yùn)用面積公式求出6c的值得2分.

⑶利用余弦定理求出6+c的值得2分.

（4）求出三角形的周長(zhǎng)彳導(dǎo)1分.

【學(xué)習(xí)筆記】

模型（二）利用正弦定理、余弦定理解平面圖形中的邊角問題

【案例2】（2018年全國(guó)/卷，理T17）在平面四廊48。中,N/0090°,N/=45°,48=2,80=5.

（1）求COSNADB,

⑵若DC=2也求BC.

【審題流程】Q）利用正弦定理求出sinN/l〃8一運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出COSN/WA

（2）利用題設(shè)及⑴中的結(jié)論求出COSN8OG*利用余弦定理求出BC.

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

第一

Q）在“加中，由際定理得懸=公篇

畫出簡(jiǎn)圖:仔細(xì)閱讀題目中的條

件,根據(jù)題意畫出圖形.

由題意知熹，編，所以sin〃〃84（4分）

第二步

因?yàn)?力。3<90°,所以COSN4O5=JT^￥.（6分）定工具根據(jù)已知條件和圖形，合

理選擇正弦定理或余弦定理，實(shí)

出由題意及。）知,85/比七=5沿〃。3=手（8分）現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化.

第三步

在△3。中,根據(jù)余弦定理求結(jié)果:根據(jù)正、余弦定理得出

BG=B?+DG-2BD-Z?6coszBDC結(jié)果

=25+8-2x5x2V2培=25.（11分）第四步

反思:求解過骸否合理運(yùn)算結(jié)

所以8U=5.（12分）

果是否準(zhǔn)確,等等.

【評(píng)分細(xì)則】

1.第一小問：

(1)利用正弦定理求出sinz/l。氏得4分.

(2)運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出COSN4。8得2分.

2.第二小問：

⑴根據(jù)已知條件及第一小問的結(jié)論求出COSNBDC得2分.

(2)利用余弦定理求出3G得3分.

(3)求出3c得1分.

【學(xué)習(xí)筆記】.

模板

訓(xùn)練

(2019湖南省衡陽(yáng)市三模)已知函數(shù)/W=2cos￥sin[q)"的最大值為1.

Q)求實(shí)數(shù)t的值；

(2)已知銳角”8U的內(nèi)角46c所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c若a=2四,“8U的面積為其且蟲)=號(hào)求6+c的值

?(1)[A)=2COSAsin(W)+f

KinACOSxV5cos

=1sin2—/5*丐逵"

司@《)+稿，

:函數(shù)4x)的最大值為1,

」呼力廨得t吟

⑵:4力)=看:sin(24q)=當(dāng)

?.0"專..《〈2人今,

.?.24三三,解得力《

由三角形面積公式得S.ABc^bam4力6,解得6c=4,

由余弦定理得矛二廳+^^2.ba.QSA,

化簡(jiǎn)得8=392.3be

?.b-f-oQ,..b+c=2y[s.

(2019河北省石家莊市適應(yīng)性考試)在人43c中,cos(/+QR,sinA=1.

⑴求sinU的值；

(2)設(shè)"交的平分線與/IU交于點(diǎn)。若｛G3,求8。的長(zhǎng).

?(1)由cos(/l+0-0,得Z+C音，

所以sinC=sin(]-A)=cos4=苧.

(2)由⑴可得N/5c與在Rt“&7中,sinZ=g,/lU=3,所以BC=ACsin4=3W=1,

在A。8c中,sinNSOOsinC+A)4(sinA+cos

由正弦定理得怒=焉灰，所以BD=普毒普.

已知AMKin2x-2yf3s\n2X+y/3+1.

(1)求函數(shù)4M的最小正周期及其單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)當(dāng)足摟局時(shí),求函數(shù)/?的值域.

■(1)/W=sin2x+百Q(mào)-siGM+l=sin2x+V5cos2x+l=2sin(2x++1,

故函數(shù)例的最小正周期吟E

由2汽空2x季2汽號(hào)(ZdZ》得如書4心如吟(ZGZ),

.?函數(shù)0)的單調(diào)遞增區(qū)間為[依吟](ZGZ).

(2)-2x-f~e[o,y],

.：sin(2x+.)G[0,1],AM—2sin(2x++1G[1,3].

故函數(shù)AM的值域?yàn)閇1,3].

已知A/8c的內(nèi)角4氏U的對(duì)邊分別為a,b,c,^B+s\^C^A=sm5sinC.

(1)求角力的大?。?/p>

(2)若&sin/+sin8=2sinC求sinC.

?（1）根據(jù)題意,由正弦定理得b1由余弦定理得cos/支關(guān)之與

因?yàn)?°</<180。,所以4=60。.

⑵由（1）知5=120°-C所以&sin/Vsin（120°-O=2sinC即當(dāng)《cosU號(hào)sinC=2sinC化簡(jiǎn)得

cos(C+60°)=苫.

因?yàn)?°<320。,所以sin(C+60°)岑

故sinC=sin(C+60°-60")=sin(C+60°)cos600-cos(C+60°)sin60°=^^.

專練

02數(shù)列的答題模板構(gòu)建

模板

構(gòu)建

模型（一）數(shù)列通項(xiàng)公式的求法

【案例1]（2019年全國(guó)礦,理T19）已知數(shù)列｛辦｝和｛6｝滿足ax=0,4an.i=3an-bn+^Abn^=3bn-

a〃4

（1）證明Xa〃是等比數(shù)列,｛a〃也｝是等差數(shù)列.

⑵求｛劣｝和｛d｝的通項(xiàng)公式.

【審題流程】（1）將兩式Aan*\=3a『b"gAbn+\=3bn-an4分別相加和相減一得出關(guān)系式-運(yùn)用數(shù)列的定

義證明｛a0+6〃｝是等比數(shù)列｛a〃4｝是等差數(shù)列.

（2）分別求出似“+小｝和｛a〃-6｝的通項(xiàng)公式一兩式分別相加和相減-求得數(shù)列｛%｝和｛2｝的通項(xiàng)公式.

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

?（1）由題意得4（a?i+b“Q=2（a〃+匍，即第f

將兩式4a0+1=3a。-

*6"+i=g（a〃*6"）.（2分）

bn+44b“+\—3bn~3n-4分別相加和

相減

因?yàn)閍i+6i=l,所以｛a。+、｝是首項(xiàng)為L(zhǎng)公比為g的等比數(shù)列.（3分）

第二步

由題意得4（即+1-d*1）=4（an-bn）-f-8,BP3n+l-bn+1=Sn-bn-^2.（5分）整理得出關(guān)系式，運(yùn)用數(shù)列的定義

因?yàn)槌觥?L所以bn%｝是首項(xiàng)為L(zhǎng)公差為2的等差數(shù)列.（6分）可證明｛a.+6〃｝是等比數(shù)列,｛a〃-6〃｝

是等差數(shù)列.

⑵由⑴知自血=責(zé),a〃也=2"-1.（8分）第三步

求出數(shù)列｛a〃+為和數(shù)列｛為為｝的

所以ao=T【（a〃"〃）+舊"也）］-p；+"T，（10分）

通項(xiàng)公式.

b”=T［（a”+bn）Ya”-b湄=*-〃*1.Q2分）第四步

分別將數(shù)列｛a〃+)｝與數(shù)列｛心也｝

的通項(xiàng)公式相加和相減即可得到數(shù)

列｛a。｝和數(shù)列｛為的通項(xiàng)公式.

【評(píng)分細(xì)則】

1.第一小問：

(1)將兩式相加彳導(dǎo)出關(guān)系式a〃+i+仇+i弓(為+仇》得2分.

(2)運(yùn)用等比數(shù)列的定義證明｛斯+￡>“｝是等比數(shù)列，得1分.

(3)將兩式相減彳導(dǎo)出關(guān)系式a〃n/"n=a〃-6+2得2分.

(4)運(yùn)用等差數(shù)列的定義證明｛即-%｝是等差數(shù)列彳導(dǎo)1分.

2.第二小問：

(1)先得出數(shù)列｛a戶①｝和數(shù)列｛而為｝的通項(xiàng)公式，得2分.

⑵將數(shù)列和數(shù)列｛為也｝的通項(xiàng)公式相加得出｛a〃｝的通項(xiàng)公式，得2分

⑶將數(shù)列｛a.+為和數(shù)列｛而也｝的通項(xiàng)公式相減得出｛d｝的通項(xiàng)公式得2分

【學(xué)習(xí)筆記】.

模型(二)數(shù)列求和方法的應(yīng)用

【案例2](2017年全國(guó)腐，文T17)設(shè)數(shù)列｛a〃｝滿足的+3毛+...+(2〃-1期=2〃.

Q)求｛a〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛焉｝的前〃項(xiàng)和.

【審題流程】(1)寫出當(dāng)色2時(shí)，數(shù)列｛a〃｝所滿足的關(guān)系式一兩式相減得出當(dāng)佗2時(shí)，數(shù)列｛褊的通項(xiàng)公式一

判斷當(dāng)"=1時(shí)m是否滿足所求通項(xiàng)公式-寫出數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式.

(2)寫出數(shù)列｛篇｝的通項(xiàng)公式一對(duì)通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)■化簡(jiǎn)得出前n項(xiàng)和.

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

?(1)因?yàn)榈?3詼+...+(2"-1間=2〃，②第一^

所以當(dāng)n>2時(shí)，出+3為九.+(2"-3)a〃.i=2("-l),@1分)令"22,寫出相應(yīng)的關(guān)系式.

第二步

由。-②(導(dǎo)(2,-1)為=2,所以r.(4分)

zn-i

兩式進(jìn)行相減，得出當(dāng)n>2時(shí)，數(shù)列

又當(dāng)〃=1時(shí)向=2適合上式,(5分)｛劣｝的通項(xiàng)公式.

第三步

所以數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為a〃1T.(6分)

判斷當(dāng)"=1時(shí),為是否滿足當(dāng)n>2

(2)記數(shù)列｛焉｝的前〃項(xiàng)和為Sn,時(shí)的數(shù)列仰的通項(xiàng)公式.若滿足結(jié)

論很U"合寫"；若不滿足很!I應(yīng)分段

由(D知2n；l~(2n-l)(2n+l)-2n4公+1，岱分)表ZF.

第四步

則S=(LI)4)+…*-2^1)

寫出數(shù)列｛磊｝的通項(xiàng)公式.

=1福=磊心分)

第五步

使用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.

【評(píng)分細(xì)則】

1.第一小問：

(1)令"22,寫出相應(yīng)的關(guān)系式彳導(dǎo)1分.

(2)通過兩式相減求得滿足的關(guān)系式彳導(dǎo)3分.

⑶當(dāng)"=1時(shí)，驗(yàn)證結(jié)論成立,寫出結(jié)果彳導(dǎo)2分.

2.第二小問：

Q)得出數(shù)列｛磊｝的通項(xiàng)公式,并能裂項(xiàng)彳導(dǎo)2分.

(2)求出S的最終結(jié)果彳導(dǎo)4分.

【學(xué)習(xí)筆記】.

模板

訓(xùn)練

I!

(2019山東省煙臺(tái)市一模)已知等差數(shù)列｛a〃｝的公差是1,且仇血為成等比數(shù)列.

(1)求數(shù)列⑸的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛瑞｝的前〃項(xiàng)和Tn.

?Q)因?yàn)椋樱枪顬?的等差數(shù)列，且的，的為成等比數(shù)列,

所以說=為的，即(為+2戶=為(為+8),解得出=1,

所以3n=H.

⑵因?yàn)槠?"唔)：所以Tn=lxQ)1+2唔)2+3唔7

廣山(￡+2?+...?)竊皿丁

兩式相礴*(?+…?-〃?+：

所以部用「-〃嚕)"*|=1主轉(zhuǎn)，所以丁〃=2手.

(2019江西省鷹潭市一模)已知等比數(shù)列｛斯｝為單調(diào)遞增數(shù)列，且磅=為0,2(/+%+2)=5a〃”,數(shù)列%｝滿足

2bi=a\,bn+1-bn=ai.

(1)求數(shù)列｛冊(cè)｝和｛九｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)3段，求數(shù)列&｝的前〃項(xiàng)和心

?(1)設(shè)等比數(shù)列｛即｝的公比為q由題意得]窯，；:%=5aq為9工°，mG*

解得C或吃'

:｛a.｝為單調(diào)遞增數(shù)列《I："a=2".

.數(shù)列｛b〃｝滿足2bl=B1=2也+]-bn=3\—2,

..數(shù)列｛b｝是以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列〃也=2/7-1.

(2)由(1)得6=*1+[=2"(21蕊+1)=2[(2n-l)-2"-(2n+l)-2n+1]'

.y』」____L_J____L____I________1L1

…n1X213x223x225x23…(2n-l)-2n(2n+l)-2n+1(2n+l)-2n，

已知數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和S"滿足S呼("GN)

(1)求數(shù)列｛m｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)d=2。"+(-1)"外,求數(shù)列｛d｝的前〃項(xiàng)和Tn.

?⑴當(dāng)"=1時(shí)，a=S=L

當(dāng)n>2時(shí),afS…竽生學(xué)時(shí)=〃

又為也滿足an=n,

故數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a〃=n("GN).

n

(2)由(1)知a.=〃,故bn=2+(-iyn.

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，

心=(21+22+...+2n)+[-l+23M-...-(P-1)+/7]

_2-2“+lj

-1-2+2

=2〃f-2;

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),7>(2i+22+...+2")+[-1+2-3*4-...-(n-2)+[n-Y｝-ri\

=2"“-2噂

二2〃口胃微.

(2"】+92,n為偶數(shù)，

故Tn=\2

(2"W-|,n為奇數(shù).

已知數(shù)列⑸的前〃項(xiàng)和￡=哈(歸皿｛d｝是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于06+仇=12.

(1)求數(shù)列｛4｝和數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛物電7｝的前"項(xiàng)和.

?(1)因?yàn)閿?shù)列｛為｝的前n項(xiàng)和$=竽(小e),所以當(dāng)〃=1時(shí)=￡=1;當(dāng)n>2時(shí).等，

迎亭也=3〃2

當(dāng)"=1時(shí),切=1也適合上式所以a〃=3〃2

設(shè)等比數(shù)列｛為的公比為q,則q>0,

由加/勿=12彳導(dǎo)bit.q+q2)=12,

因?yàn)榧?2,所以個(gè)+q-6=0,解得q=2或q=-3(舍去)，

n

所以bn=2.

n

故數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式為a〃=3〃-2,數(shù)列｛d｝的通項(xiàng)公式為bn=2.

(2)設(shè)數(shù)列｛的Mi｝的前"項(xiàng)和為勿，由物=6"-2,生》1與得知Ma=(3"-l)x4",

23

故Tn=2x4+5x4+8x4+…+(3〃-l)x4",

45=2x42+5x43+8x44+...+(3n-4)乂4"+(3〃-1)'4"",

23n

兩式相減彳導(dǎo)-3Tn=2x4+3x4+3x4+...+3x4-(3n-l)x4"“=^^Y-(3"-l)*4"+1=-(3"-2)'4。4-8,

所以*4*',0+8.

故數(shù)列｛的第"的前〃項(xiàng)和為空等2坦.

03立體幾何的答題模板構(gòu)建

模型（一）利用空間向量求二面角

AC

【案例1]（2019年全國(guó)/卷，理T18）如圖，直四棱柱438-481G。!的底面是菱

形,44=4/8=2/射。=60°,￡例2分別是3。5員,4。的中點(diǎn).

（1）證明:/V〃Vll平面CiDE.

（2）求二面角4/VMiW的正弦值.

【審題流程】（1）連接MEBC-MEW&U且例5專員。-四邊形用M左為平行四邊形-A4MI由線

面平行的判定可得例/W平面QDE.

（2）建立以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以萬?的方向?yàn)閤軸正方向，麗的方向?yàn)閥軸正方向，西的方向?yàn)閦軸正方向的空

間直角坐標(biāo)系-求出平面4例2的法向量與平面例44的法向量一由兩法向量所成角的余弦值可得二面角力-

M41-/V的正弦值.

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

第一^

?找條件:由所證結(jié)論

2C出發(fā),尋求題目中能

夠得到平行的條件.

第二步

確定思路:由所給條

件的特征，選擇證明

線面平行的思路方

1D向I..

（1）如圖，連接桃和氏C；M,￡分別是巡和8c的中點(diǎn)，.神國(guó)&U且ME=BUQ第三步

、求出構(gòu)成所求二面角

分）的兩個(gè)平面的法向

又4是4。的中點(diǎn)，.:例曰DN且例:四邊形仞V0F是平行四邊量，通過空間向量夾

角公式求得法向量夾

形，.神Ml〃￡（4分）

又。氏平面CiDE.MIVl平面GO￡.:用Ml平面QDE15分）角的余弦值.

第四步

轉(zhuǎn)化:將平面法向量

(2)由題意得。乩/1。如圖所示，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則

的夾角的余弦值轉(zhuǎn)化

為所求二面角的正弦

42,0,0),4(2,0,4),Ml,V5,2),Ml,0,2),(6分)

值.

.,.初二（0,0,4）,E=（-1,百,-2）,帝=（-1,0,-2）,MN=（0,-V3,0）,（7分）

設(shè)平面24例的法向量為4平面4例2的法向量為徒=(及方,z/(8分)

由仆.9=0,得廣建

=0,5+V3y「2zi=0,

取得后巾&,1,0）,（9分）

由（叫,迎=0,得「百y?=0,

?前=0,^1-^2-222=0,

取M=2得〃2=（2,0,-1）,（1。分）

35，色＞瑞施彎（11分）

.二面角4例4iW的正弦值為手.(12分)

【評(píng)分細(xì)則】

1.第一小問：

(1)連線，由中點(diǎn)特征得到線線平行彳導(dǎo)2分.

(2油平行四邊形，再得線線平行得2分.

(3)由線面平行的判定定理,證得線面平行，再得1分.

2.第二小問：

(1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，并正確書寫出點(diǎn)的坐標(biāo)彳導(dǎo)1分.

(2)寫出運(yùn)算所涉及的直線的方向向量彳導(dǎo)1分.

(3)設(shè)出兩個(gè)平面的法向量彳導(dǎo)1分.

(4)正確求得兩個(gè)平面的法向量狷2分.

(5)利用夾角公式求得法向量夾角的余弦值得1分.

(6)把平面法向量的夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為所求二面角的正弦值彳導(dǎo)1分.

【學(xué)習(xí)筆記】

模型（二）立體幾何中的折疊問題

【案例2]（2019年全國(guó)原，理T19）圖1是由矩形ADEB、Rt”歌和菱形外GU組成的一個(gè)平面圖形,

其中尸=2/陶7=60°將其沿/氏8二折起使得BE與防重合漣接OG如圖2.

（1）證明:圖2中的4CG。四點(diǎn)共面,且平面力8口平面BCGE.

（2）求圖2中的二面角B-CG-A的大小.

【審題流程】（1）由題意知AD\\BE.CGW比從而AD\\CG-4CG。四點(diǎn)共面一由題意知

AB1.BE.ABl.8C從而力8，平面8CG*平面48cl平面BCGE.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系-求出平面8UG的法向量和平面ZUG的法向量■利用夾角公式求得兩法向量夾

角的余弦值?求得二面角大小.

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

?（1）由已知得/Oll8￡UGll8￡Q分）

.'.ADWCG.CG確定一個(gè)平面，第一步

故4CG。四點(diǎn)共面.（2分）注意折疊前后的圖形的變

由已知得血BE.AB1.8c（3分）化特征抓住"折疊不變

平面灰7G￡（4分）量”中的平行關(guān)系，證明

:N8u平面/8C：平面平面BCGE.6分）四點(diǎn)共面.

（2）作垂足為〃第二步

平面3CG6平面8CG￡_L平面ABC,（Jo分）進(jìn)一步尋求面面垂直的判

平面Z8C（7分）定條件，也是抓住"折疊

由已知得菱形8CGE的邊長(zhǎng)為2zEBC=6G°,不變量”中的垂直關(guān)系，

J.BHAEHM.型分）證得結(jié)論.

第三步

根睡意，建立合適的空

間直角坐標(biāo)系.

第四步

求得構(gòu)成二面角的兩平面

的法向量的夾角的余弦

以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，配的方向?yàn)?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系H-

值,進(jìn)而求得二面角的大

小.

xyz,

貝UA-l,l,0),Cl,0,0),G[2,0,V3),

.-.CG=(l,0,V3),AC=(2,-1,0).(9分)

設(shè)平面ZUG的法向量為"NX/力

幅;二:得鼠呼I。'取聲得〃=(36煙(1。分)

?.平面8UG的一個(gè)法向量為zn^(0,1,0),

n-mx/3--八、

?.3<〃，6>=麗=5，(z11分)

二面角B-CG-A的大小為30°.(12分)

【評(píng)分細(xì)則】

1.第一小問：

(1)由平行關(guān)系,證明四點(diǎn)共面，得2分.

⑵由線面垂直，證得面面垂直彳導(dǎo)3分.

2.第二小問：

Q)尋求空間直角坐標(biāo)系的建立條件彳導(dǎo)3分.

(2)建立合適坐標(biāo)系，并正確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及運(yùn)算所涉及的直線的方向向量得1分

(3)正確求得平面的法向量彳導(dǎo)1分.

(4)利用夾角公式求得法向量夾角的余弦值彳導(dǎo)1分.

(5)根據(jù)平面法向量的夾角的余弦值求得二面角的大小彳導(dǎo)1分.

【學(xué)習(xí)筆記】.

模板

訓(xùn)練

1.

（2019重慶市質(zhì)檢）如圖，在四棱推夕乂8。中，底面為菱形，頂點(diǎn)戶在底面48。的投影恰好是菱形

48。對(duì)角線的交點(diǎn)。且N/3C=120°,A4干片/8=2,麗=/!就，其中Ov/lvL

Q）當(dāng)/!=；時(shí)，求證：力。，戶根

（2）當(dāng)戶例與平面外。所成角的正弦值為學(xué)時(shí)，求二面角例-%的余弦值.

?（1）：頂點(diǎn)戶在底面ABCD的投影是點(diǎn)O,

./。_1_平面ABCD..-.PO1.BC.

:NZ3C=120°/8=2,而=：前，連接OM,

.■.BO=l,CO=yf3,BC=2,BM=^,

嚅=器，則ACOB-AOMB,.-.OM±BC.

.OMIBC,PO±8c?-8UL平面POM.

?0Wu平面POM..-.BC±PM.

.在菱形中/。118c

?.ADIPM.

⑵以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，無的方向?yàn)閤軸正方向，話的方向?yàn)閥軸正方向，聲的方向?yàn)閦軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系，則A[-73,0,0),B(011,0),qV3,0,0),D[0,-1,0).

PA=A/6,.'.PO=43,.,./^0,0,5/3).

??麗=ABC,.641-AO),二麗二(V5/U-A-y/3),PA=(-V3,0,-V3),PD=(0,-1,-73),

設(shè)平面小。的法向量為m=(%Nz),由｛:,篇二:取z=L得功

由0用與平面外。所成角的正弦值為手喈=/tos近而＞/=|言篇悔得《

設(shè)平面外"的法向量為柩=(m,〃，⑼，由「2.竺=”取p=L得柩=(-1,3百,1).

{n2,PM-0,

二面角例勿。的余弦值為1;^臉卜嚕.

舊1卜惟2口145

2.

(2019湖北省摸底)如圖，在四棱錐戶乂8。中，底面48。為矩形,也，平面ABCRE為梭心的中

氤PB=2,PD=1/BPC=A5°.

(1)證明/Cl平面ADE.

(2)求二面角R/G。的余弦值.

解析*

(1)取叱的中點(diǎn)￡連接￡療。則EFW%即EFWAD.

由題意知戶。J?平面A8C0P比平面在DC所以平面0DUL平面ABCD.

因?yàn)榈酌?8。為矩形，

所以4O_L平面戶。C所以AD1.PC.

在《&戶《8中,戶3=2/5叱=45°,則CP^y/2,

可得八。＞戶為等腰直角三角形.

又尸為如的中點(diǎn)，

所以。4叱

因?yàn)镈PC\AD=D,

所以。d平面

即戶UL平面//?￡

(2)以。為原點(diǎn)04,AC。。所在直線分別為孫z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-師;則

4企,0,0),的1,0),5(72,1,0),^0,0,1).

所以定=(0,1,-1),PA=(V2,0,-l),PF耳麗=(冬%。

設(shè)平面以F的法向量為"=(%%力

(n-^A=V2x-z=0,

則I,夜_u11n

[n-PE=yx+-y--z=0,

令x=l,則片0*=短得n=(l,0,V2).

因?yàn)镻d平面ADE,

所以無為平面力?！甑囊粋€(gè)法向量，

所以cos/?,〃>=瑞

由圖可知二面角夕乂公。為銳角，

故二面角P-ZG。的余弦值為爭(zhēng)

如圖，在四棱推P/5C。中，底面23。是菱形，且以=/。=2/〃1。=/加。=120°,￡尸分別為戶。8。的中點(diǎn),

且EF專.

⑴求證:平面外。?1平面ABCD.

(2)求銳二面角GZC-。的余弦值.

?Q)過點(diǎn)戶作"。3_力。垂足為。，連接BO,

由/外。=120：得/雨860°,

由題意可得20=1,

:N3/W=120°,.2加。=60°,

.\BO=PO=V3.

分別是也8。的中點(diǎn)寧考“尸是△尸8。的中位線

.-.PB=2EF=2^=y[6,

..p曰=pa+BO,..POlBO.

./m8O=Q.:PO_L平面ABCD.

又0％平面外。.?.平面以。_1_平面ABCD.

⑵以。為原點(diǎn)08所在直線為x軸所在直線為y軸Q"所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則40,1,0),川0,0,圾,36,0,0),ao,3,0),

?a。,評(píng))5第。)萬=(。,譯)萬=(累,。).

易知平面的一個(gè)法向量為6=(0,0,1),

l^

荏--z

n-20,

設(shè)平面4上的法向量為aNx,力則而2y&1取x=L得"=(LV5,1).

n---y

22o,

，銳二面角￡/匚。的余弦值為*os<祖，〃>/喘自咯

4.

如圖，在四棱推P/8C。中，底面2灰7。是平行四邊形平面ABCD,PD=AD=BD=2,AB=2也E是棱PC±_

的一點(diǎn).

⑴若小II平面8國(guó)正明:哈EC

(2)在(1)的條件下，棱0B上是否存在點(diǎn)例使直線?！ㄅc平面&?￡所成角的大小為30°?若存在，求PM-.例3的

值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

?(1)連接ZU交8。于￡連接歷則比是平面外C與平面80F的交線.

因?yàn)椋I平面8O￡01u平面0K所以￡411EF.

又因?yàn)槭?U的中點(diǎn)，所以E是%的中點(diǎn)，所以PE=EC.

(2)由已知條件可知A〉+80=/#,所以ADrBD.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)所在直線為*軸所在直線為y軸,。。所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則

以0,0,0),4200),5(0,2,0),做0,2),。-2,2,0),fi-l,l,l),DF=(-l,l,l),DB=(0,2,0).

假設(shè)在棱月?上存在點(diǎn)=APB[O<A<1],

貝UMO,242-24麗=(0,242-2/1).

記平面30E■的法向量為"=("%力

則卜匹=0,

(n-DB=0,

即j+z=°'取Z=L得〃=(1。1).

要使直線。例與平面&方所成角的大小為30°,

麗閭

?=sin30",

Wl-lnl

|lx0+0x2/+lx(2-2孫

即乏,解得力專日0,1].

J12+O2+12-JO2+(2A)2+(2-2A)2

所以在棱外上存在點(diǎn)例使直線。例與平面8Z在所成角的大小為30°.

此時(shí)PM-MB=l:1.

專練

04概率與統(tǒng)計(jì)的答題模板構(gòu)建

模板

構(gòu)建

模型（一）隨機(jī)事件之間概率公式的應(yīng)用

【案例1]（2019年全國(guó)〃卷，理T18）ll分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球

交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為

05乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該

局比賽結(jié)束.

Q）求HX=2）;

（2）求事件"X=4且甲獲勝"的概率.

【審題流程】（1）分析氏*=2）所包含的事件■找出事件之間的關(guān)系-計(jì)算出每種事件的概率-利用概率的

公式求和.

⑵推導(dǎo)事件"X=4且甲獲勝"所包含的事件一找出事件之間的關(guān)系-計(jì)算出相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概

率-利用互斥事件的概率加法公式求和.

規(guī)范解題過程構(gòu)建答題模板

第一步

分解事件，分析事件H*=2）所包含的事件，確定轉(zhuǎn)化方向.

第二步

?（1）由題意可知,HX=2）所包

分步求值，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率乘法公式，求得甲連

含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩

贏兩球和乙連贏兩球的概率.

球”.（3分）

第三步

所以僅丫=2）=0.5x0.4+0.5x0.6=05（6

分類求和，根據(jù)互斥事件的概率加法公式彳導(dǎo)出結(jié)果.

分）

第四步

（2）由題意可知，氏X=4）包含的事件為"前

分解事件，分析事件"X=4且甲獲勝”