2021年高二數學下學期6月月考試卷(含解析)

2021年高二數學下學期6月月考試卷（含解析）一、選擇題（每小題5分，共50分）1．復數滿足z（1+i）=2i，則復數Z的實部與虛部之差為（） A．﹣2 B．2 C．1 D．02．設（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是變量x和y的n次方個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結論正確的是（） A．直線l過點 B．x和y的相關系數為直線l的斜率 C．x和y的相關系數在0到1之間 D．當n為偶數時，分布在l兩側的樣本點的個數一定相同3．命題“若a2+b2=0，則a=0且b=0”的逆否命題是（） A．若a2+b2≠0，則a≠0且b≠0 B．若a2+b2≠0，則a≠0或b≠0 C．若a=0且b=0，則a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，則a2+b2≠04．已知6件產品中有2件次品，今從中任取2件，在已知其中一件是次品的前提下，另一件也是次品的概率為（） A． B． C． D．5．已知離散型隨機變量X的分布列為X 1 2 3P 則X的數學期望E（X）=（） A． B．2 C． D．36．設，則f（n+1）﹣f（n）=（） A． B． C． D．7．為了解疾病A是否與性別有關，在一醫(yī)院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表： 患疾病A 不患疾病A 合計男 20 5 25女 10 15 25合計 30 20 50 請計算出統(tǒng)計量Χ2，你有多大的把握認為疾病A與性別有關下面的臨界值表供參考（）P（Χ2≥k） 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．95% B．99% C．99.5% D．99.9%8．設函數f（x）的定義域為R，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，以下結論一定正確的是（） A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的極小值點 C．﹣x0是﹣f（x）的極小值點 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點9．已知函數f（x）在R上滿足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是（） A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+310．已知函數則“a≤﹣2”是“f（x）在R上單調遞減”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題（每小題5分，共25分）11．若=a+bi（i為虛數單位，a，b∈R），則a+b=．12．設=a，則二項式的展開式中的常數項為．13．函數y=ax﹣lnx在定義域上單調遞減，則a∈．14．根據下面一組等式：S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175…可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=．15．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），記φ（x）=p（ξ＜x），給出下列結論：①φ（0）=0.5；②φ（x）=1﹣φ（﹣x）；③p（|ξ|＜2）=2φ（2）﹣1．則正確結論的序號是．三、解答題（共75分）16．證明：1，，2不能為同一等差數列的三項．17．某公司是否對某一項目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們三人都有“同意”、“中立”、“反對”三類票各一張，投票時，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響，規(guī)定：若投票結果中至少有兩張“同意”票，則決定對該項目投資；否則，放棄對該項目的投資．（1）求該公司決定對該項目投資的概率；（2）求該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票的概率．18．甲、乙兩人玩猜數字游戲，規(guī)則如下：①連續(xù)競猜3次，每次相互獨立；②每次竟猜時，先由甲寫出一個數字，記為a，再由乙猜甲寫的數字，記為b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a﹣b|≤1，則本次競猜成功；③在3次競猜中，至少有2次競猜成功，則兩人獲獎．（Ⅰ）求甲乙兩人玩此游戲獲獎的概率；（Ⅱ）現從6人組成的代表隊中選4人參加此游戲，這6人中有且僅有2對雙胞胎記選出的4人中含有雙胞胎的對數為X，求X的分布列和期望．19．某產品按行業(yè)生產標準分成6個等級，等級系數ξ依次為1，2，3，4，5，6，按行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥5的為一等品，3≤ξ＜5的為二等品，ξ＜3的為三等品．若某工廠生產的產品均符合行業(yè)標準，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下；（I）以此30件產品的樣本來估計該廠產品的總體情況，試分別求出該廠生產原一等品、二等品和三等品的概率；（II）已知該廠生產一件產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ζ的關系式為，若從該廠大量產品中任取兩件，其利潤記為Z，求Z的分布列和數學期望．20．已知函數f（x）=﹣alnx++x（a≠0）（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）））處的切線與直線x﹣2y=0垂直，求實數a的值；（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；（Ⅲ）當a∈（﹣∞，0）時，記函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤﹣e﹣4．21．設函數f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a為實數．（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論．

xx學年山東省德州市躍華學校高二（下）6月月考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共50分）1．復數滿足z（1+i）=2i，則復數Z的實部與虛部之差為（） A．﹣2 B．2 C．1 D．0考點： 復數代數形式的乘除運算．專題： 計算題．分析： 由z（1+i）=2i，知z=，再由復數的代數形式的乘除運算得到z=1+i．由此能求出復數z的實部與虛部之差．解答： 解：∵z（1+i）=2i，∴z===i（1﹣i）=i﹣i2=1+i．∴復數Z的實部與虛部之差=1﹣1=0．故選D．點評： 本題考查復數的代數形式的乘除運算，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．2．設（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是變量x和y的n次方個樣本點，直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線（如圖），以下結論正確的是（） A．直線l過點 B．x和y的相關系數為直線l的斜率 C．x和y的相關系數在0到1之間 D．當n為偶數時，分布在l兩側的樣本點的個數一定相同考點： 線性回歸方程．專題： 壓軸題；閱讀型．分析： 回歸直線一定過這組數據的樣本中心點，兩個變量的相關系數不是直線的斜率，兩個變量的相關系數的絕對值是小于1的，是在﹣1與1之間，所有的樣本點集中在回歸直線附近，沒有特殊的限制．解答： 解：回歸直線一定過這組數據的樣本中心點，故A正確，兩個變量的相關系數不是直線的斜率，而是需要用公式做出，故B不正確，直線斜率為負，相關系數應在（﹣1，0）之間，故C不正確，所有的樣本點集中在回歸直線附近，不一定兩側一樣多，故D不正確，故選A．點評： 本題考查線性回歸方程，考查樣本中心點的性質，考查相關系數的做法，考查樣本點的分布特點，是一個基礎題．3．命題“若a2+b2=0，則a=0且b=0”的逆否命題是（） A．若a2+b2≠0，則a≠0且b≠0 B．若a2+b2≠0，則a≠0或b≠0 C．若a=0且b=0，則a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，則a2+b2≠0考點： 四種命題．專題： 常規(guī)題型．分析： 若原命題是“若p，則q”，則逆否命題是“若非q，則非p”也就是將命題的條件與結論都否定，再進行互換．由此分別將“a2+b2=0”、“a=0且b=0”否定，得到否命題，再將其改成逆命題，就不難得出正確答案．解答： 解：∵原命題是若a2+b2=0，則“a=0且b=0”∴否命題是“若a2+b2≠0，則a≠0或b≠0”從而得到逆否命題是“若a≠0或b≠0，則a2+b2≠0”故選D點評： 本題考查了原命題與逆否命題之間的關系，屬于基礎題．解題時應該注意含有邏輯詞的條件的否定：“p且q”的否定是“非p或非q”．4．已知6件產品中有2件次品，今從中任取2件，在已知其中一件是次品的前提下，另一件也是次品的概率為（） A． B． C． D．考點： 條件概率與獨立事件．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 從中任取2件，在已知其中一件是次品的前提下，另一件也是次品，就是任取的兩件都是次品．解答： 解：6件產品中有2件次品，今從中任取2件，在已知其中一件是次品的前提下，另一件也是次品就是兩件都是次品，所求概率為：==．故選：A．點評： 本題主要考查了條件概率的求法，解答此題的關鍵是概率的轉化，屬于中檔題．5．已知離散型隨機變量X的分布列為X 1 2 3P 則X的數學期望E（X）=（） A． B．2 C． D．3考點： 離散型隨機變量的期望與方差．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 利用數學期望的計算公式即可得出．解答： 解：由數學期望的計算公式即可得出：E（X）==．故選A．點評： 熟練掌握數學期望的計算公式是解題的關鍵．6．設，則f（n+1）﹣f（n）=（） A． B． C． D．考點： 函數的表示方法．專題： 計算題；函數的性質及應用．分析： 根據題中所給式子，求出f（n+1）和f（n），再兩者相減，即得到f（n+1）﹣f（n）的結果．解答： 解：根據題中所給式子，得f（n+1）﹣f（n）=﹣（）=﹣=故選C．點評： 本題考查函數的表示方法，明確從n到n+1項數的變化是關鍵，屬于基礎題．7．為了解疾病A是否與性別有關，在一醫(yī)院隨機的對入院50人進行了問卷調查得到了如下的列聯表： 患疾病A 不患疾病A 合計男 20 5 25女 10 15 25合計 30 20 50 請計算出統(tǒng)計量Χ2，你有多大的把握認為疾病A與性別有關下面的臨界值表供參考（）P（Χ2≥k） 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 A．95% B．99% C．99.5% D．99.9%考點： 獨立性檢驗的應用．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： 根據所給的列聯表得到求觀測值所用的數據，把數據代入觀測值公式中，做出觀測值，同所給的臨界值表進行比較，得到所求的值所處的位置，得到百分數．解答： 解：根據所給的列聯表，得到k2==8.333＞7.879，臨界值表：P（Χ2≥k） 0.05 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828∴至少有99.5%的把握說明疾病A與性別有關．故選C．點評： 本題考查獨立性檢驗的應用，考查根據列聯表做出觀測值，根據所給的臨界值表進行比較，本題是一個基礎題．8．設函數f（x）的定義域為R，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，以下結論一定正確的是（） A．?x∈R，f（x）≤f（x0） B．﹣x0是f（﹣x）的極小值點 C．﹣x0是﹣f（x）的極小值點 D．﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點考點： 函數在某點取得極值的條件；函數的圖象與圖象變化．專題： 壓軸題；函數的性質及應用．分析： A項，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，不一定是最大值點，故不正確；B項，f（﹣x）是把f（x）的圖象關于y軸對稱，因此，﹣x0是f（﹣x）的極大值點；C項，﹣f（x）是把f（x）的圖象關于x軸對稱，因此，x0是﹣f（x）的極小值點；D項，﹣f（﹣x）是把f（x）的圖象分別關于x軸、y軸做對稱，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點．解答： 解：對于A項，x0（x0≠0）是f（x）的極大值點，不一定是最大值點，因此不能滿足在整個定義域上值最大，故A錯誤；對于B項，f（﹣x）是把f（x）的圖象關于y軸對稱，因此，﹣x0是f（﹣x）的極大值點，故B錯誤；對于C項，﹣f（x）是把f（x）的圖象關于x軸對稱，因此，x0是﹣f（x）的極小值點，故C錯誤；對于D項，﹣f（﹣x）是把f（x）的圖象分別關于x軸、y軸做對稱，因此﹣x0是﹣f（﹣x）的極小值點，故D正確．故選：D．點評： 本題考查函數的極值，考查函數圖象的對稱性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．9．已知函數f（x）在R上滿足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是（） A．y=2x﹣1 B．y=x C．y=3x﹣2 D．y=﹣2x+3考點： 利用導數研究曲線上某點切線方程．專題： 計算題．分析： 由f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，可求f（1）=1，對函數求導可得，f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8從而可求f′（1）=2即曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2，進而可求切線方程．解答： 解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（1）=2f（1）﹣1∴f（1）=1∵f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8∴f′（1）=﹣2f′（1）+6∴f′（1）=2根據導數的幾何意義可得，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率k=f′（1）=2∴過（1，1）的切線方程為：y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1故選A．點評： 本題主要考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，解題的關鍵是要由已知先要求出函數的導數，進而可求k=f′（1），從而可求切線方程．10．已知函數則“a≤﹣2”是“f（x）在R上單調遞減”的（） A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 計算題．分析： 利用分段函數a的范圍判斷函數的單調性，利用函數的單調性求出a的范圍，然后利用充要條件判斷方法判斷即可．解答： 解：函數，當“a≤﹣2”時f（x）=x2+ax，x≤1是減函數，f（x）=ax2+x也是減函數，所以函數是單調減函數；函數是減函數，則函數的對稱軸滿足：?a≤2．所以函數則“a≤﹣2”是“f（x）在R上單調遞減”的充要條件．故選C．點評： 本題考查函數的單調性與函數的對稱軸的應用，充要條件的判斷．二、填空題（每小題5分，共25分）11．若=a+bi（i為虛數單位，a，b∈R），則a+b=2．考點： 復數代數形式的乘除運算；復數相等的充要條件．專題： 計算題．分析： 把所給的等式左邊的式子，分子和分母同乘以分母的共軛復數，變形為復數的標準代數形式，根據兩個復數相等的充要條件，得到a和b的值，得到結果．解答： 解：∵===1+i，∵=a+bi∴a+bi=1+i∴a=b=1∴a+b=2．故答案為：2點評： 本題考查復數的乘除運算，考查復數相等的充要條件，復數的加減乘除運算是比較簡單的問題，在高考時有時會出現，若出現則是要我們一定要得分的題目．12．設=a，則二項式的展開式中的常數項為24．考點： 二項式系數的性質；定積分．專題： 計算題．分析： 求定積分求得a的值，求得二項式的展開式的通項公式，再在展開式的通項公式中，令x的冪指數等于0，求得r的值，即可求得展開式中的常數項．解答： 解：∵a==（x2﹣x）=2，則二項式=，故它的展開式的通項公式為Tr+1=?x4﹣r?2r?x﹣r=?x4﹣2r，令4﹣2r=0，可得r=2，故展開式的常數項為=24，故答案為24．點評： 本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．13．函數y=ax﹣lnx在定義域上單調遞減，則a∈（﹣∞，0]．考點： 利用導數研究函數的單調性．專題： 導數的概念及應用．分析： 先求出函數的導數，問題轉化為a＜（）min在（0，+∞）恒成立，從而求出a的范圍．解答： 解：y′=a﹣=，（x＞0），若函數y=ax﹣lnx在定義域上單調遞減，則ax﹣1＜0在（0，+∞）恒成立，即a＜（）min在（0，+∞）恒成立，∴a≤0，故答案為：（﹣∞，0]．點評： 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用，函數恒成立問題，是一道基礎題．14．根據下面一組等式：S1=1S2=2+3=5S3=4+5+6=15S4=7+8+9+10=34S5=11+12+13+14+15=65S6=16+17+18+19+20+21=111S7=22+23+24+25+26+27+28=175…可得S1+S3+S5+…+S2n﹣1=n4．考點： 歸納推理．專題： 規(guī)律型．分析： 利用等差數列的通項公式與求和公式，可得Sn=（n3+n），再以2n﹣1代替n，得S2n﹣1=4n3﹣6n2+4n﹣1，結合和的特點可以求解．解答： 解：由題中數陣的排列特征，設第i行的第1個數記為ai（i=1，2，3…n）則a2﹣a1=1a3﹣a2=2a4﹣a3=3…an﹣an﹣1=n﹣1以上n﹣1個式子相加可得，an﹣a1=1+2+…+（n﹣1）=×（n﹣1）=∴an=+1Sn共有n連續(xù)正整數相加，并且最小加數為+1，最大加數∴Sn=n?×+×（﹣1）=（n3+n）∴S2n﹣1=[（2n﹣1）3+（2n﹣1）]=4n3﹣6n2+4n﹣1∴S1=1S1+S3=16=24S1+S3+S5=81=34∴S1+S3+…+S2n﹣1=1+15+65+…+4n3﹣6n2+4n﹣1=n4．故答案：n4點評： 本題以一個三角形數陣為載體，考查了等差數列的通項與求和公式、簡單的合情推理等知識，屬于中檔題．15．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），記φ（x）=p（ξ＜x），給出下列結論：①φ（0）=0.5；②φ（x）=1﹣φ（﹣x）；③p（|ξ|＜2）=2φ（2）﹣1．則正確結論的序號是①②③．考點： 正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．專題： 計算題．分析： 根據隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），曲線關于ξ=0對稱，根據φ（x）=p（ξ＜x），把所給的三個結論變化整理，根據概率和正態(tài)曲線的性質，得到結果．解答： 解：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（0，1），曲線關于ξ=0對稱，記φ（x）=p（ξ＜x），給出下列結論：①φ（0）=P（ξ＜0）=0.5；故①正確，②φ（x）=P（ξ＜x），1﹣φ（﹣x）=1﹣p（ξ＜﹣x）=1﹣1+p（ξ＜x）=p（ξ＜x），故②正確，③p（|ξ|＜2）=P（﹣2＜ξ＜2）=2P（ξ＜2）﹣1，2φ（2）﹣1=2P（ξ＜2）﹣1，故③正確故答案為：①②③點評： 本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個簡單的計算題，在解題過程中主要應用，概率的性質和正態(tài)曲線的特點，是一個送分題目．三、解答題（共75分）16．證明：1，，2不能為同一等差數列的三項．考點： 反證法；等差關系的確定．專題： 推理和證明．分析： 根據等差數列的定義，利用反證法進行證明．解答： 證明：假設1，，2為同一等差數列的三項．則有等差數列的定義知1×2=（）2=3，則2=3不成立，則假設不成立，即原命題成立，即1，，2不能為同一等差數列的三項．點評： 本題主要考查反證法的應用，結合等差數列的定義和性質是解決本題的關鍵．17．某公司是否對某一項目投資，由甲、乙、丙三位決策人投票決定，他們三人都有“同意”、“中立”、“反對”三類票各一張，投票時，每人必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，他們的投票相互沒有影響，規(guī)定：若投票結果中至少有兩張“同意”票，則決定對該項目投資；否則，放棄對該項目的投資．（1）求該公司決定對該項目投資的概率；（2）求該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票的概率．考點： 古典概型及其概率計算公式；相互獨立事件的概率乘法公式．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （1）利用n次獨立重復試驗中事件A恰有k次發(fā)生的概率計算公式能求出該公司決定對該項目投資的概率．（2）該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票，有四種情形，分類進行討論能求出結果．解答： 解：（1）該公司決定對該項目投資的概率為P=（）2（）+=．（2）該公司放棄對該項目投資且投票結果中最多有一張“中立”票，有以下四種情形： “同意”票張數 “中立”票張數 “反對”票張數事件A 0 0 3事件B 1 0 2事件C 1 1 1事件D 0 1 2P（A）=（）3=，P（B）==，P（C）==，P（D）=，∵A、B、C、D互斥，∴P（A+B+C+D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）=．點評： 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意n次獨立重復試驗中事件A恰有k次發(fā)生的概率計算公式的靈活運用．18．甲、乙兩人玩猜數字游戲，規(guī)則如下：①連續(xù)競猜3次，每次相互獨立；②每次竟猜時，先由甲寫出一個數字，記為a，再由乙猜甲寫的數字，記為b，已知a，b∈{0，1，2，3，4，5}，若|a﹣b|≤1，則本次競猜成功；③在3次競猜中，至少有2次競猜成功，則兩人獲獎．（Ⅰ）求甲乙兩人玩此游戲獲獎的概率；（Ⅱ）現從6人組成的代表隊中選4人參加此游戲，這6人中有且僅有2對雙胞胎記選出的4人中含有雙胞胎的對數為X，求X的分布列和期望．考點： 離散型隨機變量的期望與方差；等可能事件的概率．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （I）由題意基本事件的總數為個，記事件A為“甲乙兩人一次競猜成功”，分|a﹣b|=0和|a﹣b|=1．利用古典概型的概率計算公式即可得出P（A）=．設隨機變量ξ表示在3次競猜中競猜成功的次數，則ξ～B．則甲乙兩人獲獎的概率P（ξ≥2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）．（II）由題意可知：從6人中選取4人共有種選法，雙胞胎的對數X的取值為0，1，2．X=0，表示的是分別從2對雙胞胎中各自選取一個，再把不是雙胞胎的2人都取來；X=1，表示的是從2對雙胞胎中選取一對，另外2人的選取由兩種方法，一種是把不是雙胞胎的2人都選來，另一種是從另一雙胞胎中選一個，從不是雙胞胎的2人中選一個；X=2，表示的是把2對雙胞胎2人都選來．據此即可得出X的分布列和EX．解答： 解：（I）由題意基本事件的總數為個，記事件A為“甲乙兩人一次競猜成功”，若|a﹣b|=0，則共有6種競猜成功；若|a﹣b|=1，a=1，2，3，4時，b分別有2個值，而a=0或5時，b只有一種取值．利用古典概型的概率計算公式即可得出P（A）=．設隨機變量ξ表示在3次競猜中競猜成功的次數，則甲乙兩人獲獎的概率P（ξ≥2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）=1﹣﹣=．（II）由題意可知：從6人中選取4人共有種選法，雙胞胎的對數X的取值為0，1，2．則P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==．隨機變量X的分布列為期望為E（X）=．點評： 正確分類和熟練掌握古典概型的概率計算公式、二項分布、隨機變量的分布列和數學期望是解題的關鍵．19．某產品按行業(yè)生產標準分成6個等級，等級系數ξ依次為1，2，3，4，5，6，按行業(yè)規(guī)定產品的等級系數ξ≥5的為一等品，3≤ξ＜5的為二等品，ξ＜3的為三等品．若某工廠生產的產品均符合行業(yè)標準，從該廠生產的產品中隨機抽取30件，相應的等級系數組成一個樣本，數據如下；（I）以此30件產品的樣本來估計該廠產品的總體情況，試分別求出該廠生產原一等品、二等品和三等品的概率；（II）已知該廠生產一件產品的利潤y（單位：元）與產品的等級系數ζ的關系式為，若從該廠大量產品中任取兩件，其利潤記為Z，求Z的分布列和數學期望．考點： 離散型隨機變量的期望與方差；古典概型及其概率計算公式．專題： 概率與統(tǒng)計．分析： （I）由樣本數據，結合行業(yè)規(guī)定，確定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即可估計該廠生產的產品的一等品率、二等品率和三等品率；（II）確定Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8．用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得Z的分布列，從而可求數學期望．解答： 解：（I）由樣本數據知，30件產品中等級系數ξ≥7有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴樣本中一等品的頻率為=0.2，故估計該廠生產的產品的一等品率為0.2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）二等品的頻率為=0.3，故估計該廠生產的產品的二等品率為0.3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）三等品的頻率為=0.5，故估計該廠生產的產品的三等品的頻率為0.5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（II）∵Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8．用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得P（Z=2）=0.5×0.5=，P（Z=3）=2×=，P（Z=4）=×=，P（Z=5）=2××=，P（Z=6）=2××=，P（Z=8）==，∴可得X的分布列如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）其數學期望EX=3.8（元）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）點評： 本題考查統(tǒng)計知識，考查離散型隨機變量的分布列與期望，解題時利用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率．20．已知函數f（x）=﹣alnx++x（a≠0）（I）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）））處的切線與直線x﹣2y=0垂直，求實數a的值；（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；（Ⅲ）當a∈（﹣∞，0）時，記函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤﹣e﹣4．考點： 微積分基本定理；利用導數研究函數的單調性．專題： 綜合題；導數的綜合應用．分析： （I）先求f（x）的定義域為{x|x＞0}，先對已知函數進行求導，由f′（1）=﹣2可求a（II）由=，通過比較﹣a與2a的大小解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，從而可求函數的單調區(qū)間（III）由（II）可知，當a∈（﹣∞，0）時，函數f（x）的最小值f（﹣a），結合已知可求a，然后結合已知單調性可求，從而可證解答： 解：（I）由已知可知f（x）的定義域為{x|x＞0}（x＞0）根據題意可得，f′（1）=2×（﹣1）=﹣2∴﹣a﹣2a2+1=﹣2∴a=1或a=﹣（II）∵=①a＞0時，由f′（x）＞0可得x＞2a由f′（x）＜0可得0＜x＜2a∴f（x）在（2a，+∞）上單調遞增，在（0，2a）上單調遞減②當a＜0時，由f′（x）＞0可得x＞﹣a由f′（x）＜0可得0＜x＜﹣a∴f（x）在（﹣a，+∞）上單調遞增，在（0，﹣a）上單調遞減（III）由（II）可知，當a∈（﹣∞，0）時，函數f（x）的最小值f（﹣a）故g（a）=f（﹣a）=﹣aln（﹣a）﹣3a則g′（a）=﹣ln（﹣a）﹣4令g′（a）=0可得﹣ln（﹣a）﹣4=0∴a=﹣e﹣4當a變化時，g’（a），g（a）的變化情況如下表∴a=﹣e﹣4是g（a）在（﹣∞，0）上的唯一的極大值，從而是g（a）的最大值點當a＜0時，=﹣e﹣4∴a＜0時，g（a）≤﹣e﹣4．點評： 本題主要考查了導數的幾何意義的應用，函數的導數與函數的單調性的應用，及函數的極值與最值的求解的相互關系的應用，屬于函數知識的綜合應用．21．設函數f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a為實數．（1）若f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范圍；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是單調增函數，試求f（x）的零點個數，并證明你的結論．考點： 利用導數研究函數的單調性；根的存在性及根的個數判斷．專題： 導數的綜合應用．分析： （1）求導數，利用f（x）在（1，+∞）上是單調減函數，轉化為﹣a≤0在（1，+∞）上恒成立，利用g（x）在（1，+∞）上有最小值，結合導數知識，即可求得結論；（2）先確定a的范圍，再分類討論，確定f（