二次微分方程的通解

r= r=第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程方程的解法一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程y+py+qy=0稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程,其中p、q均為常數(shù).如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解,那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我們看看,能否適當(dāng)選取r,使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程,為此將y=erx代入方程y+py+qy=0得rrprq=0,函數(shù)y=erx就是微分方程的解.特征方程:方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程.特征方程的兩個根r1、2r可用公式22.學(xué)習(xí)參考..學(xué)習(xí)參考. 求出.特征方程的根與通解的關(guān)系:的解.這是因為,因此方程的通解為分方程的兩個線性無關(guān)的解.這是因為,y1=er1x是方程的解,又因此方程的通解為無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解.函數(shù)y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解.yea+ib)x和y2=e(a一ib)x都是方程的解,而由歐拉公式,得 可以驗證,y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的線性無關(guān)解.因此方程的通解為求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y+py+qy=0的通解的步驟為:第一步寫出微分方程的特征方程第三步根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況,寫出微分方程的通解.例1求微分方程y2y3y=0的通解.解所給微分方程的特征方程為r22r3=0,即(r+1)(r3)=0.其根r1=1,r2=3是兩個不相等的實根,因此所求通解為y=C1ex+C2e3x.例2求方程y+2y+y=0滿足初始條件y|x=0=4、y|x=0=2的特解.解所給方程的特征方程為r2+2r+1=0,即(r+1)2=0..學(xué)習(xí)參考. 其根r1=r2=1是兩個相等的實根因此所給微分方程的通解為y=(C1+C2x)ex.將條件y|x=0=4代入通解得C1=4從而y=(4+C2x)ex.將上式對x求導(dǎo)得ypxC為x=(4+2x)ex.解所給方程的特征方程為r22r+5=0.特征方程的根為r1=1+2ir2=12i是一對共軛復(fù)根因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x).n階常系數(shù)齊次線性微分方程:方程ynpynpyn.+pn1yp+pny=0稱為n階常系數(shù)齊次線性微分方程其中p1p2...pn1pn都是常數(shù).二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推廣到n階常系數(shù)齊次線性微分方程上去.L(D)=Dn+p1Dn1+p2Dn2+...+pn1D+pn 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作分析:令y=erx,則n階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程:特征方程的根與通解中項的對應(yīng):單實根r對應(yīng)于一項:Cerx;x解這里的特征方程為因此所給微分方程的通解為 解這里的特征方程為因此所給微分方程的通解為y=eb2x(Ccosbx+Csinbx)+e一b2x(Ccosbx+Csinbx).12223242性微分方程簡介二階常系數(shù)非齊次線性微分方程:方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時,方程的特解的求法:當(dāng)f(x)=Pm(x)e入x時,可以猜想,方程的特解也應(yīng)具有這種形式.因此,設(shè)特解形式為yQxe入x,將其代入方程,得等式m多項式:.學(xué)習(xí)參考..學(xué)習(xí)參考. 綜上所述，我們有如下結(jié)論:如果f(x)=Pm(x)e入x，則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解，其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式，而k按入不是特征方程的根、是特征方程的單根或 與所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為01.01.把它代入所給方程,得比較兩端x同次冪的系數(shù),得3與所給方程對應(yīng)的齊次方程為它的特征方程為特征方程有兩個實根r1=2,r2=3.于是所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為.學(xué)習(xí)參考. 把它代入所給方程,得比較兩端x同次冪的系數(shù),得2從而所給方程的通解為2從而所給方程的通解為22提示:.學(xué)習(xí)參考..學(xué)習(xí)參考. 應(yīng)用歐拉公式可得l2n2i2ln2ln2ln2lnmmmm綜上所述,我們有如下結(jié)論:的特解可設(shè)為是特征方程的單根依次取0或1. 解所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,xPnx與所給方程對應(yīng)的齊次方程為y+y=0,它的特征方程為yaxbcosxcxdsinx把它代入所給方程,得(3ax3b+4c)cos2x(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.1439.1439.于是求得一個特解為y*=1xcos2x+4sin2x.39提示:yaxbcosxcxd)sin2x.y*=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,=(2cx+a+2d)cos2x+(2ax2b+c)s