2021新高考-數(shù)學(xué)通關(guān)秘籍-專題14-利用函數(shù)同構(gòu)解題

專題14利用函數(shù)同構(gòu)解題【方法點(diǎn)撥】1.一個(gè)方程中出現(xiàn)兩個(gè)變量,適當(dāng)變形后,使得兩邊結(jié)構(gòu)相同;或不等式兩邊式子也可適當(dāng)變形,使其兩邊結(jié)構(gòu)相同,然后構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性把方程或不等式化簡(jiǎn).2.為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時(shí)時(shí)對(duì)指對(duì)式進(jìn)行“改頭換面”，常用的方法有：、、、、、，有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘某式等.3.常見同構(gòu)式:與型：，；與型：，.【典型題示例】例1（2020·新課標(biāo)卷Ⅱ=2\*ROMAN文數(shù)·12）若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將已知按照“左右形式形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量”的目的變形，然后逆用函數(shù)的單調(diào)性.【解析】由移項(xiàng)變形為設(shè)易知是定義在R上的增函數(shù)，故由，可得，所以從而，故選A．例2（2020·山東·21）已知函數(shù)，若，求的取值范圍.【解析】將按照左右結(jié)構(gòu)相同、變量移至一邊的原則進(jìn)行變形：由移項(xiàng)得：即，兩邊同時(shí)加（）得即設(shè)，則，所以單增所以，即設(shè)，則，所以在單減，在單增，所以，所以.點(diǎn)評(píng)：對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)．例3已知函數(shù)，，則t的取值范圍是．【答案】【分析】這里可以發(fā)現(xiàn),將移項(xiàng)變形為，易知是奇函數(shù)，，故進(jìn)一步變形為，此時(shí),得到一個(gè)“左右形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量”的不等式，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，只需研究的單調(diào)性，逆用該函數(shù)的單調(diào)性即可.【解析】∵∴可變形為：∵是奇函數(shù)∴∴令，則∴單增

∴，即，解之得所以t的取值范圍是．例4已知實(shí)數(shù)，滿足，，則______.【分析】由已知條件考慮將兩個(gè)等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令，得到，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出關(guān)系，即可求解.解法一：實(shí)數(shù)，滿足，，，，則，，所以在單調(diào)遞增，而，.解析二：對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：，對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得：（※）為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將（※）進(jìn)一步變形為：設(shè)，則所以在單調(diào)遞增，的解只有一個(gè).∴，∴點(diǎn)評(píng):兩種解法實(shí)質(zhì)相同，其關(guān)鍵是對(duì)已知等式進(jìn)行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同”，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用是同一方程求解.【鞏固訓(xùn)練】1.如果，，則的取值范圍是______________.2.不等式的解集是______________.3.已知，若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為．4.已知實(shí)數(shù)a，b(0，2)，且滿足，則a＋b的值為_______．5.（2020·新課標(biāo)Ⅰ=2\*ROMAN理數(shù)·12）若，則（）A. B. C. D.6.設(shè)方程的根為，設(shè)方程的根為，則=.7.已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是.8.不等式的解集是.9.若滿足方程，滿足方程，則=.

【答案或提示】1.【答案】2.【解析】原不等式可化為：構(gòu)造函數(shù)，則，在上單增所以，解之得所以原不等式解集是.3.【答案】【分析】本題的實(shí)質(zhì)是含參數(shù)（這里當(dāng)然是sin、cos）的不等式恒成立問(wèn)題，應(yīng)抓住已知條件的對(duì)稱結(jié)構(gòu)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性布列不等式.【解析】看到想“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”，將它變形為：，設(shè)，易知當(dāng)時(shí)，，故在單減，所以，解之得：所以的取值范圍．4.【答案】2【分析】將化為：，設(shè)，則在上遞增，由，得a＋b的值.【解析】由，化簡(jiǎn)為：，即，設(shè)，則在上遞增，因?yàn)閍，b(0，2)，所以2-b(0，2)，且，所以，即.5.【答案】B【分析】∵∴設(shè)，利用作差法結(jié)合的單調(diào)性即可得到答案.【解析】∵∴，故設(shè)，則為增函數(shù)，所以，所以.，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，有，所以C、D錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)評(píng):本題需構(gòu)造函數(shù)，其基本策略是：“左右形式相當(dāng)，一邊一個(gè)變量，取左或取右，構(gòu)造函數(shù)妥當(dāng)”，我們稱之為“同構(gòu)函數(shù)”，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性求值.6.【答案】47.【解析】由題意知a3－3a2＋5a－3＝－2，b3－3b2＋5b－3＝2，設(shè)f(x)＝x3－3x2＋5x－3，則f(a)＝－2，f(b)＝2.因?yàn)閒(x)圖象的對(duì)稱中心為(1,0)，所以a＋b＝2.點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱性，對(duì)于三次函數(shù)f(x)y＝ax3＋bx2＋cx＋d其對(duì)稱中心為(x0，f(x0))，其中f″(x0)＝0.8.【分析】直接解顯然是不