【人教數(shù)學(xué)A版選修】《定積分的概念》

1.5.2汽車行駛的路程問題提出1.用極限逼近思想求曲邊梯形面積的基本步驟是什么？，

分割→近似代替→求和→取極限.2.若已知物體的運(yùn)動路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系：s＝f(t)，如何求物體在某時刻t0的瞬時速度？

v＝f′(t0)3.若已知物體的運(yùn)動速度v與時間t的函數(shù)關(guān)系：v＝f(t)，那么f′(t0)的含義是什么？如何求物體在某時段內(nèi)經(jīng)過的路程呢？

f′(t0)表示加速度汽車行駛的路程探究（一）：汽車行駛的路程

思考1：汽車以速度v作勻速直線運(yùn)動，經(jīng)過時間t所行駛的路程為多少？如果汽車作變速直線運(yùn)動，那么在相同時間內(nèi)所行駛的路程相等嗎？

s＝vt

不相等思考2：已知汽車作變速直線運(yùn)動，在時刻t(單位：h)的速度為v(t)＝－t2＋2(單位：km/h)，為了計(jì)算汽車在0≤t≤1時段內(nèi)行駛的路程，將區(qū)間[0，1]等分成n個小區(qū)間，那么各個小區(qū)間對應(yīng)的時段分別是什么？思考3：當(dāng)n很大時，在每個小區(qū)間上，由于v(t)的變化很小，可以認(rèn)為汽車近似于以左端點(diǎn)時刻對應(yīng)的速度作勻速直線運(yùn)動，那么汽車在上述各時段內(nèi)行駛的路程的近似值分別為多少？，，，…，思考4：汽車在0≤t≤1時段內(nèi)行駛的路程的近似值如何計(jì)算？其結(jié)果是什么？思考5：利用極限逼近思想，汽車在0≤t≤1時段內(nèi)行駛的路程為多少？探究（二）：汽車行駛路程的拓展探究

思考1：在每個小區(qū)間上，如果認(rèn)為汽車近似于以右端點(diǎn)時刻對應(yīng)的速度作勻速直線運(yùn)動，那么汽車在前述各時段內(nèi)行駛的路程的近似值分別為多少？思考2：汽車在0≤t≤1時段內(nèi)行駛的路程如何計(jì)算？其結(jié)果是什么？思考3：由直線t＝0，t＝1，v＝0和曲線v＝－t2＋2圍成一個曲邊梯形，那么圖中各小矩形的面積有什么物理意義？tyO21

y＝－t2＋2汽車在各時段內(nèi)行駛的路程的近似值.思考4：汽車在0≤t≤1時段內(nèi)行駛的路程，在數(shù)值上與這個曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？相等理論遷移

例一輛汽車作變速直線運(yùn)動，在時刻t(單位：h)的速度為v(t)＝(單位：km/h)，求汽車在1≤t≤2時段內(nèi)行駛的路程.s＝3tyO21小結(jié)作業(yè)1.求變速直線運(yùn)動的物體在某時段內(nèi)所走過的路程，可以用“以勻代變”和“極限逼近”的數(shù)學(xué)思想求解，其操作步驟仍然是：分割→近似代替→求和→取極限.2.在平面直角坐標(biāo)系中，若橫軸表示時間，縱軸表示速度，那么求變速直線運(yùn)動的物體在某時段內(nèi)所走過的路程，可轉(zhuǎn)化為求曲邊梯形的面積，二者對立統(tǒng)一.1.5.3定積分的概念

觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的方法

(2)取近似求和:任取xi[xi-1,xi]，第i個小曲邊梯形的面積用高為f(xi)而寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx近似之。

(3)取極限:，所求曲邊梯形的面積S為取n個小矩形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：xiy=f(x)xyObaxi+1xi

(1)分割:在區(qū)間[0,1]上等間隔地插入n-1個點(diǎn),將它等分成n個小區(qū)間:每個小區(qū)間寬度⊿x一、定積分的定義

如果當(dāng)n∞時，S的無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作:從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.

定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx

—叫做被積表達(dá)式，

x

———叫做積分變量，

a

———叫做積分下限，

b

———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分上限積分下限按定積分的定義，有:定積分的定義：(1)由連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)0)，直線x=a、x=b及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為:(2)設(shè)物體運(yùn)動的速度v=v(t)，則此物體在時間區(qū)間[a,b]內(nèi)運(yùn)動的距離s為定積分的定義：

說明：

(1)定積分是一個數(shù)值,它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān).（2）定義中區(qū)間的分法和i的取法是任意的.二、定積分的幾何意義：Oxyabyf(x)x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。

當(dāng)f(x)0時，由yf(x)、xa、xb

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，xyOabyf(x)y-f(x)=-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。二、定積分的幾何意義：abyf(x)Oxy探究:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?abyf(x)Oxy三:定積分的基本性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.三:定積分的基本性質(zhì)

定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3:Oxyabyf(x)Ｃ

aby=f(x)cOxy性質(zhì)3:

不論a，b，c的相對位置如何都有:

例1：利