【2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)】函數(shù)y=Asin(ωxφ)的圖象

1第四課時(shí)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象第四章三角函數(shù)1.函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的有關(guān)概念y=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0，x≥0）表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，振幅為_(kāi)__，周期T=_____，相位為_(kāi)_______，初相為_(kāi)__.2.用“五點(diǎn)法”畫(huà)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖2A

ωx+φ

φ

用“五點(diǎn)法”畫(huà)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí)，要找_____個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，首先使________=0，然后求出x的值，再求y的值.3.由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A＞0,ω＞0）的圖象的步驟：3五ωx+φ

方法1：畫(huà)出y=sinx的圖象得到___________________的圖象

的圖象得到_________________的圖象.4向左（右）平移|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度得到_______________y=sin（x+φ）y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ）

方法2：畫(huà)出y=sinx的圖象得到___________________

的圖象得到_________________的圖象.5向左（右）平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到____________的圖象y=sinωx

y=sin（ωx+φ）y=Asin（ωx+φ）61.已知簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），則該簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的最小正周期T和初相φ分別為（

）因?yàn)閒（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（0,1），所以sinφ=

.又因?yàn)閨φ|＜

，所以φ=

.而

故選A.A

2.為了得到函數(shù)(x∈R)的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)(

)A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

(縱坐標(biāo)不變)B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的(縱坐標(biāo)不變)C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)7先將y=2sinx,x∈R的圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)x∈R的圖象，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的3倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)x∈R的圖象，故選C.8

3.函數(shù)在區(qū)間上的簡(jiǎn)圖是()9用排除法：將點(diǎn)代入符合，而點(diǎn)不符合，排除C、D；再將x=π代入

得到

顯然選A.10

4.把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，然后向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_(kāi)_________________.11把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為后向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后所得的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為12

5.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,-π<φ<0,ω>0)在一個(gè)周期上的圖象如圖，則A=______，ω=______，φ=-_________.131.三角函數(shù)圖象的變換(1)要得到函數(shù)的圖象，只需要將y=sinx的圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的_________倍.(2)把函數(shù)y=cosx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_(kāi)_______________.142(3)把函數(shù)y=sinx的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，然后將所得圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為_(kāi)________________.2.振幅、初相、頻率函數(shù)的定義域是________，值域是__________，周期是__________，振幅為_(kāi)_________，頻率為_(kāi)____，初相為_(kāi)______.15R3.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)(1)若函數(shù)y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，則φ的值是__________.(2)函數(shù)的最小正周期是______.(3)函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程是___________.(4)

的振幅為_(kāi)____；初相為_(kāi)_____;單調(diào)遞減區(qū)間是____________________.162πx=kπ(k∈Z)317題型1：三角函數(shù)圖象的變換已知函數(shù)y=

sin(2x+

)+，x∈R.

(1)求它的振幅、周期、初相；

(2)用五點(diǎn)法作出它的簡(jiǎn)圖；

(3)該函數(shù)的圖象可由y=sinx(x∈R)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的平移和伸縮變換得到?

(1)y=

sin(2x+

)+的振幅為A=，周期為T(mén)=

=π，初相為φ=

.18

(2)令x1=2x+，則y=

sin(2x+

)+

=

sinx1+

.列出下表，并描出圖象，如圖.xx1=2x+

0π2πy=sinx1010-10y=

sinx1+

19

(3)解法1:將函數(shù)的圖象依次作如下變換:函數(shù)y=sinx的圖象

函數(shù)y=sin(x+

)的圖象

函數(shù)y=sin(2x+

)的圖象

函數(shù)y=

sin(2x+

)的圖象

函數(shù)y=

sin(2x+

)+

的圖象.向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

(橫坐標(biāo)不變)向上平移

個(gè)單位長(zhǎng)度各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

(縱坐標(biāo)不變)20

解法2:函數(shù)y=sinx的圖象函數(shù)y=sin2x的圖象函數(shù)y=sin(2x+

)的圖象函數(shù)y=sin(2x+

)+的圖象函數(shù)y=

sin(2x+

)+的圖象.各點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

(橫坐標(biāo)不變)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

(縱坐標(biāo)不變)向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度向上平移

個(gè)單位長(zhǎng)度21

【評(píng)注】已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的解析式畫(huà)圖，要注意定義域以及利用一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)，基本初等函數(shù)的圖象是基礎(chǔ).基本方法有:(1)五點(diǎn)法；(2)變換法.有關(guān)變換法需注意兩點(diǎn):①周期變換、相位變換、振幅變換可按任意次序進(jìn)行；②在不同的變換次序下平移變換的量可能不同.在解法1中圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，而在解法2中圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度.22

給出下列八種圖象的變換方法：

①將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

(縱坐標(biāo)不變)；

②將圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)；

③將圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度；

④將圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度；

⑤將圖象向左平移

個(gè)單位長(zhǎng)度；

⑥將圖象向右平移

個(gè)單位長(zhǎng)度；23⑦將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度；⑧將圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.請(qǐng)用上述變換中的三種變換，將函數(shù)y=sinx的圖象變成y=sin(

)-1的圖象，那么這三種變換正確的標(biāo)號(hào)是

(要求按變換先后順序填上你認(rèn)為正確的標(biāo)號(hào)即可).②─④─⑦(或④─②─⑦；②─⑦─④；⑤─②─④；⑤─④─②；④─⑤─②)24題型2：求三角函數(shù)的解析式如圖為函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<0)的圖象的一段，求其解析式.25

方法1：(五點(diǎn)法—平衡點(diǎn)法)

由圖可知，其振幅為A=

.

由于

，所以周期為T(mén)=

2(

)=π，所以ω=

=2.

此時(shí)解析式為y=

sin(2x+φ).

以點(diǎn)(π3,0)為“五點(diǎn)法”作圖的第一個(gè)零點(diǎn),

則有2·

+φ=0，故φ=

.

所以所求函數(shù)的解析式為y=

sin(2x-

).26

方法2：

(五點(diǎn)法—最值點(diǎn)法)以上同解法1，此時(shí)解析式為y=

sin(2x+φ).以點(diǎn)(

,3)為“五點(diǎn)法”作圖的第二個(gè)點(diǎn),則有2·+φ=，故φ=

.所以所求函數(shù)的解析式為y=sin(2x-

).27

方法3：(變換法)以上同解法1,此時(shí)解析式為y=sin(2x+φ).由圖象可知所求函數(shù)圖象是由函數(shù)y=

sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度而得到的，所以所求函數(shù)的解析式為y=

sin2(x-

)=

sin(2x-).28

【評(píng)注】本題由圖象觀察出最值與周期，就可求出A與ω，再由圖象過(guò)某點(diǎn)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出φ.其中找最高點(diǎn)或最低點(diǎn)比較簡(jiǎn)便.

已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象求其解析式，一般情況下，A與ω易分別根據(jù)振幅與周期求出，難點(diǎn)在于求φ.求A、ω、φ的本質(zhì)是待定系數(shù)法.基本方法有:(1)五點(diǎn)法，包括平衡點(diǎn)法與最值點(diǎn)法.在運(yùn)用平衡點(diǎn)法時(shí)，要特別注意分清是第幾個(gè)平衡點(diǎn).(2)變換法，即通過(guò)弄清已知圖象是由哪個(gè)圖象變換得到而求出待定系數(shù).將函數(shù)y=sinωx(ω>0)的圖象沿x軸向左平移π6個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的圖象如右圖所示.則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是()A.B.C.D.29將函數(shù)y=sinωx(ω>0)的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到即的圖象.將點(diǎn)代入得則ω=2,故選C.3031

題型3:三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用如圖，函數(shù)y=2cos(ωx+θ)(x∈R,的圖象與y軸交于點(diǎn)且在該點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為-2.(1)求θ和ω的值；(2)已知點(diǎn)點(diǎn)P是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)Q(x0,y0)是線(xiàn)段PA的中點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求x0的值.

(1)當(dāng)x=0時(shí)，由又因?yàn)榍宜驭?2,所以32(2)因?yàn)槭蔷€(xiàn)段PA的中點(diǎn)，且所以又點(diǎn)P在的圖象上，所以因?yàn)樗詮亩?3

【評(píng)注】：本題利用點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，求出θ的值，然后利用圖象的幾何意義，求出x0的值.34設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)

(1)求φ的值；(2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)證明：直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)y=f(x)的圖象不相切.35

(1)因?yàn)橹本€(xiàn)是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以所以因?yàn)?π<φ<0，所以36(2)由(1)知因此由題意，所以所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為37(3)證明：因?yàn)樗郧€(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)的斜率的取值范圍為［-2,2］.又直線(xiàn)5x-2y+c=0的斜率為所以直線(xiàn)5x-2y+c=0與函數(shù)的圖象不相切.38391.由函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象經(jīng)過(guò)變換得到函數(shù)y=Asin（ωx+φ）,x∈R的圖象.（1）y=Asinx，x∈R（A>0且A≠1）的圖象，可以看作把正弦曲線(xiàn)上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）而得到.（2）函數(shù)y=sinωx,x∈R（ω>0且ω≠1）的圖象，可以看作把正弦曲線(xiàn)上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的

倍（縱坐標(biāo)不變）而得到.（3）函數(shù)y＝sin（x+φ），x∈R（其中φ≠0）的圖象，可以看作把正弦曲線(xiàn)上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（用平移法注意講清方向：“加左”“減右”）.4041

2.三角函數(shù)圖象的變化規(guī)律和方法

由y=sinx→y=sin(x+φ)，此步驟只是平移(φ>0，左移φ個(gè)單位長(zhǎng)度；φ<0，右移-φ個(gè)單位長(zhǎng)度)，而由y=sinx→y=sin(ωx+φ)可有兩條思路：

①y=sinx→y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ),即先平移后伸縮.

②y=sinx→y=sinωx→y=sin(ωx+φ),即先伸縮再平移.42注意區(qū)分它們之間的異同.但無(wú)論哪一條路徑，切記每一次變換都是對(duì)x而言的，如y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的應(yīng)是y=sin2(x-

)，而不是y=sin(2x-

)；又y=sin(x+

)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，應(yīng)是y=sin(

+

)，而不是y=

sin

(x+

).43

3.“五點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，主要還是先找出對(duì)確定曲線(xiàn)形狀起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn).這五個(gè)點(diǎn)應(yīng)該是使函數(shù)取得最大值、最小值以及曲線(xiàn)與x軸相交的點(diǎn).找出它們的方法是換元法，即設(shè)X=ωx+φ，由X取0、、π、、2π來(lái)確定對(duì)