2021高中數(shù)學第一章預(yù)備知識4一元二次函數(shù)與一元二次不等式-教案北師大版必修第一冊

第四節(jié)一元二次函數(shù)和一元二次不等式4.1一元二次函數(shù)教學設(shè)計一元二次函數(shù)是重要的基本函數(shù)之一，由于它存在最值，因此，其單調(diào)性在實際問題中有廣泛的應(yīng)用，并且它與前面學過的二次方程有密切聯(lián)系，又是后面學習解一元二次不等式的基礎(chǔ)．二次函數(shù)在初中學生已學過，主要是定義和解析式，這里，在此基礎(chǔ)上，接著學習二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像，進而使學生對二次函數(shù)有一個比較完整的認識．教學目標：1.通過一個例子研究二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得到一般性結(jié)論，培養(yǎng)學生歸納、抽象能力．掌握二次函數(shù)的概念、表達式、圖像與性質(zhì)．會用配方法解決有關(guān)問題，能熟練地求二次函數(shù)的最值．二.核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：一元二次函數(shù)變量的變化趨勢2.邏輯推理：利用初中所學的二次函數(shù)，配成頂點式，讓學生對一元二次函數(shù)的平移變化，能更好的掌握3.數(shù)學運算：一元二次函數(shù)的平移變化；如何求一元二次函數(shù)的最值4.直觀想象：根據(jù)函數(shù)圖像的變化，讓學生更好理解函數(shù)之間的關(guān)系5.數(shù)學建模：數(shù)學中，通過對同類函數(shù)圖像之間的變化的研究，讓學生能更好的將一元二次函數(shù)運用實踐中，更好的解決實際中，類似于拋物線的物體，我們都可以通過某些計算，來解決實際問題。重點：1.二次函數(shù)的平移變化2二次函數(shù)x和y的變化趨勢難點:如何將一般二次函數(shù)配成頂點式PPT知識引入在初中，我們學習了一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c,(a≠0)認識這個函數(shù)的過程是從y=x2(開始的，是由簡到繁的過程(如圖1-19).思考交流請分析討論函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象可以由函數(shù)y=ax2圖象經(jīng)過怎樣的變換得到.2知識概括：（1）二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律：拋物線y=a(x-h)2+k的圖像，可以由y=ax2得圖像移動而得到。y=ax2（a＞0）的圖像.y=-ax2（a＞0）的圖像當h＜0時，向左平移QUOTE個單位長度，當h＞0時，向右平移QUOTE個單位長度y=a（x-h）2的圖像當k＞0時，向上平移QUOTE個單位長度當k＜0時，向下平移QUOTE個單位長度y=a（x-h）2-k的圖像寫成一般形式y(tǒng)=ax2+bx+c的圖像（2）一元二次函數(shù)y-a(x-h)2+k(a≠0)有如下性質(zhì)：(1)函數(shù)y=a(x-h)2+k的圖象是一條拋物線，頂點坐標是(h,k）對稱軸是直線x=h；（2）當a>0時，拋物線開口向上;在區(qū)間（，h]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小;在區(qū)間上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；函數(shù)在x=h處有最小值，記作ymin=k.當a<O時，拋物線開口向下;在區(qū)間（，h]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減?。缓瘮?shù)在處有最大值，記作：ymax=k例1已知一元二次函數(shù)（1） 指出它的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到； 指出它的圖象的對稱軸,試述函數(shù)的變化趨勢及最大值或最小值.解（1）配方，得 所以函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度而得到.由（1）可知:該函數(shù)的圖象開口向上,對稱軸為直線x=-2；在區(qū)間（，2]上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小，在區(qū)間上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;函數(shù)值y在x=一2處取得最小值3,即ymin=3.【知識擴充】例2：畫出二次函數(shù)，的圖象，考慮他們的開口方向、對稱軸和頂點。解：如圖所示拋物線的開口向下，對稱軸是進過點（-1,0）且與x軸垂直的直線，記為x=-1，頂點是（-1,0）；拋物線的開口向下，對稱軸是x=1，頂點是（1,0）。例3：畫出函數(shù)的圖象，指出它的開口方向、對稱軸及頂點。拋物線經(jīng)過怎樣的變換可以得到拋物線？解：拋物線的開口方向向下、對稱軸是x=-1，頂點是（-1，-1）。把拋物線向下平移1個單位，再向左平移2個單位，就得到拋物線。注意細節(jié)：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖像的畫法因為二次函數(shù)的圖像是拋物線，是軸對稱圖形，所以作圖時常用簡化的描點法和五點法，其步驟是：(1)先找出頂點坐標，畫出對稱軸；(2)找出拋物線上關(guān)于對稱軸的四個點(如與坐標軸的交點等)；(3)把上述五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結(jié)起來習題練習用配方法求出下列函數(shù)圖象的對稱軸及函數(shù)的最值：（1） （2）y=-3x2+12x-8已知一元二次函數(shù)（1） 指出它的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到；（2） 指出它的圖像的對稱軸，試述函數(shù)的變化趨勢及最大值或最小值本節(jié)內(nèi)容講述了兩個方面的知識點，一是特殊的二次函數(shù)y＝ax2，（a≠0）的圖像隨ａ值變化的規(guī)律性，二是二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．設(shè)計恰當，重點突出，即重點講解二次函數(shù)的性質(zhì)與圖像．遵循由特殊到一般、由具體到抽象的原則，使結(jié)論便于被學生理解．第四節(jié)一元二次函數(shù)和一元二次不等式4.2一元二次不等式及其解法教學設(shè)計本節(jié)課內(nèi)容的地位體現(xiàn)在它的基礎(chǔ)性，作用體現(xiàn)在它的工具性.一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式組的延續(xù)和深化，對已學習過的集合、函數(shù)等知識的鞏固和運用具有重要作用，也與后面的線形規(guī)劃、直線與圓錐曲線以及導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容密切相關(guān)，許多問題的解決都會借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整個高中數(shù)學教學中具有很強的基礎(chǔ)性，體現(xiàn)出很大的工具作用.教學目標：1.正確理解一元二次方程、二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，掌握一二次不等式的解法；2.通過看圖象找解集，培養(yǎng)學生“從形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力和從“特殊到一般”的歸納能力；二.核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：一元二次不等式的概念2.邏輯推理：經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法；3.數(shù)學運算：解一元二次不等式4.直觀想象：利用二次函數(shù)圖像分析一元二次不等式的解集，直觀的解釋不等式解集的正確性5.數(shù)學建模：激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。1.教學重點：一元二次不等式的解法2.教學難點：理解一元二次方程、二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系PPT1.知識引入汽車在行駛過程中，由于慣性的作用，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停住，一般稱這段距離為“剎車距”.剎車距S(單位:m)與車速弒單位:km/h)之間具有確定的函數(shù)關(guān)系，不同車型的剎車距函數(shù)不同.它是分析交通事故的一個重要依據(jù).甲、乙兩輛汽車相向而行，由于突發(fā)情況，兩車相撞.交警在現(xiàn)場測得甲車的剎車距接近但未超過12m,乙車的剎車距剛剛超過10m.已知這兩輛汽車的剎車距函數(shù)如下：s甲=0.01x2十0.1x，s乙=0.005x2十0.05x，車速超過40km/h屬違章.試問：哪一輛車違章超速行駛？由題意，只需分另U解出使不等式0.01x2十0.1x≤12和0.005x2十0.05x>10成立的x的取值范圍，再確認兩車的行駛速度，就可以判斷哪一輛車違章超速行駛.一般地，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式叫作一元二次不等式.通常，它們都可以化為ax2+bx+c>0的形式，其中a,b,c均為常數(shù)，且a≠0.使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫作這個一元二次不等式的解集.圖1-21類比初中數(shù)學中用一次函數(shù)的圖象求解一次不等式，我們可以利用一元二次函數(shù)的圖象求一元二次不等式的解集圖1-21以不等式x2-2x-3<0為例，畫出一元二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象(如圖1-21)并觀察，可知它與x軸交點的橫坐標分別是-1和3.即當x1=1,x2=3時x2-2x-3=0.進而，當一1<X<3時，一元二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象在x軸的下方，滿足y<0.也就是說，一元二次不等式x2—2x—3<0的解集是{x|-1<x<3}2知識總結(jié)概括當a>0時,解形如ax2十bx十c>0(≥0)或ax2十bx十c<0(≤0)的一元二次不等式，其基本思路是確定ax2十bx十c=0時的自變量x的取值，借助圖象，寫出原不等式的解集圖1-223思考交流完成以下表格一元二次不等式ax一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的求解思路學生動手：請學生仿照以上方法，畫出當a<0時的求解思路例2：求不等式9x2-6x+1>0的解集.圖1-23解：因為,所以方程9x2—6x+1=0。有兩個相等的實數(shù)根，解得圖1-23畫出一元二次函數(shù)y=9x2-6x+1的圖象(如圖1-23),可知該函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且與x軸僅有一個交點觀察圖象可得原不等式的解集為例3求不等式3x2十5x—2>0的解集.解法1因為△=52—4X3X(—2)>0。,所以方程3x2+5x—2=0有兩個不相等的實數(shù)根，解得x1=—2,x2=畫出一元二次函數(shù)y=3x2+5x-2的圖象(如圖1-24),可知該函數(shù)的圖象是開口向上的拋物線，且與x軸有兩個交點(-2,0)和.觀察圖象可得原不等式的解集為解法二：將原不等式可以轉(zhuǎn)化為：（x+2）(3x-1)>0即：所以不等式的解集：思考交流根據(jù)不等式3x2+5x-2>0的解集，你能得出不等式3x2+5x-2≤0的解集嗎？例4求關(guān)于x的不等式的解集，其中a是常數(shù).解依題意知方程的根為x1=—1,x2=a,且一元二次函數(shù)y=x2+(1-a)x-a的圖象是開口向上的拋物線.當a<—1時，如圖1-25,一元二次函數(shù)y=x2十(1—a)x一a的圖象與x軸從左至右有兩個交點(a,0)與(一1,0).所以原不等式的解集為(a,—1).當a=-1時，如圖1-26，一元二次函數(shù)y=x2+(1—a)x一a的圖象與x軸只有一個交點(一1,0).所以原不等式的解集為.當a〉一1時，如圖1-27,一元二次函數(shù)y=x2十(1一a)x-a的圖象與x軸從左至右有兩個交點(一1,0)與(a,0).所以原不等式的解集為(—1,a).綜上所述，當a<—1時，原不等式的解集為(a,—1);當a=—1時，原不等式的解集為;當a>一1時，原不等式的解集為(—1,a)【知識同步練習】求不等式x2-2x+2m-m2＞0的解集.解：當m＞1時，解集為｛x｜x＜2-m,或x＞m｝；當m=1時，解集為｛xR｜x≠1｝；當m＜1時，解集為｛x｜x＜m，或x＞2-m.

【題型擴充】：（1）

已知不等式ax2+bx+2＞0的解為-＜x＜，求a，b值.解：方法一：顯然a＜0，由(x+)(x-)＜0，得6x2+x-1＜0，變形得-12x2-2x+2＞0，故a=-12,b=-2.方法二：利用韋達定理：x=-與x=是ax2+bx+2=0的兩根，故有解得（2）

已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果對一切x∈R，f(x)＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.(2)如果對x∈〔-3，1〕，f(x)＞0成立，求實數(shù)a的取值范圍.解：f(x)的圖像開口向上.(1)對一切實數(shù)x，f(x)＞0，則△＜0，即(a-2)2-4＜0，∴0＜a＜4；(2)當x∈〔-3，1〕時，f(x)＞0，對稱軸2-a可在區(qū)間內(nèi)，也可在區(qū)間外，∴或或解得-＜a＜41.一元二次不等式這一概念；2.解一元二次不等式ax2+bx+c>0、ax2+bx+c<0(a>0)的步驟是：(1)化成標準形式ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)(2)判定△與0的關(guān)系，并求出方程ax2+bx+c=0的實根;(3)寫出不等式的解集.第四節(jié)一元二次函數(shù)和一元二次不等式4.3一元二次不等式的應(yīng)用教學設(shè)計生活中很多問題都需要數(shù)學知識來解決，最常見的問題就是公司利潤最大化，材料節(jié)省問題，都會用到函數(shù)去解決，而一元二次函數(shù)和一元二次不等式是我們經(jīng)常所用到的數(shù)學知識，本章主要將如何利用二次函數(shù)和一元二次不等式解決簡單的實際問題教學目標：利用一元二次不等式結(jié)合二次函數(shù)解決實際應(yīng)用問題二．核心素養(yǎng)1.數(shù)學抽象：一元二次函數(shù)和一元二次不等式的概念2.邏輯推理：經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程和通過函數(shù)圖象探究一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，獲得一元二次不等式的解法；3.數(shù)學運算：解一元二次不等式4.直觀想象：利用二次函數(shù)圖像分析一元二次不等式的解集，直觀的解釋不等式解集的正確性5.數(shù)學建模：激發(fā)學習數(shù)學的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。一元二次函數(shù)和一元二次不等式運用于實際問題中，從而更好的幫助學生學會運用所學知識，解決常見的問題，比如：利潤最大化問題，材料節(jié)省問題等難點：通過實際應(yīng)用題干，提煉一元二次不等式重點：結(jié)合實際問題，解一元二次不等式，需注意本身條件對變量的限制PPT一元二次不等式是重要的數(shù)學模型，在實際生活中有較廣泛的應(yīng)用.例1：某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為80元，每天都客滿.該農(nóng)家院欲提高檔次，并提高租金.經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加10元,客房出租數(shù)就會減少1間.每間客房日租金不得超過130元,要使每天客房的租金總收入不低于1800元，該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間有多大？解設(shè)每間客房日租金提高(個10元，即每間客房日租金提高到(80+10x)元,則客房出租數(shù)減少(間，此時客房的租金總收入為(80+10x)(20-x)元.又因為每天客房的租金總收入不低于1800元，所以(80+10x)(20一x)≥1800.化簡，得 x2-12x+20≤0.解得 2≤x≤10.所以 20≤10x≤100.由題意可知:每間客房日租金不得超過130元，即80+10x≤130,所以10x≤50.因此,該農(nóng)家院每間客房日租金提高的空間是20?50元.例2：為鼓勵大學畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè),某市出臺了相關(guān)政策:由政府協(xié)調(diào),本市企業(yè)按成本價提供產(chǎn)品給大學畢業(yè)生自主銷售，成本價與出廠價之間的差價由政府承擔.袁陽按照相關(guān)政策投資銷售本市生產(chǎn)的一種新型節(jié)能燈.已知這種節(jié)能燈的成本價為每件10元，出廠價為每件12元,每月的銷售量伙單位:件)與銷售單價x(單位:元)之間的關(guān)系近似滿足一次函數(shù)：y=-10x+500.設(shè)袁陽每月獲得的利潤為y(單位:元)，寫出每月獲得的利潤w與銷售單價x的函數(shù)關(guān)系物價部門規(guī)定，這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25元.如果袁陽想要每月獲得的利潤不小于3000元，那么政府每個月為他承擔的總差價的取值范圍是多少？解(1)依題意可知每件的銷售利潤為(x-10)元,每月的銷售量為(-10x+500)件,所以每月獲得的利潤w與銷售單價(的函數(shù)關(guān)系為w=(x-10)(-10x+500).(2)由每月獲得的利潤不小于3000元，得(x-10)(-10x+500)≥3000.化簡，得 x2-60x+800≤0.解得 20≤x≤40。.又因為這種節(jié)能燈的銷售單價不得高于25，20≤x≤25.設(shè)政府每個月為他承擔的總差價為p元，則p=(12—1