訓(xùn)練工程問題思路指點(diǎn)小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)

工程問題是研究工作效率、工作時(shí)間和工作總量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。我們通常所說的：“工程問題”，一般是把工作總量作為單位“1”，因此工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)。它們的基本關(guān)系式是：工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間。分別進(jìn)行思路分析，并加以簡要的評(píng)點(diǎn)，旨在使同學(xué)們掌握“工程問題”的解題規(guī)律和解題技巧。例

一項(xiàng)工程，由甲工程隊(duì)修建，需要

天，由乙工程隊(duì)修建，需要

天，兩隊(duì)共同修建需要多少天？［思路說明］①把這項(xiàng)工程的工作總量看作“1”。甲隊(duì)修建需要

天，修建

天完成這項(xiàng)工程的／；乙隊(duì)修建需要

天，修建

天完成這項(xiàng)工程的

／。甲、乙兩隊(duì)共同修建

天，完成這項(xiàng)工程的

／＋／＝／，工作總量“1”中包含了多少個(gè)

／，就是兩隊(duì)共同修建完成這項(xiàng)工程所需要的天數(shù)。1÷（／＋／）＝／＝／（天）②設(shè)這項(xiàng)工程的全部工作量為

（

和

的最小公倍數(shù)），甲隊(duì)一天的工作量為

＝，乙隊(duì)一天的工作量為

＝，甲、乙兩隊(duì)合建一天的工作量為＋＝。用工作總量除以兩隊(duì)合建一天的工作量，就是兩隊(duì)合建的天數(shù)。（＋）＝（＋）＝＝／（天）評(píng)點(diǎn)這是一道工程問題的基本題，也是工程問題中常見的題型。上面列舉的兩種解題方法，前者比較簡便。這種解法把工作量看作“1”，用完成工作總量所需的時(shí)間的倒數(shù)作為工作效率，用工作總量除以工作效率和，就可以求出完成這項(xiàng)工程所需的時(shí)間。工程問題一般采用這種方法求解。練習(xí)：一段公路，甲隊(duì)單獨(dú)修要

天完成，乙隊(duì)單獨(dú)修要

天完成，丙隊(duì)單獨(dú)修要

天完成，甲、乙、丙三隊(duì)合修，需要幾天完成？例

一項(xiàng)工程，甲隊(duì)獨(dú)做

天完成，乙隊(duì)獨(dú)做

天完成，兩隊(duì)合做，多少天完成全部工程的

／？［思路說明］①把這項(xiàng)工程的工作總量看作“1”，甲隊(duì)獨(dú)做

天完成，一天完成這項(xiàng)工程的／；乙隊(duì)獨(dú)做

天完成，一天完成這項(xiàng)工程的

／。甲、乙兩隊(duì)合做一天，完成這項(xiàng)工程的

／＋／＝／，工作總量“1”中包含多少個(gè)甲乙效率之和，就是甲乙合做所需要的天數(shù)。甲乙合做所需時(shí)間的

／，就是甲乙合做完成全部工程的

／

所需的時(shí)間。1÷（／＋／）×3／＝／／＝／（天）②把甲、乙兩隊(duì)合做的工作量

／，除以甲、乙兩隊(duì)的效率之和

／＋／＝／，就是甲乙合做完成全部工程的

／

所需要的時(shí)間。／4÷（／＋／）＝／／＝／（天）評(píng)點(diǎn)思路①是先求出兩隊(duì)合做一項(xiàng)工程所需的時(shí)間，再用乘法求出完成全部工程的

／

所需的時(shí)間。思路②是把“3／4”看作工作總量，工作總量除以兩隊(duì)效率之和，就可以求出完成全部工程的

／

所需的時(shí)間。兩種思路簡捷、清晰，都是很好的解法。練習(xí)：一項(xiàng)工程，單獨(dú)完成，甲隊(duì)需

天，乙隊(duì)需

天。兩隊(duì)合干了一段時(shí)間后，還剩這項(xiàng)工程的

／

沒完成。問甲、乙兩隊(duì)合干了幾天？例

小時(shí)行全程的

／

小時(shí)行了全程的

／。兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，幾小時(shí)才能相遇？［思路說明］①由甲

小時(shí)行全程的

／?？芍仔型耆桃剑ㄐr(shí)）；由乙

小時(shí)行全程的

／，可知乙行完全程要／＝（小時(shí)）。求出了甲、乙行完全程各需要的時(shí)間，時(shí)間的倒數(shù)便是各自的速度，進(jìn)而可求出兩人速度之和，把東西兩鎮(zhèn)的路程看作“1”，除以速度之和，就可求出兩人同時(shí)出發(fā)相向而行的相遇時(shí)間。綜合算式：1÷（／（／）＋／（／））＝1÷（／＋／）＝／＝／（小時(shí)）②由甲

小時(shí)行了全程的

／，可知甲每小時(shí)行全程的

／＝／；由乙

小時(shí)行全程的

／，可知乙每小時(shí)行全程的／＝／。把東西兩鎮(zhèn)的路程“1”，除以甲、乙的速度之和，就可得到兩人同時(shí)出發(fā)相向而行的相遇時(shí)間。綜合算式：1÷（／＋／）＝1÷（／＋／）＝／＝／（小時(shí)）評(píng)點(diǎn)本題沒有直接告訴甲、乙行完全程各需的時(shí)間，所以求出甲、乙行完全程各需的時(shí)間或各自的速度，是解題的關(guān)鍵所在。練習(xí)：打印一份稿件，小張

小時(shí)可以打完份稿件的

／，小李

小時(shí)可以打完這份稿件的

／，如果兩人合打多少小時(shí)完成？例

一項(xiàng)工程，甲、乙合做

天可以完成。甲獨(dú)做

天可以完成，乙獨(dú)做多少天可以完成？［思路說明］把一項(xiàng)工程的工作總量看作“1”，甲、乙合做

天可以完成，甲、乙合做一天，完成這項(xiàng)工程的

／，甲獨(dú)做

天可以完成，甲做一天完成這項(xiàng)工程的

／。把甲、乙工作效率之和，減去甲的工作效率

／，就可得到乙的工作效率：／－／＝／。工作總量“1”中包含了多少個(gè)乙的工作效率，就是乙獨(dú)做這項(xiàng)工程的需要的時(shí)間。1÷（／－／）＝／＝（天）評(píng)點(diǎn)這是一道較復(fù)雜的工程問題，是工程問題的主要題型之一。主要考查同學(xué)們運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)及工程問題的數(shù)量關(guān)系，解決實(shí)際問題的能力。解答這類工程問題的關(guān)鍵是：先求出獨(dú)做的隊(duì)或個(gè)人的工作效率，然后用工作總量“1”除以一個(gè)隊(duì)或個(gè)人的工作效率，就可以求出一個(gè)隊(duì)或個(gè)人獨(dú)做的工作時(shí)間。有的同學(xué)在解這道題時(shí)，由于審題馬虎，而且受基本工程問題解法的影響，錯(cuò)誤地列成：

1÷（／＋／），這是同學(xué)們應(yīng)引起注意的地方。練習(xí)：一批貨物，用大小兩輛卡車同時(shí)運(yùn)送，

小時(shí)可以運(yùn)完。如果用小卡車單獨(dú)運(yùn)，

小時(shí)可以運(yùn)完。問大卡車單獨(dú)運(yùn)幾小時(shí)可以運(yùn)完？例

加工一批零件，單獨(dú)

人做，甲要

天完成，乙要

天完成，丙要

天完成。如果先由甲、乙兩人合做

天后，剩下的由丙

人做，還要幾天完成？［思路說明］題目要求剩下的工作量由丙

人做，還要幾天完成，必須知道剩下的工作量和丙的工作效率。加工一批零件，單獨(dú)

人做，甲要

天完成，甲一天加工一批零件的

／；乙要

天完成，乙一天加工一批零件的

／；丙要

天完成，丙一天加工一批零件的／。甲、乙合做一天，完成這批零件的

／＋／＝／，合做

天完成這批零件的

／＝／，工作總量“1”減去甲、乙合做

天的工作量，就得到剩下的工作量。把剩下的工作量除以丙的工作效率，就可以求出剩下的工作量由丙

人做還要幾天完成。綜合算式：［－（／＋／）×5］÷1／＝［－／］÷1／＝／／＝（天）評(píng)點(diǎn)這是一道較復(fù)雜的工程問題，是工程問題中的主要題型之一，也是升學(xué)或畢業(yè)考試中最常見的試題之一。它的特點(diǎn)是求剩余部分的工作量完成的時(shí)間。關(guān)鍵是正確求出剩余部分的工作量。從工作總量“1”中減去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。有的同學(xué)由于審題不細(xì)，又受前面幾例工程問題的解法的影響，容易錯(cuò)誤地列成：［1÷（／＋／）×5］÷1／．練習(xí)：加工一批零件，甲獨(dú)做要

天完成，乙獨(dú)做要

天完成，丙獨(dú)做要

天完成，三人合作

天后，甲因病休息，乙、丙兩人繼續(xù)合做還要幾天完成？例

一件工程，甲、乙合作

天可以完成?，F(xiàn)在甲、乙合作

天后，余下的工程由乙獨(dú)做又用

天正好做完。這件工程如果由甲單獨(dú)做，需要幾天完成？［思路說明］一件工程，甲、乙合作

天可以完成，可知甲、乙合作

天完成這件工程的

／，

／＝／“1”

天的工作量

／，所得的差

－／＝／，就是余下的工作量。又知余下的工程由乙獨(dú)做用了

天正好做完，用余下”的工作量除以

，就可以求出

天的工作量，即乙的工作效率。把甲、乙工作效率之和減去乙的工作”效率，就可得到甲的工作效率。求出了甲的工作效率，只要把工作總量“1除以甲的工作效率，就可得到甲獨(dú)做這件工程所需要的天數(shù)了。綜合算式：1÷［／－（－／）÷8］＝1÷［／－（－／）÷8］＝1÷［／－／］＝1÷［／－／］＝／＝（天）評(píng)點(diǎn)這也是一道復(fù)雜的工程問題。解題的關(guān)鍵是正確求出甲的工作效率。要求出甲的工作效率，解題的步驟較多，只有