柯西準則及其應(yīng)用 畢業(yè)論文

柯西準則及其應(yīng)用摘要：柯西準則是實數(shù)完備性六大定理之一，它是極限論的基礎(chǔ).它的應(yīng)用貫穿于數(shù)學分析課程學習始終.一般地，數(shù)學分析課程教材在討論柯西準則時都只就一種情形來討論，本文將補給并詳細證明其它五種情形函數(shù)極限的柯西準則，同時探討總結(jié)柯西準則在極限、級數(shù)、積分等方面的靈活應(yīng)用.關(guān)鍵詞：柯西準則；應(yīng)用；極限存在；優(yōu)越性引言：柯西準則是實數(shù)完備性六大定理之一，它是極限論的基礎(chǔ).它的應(yīng)用非常廣泛，貫穿于數(shù)學分析課程學習始終.一般地，數(shù)學分析課程教材在討論柯西準則時都只就XTK。一種情形來討論，即設(shè)函數(shù)/(x)在U°(x°；g)內(nèi)有定義，limf(W存在的充要條件是：任給￡>0,存在正數(shù)5(5),使得對任何V,x^U°(x0;S)f都有|/(V)-/(Z)|<f.事實上，當XTX；,XTAj,X->+00,XT-00,X->00五種情形函數(shù)極限存在的柯西準則可以類比，它們的應(yīng)用也非常廣泛.本文將詳細敘述并證明其它五種情形函數(shù)極限的柯西準則，同時探討總結(jié)柯西準則在極限、級數(shù)、積分等方面的靈活應(yīng)用，充分展示其在解決上述幾個方面問題的優(yōu)越性和博大精深之處.1柯西準則的其它五種形式定理1.1設(shè)函數(shù)/在U°.(Xo；歹)內(nèi)有定義.lim/U)存在的充要條件是：任給￡>0,存在正數(shù)$(<乃，使得對任何y, 均有|/(Y)-/(x*)| .證必要性設(shè)lim，3)=A,則對任給的,存在正數(shù)J(<),使得對VxeU°+(知S),有|/(x)-A|<|.于是對W,/eU\(x0;3),有I/(V)-f(xH)\<\f(x')-A\+1")-A|<|+|=^.充分性設(shè)數(shù)列｛玉｝ut/°+(右J)旦lim%=x°，按假設(shè)，對任給的￡>0,存在正數(shù)貝vS)使得對任何V,1〃€枝,(易；5),有|f3)—/(T)|v&由于萬->瓊〃一00),對上述的5>0,存在N>0,使得當〃，m>N時有w，xmeU\(xQ',3)從而有\(zhòng)f(Xn)-f(Xm)\<￡.于是，按數(shù)列極限的柯西收斂準則，數(shù)列｛f(xn)｝的極限存在，記為A,即hmf(xn)=A.設(shè)另一數(shù)列｛乂｝且lim)；=x。，則如上所證，lim/(y“)存在，記為B.現(xiàn)證B=A,為此，考慮數(shù)列｛z,,｝：而必況,…，也，月，…易見｛z〃｝uU°.(B)且limz“F故仍如上面所證，｛六zD｝也收斂.于是，作為｛g｝的兩個子列，(/(%?)｝與你乂)｝必有相同的極限，所以由歸結(jié)原則推得hmf(x)=A.證畢定理1.2設(shè)函數(shù)/在內(nèi)有定義.lim/U0)存在的充要條件是：任給￡>0,存在正數(shù)&(<&),使得對任何丫,W.(x°;5),均<|/(V)-/(Z)|<f.以下利用定理1.2和致密性定理證明數(shù)列極限的柯西準則的充分性.證充分性設(shè)數(shù)列｛%｝滿足柯西條件，先證明｛%｝是有界的.為此，取￡=1,則存正整數(shù)N,當m=N+l及n>N時有叵-婦vl.由此得叵|=叵一 +㈤初I?-I+hv+1|<|%初I+1?令M=max｛岡加』,?則對一切正整數(shù)〃均有\(zhòng)a,\<M.于是，由致密性定理可知，有界數(shù)列｛%｝必有收斂子列｛%｝,設(shè)lim^=A?對任給的￡>o,存在K>0,當m〃，k>K時，同時有柯西條件)，虹一W：(由lim%=A).L A—ho因而當取rn=nk(>k>K)時，得到這就證明了]im%=A.有歸結(jié)原則：limf(x)=A<^>對任何x?t此(〃t8)有l(wèi)imf(xn)=AI.。 W-W充分性即證.必要性設(shè)limq=A.有數(shù)列極限定義，對任給的￡>0,存在N>0n—當m,n>N時有S-A|v§|%_A|v§因而\am-an\<\am-A\+\an-A\<^+^=￡.由歸結(jié)原理知，即可證得.證畢注歸結(jié)原則的意義在于實現(xiàn)函數(shù)極限和數(shù)列極限的相互轉(zhuǎn)化，從而可以應(yīng)用歸結(jié)原則和數(shù)列極限的有關(guān)性質(zhì)解決函數(shù)極限問題.定理1.3充分大的M>0,設(shè)函數(shù)/■在U(+8)內(nèi)有定義.lim/U)存在的充要條件是：X->-KO任給￡>o,存在正數(shù)A/,(>Af),使得對任何州，/>州，均有|/(/)-/(z)|<^.證先證必要性.設(shè)limf(x)=A,按照定義，Vf>0,3A/(>0,M{>M,Vx；xn>M.X—>+<?于是|/(V)-/(Z)|<|/(y)-A|+|/(Z)-4|<f.再證充分性.設(shè)V￡>0,3A/,>0,M}>M,Vx；x">M}任意選取數(shù)列低},lim￡=4oo.則對上述州>0,mN>0,V/7,m>N,xn,xm>M,.有\(zhòng)f(xn)-f(xin)\<￡.這說明函數(shù)值數(shù)列{/(xn)}是基本數(shù)列，因而必定收斂.根據(jù)相應(yīng)的歸結(jié)原則，可知lim/WX—>+<c存在而且有極限.證畢注上述證明過程中用到了基本數(shù)列，下面介紹基本數(shù)列的定義如果數(shù)列｛兀｝具有以下特征：V^>0,mN>0,Vn,m>N則稱數(shù)列是一個基本數(shù)列.定理1.4充分大的M>0,設(shè)函數(shù)/在U(-8)內(nèi)有定義.lim/(x)存在的充要條件是：任給￡>0,存在正數(shù)A/,(>Af),使得對任何xn<-Mx,均有|/V)-fW)|v￡.證必要性設(shè)lim/U)=A,則對任給的￡>0,存在正數(shù)州(〉41),使得對任何x<-Mtx—>-cc有|/(x)-A|<j.于是對任何x', 有|f3)-g|<|/(V)_A|+|心)_A|vf疔.充分性設(shè)數(shù)列｛x“｝u(ro,-MjH]imS=-oo.按假設(shè)，對任給的￡>0,存在正數(shù)A/.OM),使得對任何有|六乂)-六丫)|<—.由于T-00(〃->8),對上述的M]>(),存在N>0使得當〃，0>77時有與，XmV-M1,從而有\(zhòng)f(xn)-f(xm)\<￡:.于是，按數(shù)列的柯西收斂準則，數(shù)列｛f(xn)｝的極限存在，記為A,即lim/(^n)=A.設(shè)另一數(shù)列｛y,,｝u(p,-M]且limy“=-8，則如上所證，Hm/(yn)存在，記為8.現(xiàn)證8=A,It—>8 W—為此，考慮數(shù)列｛Zn｝'而，兇，石,、2，??bey”，易見｛Z"｝u(to,-M]且limz"=-<?,故仍如上面所證，lim/(z”)也收斂.于是，作為n—n->x>｛/(zH)｝的兩個子列，｛/U)｝與｛六乂)｝必有相同的極限，所以由歸結(jié)原則推得lim/(x)=A.證畢定理1.5充分大的M>0,設(shè)函數(shù)f在U(oo)內(nèi)有定義.]im/(x)存在的充要條件是：任給￡>0,存在正數(shù)使得對任何同，|同>知，均有|/(/)-/(Z)|<^.定理1.5的證明可以類似前面4個定理的證明.2歸納柯西準則在數(shù)學分析中的應(yīng)用.2.1柯西準則在實數(shù)完備性理論中的應(yīng)用實數(shù)完備性是數(shù)學分析的基礎(chǔ)，其六大定理即確界原理、單調(diào)有界定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、聚點定理、柯西準則，建立了實數(shù)完備性理論的骨架.作為六大定理之一的柯西準則，起著至關(guān)重要的作用，由該準則入手，可依次推出其它五個定理.2.1.1用數(shù)列的柯西收斂準則證明確界原理.證設(shè)S為非空有上界數(shù)集.由實數(shù)的阿基米德性，對任何正數(shù)存在整數(shù)匕，使得&為S的上界，而Xa-a=｛Ka-\)a不是S的上界，即存在a'eS,使得ar>(fca-])a.分別取。=丄，〃=1,2,…,則對每一個正整數(shù)〃，存在相應(yīng)的幻，使得幻為S的上界，而n不是S的上界，故存在"cS,使得nw>人-丄(1)n又對正整數(shù)m,&,是S的上界，故有4>y.結(jié)合(1)式得同理有4-2n<l.從n m而得隊-&|vmax(丄,丄).mn于是，對任給的￡>0,存在N>0,使得當〃z,n>N時有由柯西收斂準則，數(shù)列｛&｝收斂.記linU"=4.(2)現(xiàn)在證明人就是S的上確界.首先，對任何。GS和正整數(shù)〃有。弓人，由(2)式得。即4是S的一個上界.其次，對任何5>0,由丄->0(〃T8)及⑵式，對充分大的〃同時有n\6..8—<—，A>A ?〃2 " 2又因不是S的上界，故存在deS，使得a'>An--.結(jié)合上式得n na>A =人一22這說明人為S的上確界.同理可證：若S為非空有下界數(shù)集，則必存在下確界.2.1.2用平面點列收斂的柯西準則證明閉區(qū)間套定理證在閉域套｛Q｝的每一個閉域內(nèi)任取一點乙，構(gòu)成一個各點各不相同的平面點列｛R｝，則對一切自然數(shù)P,由于DqD?,以%%危D”,0<風4,%)￡"tOST口)，因此lim「(Pn，Pf)=O.由定義任給￡>0,存在正整數(shù)N,使得當n>N時，對一切自然數(shù)P,都有pm，Pn+p)<￡，根據(jù)柯西準則化｝收斂，記lim《=*n—>cc現(xiàn)證P^Dn,〃=1,2,...,為此任意取定〃，則因為對一切自然數(shù)p=l,2,?.，都有%pEDHpUD”,%=limRp，由定義知仏是。的聚點，而閉域。“必為閉集，所以它的聚點『一>8gDn,〃=l,2s,最后證明氣的唯一性，若還有底wD“,77=1,2,,則由于0<Q(%S)W,,->0.(〃->oc),所以0応,％)=0,《=饑2.2柯西準則是極限論的基礎(chǔ)，許多斂散性判別法都由它導出.2.2.1柯西準則在數(shù)列收斂性判定中的應(yīng)用數(shù)列｛%｝收斂<=>V^>0,BNeN',V〃z,n>N^\am-an\<￡.數(shù)列｛.｝發(fā)散<=>*>0,VNeNt3m\n>M使-an\>%.例1應(yīng)用柯西收斂準則，證明數(shù)列｛%｝收斂,111TOC\o"1-5"\h\z“ 2232 /證對則對PnZm>N,有I | 1 1 11 1(w+1)2(w+2)2 n2m(m+1)(w+l)(m+2)(n-l)nmnm

而由m>-知2<￡,故叵-ain\<￡,由柯西收斂準則知數(shù)列{%}收斂.￡2.2.2柯西準則在函數(shù)極限存在性判定中的應(yīng)用m%>0,對VJ>0,都存在V,VeU°(Xo。)，m%>0,對VJ>0,都存在V,VeU°(Xo。)，使得例2證明極限limsin-不存在.X—0x證可取％=1,對任何5>0,設(shè)正整數(shù)令/=—,x〃=—!—H7T+—2則有/下以°(0;5),而sin］-sin二=1=%.于是按照柯西準則，極限1血血丄不存在.人2.2.3柯西準則在無窮積分與瑕積分收斂性判定中的應(yīng)用因為無窮積分Jff{x)dx的斂散性是由變上限函數(shù)存在與否確定的.因此，可由函數(shù)極限nm/(x)存在的柯西準則導出無窮積分收斂的柯西準則：U2無窮積分￡*f(x)dx收斂=">0,3G>a,V%,u2>GU2|￡*2f{x)dx<￡.同理，由函數(shù)極ffilirn/(x)存在的柯西準則可直接推出瑕積分^f(x)dx(a為瑕點)收斂的柯西準則：瑕積分￡f(x)dx(a為瑕點)收斂<=>Vs>0,3S>0, m2e(a,a+S)有|￡"f(x)dx<￡.例3設(shè)/?⑴在［0,-hx))上連續(xù)可微，并且『產(chǎn)(x)心<wo.如果|r(x)|<C(3x>0時),其中C為一常數(shù).試證：lim/U)=0.證 (反證)假設(shè)lim/W*0?貝歸％>0,使對VG>0,總有xa>G,\f(xA)\>yl^.X—>4<?因為了(x)在［0,初o)上連續(xù)可微，\f(x)\<c.故/在［0,+oo)±一致連續(xù)，于是非>0,使當乂，工"司0,+00),|北一刈〈5時,又因f\x)dx收斂，故時，當而，x2>M時，J：尸⑴必?<警，對該M,存在氣，故(X0-5,Xo+5)u(A/,g),|/(^)|>當xe(吒一5,%+5)時\f(x)-f(x0)|〈專.\fM\=\fW-f(x0)+/(x0)|>|/(x0)|-\f(x)_f(x°)槌底-,=專?f2w>\ 產(chǎn)⑴公2冬.2$=住矛盾.4 )與頊 4 2?.?lim/W=0.X—M<C>2.2.4柯西準則在級數(shù)收斂性判定中的應(yīng)用因為級數(shù)的斂散性是由其前〃項和數(shù)列的斂散性確定的.所以，由/1=1*-1,{sn)收斂的柯西準則直接可得級數(shù)收斂的柯西準則：n=l￡un收斂<=> >0,BNeN\m>N,PpeN，有n=l瞄+"”2+?，+5|<￡.例4級數(shù)收斂的充要條件是：對任意的正整數(shù)序列?「2，…，小??都有n=llimg+%.2++%。)=0?證必要性因為￡%收斂，所以對當BNeN\n>N及NpeN，有n?l扇+%.2+，特別地+4+2+,??+%』<&所以lim(%+1+an+2++an+rn)=°?If充分性用反證法.若發(fā)散，則*。>0,VN>0,Bn>N及自然數(shù)p,使n=l|%1++《厲2%特別M=l,3/7.>1及自然數(shù)A；使N2=max{/i1,2},Bn2>N2,及自然數(shù)么，使這與lim(%】+4+2++ )=。矛盾?w—>+<?所以級數(shù)是收斂的.n=l例5應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準則證明級數(shù)￡丄收斂.證由于|",伸+%2+…+"m+p|1 ] _1=(m+l)2+("7+2)2++(,〃+p)2]] 1 w(m+1)(m+l)(m+2) (m+p-l)(w+p)111= <—mm+ptn因此，對任給￡>0,取N=[j，使當m>N及對任意正整數(shù)p,由上式就有|編+1+編+2+，+"扁<~<￡-依級數(shù)收斂的柯西準則推得級數(shù)z#是收斂的.2.2.5柯西準則在函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)一致收斂性判定中的應(yīng)用由數(shù)列收斂的柯西準則易推得函數(shù)列{。(工)}一致收斂的柯西準則：函數(shù)列{九⑴}在。上一致收斂*>0，3NeN',Pm,n>N,VxgD有|Zn(對一九3)|<&又因為函數(shù)項級數(shù)XAU)的一致收斂性是由其部分和函數(shù)列｛5?(x)｝=XAU)的一n?l A=1 .致收斂性確定的.所以，可用函數(shù)列一致收斂的柯西準則直接推出函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西準則：XfnM在。上一致收斂OV￡>0,3/VeN\當n>N時，PpeN',有婦|知1(X)+%2(x)+?+%p(x)|<們進一步易推出判斷函數(shù)項級數(shù)一致收斂常用的魏爾斯特拉斯判別法.例6證明：若對PnK也,>0,Vxe/,有|底⑴-九3)|<%且￡%收斂，則函數(shù)列｛《(X)｝在區(qū)間上一致收斂.證Vn,peN‘,Vxe/,\fn.p⑴-fn(X)|<1九十P3)-九W(X)|+???+|底⑴-九(X)|<"]+?+%.因為Z%收斂，故有=￡>0，3NeN',Vn>MPpeN'X/￡>0,BNgN\Pn>N,PpeN',VxgZ<1?！雹?■(對+%=Ms++q|v礦所以函數(shù)列｛兒(X)｝在區(qū)間上一致收斂.例7設(shè)虬(])(〃=1,2,...)是切，可上的單調(diào)函數(shù)，證明：若￡““卵)與都絕對收斂，則，>，，(x)在[。，句上絕對且一致收斂.證因為￡〃“(〃)與￡u“(b)絕對收斂=對">0,3NeN.,當〃>N時，對PpwN,有|%9)+%(")+???+加0)|<￡?|“Z(")+%2俗)+…+%p倒<￡.又因為與（工）（〃=1,2,）是[a9b]±.的單調(diào)函數(shù)，所以對*￡切,可.有un（a）<un（x）<un（b）或uri(a)>u?(x)>un(h').=>|wnW|《max（|w?（?）|,|w?（b）|},n=1,2,?=> （對|+|%2（X）|++|“F（X）|<（|%l（列+k.l0）|）+（|知2（砌+1〃”+20）|）+??+（|%p（a）|+|%p0）|）v&??.?S+Q）+加2（x）++%“（x）|<2&由一致收斂的柯西準則可推出函數(shù)項級數(shù)2>,Q）在何，可上絕對且一致收斂.柯西準則的優(yōu)越性柯西準則的優(yōu)越性是顯然的，在數(shù)學分析中，凡涉及到“收斂”與“一致收斂”概念都有內(nèi)容相應(yīng)的柯西收斂（或一致收斂）準則，其最大的優(yōu)點是不需借助于數(shù)列（或函數(shù)）以外的任何信息，只依據(jù)各項的具體特點來解決相應(yīng)的問題，使得看似復(fù)雜的問題變的簡單易懂.它具有整齊完美的形式，充分體現(xiàn)了數(shù)學美，使得許多抽象的數(shù)學理論形象可見.在數(shù)學分析中有非常重要的理論價值，所以深刻理解柯西準則很重要.參考文獻責任編輯高尚華，華東師范大學數(shù)學系，數(shù)學分析，高等教育出版社，2001年，第三版崔萬臣，談柯西準則在數(shù)學分析中的作用，唐山師專學報，1993年，第21卷，第2期王安斌、賓紅華，用柯西準則證明幾個相關(guān)命題，數(shù)學理論與應(yīng)用，2004年，第24卷，第4期陳祥平，對柯西準則教學的體會，濟宇師專學報，1998年，第19卷，第6期薛懷玉，A?上完備性定理的等價，咸陽師范專科學校學報（自然學版），1998年，第13卷，第6期[61錢吉林，數(shù)學分析題解精粹，湘北長江出版集團，20