人教版數(shù)學(xué)九年上冊教案

第二十一章二次根式

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容：

二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式.

2.本單元在教材中的地位和作用：

二次根式是在學(xué)完了八年級卜冊第十七章《反比例正函數(shù)》、第十八章《勾股定理及其

應(yīng)用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學(xué)習(xí)的，它也是今后學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ).

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

(1)理解二次根式的概念.

(2)理解6(a20)是一個非負數(shù)，(&)2=a(a20),J^=a(a20).

(3)掌握。,4b=\[ab(a>0,b20),y/ab->fa?s/b；

\Jalalay/a

布二七(a>0,b>0),4丁=(a20,b>0).

(4)了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減.

2.過程與方法

(1)先提出問題，讓學(xué)生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念.再對概念的內(nèi)

涵進行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運用這些:重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡.

(2)用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘(除)法規(guī)定，并運用

規(guī)定進行計算.

(3)利用逆向思維，得出二次根式的乘(除)法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化筒.

(4)通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概

念.利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和

化簡的目的.

3.情感、態(tài)度與價值觀

通過本單元的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生：利用規(guī)定準(zhǔn)確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W(xué)精神，經(jīng)過探索二

次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力.

教學(xué)重點

1.二次根式G(a20)的內(nèi)涵.y/a(a20)是一個非負數(shù)；(G)2=a(a^O)；

J^=a(a>0)及其運用.

2.二次根式乘除法的規(guī)定及其運用.

3.最簡二次根式的概念.

4.二次根式的加減運算.

教學(xué)難點

1.對&(a^O)是一個非負數(shù)的理解；對等式(G)2=a(a^O)及J/=a(a20)

的理解及應(yīng)用.

2.二次根式的乘法、除法的條件限制.

3.利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式.

單元課時劃分

本單元教學(xué)時間約需6課時，具體分配如下:

21.1二次根式1課時

21.2二次根式的乘法2課時

21.3二次根式的加減2課時

小結(jié)1課時

九年級數(shù)學(xué)上冊教案備課人：楊賢

課題：二次根式

教學(xué)內(nèi)容：21.1二次根式

1.理解二次根式的概念，并利用&(a20)的意義解答具體題目

教學(xué)

目標(biāo)2.提出問題，根據(jù)問題給出概念，應(yīng)用概念解決實際問題.

重點：形如石(a20)的式子叫做二次根式的概念；

重點

難點

難點：利用(a20)”解決具體問題.

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

1一、復(fù)習(xí)引入(供教師個

導(dǎo)語設(shè)計：在勾股定理和四邊形兩章中，已經(jīng)用到過簡單的二次根式運算，在本章中性化設(shè)計)

將系統(tǒng)地學(xué)習(xí)二次根式的運算。本課只學(xué)習(xí)二次根式的概念及其三個運算性質(zhì).

1二、探究新知

(一)定義及非1京性

活動1、填空,完成課本思考1：

465，V?，J7

活動2、觀察其形式上的共同點，被開方數(shù)的共同點，說明各式所表示的共同意義.

活動3、給出二次根式的定義，介紹二次根式的讀法.

活動4、思考下列問題：

①夜的運算結(jié)果是3,后是不是二次根式？3是不是？

②定義中為什么要加4'0?若a<0,，■表示什么？有無意義？

③當(dāng)a=0時，6表示什么？結(jié)果是什么？當(dāng)a>0時，〃"表示什么？可不可能為負

數(shù)？右20）是什么樣的數(shù)呢？

例1、當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，下列二次根式有意義？在下列二次根式有意義的情況下，

其運算結(jié)果是怎樣的實數(shù)？

Jx-2,__!__，+3

yJx+\

練習(xí)：1、課本思考2：當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，后,J7有意義？

1、若Jx-2=-加，則x和m的取值范圍是x；m.

2、已知而5+77行=0，求x,y的值各是多少？

（二）兩個運算性質(zhì)

活動5、完成課本探究1

活動6、對（6［中的運算順序、運算結(jié)果進行分析，歸納出：一個非負數(shù)先開方再平

方，結(jié)果不變.

練習(xí)：課本例2

活動7、完成課本探究2

活動8、對行中的運算順序、運算結(jié)果進行分析，歸納出：?個非負數(shù)先平方再開方,

結(jié)果不變；一個負數(shù)先平方再開方結(jié)果為相反數(shù).

練習(xí)：課本例3

補充練習(xí)：1、化簡：J（乃-4）2，J（2-6）2；

2、直角三角形的三邊分別為a,b,c,其中c為斜邊，則式子（后卜體）2與式子而二萬

有什么關(guān)系？

三、課堂訓(xùn)練

完成課本中兩個練習(xí).

有時間UJ補充：1、yjm-\~m成立的條件是.

2、而5成立的條件是.

四、小結(jié)歸納

1、二次根式的概念及“被開方數(shù)非負”的條件和“運算結(jié)果非負”的性質(zhì).

2、二次根式的兩個運算性質(zhì)，平方為“父對象”，開方為“子對象”.

3、簡單介紹代數(shù)式的概念.

4、重復(fù)演示哪件呈現(xiàn)練習(xí)題,供學(xué)生記錄.

五、作業(yè)設(shè)計

習(xí)題P5：1、2P6：7、8

附：板書設(shè)計

一.復(fù)習(xí)引入三.課堂訓(xùn)練

二.探究新知四.小結(jié)歸納

（一）定義及非負性五.作業(yè)設(shè)計

（二）兩個運算性質(zhì)

教后反思:留白：（供心得體會與反思）

授課時間：_____年_____

月一日

九年級數(shù)學(xué)上冊教案備課人：楊賢

課題：21.2二次根式的乘除

教學(xué)內(nèi)容：21.2二次根式的乘除（第1課時）

知識1.會運用二次根式乘法法則進行二次根式的乘法運算.

教技能2.會利用積的算術(shù)平方根性質(zhì)化簡二次根式.

學(xué)1.經(jīng)歷觀察、比較、概括二次根式乘法公式，通過公式的雙向性得到積的算術(shù)平方

目根性質(zhì).

標(biāo)過程2.通過例題分析和學(xué)生練習(xí)，達成目標(biāo)1,2,認識到乘法法則只是進行乘法運算的

方法第一步，之后如果需要化簡，進行化簡，并逐步領(lǐng)悟被開方數(shù)的最優(yōu)分解因數(shù)或因

式的方法.

情感培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想的習(xí)慣和能力，勇于探索知識之間內(nèi)在聯(lián)系.

態(tài)度

重點重點：雙向運用》o,b2o）進行二次根式乘法運算.

難點難點：被開方數(shù)的最優(yōu)分解因數(shù)或因式的方法.

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

多學(xué)過程設(shè)計留白：

一、復(fù)習(xí)引入（供教師個

導(dǎo)語設(shè)計：上節(jié)課學(xué)習(xí)了二次根式的定義和三個性質(zhì)，這節(jié)課開始學(xué)習(xí)二次根式的運性化設(shè)計）

算，先來學(xué)習(xí)蘇3法運算。

二、探究新知

一）二次根式乘法法則

舌動1、1.填空完成課本探究1

2.用1『日所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律比較大小

辰X、/4_____「36x4；V2X后_______76

活動2、給出二次根式的乘法法則

活動3、思考下列問題：

D公式中為什么要加a20,b20?

2）兩個二次根X相乘其實就是________不變，___________相乘

3）-J~a--Jb?J7（a20,b20,c20）=_____________

練習(xí)：課本例1,在（1）（2）之后補充（3）忖靠

歸納：運算的:簫一步是應(yīng)用二次根式乘法法則，最終結(jié)果盡量簡化.

（二）積的算術(shù)斗z方根性質(zhì)

活動4.將二次利Q式乘法公式逆用得到積的算術(shù)平方根性質(zhì)

完成課本例2,在（1）（2）之間補充同

歸納：化簡二次根式實質(zhì)就是先將被開方數(shù)因數(shù)分解或因式分解，然后再將能開的盡

方的因數(shù)或因式開方后移到根號外.

例3.計算:

(1)V14x(2)3x2J10;(3)-^—xy

分析：(1)第一步被開方數(shù)相乘，不必急于得出結(jié)果，而是先觀察因式或因數(shù)的特

點，再確定是否需要利用乘法交換律和結(jié)合律以及乘方知識將被開方數(shù)的積變形

為最大平方數(shù)或式與剩余部分的積，最后將最大平方數(shù)或式開方后移到根號外.

(2)運用乘法交換律和結(jié)合律將不含根號的數(shù)或式與含根號的數(shù)或式分別相乘，

再把這兩個積相乘之后同(1).

三、課堂訓(xùn)練

完成課本練習(xí).

補充：=二I成立，求x的取值范圍.

2.化簡：J-x3y(X<0)

四、小結(jié)歸納

1.二次根式乘法公式的雙向運用；

2.進行二次根式乘法運算的一般步驟，觀察式子特點靈活選取最優(yōu)解法.

五、作業(yè)設(shè)計

必做習(xí)題21.2：P12：1、3(1)(2)、4

補充作業(yè)：

1.計算：

(1)V?xV5；(2)xJ27；

(3)75x715；(4)372x478.

2.化簡：

(1),27x)3；(2)■,xJiScib.

3.等邊三角形的邊長是3,求這個等邊三角形的面積

附：板書設(shè)計

一.復(fù)習(xí)引入

—.探究新知

(一)二次根式乘法法則

(二)積的算術(shù)平方根性質(zhì)

三.課堂訓(xùn)練

四.小結(jié)歸納

五.作業(yè)設(shè)計

教后反思:留白：（供心得體會與反思）

授課時間：年

月—日

九年級數(shù)學(xué)上冊教案

備課人：楊賢

課題：二次根式的乘除

教學(xué)內(nèi)容：21.2二次根式的乘除（第2課時）

知識1會.運用二次根式除法法則進行二次根式的除法運算.

教技能2.會利用商的算術(shù)平方根性質(zhì)化簡二次根式.

學(xué)3.理解最簡二次根式概念，知道二次根式的運算中，一般要把最后結(jié)果化為最簡二

目次根式

標(biāo)過程1.經(jīng)歷觀察、比較、習(xí)，達成目標(biāo)1,2,認識到除法法則只是進行除法運算的第一

方法步，之后如果需要化簡，進行化簡.也可運用概括二次根式除法公式，通過公式的雙

向性得到商的算術(shù)平方根性質(zhì).

2.通過例題分析和學(xué)生練習(xí)分母有理化方法進行二次根式除法.

情感類比二次根式的乘法進行知識與方法的遷移，獲得新知，體驗探索的樂趣.

態(tài)度

重

重點：雙向運用苧=后G*o,b>0）進行二次根式除法運算.

點

難難點：能使用分母有理化方法進行二次根式的除法運算

點

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、復(fù)習(xí)引入（供教師個

導(dǎo)語設(shè)計：卜節(jié)課學(xué)習(xí)了二次根式的乘法，這節(jié)課學(xué)習(xí)二次根式的除法運算.性化設(shè)計）

二、探究新知

（一）二次根式除法法則

活動1、1.填空，完成課本探究1

2.用1中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律比較大小

邁_______II；邁_______[L

氓vlVTvs

活動2、給出二次根式的除法法則

活動3、思考下列問題：

①公式中為什么要加a>0,b>0?

②兩個二次根式相除其實就是不變，相除

練習(xí)：課本例4,在（1）（2）之后補充（3）J4a'4--Ja

歸納：運算的第一步是應(yīng)用二次根式除法法則，最終結(jié)果盡量簡化.

（二）商的算術(shù)平方根性質(zhì)

活動4.將二次根式除法公式逆用得到商的算術(shù)平方根性質(zhì)

完成課本例5

歸納：化簡被開方式含有分數(shù)線的二次根式，就是將分子的算術(shù)平方根做分子，分母

的算術(shù)平方根做分母，再利用積的算術(shù)平方根分別化簡.

例6.計算：

（1）縣（2）3&:（3）提

V5后疝

分析：第一步可以把被開方數(shù)相除，然后告訴學(xué)生被開方數(shù)中不能含有分母，數(shù)必須

是整數(shù)，利用分數(shù)的基本性質(zhì)將分母變成完全平方數(shù)，開方后移到根號外；也可

以直接模仿分數(shù)的基本性質(zhì)和公式（五）2=a,J屋、歷=癡僅20/N0）,以

去掉分母中的根號.

（三）最簡二次根式概念

活動5、讓學(xué)生觀察所做習(xí)題結(jié)果，總結(jié)歸納結(jié)果的特點，得到最簡二次根式的概念.

分析概念：1.被開方數(shù)不含分母的含義指--因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；2.被開方數(shù)中

不能含開得盡方的因數(shù)是指--被開方數(shù)不能分解出完全平方數(shù)；被開方數(shù)中不含

開得盡方的因式是指--被開方數(shù)的每一個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2,因此，每

一個因式的指數(shù)都是1.

完成課本例7

補充：化簡Jx2y4+（y2

注意：被開方數(shù)是和式時,結(jié)果不等于各加數(shù)的算術(shù)平方根的和.

三、課堂訓(xùn)練

完成課本練習(xí).

補充：

1.+1=卜+]成立,求X的取值范圍.

7X-1-VX-1

2.找出下列根式中的最簡二次根式

V8xyjx2+y2

3.判斷下列等式是否成立

歷？=4+32點=6萬

4=點足=2也

|四、小結(jié)歸納

1.二次根式除法公式的雙向運用；

2.進行二次根式除法運算的一般步驟，觀察式子特點靈活選取最優(yōu)解法.

3.最簡二次根X概念

五、作業(yè)設(shè)計

必做：習(xí)題21.2P12：2、3（3）（4）、5、6、7

選做：P13：8、9、10

附：板書設(shè)計

--復(fù)習(xí)引入三.課堂訓(xùn)練

二.探究新知四.小結(jié)歸納

（一）二次根式除法法則五.作業(yè)設(shè)計

（二）商的算術(shù)平方根性

（三）最簡二次根式概念

教后反思:留白：（供心得體會與反思）

授課時間：年

月日

九年級數(shù)學(xué)上冊教案備課

人：楊賢

課題：21.3二次根式的加減

教學(xué)內(nèi)容：21.3二次根式的加減（第1課時）

知識1.知道在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立.

技能2.能熟練將二次根式化簡成最簡二次根式.

教學(xué)3.會運用二次根式加減法法則進行二次根式的加減運算.

目標(biāo)過程1.類比整式加減得到二次根式加減的方法，二者都是系數(shù)的加減運算.

方法2.在學(xué)習(xí)過程中體會有理數(shù)、整式、二次根式運算之間的聯(lián)系，感受數(shù)的擴充過程

中運算性質(zhì)和運算律的一致性以及數(shù)式通性.

重點重點：二次根式加減法運算方法

難點難點：二次根式的化筒，合并被開方數(shù)相同的最簡二次根式.

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、復(fù)習(xí)引入（供教師個

導(dǎo)語設(shè)計：上節(jié)課學(xué)習(xí)了二次根式的乘除法,這節(jié)課學(xué)習(xí)二次根式的加減法運算.性化設(shè)計）

I二、探究新知

（一）二次根式加減法法則

活動1、類比計算，說明理由

①2a+3a;2VT+3VT.

②2a-3a;2VT-3VT.

+ViF

④4gg

思考：（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)能否繼續(xù)使用？

（2）二次根式的加減運算與整式的加減運算相同之處是什么？

（3）什么樣的二次根式能夠合并？

（4）模仿整式的加減運算怎樣進行二次根式的加減運算？

活動2、給出二次根式的加減法法則

分析法則：二次根式加減時，先將非最簡二次根式化為最簡二次根式，再逆用乘法分

配律將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并.被開方數(shù)不同的最簡二次根式不能合并，

作為最后結(jié)果中的部分.

練習(xí)：①課本例1,之后補充（3）V2-Vis（4）.IL-

②課本例2,之后補充（后一、3].、3+或】

分析說明：①中補充（3）結(jié)果為負，（4）含分數(shù)線，作為例1,例2的過渡。（2）

中補充括號前是負號的.

（二）二次根式加減的應(yīng)用

1.課本引例

分析：這個實際問題的解決方法可能不同，還可以先估算兩個正方形的邊長，，再把

它們的和與木板的長比較.

2.課本例3

分析：利用勾股定理解決實際問題，運用二次根式的加減進行計算，計算的最后一步

取近似值，使結(jié)果更精確.

三、課堂訓(xùn)練

完成課本練習(xí)

.補充:

1.下列各組二次根式中，化簡后被開方式相同的是（）

A.-Jah與y/ah2B.y/m2+n2y/m2-n2

CB與D-/3b4與楞手

2.二次根式的計算為什么先學(xué)乘除,后學(xué)加減？還有哪塊知識也是如此?

四、小結(jié)歸納

1.進行二次根式加減運算的一般步驟.

2.二次根式的熟練化簡.

3.二次根式加減的實際應(yīng)用.

五、作業(yè)設(shè)計

習(xí)題21.3P17：1、2

補充作業(yè)：

計算：

(1)—y/2,；(2)2J12+V27；

(3)_^9^；(4)V4x'+2J2x；

(5)J2a:(6)VlT-V3T+V2:

(7)VTT-V5T+V%--VioF；

(8)1(V2+V3)--^-(V2--x/rT)

附：板書設(shè)計

復(fù)習(xí)引入三.課堂訓(xùn)練

二.探究新知四.小結(jié)歸納

(-)二次根式加減法法則1.進行二次根式加減運算的一般步驟.

(二)二次根式加減的應(yīng)用2.二次根式的熟練化簡.

3.二次根式加減的實際應(yīng)用.

五.作業(yè)設(shè)計

教后反思:留白：(供心得體會與反思)

授課時間：年

月一日

九年級數(shù)學(xué)上冊教案

備課人：楊賢

課題：21.3二次根式的加減

教學(xué)內(nèi)容：21.3二次根式的加減(第2課時)

知識在有理數(shù)的混合運算及整式的混合運算的基礎(chǔ)上，使學(xué)生了解二次根式的混合運算

技能與以前所學(xué)知識的關(guān)系，在比較中求得方法，并能熟練地進行二次根式的混合運算.

1.對二次根式的混合運算與整式的混合運算及有理數(shù)的混合運算作比較，注意運算

教學(xué)過程的順序及運算律在計算過程中的作用.并感受數(shù)的擴充過程中運算性質(zhì)和運算律的

目標(biāo)方法一致性以及數(shù)式通性.

2.在運算中運用多項式的乘法法則和整式的乘法公式，體會二次根式的運算與整

式的運算的聯(lián)系.

情感培養(yǎng)學(xué)生的類比運用意識

態(tài)度

重點重點：混合運算的法則，運算律的合理使用.

難點難點：靈活運用運算律、乘法公式等技巧，使計算簡便.

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

1?、復(fù)習(xí)引入1(供教師個

導(dǎo)語設(shè)計：到目前為止，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的乘除、加減運算，這節(jié)課來學(xué)習(xí)性化設(shè)計)

二次根式的混合運算.

1二、探究新知

(一)二次根式混合運算法則

活動1、類比計算，說明理由

①(2a+3b)“；(2五+30)屏

②(2a+3b)(“-b);(VT-V6-VT)

(5)(3ab-4”~)+a;(+dl2)+VT

思考：(1)在有理數(shù)范圍內(nèi)成立的運算律，在實數(shù)范圍內(nèi)能否繼續(xù)使用？

(2)二次根式的混合運算與整式的混合運算相同之處是什么？

(3)左邊式子中的字母a、b可以表示二次根式嗎？

(4)模仿整式的混合運算怎樣進行二次根式的混合運算？

活動2、給出二次根式的混合運算的一般步驟.

分析法則：

(1)進行二次根式混合運算時，運算順序與實數(shù)運算類似，先算乘方，再算乘除，

最后算加減，有括號的先算括號里面的(或先去掉括號).

(2)對于二次根式混合運算，原來學(xué)過的所有運算律、運算法則仍然適用，整式、

分式的運算法則仍然適用。

(3)有括號的二次根式混合運算，去掉括號是最關(guān)鍵的一步.

練習(xí)：①課本例4,之后補充⑶(病_2_而)+后

4

②課本例5,之后補充(5V2+2V5)2

分析說明：①中補充(3)是不能除盡(含分數(shù)線)的類型。②中補充完全平方公

式應(yīng)用.

歸納：二次根式混合運算時:乘法公式仍然適用，仔細觀察式子的特征，靈活運用完

全平方公式、平方差公式來簡化運算.

（二）二次根式混合運算的應(yīng)用

1.若x=VI-1,貝|Jx2+x+l=

2.已知廣。+&/=白-e，求（1）2.+￡；（2）2x+6xy+2y2的值

3.如圖，四邊形ABCD中，AB_LBC,AD_LAB,AB=1,BC=CD=2,求四邊形ABCD的面

積.

三、課堂訓(xùn)練

完成課本練習(xí)BC

.補充：、

1.海倫——秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別、是

a,b,C,設(shè)p=a+卜+c，則三角形的面積為AD

2

S=dP（p-a）。_bXp-c）

公式運用：在AA8c中，BC=4,AC=5,AB=6,求AABC的面積。

四、小結(jié)歸納

1.進行二次根式混合運算的一般步驟.

2.二次根式混合運算時，仔細觀察式子的特征，靈活運用運算法則、運算律、公式來

簡化運算.

2.二次根式混合運算的應(yīng)用.

五、作業(yè)設(shè)計|

必做：P18：4、6、72-------7c

選做：P18：8、9//

1.已知據(jù)=2.236,求5石-9J&+聞的近似值.

4Y5

2.如圖21.3-3在平行四邊形ABCD中，得DEJ_AB,E點在AB上，DE=AE=EB=a,

求平行四邊形ABCD的周長.

附：板書設(shè)計

二.復(fù)習(xí)引入三.課堂訓(xùn)練

二.探究新知四.小結(jié)歸納

（一）二次根式混合運算法則1.進行二次根式加減運算的一般步驟.

（二）二次根式混合運算的應(yīng)用

2.二次根式的熟練化簡.

3.二次根式加減的實際應(yīng)用.

五.作業(yè)設(shè)計

教后反思:留白：（供心得體會與反思）

授課時間：年

月一日

九年級數(shù)學(xué)上冊教案

備課人：楊賢

課題：第21章小結(jié)

教學(xué)內(nèi)容：第21章小結(jié)

知1識1.學(xué)生構(gòu)建知識體系

技能2.通過解決典型的題目，抓住本章要點；解決易出錯的題目，找出錯陷阱和錯因.

教學(xué)3.聯(lián)系實數(shù)，整式，勾股定理等相關(guān)知識進行綜合運用.

目標(biāo)過程1.從知識生成的本質(zhì)和思想方法的本質(zhì)養(yǎng)成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

方法2.經(jīng)歷觀察、思考、交流，熟練、靈活解題.

重點重點：深化理解二次根式的概念和性質(zhì)，熟練進行二次根式的化簡與運算.

難點難點：進一步理解二次根式的性質(zhì)和運算法則的合理性

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、復(fù)習(xí)引入（供教師個

導(dǎo)語設(shè)計：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二次根式的概念，性質(zhì)和運算，這節(jié)課來復(fù)習(xí)并總結(jié)本章性化設(shè)計）

知識.

二、復(fù)習(xí)提升

（一）基礎(chǔ)鞏固

?解答下列各題，注意易讓你犯錯的陷阱

1.若有意義，則x的取值范圍是.

2.下列各式是最簡二次根式的是（）

A.18aB.C.y/h+aD.Ja'

3.下列二次根式中，和反是同類二次根式的是（）

A.>/\2~B.V50"C.ViTD.V24-

4.下列運算正確的是（）

A.v'T+4=7i+V4B，2+V3=2\/3C.J（-2）Z=-2□.正=2班

5.計算：①6(2W+3VI);②7F+ViF

③/-3）；④96-56*五+56）

歸納：本組訓(xùn)練題目典型，易錯，旨在進一步理解二次根式相關(guān)知識，熟練進行二次

根式化簡與運算.

?解答下列各題，注意避免犯上組題中的錯誤，看是否有新的發(fā)現(xiàn).

1.若有意義，則X的取值范圍是.

2.下列各式中不是最簡二次根式的是（）

A.yplB.Vo.5C.VTD.^/is-

3.下列二次根式中，和灰?不是同類二次根式的是（）

A.VFB.^/ig-C.V28-D.^/98-

4.下列計算正確的是（）

A.VT-VT=VTB.VI+VI=Vs

C.J（-3）2=-3D.VT-VT=1

-

5.計算：?（2V24-3AAT）4-V6;②^-+

③（VT+VT）x（VT-VT）；@（VI+i）2+（VI-V6）（V2+V6）

歸納：此組題與上組題考察內(nèi)容相同，但問法不同，更具技巧性.

（二）綜合運用

1.當(dāng)m時，S_3,“有意義.

5—m

2.能使_q仁成立的X的取值范圍是.

V.V-3-x-3

3.若正=_一貝九的取值范圍是.

a

4.若"+3+-2|+（m-21y=0,,則（a+b）m的值是---------

5.當(dāng)0<-3時，化簡J（2a.1）2+J（a+3）2的結(jié)果是.

6.整數(shù)X滿足下列兩個條件：①式子J7卞和圓二7都有意義②V7的值是整數(shù),

則X的值是.

7.以下結(jié)論正確的是.（填序號即可）

①（、/7）=。對一切實數(shù)a都成立②G=㈤對一切實數(shù)a都成立

③式子，7叫做二次根式（4）一個數(shù)的平方根和它的絕對值都是非負數(shù)

8.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：9x，-25的結(jié)果是.

2

9.（VT+VT）x（VT-6）的計算結(jié)果是.

10.已知_],亓求/1+孫2的值.

*=2+事''=2+"3'

11.如圖，有一艘船在點O處測得?小島上的電視塔A在北偏西60°的方向上，前進

20海里到達B處，測得A在船的西北方向，問再向西航行

多少海里，船離電視塔最近？

歸納：

這組題是本章知識的深化運用，有一定的難度，與實數(shù)，有

理式，勾股定理等知識綜合運用.

（三）構(gòu)建知巧體系

I麗令I(lǐng)I*上吊II-w）

赤脛?wù)械腎[加1噌烷侑II

詛冬沅留

三、小結(jié)歸納

1.復(fù)習(xí)鞏固二次根式知識，及于其他相關(guān)知識的聯(lián)系.

2.進?步理解本章知識，熟練解決相關(guān)問題.

3.補充課本未明確給出的概念及相關(guān)題目，拓展知識與能力.

4.構(gòu)建知識體系，納入知識系統(tǒng).

四、作業(yè)設(shè)計

必做：復(fù)習(xí)題21P22：1-8

選做：P22：9-11

附：板書設(shè)計

教后反思：留白：(供心得體會與反思)

授課時間：年

月—日

第二十二章一元二次方程

單元要點分析

教材內(nèi)容

1.本單元教學(xué)的主要內(nèi)容.

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程應(yīng)用題.

2.本單元在教材中的地位與作用.

一元二次方程是在學(xué)習(xí)《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基礎(chǔ)之上學(xué)

習(xí)的，它也是一種數(shù)學(xué)建模的方法.學(xué)好一元二次方程是學(xué)好二次函數(shù)不可或缺的，是學(xué)好

高中數(shù)學(xué)的奠基工程.應(yīng)該說，一元二次方程是本書的重點內(nèi)容.

教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能

了解一元二次方程及有關(guān)概念；掌握通過配方法、公式法、因式分解法降次——解一元

二次方程；掌握依據(jù)實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型的方法；應(yīng)用熟練掌握以上知識

解決問題.

2.過程與方法

(1)通過豐富的實例，讓學(xué)生合作探討，老師點評分析，建立數(shù)學(xué)模型.根據(jù)數(shù)學(xué)模

型恰如其分地給出一元二次方程的概念.

(2)結(jié)合八冊上整式中的有關(guān)概念介紹?元二次方程的派生概念，如二次項等.

(3)通過掌握缺一次項的一元二次方程的解法一直接開方法，導(dǎo)入用配方法解一元

二次方程，又通過大量的練習(xí)鞏固配方法解一元二次方程.

(4)通過用已學(xué)的配方法解ax2+bx+c=0(aWO)導(dǎo)出解一元二次方程的求根公式，接

著討論求根公式的條件：b2-4ac>0,b2-4ac=0,b2-4ac<0.

(5)通過復(fù)習(xí)八年級上冊《整式》的第5節(jié)因式分解進行知識遷移，解決用因式分解

法解一元二次方程，并用練習(xí)鞏固它.

(6)提出問題、分析問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并用該模型解決實際問題.

3.情感、態(tài)度與價值觀

經(jīng)歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關(guān)概念的過程,使同學(xué)們體會到通過一元二

次方程也是刻畫現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型；經(jīng)歷用配方法、公式法、分解

因式法解?元?次方程的過程,使同學(xué)們體會到轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想;經(jīng)歷設(shè)置豐富的問題情景,

使學(xué)生體會到建立數(shù)學(xué)模型解決實際問題的過程，從而更好地理解方程的意義和作用，激發(fā)

學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教學(xué)重點

1.一黨二次方程及其它有關(guān)的概念.

2.用配方法、公式法、因式分解法降次——解一元二次方程.

3.利用實際問題建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并解決這個問題.

教學(xué)難點

1.一元二次方程配方法解題.

2.用公式法解一元二次方程時的討論.

3.建立一元二次方程實際問題的數(shù)學(xué)模型；方程解與實際問題解的區(qū)別.

教學(xué)關(guān)鍵

1.分析實際問題如何建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型.

2.用配方法解一元二次方程的步驟.

3.解一元二次方程公式法的推導(dǎo).

課時劃分

本單元教學(xué)時間約需16課時，具體分配如下：

課時

22.1一元二次方程

課時

22.2降次——解一元二次方程

誨時

實際問題與一元二次方程,

22.3課時

教學(xué)活動、習(xí)題課、小結(jié)3

九年級數(shù)學(xué)上冊教案備

課人：吳振坤

課題：一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容：?元二次方程概念及一元二次方程?般式及有關(guān)概念.

1.通過設(shè)置問題，建立數(shù)學(xué)模型，模仿一元一次方程概念給一元二次方程下定義

教學(xué)2.?元二次方程的?般形式及其有關(guān)概念，解決一些概念性的題目.

目標(biāo)3.通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.

重點一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有關(guān)概念并用這些概念解決問題

難點通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，再由一元?次方程的概念遷移到一元二次方

程的概念.

教學(xué)教師準(zhǔn)備是否需要

準(zhǔn)備學(xué)生準(zhǔn)備課件

教學(xué)過程設(shè)計留白：

一、復(fù)習(xí)引入（供教師個

學(xué)生活動：列方程.性化設(shè)計）

問題（1）《九章算術(shù)》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅

相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”

大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高

和寬各是多少？

如果假設(shè)門的高為X尺，那么，這個門的寬為_______尺，根據(jù)題意，得

整理、化簡，得：__________.

問題（2）要設(shè)計一座2m高的人體雕像，使雕像上部（腰以上）與下部（腰以下）

的高度比，等于下部與全部（全身）的高度比，雕像的下部應(yīng)設(shè)計為多高？

雕像上部的高度AC與下部高度BC應(yīng)有如下關(guān)系：

——AC=——BC即nnBC2=2AC

BC2

設(shè)雕像下部高xm,于是得方程x2=2（2-x）整理得X2+2X-4=0

問題（3）有一面積為54m2的長方形，將它的?邊剪短5m,另一邊剪短2m,恰

好變成一個正方形，那么這個正方形的邊長是多少？

如果假設(shè)剪后的正方形邊長為X,那么原來長方形長是________,寬是______，根

據(jù)題意，得：_______.

整理，得：________

問題4要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽場。根據(jù)場地和

時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀情多少個隊參

賽？

全部比賽的場數(shù)為4X7=28。

設(shè)應(yīng)邀請X個隊參賽，每個隊要與其他（X—1）個隊各賽一場，由于甲隊對乙隊

的比賽和乙隊對甲隊的比賽是同一場比賽，所以全部比賽共（x—1）場。

2

列方程一x（x—1）=28

2

化簡，得x2—x=56.

二、探索新知

學(xué)生活動：請口答下面問題.

（1）上面四個方程整理后含有幾個未知數(shù)？

（3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

老師點評：（1）都只含一個未知數(shù)x；（2）它們的最高次數(shù)都是2次的；（3）

都有等號，是方程.

因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的

最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.

注意：一元二次方程必須滿足三個條件：a只含有一個未知數(shù)；b未知數(shù)的最高次

數(shù)是2；c是整式方程。

一般地，任何一個關(guān)于X的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式

ax2+bx+c=0（a關(guān)0）.這種形式叫做一元二次方程的一般形式.

一個一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（aWO）后，其中ax?是二次項，a是

二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

注意：①在判斷一個方程是否是??元二次方程時，要注意二次項系數(shù)的非零性的限制。

②一般形式的左邊是一個二次三項式右邊為零。

③特殊形式：ax2+bx=0（a0）;ax2+c=0（a*0）;ax2-0（a*0）

如：判斷下列關(guān)于X的方程是否是一元二次方程：

2

①3x?=2x-l②X2+—=0③X2=5@ax2+bx+c=0⑤(x-2)

X

(x+l)=(x+3)(x-l)

@x?+6xy+l=0⑦(m2+l)x2+2m(x—1)+3=0

又如：當(dāng)a為何值時，關(guān)于x的方程(a-3)xbH+(a+3)x+4=0是一元二次方程？(a=-3)

例L將方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項.

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aW0).因此，方程(8-2x)(5-2x)

=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項等.

解：去括號，得：

40-16X-10X+4X2=18

移項，得：4X2-26X+22=0

其中二次項系數(shù)為4,一次項系數(shù)為-26,常數(shù)項為22.

例2.(學(xué)生活動：請二至三位同學(xué)上臺演練)將方程(x+1)2+(x-2)(x+2)

=1化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項、二次項系數(shù)：一次項、一

次項系數(shù)；常數(shù)項.

分析：通過完全平方公式和平方差公式把(x+l)2+(x-2)(x+2)=l化成ax2+bx+c=0

(aWO)的形式.

解：去括號，得：

X2+2X+1+X2-4=1

移項，合并得：2X2+2X-4=0

其中：二次項2x2,二次項系數(shù)2；一次項2x,一次項系數(shù)2；常數(shù)項-4.

三、鞏固練習(xí)

教材P32練習(xí)1、2

四、應(yīng)用拓展

例3.求證：關(guān)于x的方程(n?-8m+17)x2+2mx+l=0,不論m取何值，該方程都

是一元二次方程.

分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明n/-8m+17豐

0即可.

證明：m2-8m+17=(m-4)2+1

(m-4)2>0

(m-4)2+1>0,即(m-4)2+1^0

二不論m取何值，該方程都是一元二次方程.

五、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)

本節(jié)課要掌握：

(1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a^O)

和二次項、二次項系數(shù)，一次項、一次項系數(shù)，常數(shù)項的概念及其它們的運用.

六、布置作業(yè)

1.教材P28習(xí)題22.11、2.

2.選用作業(yè)設(shè)計.

作業(yè)設(shè)計

填空題

1.方程3x2-3=2x+l的二次項系數(shù)為________,一次項系數(shù)為_________,常數(shù)項

為_________-

2.一元二次方程的一般形式是__________.

3.關(guān)于x的方程(a-1)x2+3x=0是一元二次方程，則