近幾年導(dǎo)數(shù)與函數(shù)高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編

2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：導(dǎo)數(shù)與積分

一、選擇題

.(2012年高考(浙江理))設(shè)a>0,b>0.)

A.若2"+2。=2"+3》，貝ija>6B.若2"+2a=2"+3b,貝I」a"

C.函數(shù)/(x)有極大值/(2)和極小值/(-2)

D.函數(shù)/(x)有極大值/(-2)和極小值/(2)

.(2012年高考(陜西理))設(shè)函數(shù)/(x)=xe、，則()

A.x=l為/(x)的極大值點(diǎn)B.x=l為/(x)的極小值點(diǎn)

C.x=-l為/(X)的極大值點(diǎn)D.x=-l為/(x)的極小值點(diǎn)

.(2012年高考(山東理))設(shè)。>0且。#1,貝1」“函數(shù)/。)=。'在??上是減函數(shù)”，是“函

數(shù)g(x)=(2-a)V在R上是增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

.(2012年高考(湖北理))已知二次函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示,則它與x軸所圍圖形的

面積為

2714371

A.B.C.D.

T322

.(2012年高考(福建理))如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P,

則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為

1

A.B.C.D.

456

.(2012年高考(大綱理))已知函數(shù)y=/一3x+c的圖像與x軸恰有兩個公

共點(diǎn)，則c=()

A.-2或2B.一9或3C.-1或1D.-3或1

二、填空題

.(2012年高考(上海理))已知函數(shù)丁=/(x)的圖像是折線段力園若中

4(0,0),8舊，5),以1,0).

函數(shù)y=xf(x)(0<x<l)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為_______.

.(2012年高考(山東理))設(shè)a〉O.若曲線)，=正與直線x=a,y=O所圍成封閉圖形的面

積為a2,則a=__.

.(2012年高考(江西理))計算定積分，(f+sinx)dx=.

.(2012年高考(廣東理))曲線y=-x+3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程為.

三、解答題

.(2012年高考(天津理))已知函數(shù)/(x)=x—ln(x+a)的最小值為0,其中。>0.

(I)求。的值；

(II)若對任意的xe[0,+oo),有/(x)<kx2成立,求實(shí)數(shù)k的最小值；

(III)證明Z-....In(2/?+1)<2(〃eN*).

(=<2?-1

.(2012年高考(新課標(biāo)理))已知函數(shù)/(x)滿足滿足/(x)=/'(l)ei—/(O)x+；f;

(1)求/(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

1,,

⑵若/(%)>—X'+ax+b,^.(a+l)b的最大值.

.(2012年高考(浙江理))已知a>O"eR,函數(shù)/%)=4依3-2加一”+6.

(1)證明：當(dāng)0M忘1時，

(i)函數(shù)“X)的最大值為I2a-b\+a;

(ii)f(A)+12a~b+a>0;

(ID若-1W/(x)Wl對xc[O,1]恒成立，求a+6的取值范圍.

.(2012年高考(重慶理))(本小題滿分13分，(I)小問6分，(H)小問7分.)

設(shè)/(x)=alnx+'+3x+l,其中aeR,曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線垂直

2x2

于y軸.

(I)求。的值；

(II)求函數(shù)/(x)的極值.

.(2012年高考(陜西理))設(shè)函數(shù)/“(x)=+/?x+c(neN+，b,ceR)

(1)設(shè)〃22,b=l,c=—1,證明：0(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；

⑵設(shè)〃=2,若對任意和々€[—1,1],有I&(%)—人(々)K4,求匕的取值范圍；

⑶在⑴的條件下，設(shè)當(dāng)是，(x)在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列々,彳3,…,x,…的增減

性.

.(2012年高考(山東理))已知函數(shù)/(>)=■1~n二xA-一1c(左為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)

e

的底數(shù))，曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線與x軸平行.

(I)求上的值;

(H)求/(*)的單調(diào)區(qū)間;

(III)設(shè)g(x)=(一+幻/”)，其中八X)為/(X)的導(dǎo)函數(shù).證明：對任意

x>O,g(x)<l+e~2.

.(2012年高考(遼寧理))設(shè)/(x)=lnX+l)+Vx+l+a滸。(a/eH,a/為常數(shù))，曲線

y=/(x)與

3

直線y=；x在(0,0)點(diǎn)相切.

(I)求a,6的值.

(II)證明：當(dāng)0<x<2時，

x+6

.(2012年高考(江蘇))若函數(shù)y=/(x)在x=x()處取得極大值或極小值，則稱/為函數(shù)

y=/(x)的極值點(diǎn).

已知a,b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)/(%)=/+a/+bx的兩個極值點(diǎn).

(1)求a和b的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)的導(dǎo)函數(shù)g'(x)=/(》)+2,求g(x)的極值點(diǎn);

(3)設(shè)h[x)=/(/(x))-c,其中ce[-2,2],求函數(shù)y=h(x)的零點(diǎn)個數(shù).

.(2012年高考(湖南理))已知函數(shù)f(x)==e"-x,其中aWO.

(1)若對一切xWR,/(x)恒成立,求a的取值集合.

(2)在函數(shù)/(x)的圖像上取定兩點(diǎn)4陽J(xJ),8(々,/。2))(王<々)，記直線AB的

斜率為K,問:是否存在x°e⑶,xz),使/'(%)>k成立?若存在，求與的取值范圍；若不存

在,請說明理由.

.(2012年高考(湖北理))(I)已知函數(shù)/(x)=rx-/+(l-r)(x>0),其中r為有理數(shù)，且

0<r<l.求/(x)的

最小值；

(H)試用(I)的結(jié)果證明如下命題：

2

設(shè)qWO,a?W0,4，b2為正有理數(shù).若伉+打=1，則a^a/<atbt+a2b2;

(in)請將(H)中的命題推廣到一般形式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.

注：當(dāng)。為正有理數(shù)時,有求導(dǎo)公式{xaS=axa''.

.(2012年高考(廣東理))(不等式、導(dǎo)數(shù))設(shè)”1,集合

A={xeH|x>0},8=k叫2/-3(1+少+64>0},D=AC\B.

(I)求集合。(用區(qū)間表示)；

(II)求函數(shù)f(x)=2x3-3(1+”卜2+6”x在。內(nèi)的極值點(diǎn).

.(2012年高考(福建理))已知函數(shù)/(x)=/+o?_ex(aeR).

(I)若曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,/(I))處的切線平行于x軸,求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間；

(II)試確定a的取值范圍，使得曲線y=/(%)上存在唯一的點(diǎn)P,曲線在該點(diǎn)處的切

線與曲線只有一個公共點(diǎn)P.

.(2012年高考(大綱理))(注意:在試題卷上作答無效)

設(shè)函數(shù)/(x)=ax+cosx,xe[0,TI\.

⑴討論/(x)的單調(diào)性;

⑵設(shè)/(x)W1+sinX,求a的取值范圍.

.(2012年高考(北京理))已知函數(shù)/(x)=ax?+1(a>0),g(x)=x3+bx.

(1)若曲線y=/(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線，求a,b的

值；

(2)當(dāng)/=4b時,求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間，并求其在區(qū)間(-oo,-l］上的最大值.

.(2012年高考(安徽理))(本小題滿分13分)設(shè)/(x)=a/+」一+0(a>0)

aex

⑴求/'(X)在。+oo)上的最小值；

3

(H)設(shè)曲線y=/(x)在點(diǎn)(2,/(2))的切線方程為y=/x;求的直

2012年高考真題理科數(shù)學(xué)解析匯編：導(dǎo)數(shù)參考答案

一、選擇題

【答案】A

【解析】若2a+2a=2h+3b,必有2?+2〃>2"+2/7.構(gòu)造函數(shù)：f(x)=2'+2x,則

/'(x)=2Jln2+2>0恒成立，故有函數(shù)/(x)=2，+2x在x>0上單調(diào)遞增，即a>b成立.

其余選項(xiàng)用同樣方法排除.

【答案】D

【解析】x<-2,l-x>0,由(1—x)/(x)〉O=r(x)〉O,函數(shù)/(x)為增；

—由(1一無)/'(x)<0=/'(x)<0,函數(shù)/(x)為減；

l<x<2,l-x<0,由(l-x)/'(x)〉Onf'(x)<0,函數(shù)/(x)為減；

x>2,l-x<0,由(l-x)f'(r)<0=/'(x)>0,函數(shù)>(x),為增.

【考點(diǎn)定位】判斷函數(shù)的單調(diào)性—般利用導(dǎo)函數(shù)的符號，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0,則函數(shù)為增，

當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0則函數(shù)遞減.

解析：/'口)=(工+1)",令廣(幻=0,得》=—1,x<-1時,/'(x)<0,/(x)=xe'為減

函數(shù)；x>-1時，/'(x)>0,/(x)=xe”為增函數(shù)，所以x=-l為/(x)的極小值點(diǎn)，選

D.

【解析】若函數(shù)/(x)=/在R上為減函數(shù),則有0<a<1.函數(shù)g(x)=(2-a)x3為增函

數(shù)，則有2-。>0,所以。<2,所以“函數(shù)/(x)=a*在R上為減函數(shù)”是“函數(shù)

g(x)=(2-a)x3為增函數(shù)”的充分不必要條件,選A.

考點(diǎn)分析：本題考察利用定積分求面積.

解析：根據(jù)圖像可得：y=f(x)=-x2+l,再由定積分的幾何意義，可求得面積為

S=[(-/+1世=(一9+x)\=g.

【答案】C

?o31111

【解析】「S陰，“=[(&—外公=(一戶——x2)=—SF=1,故？=一，答案C

“'力32o66

【考點(diǎn)定位】本題主要考查幾何概型的概率和定積分，考查推理能力、計算求解能力.

答案A

【命題意圖】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究三次函數(shù)中的極值的運(yùn)用.要是函數(shù)圖像與

x軸有兩個不同的交點(diǎn)，則需要滿足極佳中一個為零即可.

【解析】因?yàn)槿魏瘮?shù)的圖像與X軸恰有兩個公共點(diǎn),結(jié)合該函數(shù)的圖像,可得極大值或

者極小值為零即可滿足要求.而/'(x)=_3=3(x-)(x+l)，當(dāng)X=±1時取得極值

由/(1)=0或/(—1)=0可得c-2=0或c+2=0,即。=±2.

二、填空題

10x,0<X<y

［解析］如圖1,/(x)=〈

10-10x,i<x<l

10x2,0<x<1

所以y=xf(x)=<

-10x2+10x,1<x<l

易知,尸xf(x)的分段解析式中的兩部分拋物線形狀完全相同,只是開口方向及頂點(diǎn)位置

不同，如圖2,封閉圖形MNO'jOMP全等,面積相等，故所求面積即為矩形ODMP的面積

?S=-2Xx—2=—40

［評注］對于曲邊圖形,上海現(xiàn)行教材中不出微積分,能用微積分求此面積的考生恐是極

少的，而對于極大部分考生,等積變換是唯一的出路.

KII—9-?--94

【解析】由已知得5=［V7=-X2|；=±。2=。2所以所以。=?

」)3°339

2

-【解析】本題考查有關(guān)多項(xiàng)式函數(shù)，三角函數(shù)定積分的應(yīng)用.

3

(/+sinx)dx=,一cosxl\=-cos"--cos11=g+g=g.

x

【點(diǎn)評】這里,許多學(xué)生容易把原函數(shù)寫成上+cosx,主要是把三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記

3

混而引起的.體現(xiàn)考綱中要求了解定積分的概念.來年需要注意定積分的幾何意義求曲

面面積等.

解析：2x—y+1=0.y'(=］=3x/-1=2,所以切線方程為)1-3=2(x-l),即2x—y+1=0.

三、解答題

【命題意圖】本試題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式等基礎(chǔ)知

識，考查函數(shù)思想、分類討論思想、考查綜合分析和解決問題的能力.

(1)/(x)的定義域?yàn)?-a,+co)

/(x)=x-ln(x+a)=>f'(x)-1——~!—='上"一-=0<=>x=l-a>-a

x+ax+a

/'(x)>0o尤>1一a,f'(x)<Qa>-a<x<l-a

得：x=l—a時，/(x)而n=/(1一。)=1一4=0=4=1

(2)設(shè)g(x)-kx2-f(x)-kx1—x+ln(x+l)(x>0)

則g(x)20在xe[0,+oo)上恒成立og(x)min>0=g(0)(*)

g⑴=k-l+ln2N0=A>0

1x(2kx+2k-\)

g(x)=2kx-1+----=-------------

x+1x+1

11-2k

①當(dāng)2女一l<0(攵<一)時，g'(x)W0=0Mx〈-----=%=>8(/)<8(0)=0與(*)

22k

矛盾

②當(dāng)時，g'(X)N0=g(X)min=g(0>。符合(*)

得：實(shí)數(shù)k的最小值為；(Ifxlby)

11

(3)由(2)得：1-111(1+1)<5/對任意的工>0值恒成立

22

取工=二~~^(i=l,2,3「??,〃)：--[ln(2z+l)-ln(2/-l)]<—

2i-\

〃2

當(dāng)〃=1時，2-ln3<2得：----In(2n+l)<2(lbylfx)

i=i2z_1

211

當(dāng)iN2時，一

(2/-l)z2i-3~2i-l

〃21

得：Y[------ln(2j+l)+ln(2?-l)]<2-ln3+l-------<2

2i-i2n-l

【點(diǎn)評】試題分為三問，題面比較簡單,給出的函數(shù)比較常規(guī),因此入手對于同學(xué)們來說

沒有難度，第二問中，解含參數(shù)的不等式時,要注意題中參數(shù)的討論所有的限制條件,從

而做到不重不漏;第三問中，證明不等式,應(yīng)借助于導(dǎo)數(shù)證不等式的方法進(jìn)行.

【解析】⑴/(x)=/Wv''-/(0)x+lx2n/。)=fXl)ex-'-f(0)+x

令x=1得：/(0)=1

f(x)=f^ex-'-x+^x2=>/(0)=/W'=1?f(\)=e

網(wǎng)]

得：/(x)=e—+#ng(x)=r(x)=，T+x

g'(x)=e"+1>0=>y=g(x)在x￡K上單調(diào)遞增

尸(x)>0=/(0)=x>0J'(x)<0=/'(0)=x<0

得：/(x)的解析式為/(x)=e*—x+gf

且單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)

(2)/(x)>^x2+ax+b<^>〃(x)=e*-(a+l)x-620得〃'(x)=ex-(a+1)

①當(dāng)a+1W0時，〃'(x)>0=y=h(x)在xeR上單調(diào)遞增

xf-oo時，h(x)f-oo與h(x)>0矛盾

②當(dāng)a+1>0時，〃'(龍)>0u>x>ln(a+l),6'(x)<0=x<ln(〃+1)［來源:21世紀(jì)

教育網(wǎng)］

得：當(dāng)X=hl(Q+1)時，"(X)min=3+1)-(a+1)此(4+1)-6N0

(a+l)bW(a+1)2-(a+1)2In1)(。+l>0

r

令F(x)=/-/令x*>0),則F(x)=x(l-2Inx)

F(x)>0=0<x<yfe,Fr(x)<0<=>x>

當(dāng)X=時，歹(X)max=]

當(dāng)a=="■時，(a+l)b的最大值為1

【解析】本題主要考察不等式,導(dǎo)數(shù),單調(diào)性,線性規(guī)劃等知識點(diǎn)及綜合運(yùn)用能力.

(I)

(i)f'(x)=nax2-2b.

當(dāng)b《Q時，/'(.。=12蘇-28>0在OWxWl上恒成立，

止匕時f(x)的最大值為：f=4a-2b-a+b=3a—b=\2a-b\+a;

當(dāng)b>0時，/(x)=12#-幼在OWxWl上的正負(fù)性不能判斷,

此時/(x)的最大值為:

(b-a,b>2a

工皿(v)=max{/(0),/(l)}^i(iax{(/?)-?)3a-b}=\ia-b,b<2a-\2a~b\+a;

綜上所述：函數(shù)/(x)在OWxWl上的最大值為|2a-6+a;

(ii)要證“x)+|2年引+a20,即證g(x)=-〃x)W|2a-引+a

亦即證g(x)在OWxWl上的最大值小于(或等于)\2a-b+a,

;g(x)=+2"+。一/?,???令g，(x)=—12〃九2+2匕=。=x=.—

V6ai

當(dāng)bWO時，g，(x)=-12Qx2+2八0在上恒成立，V

止匕時g(A)的最大值為：^(0)=a-b<3a-b=\2a-b\+a;

當(dāng)b<0時，/(耳=-12辦2+2〃在0★牙41上的正負(fù)性不能判斷，

gmaxG)=max{g(.

+。一匕,V〃—2a}

4

+a-b,b￡6a

3

b>6a

b-2a,

W12a~b\+a;

綜上所述：函數(shù)g(x)在OWxWl上的最大值小于(或等于)2a-b\+a.

即/(x)+|2a-6：+a20在OWxWl上恒成立.

(II)由(1)知：函數(shù)“X)在0＜后1上的最大值為12片引+a,

且函數(shù)/(x)在上的最小值比-(|2a-6+a)要大.

；-1W”x)W1對xe[0,1]恒成立，

2a~b\+aWl.

取6為縱軸,a為橫軸.

則可行域?yàn)椋寒a(chǎn)2a和產(chǎn)2“目標(biāo)函數(shù)為?

b—a<13a—b<\

作圖如下：

由圖易得：當(dāng)目標(biāo)函數(shù)為元a+6過P(l,2)時，有z四=3,ZmL-L

所求a+6的取值范圍為：卜1,3].

【答案】(I)見解析；(II)[-1,3].

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)的最值及其幾何意

義,兩條直線平行的判定等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.

解：(1)因/(x)=alnxH----故fix']--------------------+—

')2x2y'xlx12

由于曲線y=/(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線垂直于y軸，故該切線斜率為0,即

*1)=0，

13

從而。一±+±=0,解得4=—1

22

13

(2)由(1)知/(%)=-lnx+^—h—x+1(x>0),

1133X2-2X-1

/。)=------1-=-------

xlx122x2

(3x+l)(x-l)

2x2

令/'(力=0,解得再=1,9=一；(因々=一^不在定義域內(nèi)，舍去)，

當(dāng)xe(O,l)時，r(x)<0,故/(X)在(0,1)上為減函數(shù)；

當(dāng)xe(l,+8)時，/'(x)〉0,故/(x)在(1,+8)上為增函數(shù);

故/(x)在x=1處取得極小值41)=3.

M

解析：(1)b=l,c=-l,n>2時，fn(x)=x+x-1

.?"，(》/“⑴=—)x1<0，?.?￡(X)在(J,1)內(nèi)存在零點(diǎn).

又當(dāng)時，,,

fi；M=nx-'+\>Q

...力(x)在(g,l)上是單調(diào)遞增的,所以人(x)在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).

當(dāng)〃時，1

(2)=2/2(x)=x+bx+c

對任意和々￡[-”]都有?人(再)-人(々)K4等價于上⑴在上最大值與最小

值之差M<4,據(jù)此分類討論如下：(i)當(dāng)I^|>1,即|b|>2時1

2

M=1人⑴一人(—1)1=2161〉4,與題設(shè)矛盾

h

(ii)當(dāng)一14一一<0,即0<642時,

2

恒成立

M=/2(-1)-/2(-1)=§+1)2<4

b

(iii)當(dāng)0<上<1,即一2<。<0時，

2

bb

2恒成立.

^=^(-D-/2(--)=(--1)44

綜上可知，-2WbW2

注：(ii)(iii)也可合并證明如下:

b

用max{a,b}表示。力中的較大者.當(dāng)一14彳41,即一24662時，

M=max{/2(l),^(-l))-72(-1)

=/2(-1)+力⑴+"2(T)—2⑴?—力(_2)

b2

=l+c+l/?I-(---+c)

=(1+凹)2〈4恒成立

2

⑶證法一設(shè)x“是力(x)在(g,1)內(nèi)的唯一零點(diǎn)(〃>2)

力(小)=琛:+七川—，

fn(x“)=X：+x“—1,+11=0,Xn+le(；1]

于是有fn區(qū))=0=加(J)=琛;+X,i+1-1<<1+x?+l-l=/?(xn+1)

又由⑴知力(x)在上是遞增的，故x“<x”+|(〃22),

所以，數(shù)列々，七,乙…是遞增數(shù)列.

證法二設(shè)五是力(x)在內(nèi)的唯一零點(diǎn)

篇每)端(1)=(琛-1)(1角+1-1)

=x；"+x,T<x；：+x“T=O

則力+1(X)的零點(diǎn)%在(x.,l)內(nèi)，故蜜<%(?>2),

所以，數(shù)列/，/，…，X”…是遞增數(shù)列.

?1----k-inxI/

解析：由f(x)=n可得f'(x)=3-------------，而/⑴=0,即上與=0,解得

eee

k=l;

1,,

—1-inx

(ID/(x)=4------------，令/'(x)=0可得x=l,

e

當(dāng)0cx<1時，fr(x)=’-l-lnx>0;當(dāng)x>l時，，fr(x)=--l-lnx<0.

xx

于是/(X)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù);在(1,+8)內(nèi)為減函數(shù).

--1-lnx

1-x2-(x2+x)Inx

(III)g(x)=(x2+x)—------------

(1)當(dāng)x21時，1―一<0,Inx>0,x2+x>0,ex>0,g(x)<0<l+e-2.

11?

—1—Inx

(2)當(dāng)0<x<1時,要證g(x)=(x2+x)*------------<l+e-2.

ex

Y4-1l+e=

只需證q即可

1一元(1+Inx)

JV+1

設(shè)函數(shù)p(x)=------,q(x)=l-x(l+lnx),xe(0,1).

ee

一X

則“(x)=—<0,q'(x)=—2—InX,xw(0,1),

X+]

則當(dāng)0<x<1時p(x)=:-----<p(0)=1,

ee

令qr(x)=-2-Inx=0解得x=e~2E(0,1),

當(dāng)xc(0,e")時/(x)>0;當(dāng)工￡(e"J)時qr(x)<0,

則當(dāng)0<x<1時q(x)=1-x(l+Inx)<q(e~2)=1+e',且q(x)>0,

1+e-2l+e-2r+11+e~2

則一———2=i,于是可知當(dāng)o<%<i時q<————成立

l-x(l+lnx)1+0-2/l-x(l+Inx)

綜合⑴⑵可知對任意x〉0,g(x)<1+。-2恒成立.

另證1:設(shè)函數(shù)p(x)=—,xe(0,1),則p'(x)=,<0,

eeex

r-4-1

則當(dāng)0<X<1時p(x)=--<p(0)=1,

ex

1,,

—1-Inx[

于是當(dāng)0<x<l時，要證g(x)=(x2+x)且---------<x(--l-lnx)<l+e-2,

exx

1°

只需證M——1-Inx)<14-e2即可，

x

設(shè)q(x)=1-x(l+Inx),xe(0,1),q'(x)=1-x(l4-Inx),

令qf(x)=-2-Inx=0解得x=e~2G(0,1),

當(dāng)x￡(0,6—2)時q\x)>0;當(dāng)x￡(e~2,l)時q'(x)<0,

則當(dāng)0vx<1時q(x)=1-x(l+Inx)<q(e~2)=1+e一?，

1??

——1-lnx

于是可知當(dāng)0<X<1時(爐+X)且---------<1+/2成立

ex

綜合(1)(2)可知對任意x>0,g(x)<1+。一2恒成立.

另證2:根據(jù)重要不等式當(dāng)0<x<l時ln(x+l)<x,即x+l<e"

1??

——1-lnx1

于是不等式g(x)=(x2+x)義---------<x(--l-lnx)<l+e-2,

exx

設(shè)q(x)=1-x(l+Inx),x€(0,1),q'(x)=l-x(l+lnx),

令/(x)=—2—Inx=0解得x=e-2G(0,1),

當(dāng)x￡(0,e2)時q\x)>0;當(dāng)x￡(e-2,l)時q\x)<0,

則當(dāng)0<x<1時q(x)=l-x(l+lnx)<q(e~2)=1+e~2,

11,

—I-Inx

于是可知當(dāng)0<x<l時(/+x)3—-——<\+e-2成立.

【答案】解：(1)由/(x)=x3+ax2+bx,得/*(x)=3x2+2ax+b.

和一1是函數(shù)/。)=/+爾+必的兩個極值點(diǎn)，

f(1)=3+2a+b=0,八-1)=3-2"+6=。,解得a=0,b=—3.

(2)V由⑴得，/(x)=/-3x,

32

g'(x)=f(x)+2=x-3x+2=(x-l)(x+2),解得xx=x2=\,x3=-2.

,當(dāng)x<-2時，g'(x)<0;當(dāng)-2<x<1時，g\x)>0,

?*.x=-2是g(x)的極值點(diǎn).

,當(dāng)-2Vx<1或x>I時，g'(無)>0,x=\不是g(x)的極值點(diǎn).

...g(x)的極值點(diǎn)是-2.

(3)令f(x)=t,則h(x)=/(/)-c.

先討論關(guān)于x的方程f(x)=d根的情況：de[-2,2]

當(dāng)冏=2時，由(2)可知，/(x)=-2的兩個不同的根為I和一2，注意到f(x)是奇函

數(shù)，/(x)=2的兩個不同的根為一和2.

當(dāng)同<2時，：/(_1)_44(2-d)=2-d>0,f(\)-d=f(-2-d)=-2-d<0,

/.-2,-1,1,2都不是/(x)=d的根.

由⑴知f(x)=3(x+D(x-l).

①當(dāng)xw(2,+8)時，/(x)>0，于是/(x)是單調(diào)增函數(shù)，從而f(x)>〃2)=2.

此時f(x)=d在(2,+8)無實(shí)根.

②當(dāng)xe(l,2)時/(x)>0,于是/(x)是單調(diào)增函數(shù).

又?:/⑴—d<0,〃2)-d>0,)4(幻—d的圖象不間斷，

Af(x)=d在(1,2)內(nèi)有唯一實(shí)根.

同理，/(x)=4在(一2,—I)內(nèi)有唯一實(shí)根.

③當(dāng)xe(-L1)時，/(x)v0,于是/(x)是單調(diào)減兩數(shù).

XV/(-l)-J＞0,/(l)-d＜0,y￥(x)-d的圖象不間斷，

〃x)=d在(一1,1)內(nèi)有唯一實(shí)根.

因此，當(dāng)同=2時，/(x)=d有兩個不同的根X],々滿足圖=1,網(wǎng)=2;當(dāng)同＜2時

f(x)=d有三個不同的根x,x,滿足聞＜2,i=3,

x3,54,5.

現(xiàn)考慮函數(shù)y=〃(x)的零點(diǎn)：

(i)當(dāng)上|=2時，f(f)=c有兩個根卬乃，滿足11|=1也|=2?

而/(x)=G有三個不同的根，f(x)=t2有兩個不同的根,故y=/?(%)有5個零點(diǎn).

)當(dāng)同時有三個不同的根，滿足

(11＜2，/(r)=c3,(44，|“＜2,i=3,4,5.

而〃x)="i=3,4,5)有三個不同的根，故y=/?(x)有9個零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)卜|=2時，函數(shù)y=/?(x)有5個零點(diǎn)；當(dāng)問＜2時，函數(shù)y=/?(x)有9個零

點(diǎn).

【考點(diǎn)】函數(shù)的概念和性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

【解析】⑴求出y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)1和-1是函數(shù)y=/(x)的兩個極值點(diǎn)代入列

方程組求解即可.

(2)由(1)得，/(X)=1_3x,求出g'(x),令g'(x)=O,求解討論即可.

(3)比較復(fù)雜，先分囿=2和囿＜2討論關(guān)于x的方程/(x)=d根的情況；再考慮函數(shù)

)?=〃*)的零點(diǎn).

【解析】(I)若。＜0,則對一切x＞0,f(x)=e"'—x＜l,這與題設(shè)矛盾，又4H0,

故a〉0.

而f'(x)-aeax—1,令/'(x)=0,得x=—In—.

aa

當(dāng)x＜Lln，時，/'(幻＜0,/(》)單調(diào)遞減;當(dāng)》＞，111，時，/(x)〉0,/(x)單調(diào)遞增,

aaaa

故當(dāng)x=Lin'時，/(x)取最小值/(Lln1)=L—Lin'.

aaaaaaa

于是對一切X€/?,/(%)＞1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

111

--------In—＞1.①

aaa

令g?)二，一"nf,則g'Q)=-Inz.

當(dāng)0＜，＜l時，g'⑺＞0,g(f)單調(diào)遞增；當(dāng)，＞1時，g'“)＜0,g⑺單調(diào)遞減.

故當(dāng)f=1時，g?)取最大值g⑴=1.因此，當(dāng)且僅當(dāng)工=1即a=1時,①式成立.

a

綜上所述，a的取值集合為{1}.

at2ax

心―，/(x2)-/(x.)e-e',

(H)由題意知，k=J?J、iJ---------1.

x2-xxx2-x1

令叭x)-f\x)-k=aeax------:—，則

x2一百

夕(西)=-------

%一再

ax2

令歹(f)=d-f—l,則F(f)=e'一1.

當(dāng)f<0時，/'?)<0,/;'(。單調(diào)遞減；當(dāng)，〉0時，/a)>O,FQ)單調(diào)遞增.

故當(dāng)f=0,Q⑺>“0)=0,即e’T-l>0.

a(x

從而e"*』)—4(々一f)_1>0,e'-^-a(xl-x2)-l>0,又

儲叫.哂

——>0,——>0,

x2一須x2-x]

所以9(%)<0,(p(x2)>0.

因?yàn)楹瘮?shù)y=0(x)在區(qū)間[和X2]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在

2ax

xQe(X],/)使夕(10)=°，(p'(.x)=ae>0,(p(x)單調(diào)遞增，故這樣的c是唯一的，且

c=-ln-一工一.故當(dāng)且僅當(dāng)xe(-In-——時，f(x0)>k.

aa(x2-x()aa(x2—%,)

綜上所述,存在x()€(司,犬2)使/'(Xo)>k成立.且小的取值范圍為

1e-e",、

(-In-------,x2).

aa(x2-x,)

【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值、不等式恒成立問題等，考查運(yùn)算

能力,考查分類討論思想、函數(shù)與方程思想,轉(zhuǎn)化與劃歸思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問利

用導(dǎo)函數(shù)法求出/(x)取最小值/dln')=L—LlnL對一切xGR,f(x)21恒成立

aaaaa

轉(zhuǎn)化為/(x)min>1,從而得出a的取值集合;第二問在假設(shè)存在的情況下進(jìn)行推理,通過

構(gòu)造函數(shù),研究這個函數(shù)的單調(diào)性及最值來進(jìn)行分析判斷.

考點(diǎn)分析:本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,并結(jié)合推理,考察數(shù)學(xué)歸納法,對考生的歸

納推理能力有較高要求.

解析：(I)f'(x)=r-rxr~l=r(l-xr-1),令f'(x)=0,解得x=1.

當(dāng)0<x<l時，/'(x)<0,所以/(x)在(0,1)內(nèi)是減函數(shù);

當(dāng)x>\時，f'(x)>0,所以/(x)在(1,+8)內(nèi)是增函數(shù).

故函數(shù)/(x)在x=l處取得最小值/⑴=0.

(II)由(I)知,當(dāng)xe(0,+oo)時，有/(1)=0,即x'4rx+(l-r)①

若4，/中有一個為°，則q"%"-aA+.%成立;

若q,生均不為0，又4+優(yōu)=1，可得&=1-4,于是

在①中令x=2,r=伉，可得(幺戶4伉&+(1-仇)，

a2a2a2

即aJ媼一"4。向+%(1—優(yōu))，亦即a：'心<a^b1+a2b2.

綜上，對q20,出20，4，4為正有理數(shù)旦年+仇=1,總有a，4他-。占+a2b2.②

(111)(11)中命題的推廣形式為

設(shè)如出，…，4為非負(fù)實(shí)數(shù)，M%,…，2為正有理數(shù).

若4+%+…+么=1,則〃，碎"4〃占+a2b24--??+anbn.③

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

⑴當(dāng)口=1時，4=1,有qWq,③成立.

⑵假設(shè)當(dāng)〃=%時，③成立，即若囚,生,…嗎為非負(fù)實(shí)數(shù)，々也，…也為正有理數(shù),

且4+%4---\-bk=1,貝lj〃，碎…<afy+a2b2+…+akbk.

當(dāng)〃=攵+1時，已知q,6…，為，磯為非負(fù)實(shí)數(shù)，仇也，…也也+1為正有理數(shù)，

且仇+%+???+”+4討=1，此時0<4+<1，即>0,于是

鳳__bk

—…靖皓;=d磅…d)皓；=(。］也"??4a)i“我;.

因由歸納假設(shè)可得

1-4+11-%i*+i

bk_岫+a2b2+…+。也

1一4+11一4+1

z、i—4+1

從而峭碎…瘴哈：4|a*"；"+"*山?

I1-瓦.J

又因(1一4”)+%=1,由②得

、1-4+]

afy+ab+…+ab

22kk,(1-磯)+4+自+]

l*+i>

=a向+a2b2+-?■+akbk+ak+lbk+l,

從而4。4+。2b2?+1■。也+4*也+「

故當(dāng)n=k+l時,③成立.

由(1)(2)可知,對一切正整數(shù)n,所推廣的命題成立.

說明：(HI)中如果推廣形式中指出③式對〃22成立，則后續(xù)證明中不需討論n=1的情

況.

解析：(I)考慮不等式2/一3(1+。k+6。>0的解.

因?yàn)楣?[-3(1+明2-4*2、6“=3(4-3)(34-1),且“<1,所以可分以下三種情況：

①當(dāng);<a<l時，△<(),此時8=R,D=A=(0,+oo).

②當(dāng)a=g時，△=(),此時B={x|xwl},D=(0,l)U(l,+oo).

③當(dāng)時，A>0,此時2x?-3(1+a)x+6a=0有兩根，設(shè)為玉、x2,且西<々，則

3(l+a)_"3("3)(3"l)3(l+a)+j3(a—3)(3a-1)一”

X]—，=，JZtd

4“4

B=1x|x<再或X>12}?

13

當(dāng)0<。<§時，x,+x2=^(1+a)>0,XjX2=3d>0,所以x2>Xj>0,此時

D=(0,X,)U(A:2,+OO);當(dāng)aW0時，x}x2=3〃40,所以玉K0,x2>0,此時D=(x2,+oo).

綜上所述，當(dāng)時，D=A=(0,4-oo);當(dāng)〃二;時，￡>=(0,l)U(l,+°o)；當(dāng)0<〃<：

時,。=(O,XJU(%2，+8)；當(dāng)時，。二仁，4"00)?其中

3(1+.)-曰a-3)(3a-l)3(l+a)+料"3)(3"1)

x產(chǎn)41一=41一

(II)f'(x)=6x2-6(l+a)x+6a,令尸(x)=0可得(x-a)(x-l)=O.因?yàn)閍<1,所以

/'(x)=0有兩根叫=a和m2=1，且叫〈根2?

①當(dāng)g<a<1B寸，D—A=(0,+8),此時/'(x)=0在D內(nèi)有兩根叫=a和m2-I,列表

可得

X(O,a)a（刈1(1,+°°)

/（X）+0-0+

“X)遞增極小值遞減極大值遞增

所以〃x）在。內(nèi)有極大值點(diǎn)1,極小值點(diǎn)a.

②當(dāng)a=；時，D=（O,l）U（l,+°°）,此時f'（x）=0在。內(nèi)只有一根mt=a=g,列表可得

網(wǎng)]_刖

X

3

/'（X