光束傳播法基礎(chǔ)

第四章光束傳播法基礎(chǔ)2021/5/91第一節(jié)電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算方法簡(jiǎn)介1．電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算電磁場(chǎng)數(shù)值計(jì)算是一種基于麥克斯韋方程組，通過(guò)建立逼近實(shí)際工程電磁場(chǎng)問(wèn)題的連續(xù)型的數(shù)學(xué)模型，然后采用相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算方法，經(jīng)離散化處理，把連續(xù)型數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為等價(jià)的離散型數(shù)學(xué)模型，計(jì)算出待求離散數(shù)學(xué)模型的離散解(數(shù)值解)，從而獲得相應(yīng)結(jié)果的一種方法。2021/5/922.常用電磁場(chǎng)數(shù)值方法簡(jiǎn)介（1）有限差分法(頻域有限差分法)有限差分法是利用劃分網(wǎng)格的方法將定解區(qū)域離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點(diǎn)的集合，然后基于差分原理，以各離散點(diǎn)上函數(shù)的差商來(lái)近似替代該點(diǎn)上的偏導(dǎo)數(shù)，這樣待求的偏微分方程定解問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一組相應(yīng)的差分方程的問(wèn)題。根據(jù)差分方程組，解出各離散點(diǎn)上的待求函數(shù)值，即為所求定解問(wèn)題的離散解。

2021/5/93方法特點(diǎn)原理:偏導(dǎo)差分方法特點(diǎn)：原理簡(jiǎn)單、通用性好；對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)，計(jì)算量大(矩陣運(yùn)算)。(頻域分析)適用范圍：計(jì)算光波導(dǎo)的模式求解。現(xiàn)狀：適用于較簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的分析。但有限差分(偏導(dǎo)差分)原理被廣泛應(yīng)用于各種數(shù)值計(jì)算2021/5/94(2)有限元法有限元法是以變分原理為基礎(chǔ)，把所要求解的微分方程轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的變分問(wèn)題，即泛函求極值問(wèn)題。將分析的區(qū)域劃分為很多三角形(每個(gè)三角形成為一個(gè)基元)，每個(gè)基元內(nèi)的場(chǎng)用多項(xiàng)式來(lái)表達(dá)，然后加入不同基元間場(chǎng)的連續(xù)條件，就可得到整個(gè)橫截面的場(chǎng)分布。2021/5/95方法特點(diǎn)較復(fù)雜---需要前處理(三角化，剖分)；后處理：（場(chǎng)分布，偽解剔除）（通用性強(qiáng)，精度高）根據(jù)該方法對(duì)于各種各樣的電磁計(jì)算問(wèn)題具有較強(qiáng)的適應(yīng)能力性，所形成的代數(shù)方程矩陣求解容易、收斂性好。對(duì)于形狀和分布復(fù)雜的三維問(wèn)題，由于其變量多和剖分要求細(xì)，往往因計(jì)算機(jī)內(nèi)存而受到限制。程序設(shè)計(jì)復(fù)雜、計(jì)算量較大。適用范圍：求解光波導(dǎo)的模式（有效折射率、色散、雙折射、傳輸損耗等）。2021/5/96現(xiàn)狀：功能最強(qiáng)大的數(shù)值方法之一。特別是上世紀(jì)90年代出現(xiàn)的矢量有限元方法，完全解決了有限元方法出現(xiàn)的偽解問(wèn)題，大大降低了有限元法的后處理過(guò)程。發(fā)展：有限元光束傳播法。軟件：COMSOLMULTIPHYSICS

2021/5/97(3)時(shí)域有限差分法時(shí)域有限差分法是近年來(lái)開(kāi)始流行的一種數(shù)值模擬方法，它通過(guò)將麥克斯韋方程在時(shí)間空間上離散化的方法實(shí)現(xiàn)對(duì)電磁波傳播的模擬。它能夠得到電磁波傳輸?shù)乃矐B(tài)（即時(shí)域）信息，通過(guò)傅里葉變換即可得到相應(yīng)的頻域信息。2021/5/98時(shí)域有限差分法由K.S.Yee于1966年首先提出，此后經(jīng)過(guò)眾多學(xué)者的努力，使之不斷完善，現(xiàn)已比較成熟。計(jì)算過(guò)程為：設(shè)置初始場(chǎng)，然后依時(shí)間步推進(jìn)計(jì)算，并在每一時(shí)間步交替地計(jì)算每一離散點(diǎn)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。2021/5/99特點(diǎn)：不需要矩陣運(yùn)算，只需簡(jiǎn)單的加減乘除運(yùn)算由前一時(shí)刻的場(chǎng)來(lái)獲得下一時(shí)刻場(chǎng)的值。而且，非常適合于并行計(jì)算。適用范圍：計(jì)算光波導(dǎo)的模場(chǎng)分布、有效折射率；研究波導(dǎo)之間的連接、耦合問(wèn)題。注：主要用于一維和二維光波導(dǎo)的分析。三維波導(dǎo)分析計(jì)算量稍大。現(xiàn)狀：ADIFDTD，可應(yīng)用于各向異性介質(zhì)，非線性介質(zhì)，PML吸收邊界2021/5/910(4)光束傳播法光束傳播法(BeamPropagationMethod，簡(jiǎn)寫(xiě)B(tài)PM)是目前光波導(dǎo)器件研究與設(shè)計(jì)領(lǐng)域最流行的方法之一，其基本思想是在給定初始場(chǎng)的前提下，一步一步地計(jì)算出各個(gè)傳播截面上的場(chǎng)。2021/5/911應(yīng)用范圍這種方法已被成功地應(yīng)用于分析Y型波導(dǎo)及S型彎曲波導(dǎo)中的光波傳輸，且對(duì)損耗的計(jì)算也得到了準(zhǔn)確的結(jié)果；FD-BPM還被用于分析條形波導(dǎo)、三維彎曲波導(dǎo)、二階非線性效應(yīng)以及有源器件。頻域分析方面，同樣可采用光束傳播法進(jìn)行分析：即虛軸光束傳播法或基于相關(guān)函數(shù)法的光束傳播法。

2021/5/912方法特點(diǎn)BPM與FDTD的區(qū)別：FDTD每次都要同時(shí)計(jì)算整個(gè)波導(dǎo)的模場(chǎng)，而B(niǎo)PM只算一個(gè)面。計(jì)算量較小，應(yīng)用范圍非常廣泛適用范圍：計(jì)算光波導(dǎo)的模式、色散、雙折射、傳輸損耗等；分析波導(dǎo)傳輸、連接、耦合，光柵的傳輸特性等。2021/5/913第二節(jié)有限差分光束傳播法基本原理

光束傳播法(BPM)的基本思想就是把波導(dǎo)沿著傳播方向剖分成若干個(gè)截面，根據(jù)前一個(gè)或幾個(gè)截面上的已知場(chǎng)分布得到下一個(gè)截面上的場(chǎng)分布。2021/5/9141剖分示例錐形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)圖2021/5/915計(jì)算參數(shù)(z方向步長(zhǎng)取為10微米)2021/5/916計(jì)算時(shí)波導(dǎo)的實(shí)際折射率分布2021/5/917計(jì)算參數(shù)(z方向步長(zhǎng)取為100微米)2021/5/918計(jì)算時(shí)波導(dǎo)的實(shí)際折射率分布2021/5/9192光束傳播法公式推導(dǎo)BPM理論來(lái)源于波動(dòng)方程，波動(dòng)方程是建立在Maxwell方程基礎(chǔ)上的。2021/5/920Maxwell方程的一般形式(1a)(1b)(1c)(1d)2021/5/921(1)減少矢量數(shù)(2)(3a)(3b)將式(2)代入式(1)有：2021/5/922(2)去掉時(shí)間依賴項(xiàng)考慮到場(chǎng)對(duì)時(shí)間的依賴

(4)把式(4)代入式(3),有(5a)(5b)2021/5/923(3)減少單個(gè)方程的變量數(shù)利用矢量公式及方程(5)，可得結(jié)果：(6)再定義：2021/5/924得到:

電場(chǎng)的矢量波方程采用同樣的過(guò)程，可以得到關(guān)于磁場(chǎng)矢量波方程(7a)(7b)2021/5/925利用矢量公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到(8a)(8b)2021/5/926(4)去除矢量的z方向標(biāo)量考慮準(zhǔn)TE模()和準(zhǔn)TM()模，有:

(9a)(9b)2021/5/927這里：2021/5/928展開(kāi)得到標(biāo)量方程形式

(10a)(10b)(10c)(10d)2021/5/929(10a)進(jìn)一步可以寫(xiě)為(11a)(24d)2021/5/930(5)緩變包絡(luò)近似把Ex、Ey、Hx、Hy隨z的快速周期變化部分分離

(12a)

(12b)

(12c)

(12d)2021/5/931緩變包絡(luò)近似原理示意圖

圖1包絡(luò)函數(shù)示意圖2021/5/932將式(12)代入式(11)可得包絡(luò)函數(shù)的矢量波方程:(13a)2021/5/933整理后得到:(14a)此即推導(dǎo)得到的最終公式2021/5/934三維半矢量形式忽略x，y場(chǎng)之間的耦合，則有

(15a)2021/5/935三維標(biāo)量形式(忽略場(chǎng)的方向性)相應(yīng)的還有：二維半矢量形式與三維半矢量類(lèi)似，但是折射率分布更簡(jiǎn)單二維標(biāo)量形式(16a)2021/5/936(6)方程離散化處理在縱向(即沿著光的傳播方向z）的近似處理有緩變包絡(luò)近似(SVEA)、廣角近似等。如果包絡(luò)函數(shù)隨z的變化足夠緩慢，使得則有(17a)(一)縱向數(shù)值處理采用有限差分方法，其核心就是把導(dǎo)數(shù)寫(xiě)成差分的形式。(Φ代表包絡(luò)函數(shù)。)2021/5/937因此(14a)式可簡(jiǎn)化為:(18a)2021/5/938

設(shè)相鄰的兩個(gè)截面分別用l和l+1標(biāo)志，兩截面的間距為Δz相鄰截面差分格式示意圖2021/5/939式(18)中右邊的偏微分項(xiàng)可差分為式18可表示為(20)若右邊值已知，則由l面上的場(chǎng)分布，就可以獲得l+1面上的場(chǎng)分量。(19)即：(21)2021/5/940這樣，式(18)可進(jìn)一步化為(22a)，2021/5/941(二)橫向數(shù)值處理目的:解決橫向(x、y方向)偏導(dǎo)問(wèn)題有限差分網(wǎng)格結(jié)構(gòu)2021/5/942差分公式：

(23)(24)(25)

(38)2021/5/943

(26)