高二數(shù)學蘇教版選修12講義第3章32第二課時復(fù)數(shù)的乘方與除法運算

其次課時復(fù)數(shù)的乘方與除法運算問題1：在實數(shù)中，假設(shè)a·b＝c(a≠0)，那么b＝eq\f(c,a).反之，假設(shè)b＝eq\f(c,a)，那么a·b＝c.那么在復(fù)數(shù)集中，假設(shè)z1·z2＝z3，有z1＝eq\f(z3,z2)(z2≠0)成立嗎？提示：成立．問題2：假設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，那么eq\f(z1,z2)如何運算？提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)寫成eq\f(a＋bi,c＋di)的形式，再把分子與分母都乘分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，化簡后可得結(jié)果，即eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．對任意復(fù)數(shù)z，z1，z2和m，n∈N*，有(z)m·(z)n＝(z)m＋n；(zm)n＝zmn；(z1·z2)n＝zeq\o\al(n,1)·zeq\o\al(n,2).2．虛數(shù)單位in(n∈N*)的周期性i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.3．復(fù)數(shù)的除法運算及法那么把滿意(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的復(fù)數(shù)x＋yi(x，y∈R)叫做復(fù)數(shù)a＋bi除以復(fù)數(shù)c＋di的商．且x＋yi＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i.由eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i，可以看出復(fù)數(shù)除法的運算實質(zhì)是將分母化為實數(shù)的過程即分母實數(shù)化．eq\a\vs4\al([對應(yīng)同學用書P41])虛數(shù)單位i的冪的周期性[例1]求1＋i＋i2＋…＋i2014的值．[思路點撥]利用in的性質(zhì)計算，i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，還可以利用等比數(shù)列求和來解．[精解詳析]法一：1＋i＋i2＋…＋i2014＝eq\f(1－i2015,1－i)＝eq\f(1－i2014·i,1－i)＝eq\f(1＋i,1－i)＝i.法二：∵in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)，∴1＋i＋i2＋…＋i2014＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2009＋i2010＋i2011＋i2012)＋i2013＋i2014＝1＋i－1＝i.[一點通]等差、等比數(shù)列的求和公式在復(fù)數(shù)集C中仍適用，i的周期性要記熟，即in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．1．假設(shè)z＝－eq\f(1－i,\r(2))，那么z2014＋z102＝________.解析：∵z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1－i,\r(2))))2＝－i，∴z2014＋z102＝(－i)1007＋(－i)51＝(－i)1004·(－i)3＋(－i)48·(－i)3＝i＋i＝2i.答案：2i2．設(shè)z1＝i4＋i5＋i6＋…＋i12，z2＝i4·i5·i6·…·i12，那么z1與z2的關(guān)系為z1________z2(用“＝〞或“≠〞填)．解析：∵z1＝eq\f(i41－i9,1－i)＝eq\f(i41－i,1－i)＝1，z2＝i4＋5＋6＋…＋12＝ieq\f(4＋12×9,2)＝i72＝(i4)18＝1，∴z1＝z2.答案：＝復(fù)數(shù)的除法[例2]計算：(1)eq\f(i－2\r(3),1＋2\r(3)i)＋(5＋i2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))2；(2)eq\f(\r(2)＋\r(2)i34＋5i,5－4i1－i).[思路點撥]解答較為簡單的復(fù)數(shù)相乘、除時，一個方面要利用復(fù)數(shù)乘、除的運算法那么、運算律，另一方面要留意觀看式子中數(shù)據(jù)的特點，利用題目中數(shù)據(jù)的特點簡化運算．[精解詳析](1)原式＝eq\f(1＋2\r(3)ii,1＋2\r(3)i)＋(5＋i2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))2＝i＋5－1－i＝i＋4－i＝4.(2)原式＝eq\f(2\r(2)1＋i35－4ii,5－4i1－i)＝eq\f(2\r(2)1＋i4i,1－i1＋i)＝eq\f(2\r(2)[1＋i2]2i,2)＝eq\r(2)·(2i)2i＝－4eq\r(2)i.[一點通]復(fù)數(shù)的除法就是分子，分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，從而使分母實數(shù)化，熟識以下結(jié)論對簡化運算很有關(guān)心．b－ai＝(a＋bi)(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i.3．設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2i,－1＋i)，那么復(fù)數(shù)z2的實部與虛部的和為________．解析：∵z＝eq\f(2i,－1＋i)＝eq\f(2i－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(2i－1－i,2)＝－i＋1，∴z2＝(1－i)2＝1－2i－1＝－2i.實部為0，虛部為－2.因此，實部與虛部的和為－2.答案：－24．假設(shè)復(fù)數(shù)z滿意z(2－i)＝11＋7i(i為虛數(shù)單位)，那么z＝________.解析：∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝eq\f(11＋7i,2－i)＝eq\f(11＋7i2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(15＋25i,5)＝3＋5i.答案：3＋5i5．化簡：eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\r(3)i))3,1＋i6)＋eq\f(－2＋i,1＋2i)＝________.解析：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(3)i,2i)))3＋eq\f(－2＋i1－2i,5)＝i＋i＝2i.答案：2i1．復(fù)數(shù)除法的運算技巧在實際進行的復(fù)數(shù)除法運算中，每次都按乘法的逆運算進行計算將非常麻煩．我們可以用簡便方法操作：先把兩個復(fù)數(shù)相除寫成分式形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母“實數(shù)化〞，最終再化簡．2．留意復(fù)數(shù)計算中常用的整體(1)i的性質(zhì)：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(3)設(shè)ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，那么ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝eq\x\to(ω)，eq\x\to(ω)3＝1.eq\a\vs4\al([對應(yīng)同學用書P42])一、填空題1．(新課標全國卷Ⅱ改編)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意(1－i)z＝2i，那么z＝________.解析：z＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2i1＋i,2)＝－1＋i.答案：－1＋i2．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)eq\f(10,3－i)的虛部為________．解析：eq\f(10,3－i)＝eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝3＋i.答案：13．假如z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－2i,2＋i2)，那么eq\f(z1,z2)＝________.解析：∵z1＝－2－3i，z2＝eq\f(3－i,2＋i2)，∴eq\f(z1,z2)＝eq\f(－2－3i2＋i2,3－2i)＝eq\f(－i3－2i2＋i2,3－2i)＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.答案：4－3i4．(浙江高考)i是虛數(shù)單位，計算eq\f(1－i,1＋i2)＝________.解析：eq\f(1－i,1＋i2)＝eq\f(1－i,2i)＝eq\f(1－ii,－2)＝eq\f(－1－i,2)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i.答案：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i5．i是虛數(shù)單位，i＋2i2＋3i3＋…＋8i8＝________.解析：設(shè)S＝i＋2i2＋3i3＋…＋8i8①那么iS＝i2＋2i3＋…＋7i8＋8i9②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i8－8i9＝eq\f(i1－i8,1－i)－8i＝－8i.∴S＝eq\f(－8i,1－i)＝eq\f(－8i1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(－8i1＋i,2)＝4－4i.答案：4－4i二、解答題6．計算eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20.解：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·1＋－i5))2－i10＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.7．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)，假設(shè)z2＋eq\f(a,z)＜0，求純虛數(shù)a.解：z＝eq\f(1＋i2＋31－i,2＋i)＝eq\f(2i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(3－i,2＋i)＝1－i.∵a為純虛數(shù)，∴設(shè)a＝mi(m≠0)，那么z2＋eq\f(a,z)＝(1－i)2＋eq\f(mi,1－i)＝－2i＋eq\f(mi－m,2)＝－eq\f(m,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)－2))i＜0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)＜0，,\f(m,2)－2＝0，))∴m＝4.∴a＝4i.8．1＋i是實系數(shù)方程x2＋ax＋b＝0的一個根．(1)求a、b的值；(2)試推斷1－i是否是方程的根．解：(1)∵1