大學(xué)物理 振動(dòng)和波

五章機(jī)械振動(dòng)基本內(nèi)容：諧振動(dòng)的特征諧振動(dòng)的描述諧振動(dòng)的合成機(jī)械振動(dòng)：物體在一定位置附近來(lái)回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。其軌跡可以是直線，也可以是平面曲線或空間曲線。機(jī)械振動(dòng)可分為周期性振動(dòng)和非周期性振動(dòng)，最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)是周期性的直線振動(dòng)——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。任何復(fù)雜的振動(dòng)都可認(rèn)為是由若干個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的。2021/5/91§15.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特點(diǎn)

A位置A：小球所受合力為零的位置，稱為振動(dòng)系統(tǒng)的平衡位置。

將小球推離平衡位置并釋放，小球來(lái)回振動(dòng)，如果摩擦阻力小，小球振動(dòng)的次數(shù)就多。假如一點(diǎn)阻力也沒有，小球只受彈性回復(fù)力，振動(dòng)將永久持續(xù)下去，這種理想化的振動(dòng)是——簡(jiǎn)諧振動(dòng)。一、諧振動(dòng)中的理想模型—彈簧振子2021/5/92

如果振動(dòng)物體可表示為一質(zhì)點(diǎn)，而與之相連接的所有彈簧等效為一輕彈簧，忽略所有摩擦，可用彈簧振子描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)。mkX0

以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，則小球所受彈性力F與小球離開平衡位置的位移x有以下關(guān)系：二、諧振動(dòng)的特點(diǎn)：1、動(dòng)力學(xué)特征：2021/5/93

從動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)，若物體僅受線性回復(fù)力作用，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。動(dòng)力學(xué)特征：質(zhì)點(diǎn)所受得力大小與位移成正比，方向相反。K是彈簧的彈性系數(shù)，負(fù)號(hào)表示力和位移方向相反?；貜?fù)力2、運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：令2021/5/94積分得：

從運(yùn)動(dòng)學(xué)觀點(diǎn)，若物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)，它就作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。

運(yùn)動(dòng)學(xué)特征：物體離開平衡位置的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律是正弦或余弦的函數(shù)。3、能量特征：其中2021/5/95能量特征：諧振動(dòng)的機(jī)械能等于x為A時(shí)的彈性勢(shì)能，或速度最大時(shí)（平衡位置）的動(dòng)能。振動(dòng)過程中動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)換，機(jī)械能守恒。一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能與平均勢(shì)能：2021/5/96例6.諧振子在相位為,其動(dòng)能為,求其機(jī)械能。

解：2021/5/971、方程中各參量的物理意義x:表示

t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移。

A:質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移最大值的絕對(duì)值——振幅?！?5.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的描述一、諧振動(dòng)的代數(shù)描述法：又2021/5/98比較知稱為圓頻率僅決定于振動(dòng)系統(tǒng)的力學(xué)性質(zhì)。t+:稱位相或相位或周相，是表示任意t時(shí)刻振動(dòng)物體動(dòng)狀態(tài)的參量。

:稱為初位相，是表示t=0時(shí)刻振動(dòng)物體狀態(tài)的參量。2、位移、速度加速度v的位相超前x/22021/5/99其中是加速度的幅值a與

x的位相相反atvxaxv02021/5/910問題：是描述t=0時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)，當(dāng)給定計(jì)時(shí)時(shí)刻振動(dòng)物體的狀態(tài)（t=0時(shí)的位置及速度：x0v0)，如何求解相對(duì)應(yīng)的？（1）、已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0),v(0)求可得：A與由系統(tǒng)的初始條件[x(0),v(0)]決定

2021/5/911（2）已知t=0振動(dòng)物體的狀態(tài)x(0)及A時(shí)求最終確定初位相的值2021/5/912mkX0例1：如圖所示，將小球拉至A釋放，小球作諧振動(dòng)。如果已知k,，以小球運(yùn)動(dòng)至A/2處，且向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，求小球的振動(dòng)方程。解：?jiǎn)栴}歸結(jié)于求t=0小球向x負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，因而v0=+600

2021/5/913例2如圖所示,彈簧處于原長(zhǎng),當(dāng)子彈射入后,求系統(tǒng)的振動(dòng)方程。m1kX0vm2解：t=0,x(0)=0,v(0)=v2021/5/914

[例3]

垂直懸掛的彈簧下端系一質(zhì)量為m的小球，彈簧伸長(zhǎng)量為b

。求證：放手后小球作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并寫出振動(dòng)方程。b自然長(zhǎng)度mg平衡位置F取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，靜平衡受力分析如圖kb-mg=0證明：則有：x任意位置時(shí)小球所受到的合外力為：ΣF=mg-k(b+x)=

-kx小球作諧振動(dòng)2021/5/915ω=kmgb=A=b,φ=π由mg-kb=0得：由題知：t=0時(shí)，x0=-b，v0=0則可得：所以運(yùn)動(dòng)方程為：2021/5/916二、諧振動(dòng)的圖線描述法tx0t1A兩類問題：1、已知諧振動(dòng)方程，描繪諧振動(dòng)曲線2、已知諧振動(dòng)曲線，描繪諧振動(dòng)方程2021/5/917三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

1、旋轉(zhuǎn)矢量AMx0ωP（ωt+φ）x旋轉(zhuǎn)矢量的長(zhǎng)度：振幅A旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的角速度：旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矢量與參考方向x的夾角：振動(dòng)周相圓頻率

M點(diǎn)在x軸上投影P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為振動(dòng)方程：

2021/5/918MPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第1象限速度v<0MPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMP注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第2象限速度v<0xAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxAMPxA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第3象限速度v>0MPxAMPxAMPAMPAMPAMPA注意：旋轉(zhuǎn)矢量在第4象限速度v>0MPAMPAMPAMPAMPA2021/5/919則稱振動(dòng)2

超前振動(dòng)1，振動(dòng)1

滯后振動(dòng)2

若周相差ΔΦ=φ2-φ1＞0A1A20A2A10φAA221φ10x2、用旋轉(zhuǎn)矢量分析位相與振動(dòng)的關(guān)系若周相差ΔΦ=0，則稱兩振動(dòng)同步若周相差ΔΦ=π，則稱兩振動(dòng)反相2021/5/920πA2xxAA21.00t{t=1時(shí)x1=0d1＜0v=dxt[例4]一諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示，求ω、φ以及振動(dòng)方程。πxA3{t=

0時(shí)0x=A2＞00vφ=π3πΦ1=2解：Φ1=ωt1+φω=56π2021/5/921x=Acos(56πtπ3)本題ω的另一種求法:π3xAt=0π2At=1πππ2+32=T1T=125ω=56π2021/5/922§15.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成一、同方向、同頻率兩個(gè)諧振動(dòng)的合成1、利用三角函數(shù)公式合成2021/5/923令則可得：其中：2021/5/9242、利用旋轉(zhuǎn)矢量合成xA1A2A結(jié)論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍為一簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其頻率與分振動(dòng)頻率相同。2021/5/925討論：合振動(dòng)的加強(qiáng)與減弱12AA合振動(dòng)加強(qiáng)1合振動(dòng)減弱AA2

相位相反12=AAA、+（1）若φφ=2k12(k=012...、+)π12=AAA+

相位相同π、+(k=012...、+)φ（2）若φ(2k+1)12=

一般情形：二分振動(dòng)既不同相位也不反相位，合振動(dòng)振幅在A1+A2與|A1-A2|

之間。2021/5/926二、同方向、不同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成一般情況下合成后的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。一種特殊情況——拍現(xiàn)象νν12拍頻=νπνπ1221xx==AAcoscos2tt2x=xx+12ννννν~22111~＜＜ννννππ1122=2Acos2(())2costt2+22021/5/927tttxx12xνννΔ=20.25s0.75s0.50s==2161812021/5/928利用旋轉(zhuǎn)矢量分析，作出李薩如圖形（觀察演示）三、相互垂直的同頻率的兩個(gè)諧振動(dòng)的合成[例5]已知求：合振動(dòng)的振幅及初相位，并寫出合振動(dòng)的表達(dá)式。解：2021/5/929[例6]一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅為0.12m,周期為2s，當(dāng)t=0時(shí)位移為0.06m，且向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求（1）振動(dòng)表達(dá)式；（2）t=0.5s時(shí)，物體的位置、速度和加速度；（3）從x=-0.06m且向x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)到返回平衡位置所需的時(shí)間解:（1）由于物體此時(shí)向x正向運(yùn)動(dòng)，故（2）2021/5/930（3）注意相位與狀態(tài)相對(duì)應(yīng)。質(zhì)點(diǎn)沿x軸負(fù)向運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)，x=-0.06m.故質(zhì)點(diǎn)返回平衡位置的相位為，設(shè)該時(shí)刻為。所以2021/5/931第十六章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

波動(dòng)是振動(dòng)的傳播過程，也是動(dòng)量和能量傳播的過程。機(jī)械波：機(jī)械振動(dòng)在媒質(zhì)中的傳播過程。電磁波：交變電磁場(chǎng)在空間的傳播過程。基本內(nèi)容：

機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播機(jī)械波的幾個(gè)特征量波動(dòng)方程波的疊加原理—（特例）波的干涉。

各類波的本質(zhì)不同，但都伴有能量的傳播，都能產(chǎn)生反射、折射、干涉和衍射等現(xiàn)象，且有相似的數(shù)學(xué)描述。2021/5/932

§16.1機(jī)械波的產(chǎn)生與傳播1、波源2、彈性媒質(zhì)橫波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向垂直縱波：質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向和波的傳播方向平行二、機(jī)械波的分類

一、產(chǎn)生機(jī)械波的條件特點(diǎn)：具有波峰和波谷（如繩子上的波）特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域（如聲波）2021/5/933橫波的波動(dòng)波的傳播方向xy振動(dòng)方向特點(diǎn)：具有波峰和波谷2021/5/934縱波的波動(dòng)波的傳播方向質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方向疏密疏密疏特點(diǎn)：具有疏密相間的區(qū)域2021/5/935三、波的形成和傳播（以橫波為例）1、過程分析：由于媒質(zhì)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間存在相互作用力，故當(dāng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)后，在媒質(zhì)內(nèi)部的彈性力作用下，將帶動(dòng)其周圍其它的質(zhì)點(diǎn)也相繼振動(dòng)起來(lái)………如此依次帶動(dòng)，振動(dòng)狀態(tài)由近及遠(yuǎn)地傳播開去形成機(jī)械波。（靜止）1234567891011121312345678910111213（振動(dòng)狀態(tài)傳至4）12345678910111213（振動(dòng)狀態(tài)傳至7）2021/5/936（振動(dòng)狀態(tài)傳至10)（振動(dòng)狀態(tài)傳至13）12345678910111213123456789101112132.結(jié)論（1）各質(zhì)點(diǎn)僅在自己的平衡位置附近振動(dòng)，并不隨波前進(jìn)。（2）振動(dòng)狀態(tài)以一定的速度傳播—波速。（注意波速不是質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度）2021/5/937（3）波的周期與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)周期相同。沿波的傳播方向，各質(zhì)點(diǎn)的相位依次落后。（4）波形在空間移動(dòng)—行波。四、波的幾何描述同相面（波面）：由振動(dòng)周相相同的點(diǎn)所組成的面。波陣面（波前)：某時(shí)刻波動(dòng)所到達(dá)的點(diǎn)所組成的面。波線（波法線）：表示波的傳播方向的線。在各向同性介質(zhì)中與波面法線相同。在各向同性媒質(zhì)中波線和波陣面垂直2021/5/938平面波波線波陣面球面波波陣面波線平面波：球面波：波陣面為一球面。波陣面為一平面。2021/5/939橫波波速φsFFG

切變彈性模量ρ密度（單位體積質(zhì)量）波長(zhǎng)

在同一條波線上,周相差為2的兩質(zhì)點(diǎn)間的距離。周期

傳播一個(gè)波長(zhǎng)距離所用的時(shí)間。頻率

在單位時(shí)間內(nèi)通過某一觀察點(diǎn)的完整波數(shù)目。波速

波在單位時(shí)間內(nèi)所傳播的距離。

§16.2機(jī)械波的幾個(gè)特征量頻率和周期只決定于波源，和媒質(zhì)無(wú)關(guān)。2021/5/940縱波波速流體（氣體、液體）固體Y:楊氏彈性模量VΔVPPB:容變彈性模量波速是與媒質(zhì)有關(guān)的一個(gè)物理量2021/5/941任意點(diǎn)（B點(diǎn)）的振動(dòng)方程為：參考點(diǎn)O點(diǎn)的振動(dòng)方程為：uyxxoBy表示在波線上任意一點(diǎn)（距原點(diǎn)為x處）質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的位移,也就是平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程。

§16.3波動(dòng)方程一、平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程2021/5/942質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度：平面簡(jiǎn)諧波的波動(dòng)方程為:其中減號(hào)表示波向x軸正向傳播，加號(hào)表示波向x軸負(fù)向傳播2021/5/943表示在t1

時(shí)刻的波形yto3、t

與x都發(fā)生變化t=t1時(shí)yxo表示x1處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程二、波動(dòng)方程的物理意義1、x=x1（常數(shù)）2、t=t1（常數(shù)）t=t1+Δt時(shí)2021/5/944yy1xutxytx表示在t1時(shí)刻x處的位移y1，在經(jīng)過Δt時(shí)間后，同樣的位移發(fā)生在x′處，波向前傳播了uΔt的距離，即某一固定周相傳播了uΔt的距離。y1=令yxx=+uΔt得：2021/5/945可以證明三維的波動(dòng)方程為：其中ξ為質(zhì)點(diǎn)的位移從上兩式可得波動(dòng)方程：

三、波動(dòng)方程的一般形式2021/5/946例1、已知波源在原點(diǎn)的平面簡(jiǎn)諧波的方程為式中A、B、C為正值恒量。試求：（1）波的振幅、波速、頻率、周期與波長(zhǎng)；（3）任何時(shí)刻，在波傳播方向上相距為D的兩點(diǎn)的周相差。（2）寫出傳播方向上距離波源l處一點(diǎn)的振動(dòng)方程；解：（1）波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式2021/5/947波的振幅為A,波速頻率波長(zhǎng)（2）（3）2021/5/948

[

例2]

以P

點(diǎn)在平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)作為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出波動(dòng)方程。yxPoudπω解：p=2yp=AAAcoscoscosddtttπππ)))(((ωω222y==o[]++uuy[xu]φ2021/5/949[例3]波速

u=400m/s,t=0s時(shí)刻的波形如圖所示。寫出波動(dòng)方程。uy(m)p4532ox(m)23==φφ0pt===Ayvππ000(o點(diǎn))22＞0{=yv00t0(p點(diǎn))=0＜0{得：得：2021/5/950φφπ2λp=0dφφππππλ0p=2d==22×35()34(m)y(m)23==φφππ0pup4532ox(m)d2021/5/951yλ==ω2ππππν2002u===24004π04cos)(200π3tS1λ=4(m)()[例4]一橫波在弦上傳播，其方程是式中x、y以米計(jì)，t與秒計(jì)。（1）求波長(zhǎng)、周期、波速；（2）畫出t=0,0.0025s,0.005s時(shí)弦的形狀。2021/5/952解：（1）方法一：與標(biāo)準(zhǔn)方程相比較波長(zhǎng)周期T=0.01S,波速方法二、依各量的物理意義求解2021/5/953（2）方法一：根據(jù)各時(shí)刻的波形方程逐一畫出波形。方法二：只畫出t=0的波形，然后采用移動(dòng)波形的方法。0.40.2yxo2021/5/954例5、一平面簡(jiǎn)諧波在空間以速度u傳播，已知p點(diǎn)的振就下面四種選定的坐標(biāo)系，寫出各自的波函數(shù)。動(dòng)方程為opyxuuxyopuxyoplopyxul2021/5/955例6、沿x軸負(fù)向傳播的平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形曲線如圖，設(shè)波速u=0.5m/s求原點(diǎn)0的振動(dòng)表達(dá)式。t=0x0y0.5-112t=2s

解：由圖知t=0原點(diǎn)0:2021/5/956例7、一平面簡(jiǎn)諧波沿x軸正向傳播，其振幅和圓頻率為A、波速為u，設(shè)t=0時(shí)的波形曲線如圖。（1）寫出該波的波函數(shù)；（2）求距0點(diǎn)為（3）求距0點(diǎn)為處的質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；處的質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)速度。yx0u2021/5/957解：（1）t=0時(shí)，0點(diǎn)的相位，即初相位故波函數(shù)（2）（3）2021/5/958§16.4波的能量能流密度一、能量密度pdEdE=可以證明：kdmdV取體積元dV，體元內(nèi)質(zhì)量為ρdVdm=2021/5/959dEdE=2k+dEp=dEk能量密度:平均能量密度：2021/5/960能流P:單位時(shí)間通過某一面積的波能。P=Swu二、能流密度平均能流P:能流在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。uuS2021/5/961

波的強(qiáng)度

I（能流度）:通過垂直于波的傳播方向的單位面積的平均能流。wρω1222uI=u=A總結(jié)：波是能量傳播的一種形式。波真正傳播的是振動(dòng)、波形和能量。波形傳播是現(xiàn)象，振動(dòng)傳播是本質(zhì)，能量傳播是量度。2021/5/962t+tΔuΔtΔutt+Δtt時(shí)刻波陣面t時(shí)刻波陣面§16.5惠更斯原理一、惠更斯原理

波動(dòng)所到達(dá)的媒質(zhì)中各點(diǎn)，都可以看作為發(fā)射子波的波源，而后一時(shí)刻這些子波的包跡便是新的波陣面。2021/5/963用惠更斯原理解釋折射定律sinsinir=CBABADAB=uuΔΔ1122=u2u==nn1n12ttiuuΔΔt12trnn12CBADiruΔt12二、惠更斯原理的應(yīng)用2021/5/964沿相反方向傳播的兩個(gè)脈沖波的疊加兩水波的疊加

§16.6波的疊加原理一、波的疊加原理1、波的獨(dú)立傳播原理:

有幾列波同時(shí)在媒質(zhì)中傳播時(shí)，它們的傳播特性（波長(zhǎng)、頻率、波速、波形）不會(huì)因其它波的存在而發(fā)生影響。2、波的疊加原理:在幾列波相遇的區(qū)域內(nèi),媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與這幾列波所引起振動(dòng)，其位移為各波單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所引起振動(dòng)的合振動(dòng)。2021/5/965

二、波的干涉

相干波源：若有兩個(gè)波源，它們的振動(dòng)方向相同、頻率相同、周相差恒定，稱這兩波源為相干波源。波源ωcos=+ty222φA)(Sωt=y111φAcos)(+S1r*2sr11y*22sPy.P點(diǎn)rr=222πλφ11(φΔΦ)λωyt2+r=2222cos)Aπ(φω+t=y211λφAcos)(1π1r2021/5/966干涉加強(qiáng)(A最大)條件：干涉減弱(A最小)條件：Δ=πΦ2kk=0,1,2,+Δ++Φ2k=(1)k=0,1,2,ππ111Acoscossinsinφφφ=+2ππrr()))(((211tg222AAA221rrφ)+2π22φλλλλ2AAAAcosΦΔ=2++22211A)φ2221φΦΔ=πrr(1λ2021/5/9672λ波程差rr1=+k干涉加強(qiáng)rλ2()波程差r1+2k2=+1干涉減弱=12若：φφ則有：λ++2k(1)π==πrr)(Φ21Δ2λrrΔ=π)(Φ21π2k+=2rr)φ2221φΦΔ=π(1λ問題：對(duì)于相干光波，干涉條件如何？2021/5/968兩波的波動(dòng)方程分別為：yy22AA+xxttTTcoscos21λλππ==))((

駐波：一對(duì)振幅相同的相干波，在同一條直線上，沿相反方向傳播時(shí)，疊加而成的波。AAxcos=振幅22πλ