初中數(shù)學北師大版七年級下冊第五章生活中的軸對稱

本章知識梳理第五章生活中的軸對稱單元復習課01/02/知識梳理03/課標要求目錄CONTENT課標要求1.了解軸對稱的概念;2.理解軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分;3.能畫出簡單平面圖形(點、線段、直線、三角形等)關(guān)于給定對稱軸的對稱圖形;4.了解軸對稱圖形的概念;5.了解等腰三角形、正多邊形、圓的對稱性;6.掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.7.理解線段垂直平分線的概念;掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等.8.了解等腰三角形的有關(guān)概念;掌握等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.知識梳理軸對稱圖形如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸兩個圖形成軸對稱如果兩個平面圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸性質(zhì)在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等簡單的軸對稱圖形等腰三角形：1.等腰三角形是軸對稱圖形2.等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱“三線合一”），它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸3.等腰三角形的兩個底角相等簡單的軸對稱圖形線段：1.線段是軸對稱圖形，垂直并且平分線段的直線是它的一條對稱軸2.線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等角：1.角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸2.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等應(yīng)用利用軸對稱進行設(shè)計本章易錯點歸總易錯點一、在找對稱軸的時候容易出現(xiàn)少找或者多找的情況.【例1】下列圖形對稱軸最多的是（）A．正方形 B．等邊三角形C．等腰三角形 D．線段易錯提示：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做軸對稱圖形的對稱軸．解答本題的過程中,根據(jù)定義將每一條對稱軸找出.正解：A.有4條對稱軸，即兩條對角線所在的直線和兩組對邊的垂直平分線；B.有3條對稱軸，即各邊的垂直平分線；C.有1條對稱軸，即底邊的垂直平分線；D.有2條對稱軸．答案：A1．下列軸對稱圖形中，對稱軸條數(shù)是四條的圖形是（）2.下列圖形中，對稱軸最多的是（）A．線段B．角C．三角形D．圓AD學以致用二、關(guān)于某直線對稱的兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段相等；對應(yīng)點的連線段被對稱軸垂直平分．其中對應(yīng)線段相等以對稱軸為中心可以重合，但是不能認定對應(yīng)線段互相垂直.【例2】如圖M5-1，△AOD關(guān)于直線l進行軸對稱變換后得到△BOC，下列說法不正確的是（）A．∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCOB．直線l垂直平分AB、CDC．AO⊥OB,DO⊥OCD．AD=BC，OD=OC易錯提示：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)易得∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO，直線l垂直平分AB，CD，AD=BC，OD=OC．選項C中對應(yīng)線段OA與OB，OD與OC分別關(guān)于對稱軸重合，但不一定垂直，所以該選項有誤.正解：因為△AOD關(guān)于直線l進行軸對稱變換后得到△BOC，所以∠DAO=∠CBO，∠ADO=∠BCO，直線l垂直平分AB，CD，AD=BC，OD=OC．因為題設(shè)中沒有給定△AOD為等腰三角形，所以△BOC的形狀不能確定.所以A，B，D選項的說法正確；C選項的說法錯誤．答案：C3．如圖M5-2，已知△ABC和△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，點P是直線MN上一點，連接PA，PA′，AA′，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠B=∠B′B．PA=PA′C．BC=AA′D．MN是線段AA′的垂直平分線C4.如圖M5-3，在△ABC中，AB=AC，用尺規(guī)作圖的方法作出射線AD和直線EF，設(shè)AD交EF于點O，連接BE，OC．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．OA=OCB．EF平分∠AEBC．AE⊥BED．AB=BE+ECC三、等腰三角中腰的長度不一定比底邊的長度大，也不一定小.在已知兩邊大小不一的情況下要對已知邊長進行分類討論，否則容易出現(xiàn)答案不全的情況.【例3】如果等腰三角形兩邊長是3cm和6cm，那么它的周長是（）A．9cm B．12cmC．15cmD．12cm或15cm易錯提示：解答本題時因為題中沒有指明腰的長度和底邊的長度，所以要對已知的邊長3cm和6cm進行分類討論.正解：當腰長為6cm時，則三角形的三邊長分別為6cm，6cm，3cm，滿足三角形的三邊關(guān)系，此時周長為15cm；當腰長為3cm時，則三角形的三邊長分別為3cm，3cm，6cm，此時3+3=6，不滿足三角形的三邊關(guān)系，不符合題意.答案：C5.如果一個等腰三角形的兩邊長為4和9，那么它的周長為（）A．17B．22C．17或22D．無法計算6.等腰三角形的周長為22，其中一邊長是8，則其余兩邊長分別是（）A．6和8B．7和8C．7和7D．6，8或7，7BD四、在應(yīng)用角平分線的性質(zhì)時容易錯誤地理解為到角平分線上的點與角兩邊上任意兩個點的連線相等而導致錯誤.【例4】下列各圖中，OP是∠MON的平分線，點E，F(xiàn)，G分別在射線OM，ON，OP上，則可以解釋“角的平分線上的點到角兩邊的距離相等”的圖形是（）易錯提示：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等，這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長而不是任意點的連線段，本題中只有選項D是滿足題意的，A,B,C中都不符合角平分線的定義.正解：因為OP是∠MON的平分線，且GE⊥OM，GF⊥ON，所以GE=GF（角的平分線上的點到角兩邊的距離相等）.答案：D7.如圖M5-4，點P是∠AOB的平分線OC上一點，PD⊥OA，垂足為點D，PD=2，則點P到射線OB的距離為（）A．B．1C．2D．4C8.如圖M5-5，在四邊形ABDC中，∠B=∠D=90°，∠BAC與∠ACD的平分線交于點O，且點O在線段BD上，BD=4，則點O到邊AC的距離是（）A．1B．1.5C．2D．3C1.下列標志中，可以看作是軸對稱圖形的是()考點1軸對稱圖形D2.下面有4個汽車標志圖案，其中不是軸對稱圖形的是（）D3.下列各圖均由正六邊形與兩條對角線所組成，其中不是軸對稱圖形的是（）D4.如圖M5-6，正方形地磚的圖案是軸對稱圖形，該圖形的對稱軸有()A.1條B.2條C.4條D.8條C5．如圖M5-7中序號①②③④對應(yīng)的四個三角形，都是△ABC進行了一次變換之后得到的，其中是通過軸對稱變換得到的是（）A．① B．② C．③ D．④A6.把下列英文字母看成圖形，是軸對稱圖形的是（）D7．如圖M5-8，OE是∠AOB的平分線，BD⊥OA于點D，AC⊥BO于點C，則關(guān)于直線OE對稱的三角形共有____________對．48．下列說法正確的有____________．（填序號）①角平分線上任意一點到角的兩邊的線段長相等；②角是軸對稱圖形；③線段不是軸對稱圖形；④線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.②④9.如圖M5-9，正三角形網(wǎng)格中，已有兩個小正三角形被涂黑，再將圖中其余小正三角形涂黑一個，使整個被涂黑的圖案構(gòu)成一個軸對稱圖形的方法有____________種.310.如圖M5-10，這個圖形的對稱軸有____________條.511.如圖M5-11所示是在4×4的網(wǎng)格中有七個小正方形被涂黑，請你用三種不同的方法，在圖①②③中分別涂黑三個小正方形，使整個圖形成為軸對稱圖形.解：如答圖M5-1.（答案不唯一）12．如圖M5-12，將已知四邊形分別在格點圖中補成關(guān)于已知直線l，m，n，p為對稱軸的軸對稱圖形．解:如答圖M5-2.13.如圖M5-13甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑，且滿足下列條件：（1）涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；（2）涂黑部分成軸對稱圖形.如圖M5-13乙是一種涂法，請在圖M5-13①～③中分別設(shè)計另外三種涂法.(在所設(shè)計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種涂法，如圖M5-13乙與圖M5-13丙).解：如答圖M5-3.（答案不唯一）1．下列說法正確的是（）A．如果圖形甲和圖形乙關(guān)于直線MN對稱，則圖形甲是軸對稱圖形B．任何一個圖形都有對稱軸，有的圖形不止一條對稱軸C．平面上兩個大小、形狀完全一樣的圖形一定關(guān)于某直線對稱D．如果△ABC和△EFG成軸對稱，那么它們的面積一定相等考點2軸對稱圖形的性質(zhì)D2.如圖M5-14，△ABC與△A′B′C′關(guān)于直線MN對稱，P為MN上任一點（A，P，A′不共線），下列結(jié)論錯誤的是（）A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC與△A′B′C′面積相等D．直線AB，A′B′的交點不一定在直線MN上D3.如圖M5-15，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，BD＝AD＝4cm，AE＝AF，則圖中陰影部分的面積是()A.32cm2B.16cm2C.8cm2D.無法確定C4.如圖M5-16，點P在∠AOB的平分線上，C，F(xiàn)在OA上，D，E在OB上，且CD過點P且與OA垂直，EF過點P與OB垂直，則下列說法正確的是()A.PC=PDB.PC=PEC.PC=PFD.PE=PFB5．如圖M5-17，∠MON內(nèi)有一點P，P點關(guān)于OM的軸對稱點是G，P點關(guān)于ON的軸對稱點是H，GH分別交OM，ON于點A，B.若∠MON=35°，則∠GOH=（）A．60°B．70° C．80° D．90°B6．如圖M5-18，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為_________．10°7.如圖M5-19，點P關(guān)于OA，OB的對稱點分別為C，D，連接CD，交OA于點M，交OB于點N.若CD=18cm，則△PMN的周長為____________cm．188.如圖M5-20，在△ABC中，CD是AB邊上的高，BE平分∠ABC，交CD于點E，BC=50，DE=14，則△BCE的面積等于____________.3509．如圖M5-21，點A,B在直線l的同側(cè)，AB=4cm，點C是點B關(guān)于直線l的對稱點，AC交直線l于點D，AC=5cm，則△ABD的周長為____________cm．910．如圖M5-22，∠A=90°，E為BC上一點，A點和E點關(guān)于BD對稱，B點和C點關(guān)于DE對稱，求∠ABC和∠C的度數(shù)．解：因為A點和E點關(guān)于BD對稱，所以∠ABD=∠EBD，即∠ABC=2∠ABD=2∠EBD．又B點和C點關(guān)于DE對稱，所以∠DBE=∠C，∠ABC=2∠C．因為∠A=90°，所以∠ABC+∠C=2∠C+∠C=3∠C=90°．所以∠C=30°.所以∠ABC=2∠C=60°．11．如圖M5-23，已知點O是∠APB內(nèi)的一點，M，N分別是點O關(guān)于PA，PB的對稱點，連接MN，與PA，PB分別相交于點E，F(xiàn)，已知MN=6cm．（1）求△OEF的周長；（2）連接PM,PN，若∠APB=α，求∠MPN的度數(shù)（用含α的代數(shù)式表示）；（3）當∠α=30°，判定△PMN的形狀，并說明理由．解：（1）因為M，N分別是點O關(guān)于PA，PB的對稱點，所以EM=EO，F(xiàn)N=FO.所以△OEF的周長=OE+EF+OF=ME+EF+FN=MN=6（cm）.（2）連接OP，如答圖M5-4.因為M，N分別是點O關(guān)于PA，PB的對稱點，所以∠MPA=∠OPA，∠NPB=∠OPB.所以∠MPN=2∠APB=2α.（3）因為∠α=30°，所以∠MPN=60°.因為M，N分別是點O關(guān)于PA，PB的對稱點，所以PM=PO，PN=PO.所以PM=PN.所以∠PMN=∠PNM=∠MPN=60°.所以△PMN是等邊三角形．12.如圖M5-24，在等邊三角形ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，將△ADE沿DE折疊，點A恰好落在BC邊上的點F處.若FC=BF+2，問：△FEC的周長比△DFB的周長大多少？解：因為△ABC是等邊三角形，所以AB=BC=AC.因為△FDE是由△ADE折疊得到的，所以AD=DF，AE=FE.因為△DFB的周長=BD+DF+BF，△FEC的周長=EF+EC+FC，所以△DFB的周長=BD+DF+BF=BD+AD+BF=AB+BF，△FEC的周長=EF+EC+FC=AE+EC+FC=AC+FC.因為FC=BF+2，即FC-BF=2，所以△FEC的周長-△DFB的周長=AC+FC-AB-BF=FC-BF=2.所以△FEC的周長比△DFB的周長大2．1．如圖M5-25，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列結(jié)論錯誤的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形 D．點D為線段AC的中點考點3簡單的軸對稱圖形D2．如圖M5-26，點P是∠AOB的平分線OC上一點，PD⊥OB，垂足為點D.若PD=2，則點P到邊OA的距離是（）A．1 B．2C．3D．4B3．如圖M5-27，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為點E，下列結(jié)論不一定成立的是（）A．AB＝AD B．CA平分∠BCD C．△BEC≌△DEC D．AB＝BDD4．如圖M5-28，已知△ABC的周長是20，OB和OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于點D，且OD=3，則△ABC的面積是（）A．20 B．25 C．30 D．35C5.“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助如圖M5-29所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O點轉(zhuǎn)動、C點固定，OC=CD=DE，點D,E可在槽中滑動．若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（）A．60°B．65°C．75°D．80°D6.如圖M5-30，在△AEF中，尺規(guī)作圖如下：分別以點E，點F為圓心，大于EF的長為半徑作弧，兩弧相交于G，H兩點，作直線GH，交EF于點O，交AF于點C.若EC＝8cm，則FC＝____________cm.87.如圖M5-31，點P是∠AOC的平分線上一點，PD⊥OA，垂足為點D，且PD=3，點M是射線OC上一動點，則PM的最小值為____________.38．如圖M5-32，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，DE是線段AC的垂直平分線，若BE=a，AE=b，則用含a，b的代數(shù)式表示△ABC的周長為____________．2a+3b9.如圖M5-33，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D．（1）若∠C=42°，求∠BAD的度數(shù)；（2