數(shù)學(xué)原理教學(xué)

數(shù)學(xué)原理教學(xué)第一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六所謂數(shù)學(xué)原理教學(xué)，在此主要指數(shù)學(xué)的性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等教學(xué)。數(shù)學(xué)原理是構(gòu)成數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系的主干成分，掌握并深刻理解數(shù)學(xué)原理對學(xué)生感受數(shù)學(xué)美、解決數(shù)學(xué)問題以及用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題將起到?jīng)Q定性的作用第二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)原理的教學(xué)不僅要學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的性質(zhì)、法則、公式、公理、定理，而且要使學(xué)生理解這些原理所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法，并在學(xué)習(xí)和應(yīng)用這些原理的過程中發(fā)展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)，形成自己的數(shù)學(xué)思想方法。第三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六但是數(shù)學(xué)教材為了敘述上的嚴(yán)謹(jǐn)、簡潔，為了便于教學(xué)上的傳授，在表述人類積累下來的數(shù)學(xué)成果時(shí)，往往略去了數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)過程，掩蓋了數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的本質(zhì)特征。為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中還有一個(gè)重要任務(wù)就是要依據(jù)課堂教學(xué)的思維過程而精心設(shè)計(jì)，還原數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過程。

第四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六一、什么是數(shù)學(xué)原理的教學(xué)

原理有兩個(gè)方面的含義。作為言語符號信息，它是對概念之間關(guān)系的描述；從心理意義上說它是一種操作反應(yīng)系統(tǒng)，即主體在情境中根據(jù)各種關(guān)系作出相應(yīng)的反應(yīng)。

原理描述了概念之間的關(guān)系，這種關(guān)系是穩(wěn)定不變的，其形式是“若……則……”。習(xí)得這種關(guān)系的主體能以一類操作行為對一類刺激情境作出反應(yīng)，即學(xué)生習(xí)得了“若……則……”這一產(chǎn)生式。例如，學(xué)生習(xí)得勾股定理這一原理之后，一旦出現(xiàn)符合勾股定理?xiàng)l件的刺激情境，學(xué)生都會作出“斜邊的平方等于兩條直角邊的平方之和”的反應(yīng)。第五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六關(guān)于原理的學(xué)習(xí)，有以下結(jié)論。

（1）原理學(xué)習(xí)實(shí)際上是學(xué)習(xí)一些概念之間的關(guān)系。因此，概念學(xué)習(xí)是原理學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，不掌握構(gòu)成原理的各個(gè)概念，就不可能習(xí)得這一原理。

（2）原理學(xué)習(xí)不是習(xí)得描述原理的言語信息，而是習(xí)得原理的意義，它是一種有意義的學(xué)習(xí)。根據(jù)奧蘇貝爾的有意義言語學(xué)習(xí)理論，原理學(xué)習(xí)分為下位學(xué)習(xí)、上位學(xué)習(xí)和組合學(xué)習(xí)。

第六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六（3）原理學(xué)習(xí)實(shí)質(zhì)上是習(xí)得產(chǎn)生式。只要條件信息一滿足，相應(yīng)的行為反應(yīng)就自然出現(xiàn)。學(xué)習(xí)者據(jù)此指導(dǎo)自己的行為并解決遇到的新問題。

（4）習(xí)得原理不是孤立地掌握一個(gè)原理，而是要在原理之間建立聯(lián)系，形成原理網(wǎng)絡(luò)。

第七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六二、數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的形式

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，習(xí)得原理不僅意味著習(xí)得描述原理的言語信息，而且能根據(jù)原理對一類刺激作出相應(yīng)的反應(yīng)，也就是說能在特定的情境中應(yīng)用原理。一旦學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)原理，就能用大量的例證來說明原理所反應(yīng)的關(guān)系，或運(yùn)用原理解決特定情境下的問題。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)一般有兩種形式，即由例子到原理的學(xué)習(xí)和由原理到例子的學(xué)習(xí)。

第八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六1．由例子到原理的學(xué)習(xí)

由例子到原理的學(xué)習(xí)是指從若干例子中歸納出一般結(jié)論的學(xué)習(xí)。它是一種發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，這種學(xué)習(xí)方法簡稱為“例子—原理法”。

2．由原理到例子的學(xué)習(xí)

由原理到例子的學(xué)習(xí)是指先向?qū)W生呈現(xiàn)要學(xué)習(xí)的原理，然后再用實(shí)例說明原理（有時(shí)要予以邏輯證明），從而使學(xué)生掌握原理的學(xué)習(xí)。這是一種接受學(xué)習(xí)。簡稱為“原理—例子法”。

第九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六三、促進(jìn)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)主要是公式和法則的學(xué)習(xí)、定理和性質(zhì)的學(xué)習(xí)。

（一）促進(jìn)數(shù)學(xué)原理學(xué)習(xí)的一般建議

1．提供豐富的例子

在采用例子—原理法教授原理時(shí)，為了使學(xué)生順利概括出原理，需要為學(xué)生提供足夠多的例證，而在用原理—例子法教授原理時(shí)，為了使學(xué)生理解原理，也需各種例證來說明原理。因此，不論采用例子—原理法還是使用原理例子法來學(xué)習(xí)原理，都需要為學(xué)生提供豐富的例證。這些例證應(yīng)盡量涵蓋例證的各種典型類別，以利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)原理和全面理解原理。

在為學(xué)生提供豐富的例子時(shí)，不能僅僅提供原理的例證，還應(yīng)該提供原理的反例，以強(qiáng)化原理的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生透徹理解原理。第十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六2．聯(lián)系已學(xué)過的知識

與概念學(xué)習(xí)一樣，原理學(xué)習(xí)是有意義的學(xué)習(xí)，是新舊知識相互作用并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。因此，促進(jìn)新原理的學(xué)習(xí)，就要使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具備與新原理相關(guān)的適當(dāng)觀念。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)、回憶與原理相關(guān)的舊知識，以幫助學(xué)生同化新原理。第十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六3．讓學(xué)生運(yùn)用原理

促進(jìn)原理學(xué)習(xí)的最有效的辦法是讓學(xué)生在運(yùn)用原理的過程中掌握原理，因?yàn)樽寣W(xué)生自己運(yùn)用原理是原理具體化的過程，而這個(gè)過程對于全面、深刻地理解原理極為有利。因此，在原理的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生進(jìn)行練習(xí)是極其重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。值得注意的是，練習(xí)不是越多越好，那種類別單一的重復(fù)練習(xí)并不有效。要想使學(xué)生掌握原理，形成產(chǎn)生式，就要讓學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)。第十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六所謂變式練習(xí)，就是在其他有效學(xué)習(xí)條件不變的情況下，改變命題的例證。在進(jìn)行變式練習(xí)時(shí)，應(yīng)先設(shè)置與原先學(xué)習(xí)情境相似的問題情境進(jìn)行練習(xí)，練習(xí)課題之間要保持一定的同一性。隨著知識的逐漸鞏固，問題類型要有變化，可逐漸演變成與原先的學(xué)習(xí)情境完全不同的新情境。同時(shí)，在練習(xí)的過程中，及時(shí)給學(xué)生提供反饋是十分必要的。及時(shí)分析指出學(xué)生練習(xí)中的錯(cuò)誤，可以防止學(xué)生將錯(cuò)誤鞏固下來而積習(xí)難改第十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六（二）促進(jìn)公式和法則學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

將思維對象和思維結(jié)果簡單化和符號化是數(shù)學(xué)思維的重要特征，也是數(shù)學(xué)工作者所追尋的目標(biāo)之一。于是在數(shù)學(xué)中產(chǎn)生了大量的由字母和符號表達(dá)的正確命題，人們稱之為公式。公式的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，其教學(xué)的好壞直接影響著學(xué)生知識技能的掌握與能力的培養(yǎng)。要教好公式，應(yīng)注意以下四個(gè)方面。第十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六1．公式的推導(dǎo)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，常表現(xiàn)出這樣一種心理現(xiàn)象：對于那些經(jīng)過自己思考、演算、推導(dǎo)出來的結(jié)論，比較容易相信和接納；而對于那些由別人告知的事實(shí)與結(jié)論，則容易產(chǎn)生懷疑和排斥。因此，在公式的教學(xué)中，首先要讓學(xué)生弄清公式的來龍去脈，盡可能由他們自己推演并發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生享受到創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的成功與喜悅，為公式的理解、記憶和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

第十五頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六2．公式的理解

理解數(shù)學(xué)公式也就是理解公式中各個(gè)字母的含義以及它們之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)公式中的字母，既可以表示數(shù)又可以表示代數(shù)式。為了使學(xué)生理解公式的本質(zhì)，應(yīng)讓學(xué)生用不含字母的語言文字?jǐn)⑹龉降膬?nèi)容，掌握公式中關(guān)系的確定性和字母的可變性（數(shù)或代數(shù)式）。

第十六頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六3．公式的記憶

（1）理解記憶為本

記憶是以理解為基礎(chǔ)的，只有理解了的東西才會經(jīng)久不忘。要使學(xué)生牢固地記住數(shù)學(xué)公式，就要使學(xué)生了解公式的來龍去脈，正確地理解公式，盡量將機(jī)械記憶轉(zhuǎn)化為理解記憶。

第十七頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六（2）變通記憶為輔

對于那些推導(dǎo)過程比較復(fù)雜的公式，理解記憶常常也不能奏效。此時(shí)，不妨用變通的方式來記憶公式。變通記憶就是將所要記憶的公式樣符號、字詞、外在特征用一些擬人化的生活語、口訣表述出來，以幫助人們記住公式的記憶方法。

（3）注意系統(tǒng)記憶

當(dāng)要記憶的公式很多時(shí)，可以將這些公式進(jìn)行邏輯整理，抓住它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，將它們組織起來，形成一個(gè)有序的知識網(wǎng)絡(luò)，以便于記憶。第十八頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六4．公式的應(yīng)用

公式的應(yīng)用以理解為基礎(chǔ)。在應(yīng)用公式前，要使學(xué)生正確理解公式的意義，尤其是公式中字母的可變性。應(yīng)用公式，不但要會正面用，反過來用，而且還要會變形用。

第十九頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六（三）促進(jìn)定理和性質(zhì)學(xué)習(xí)的教學(xué)建議

在數(shù)學(xué)中，根據(jù)已有的概念和真命題，按照正確的邏輯推理方法來證明其真實(shí)性的命題叫做定理。性質(zhì)是定理的另外一種形式。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，定理和性質(zhì)的教學(xué)應(yīng)使學(xué)生理解并記住定理的條件和結(jié)論，掌握定理的證明方法，熟悉定理的適用范圍。除了這些基本要求之外，教師應(yīng)將講課的重點(diǎn)放在揭示定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程及其證明思路的探索過程上。

第二十頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六讓學(xué)生推導(dǎo)公式，不能只是照書按部就班地推，教師對教材應(yīng)作適當(dāng)?shù)募庸ぬ幚?，讓學(xué)生充分地動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口，這樣才會收到事半功倍的效果。

讓學(xué)生推導(dǎo)公式的另一作用是，它可以幫助學(xué)生記憶公式。

另外，在推導(dǎo)公式的過程中，教師要注意揭示所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生熟悉并逐漸掌握這些基本的思想方法，以達(dá)到舉一反三和融會貫通的目的。

第二十一頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生認(rèn)知的特點(diǎn)和要求，有選擇地進(jìn)行定理的再發(fā)現(xiàn)——引導(dǎo)學(xué)生重復(fù)或模擬定理的發(fā)現(xiàn)過程。讓學(xué)生進(jìn)行定理的再發(fā)現(xiàn)，不僅使學(xué)生了解定理結(jié)論的由來，強(qiáng)化對定理具體內(nèi)容的理解和記憶，而且可以充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力。沒有今日的再發(fā)現(xiàn)訓(xùn)練，哪有明日的真發(fā)現(xiàn)呢？

定理結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，一般可在對具體數(shù)學(xué)對象的觀察、測量、計(jì)算、作圖等試驗(yàn)的基礎(chǔ)上去進(jìn)行歸納、類比、猜想。

第二十二頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六1．揭示結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程

教材中大多數(shù)的定理和性質(zhì)都是按“定理—證明—例題—習(xí)題”的模式來安排的。為了顧全系統(tǒng)、嚴(yán)密、精煉的原則，而將數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程略去。作為教材這種安排隊(duì)必要的，無可厚非。但值得注意的是，數(shù)學(xué)結(jié)論的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上經(jīng)歷了曲折的試驗(yàn)、歸納、猜想等一系列探索過程，這個(gè)過程是發(fā)現(xiàn)者的思維過程。當(dāng)然，不可能每一個(gè)定理都讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，那樣做時(shí)間也不允許。但從培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和科學(xué)發(fā)現(xiàn)的能力的角度考慮，第二十三頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六2．揭示證明思路的探索過程

教材中的定理和性質(zhì)的證明已是發(fā)現(xiàn)者（或數(shù)學(xué)家）證明思路的邏輯整理和簡化，大部分以綜合法的方式書寫表達(dá)出來。如果教師也按教材的方式灌給學(xué)生，那么不但學(xué)生理解上有困難，而且也失去了一次發(fā)現(xiàn)和探索的鍛煉機(jī)會。因此，教師在講解證明時(shí)，應(yīng)著重分析證明的思路，將證明思路的探索過程盡可能地暴露在學(xué)生面前，使學(xué)生逐步掌握分析問題和解決問題的思想方法。第二十四頁，共二十六頁，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)原理的教學(xué)策略1問題性策略2過程性策略（創(chuàng)設(shè)問題情境，引起注意及思考；觀察、類比、猜想、歸納、