構(gòu)造函數(shù)法證明導(dǎo)數(shù)不等式的八種方法

PAGE第4頁共9頁構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值和最值，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)。2、解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵。以下介紹構(gòu)造函數(shù)法證明不等式的八種方法：一、移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)已知函數(shù)，求證：當(dāng)時(shí)，恒有分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數(shù)證明，左邊構(gòu)造函數(shù)，從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明?！窘狻俊喈?dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間于是函數(shù)在上的最大值為，因此，當(dāng)時(shí)，，即∴（右面得證），現(xiàn)證左面，令，當(dāng)，即在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故函數(shù)在上的最小值為，∴當(dāng)時(shí)，，即∴，綜上可知，當(dāng)【警示啟迪】如果是函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲?，則有（或），那么要證不等式，只要求函數(shù)的最大值不超過就可得證．2、作差法構(gòu)造函數(shù)證明【例2】已知函數(shù)求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方；分析：函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方問題，即，只需證明在區(qū)間上，恒有成立，設(shè)，，考慮到要證不等式轉(zhuǎn)化變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，，這只要證明：在區(qū)間是增函數(shù)即可?！窘狻吭O(shè)，即，則=當(dāng)時(shí)，=從而在上為增函數(shù)，∴∴當(dāng)時(shí)，即，故在區(qū)間上，函數(shù)的圖象在函數(shù)的圖象的下方?！揪締⒌稀勘绢}首先根據(jù)題意構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)（可以移項(xiàng)，使右邊為零，將移項(xiàng)后的左式設(shè)為函數(shù)），并利用導(dǎo)數(shù)判斷所設(shè)函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明要證的不等式。讀者也可以設(shè)做一做，深刻體會(huì)其中的思想方法。3、換元法構(gòu)造函數(shù)證明【例3】證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立.分析：從所證結(jié)構(gòu)出發(fā)，只需令，則問題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，恒有成立，現(xiàn)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可達(dá)到證明?！窘狻苛睿瑒t在上恒正，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴時(shí)，恒有即，∴對(duì)任意正整數(shù)n，取【警示啟迪】我們知道，當(dāng)在上單調(diào)遞增，則時(shí)，有．如果＝，要證明當(dāng)時(shí)，，那么，只要令＝－，就可以利用的單調(diào)增性來推導(dǎo)．也就是說，在可導(dǎo)的前提下，只要證明０即可．4、從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)證明化為(或)恒成立，于是大于的最大值（或小于的最小值），從而把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．因此，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值是解決不等式恒成立問題的一種重要方法．7.對(duì)數(shù)法構(gòu)造函數(shù)（選用于冪指數(shù)函數(shù)不等式）例：證明當(dāng)8.構(gòu)造形似函數(shù)例：證明當(dāng)例：已知m、n都是正整數(shù)，且證明：【思維挑戰(zhàn)】 1、設(shè)求證：當(dāng)時(shí)，恒有，2、已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)其中a>0，且，求證：3、已知函數(shù)，求證：對(duì)任意的正數(shù)、，恒有4、是定義在（0，+∞）上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足≤0，對(duì)任意正數(shù)a、b，若a<b，則必有（） （A）af(b)≤bf(a) （B）bf(a)≤af(b) （C）af(a)≤f(b) （D）bf(b)≤f(a)【答案咨詢】1、提示：，當(dāng)，時(shí)，不難證明∴，即在內(nèi)單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，恒有2、提示：設(shè)則=，∴當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是，故當(dāng)時(shí)，有，即3、提示：函數(shù)的定義域?yàn)?，∴?dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)因此在取得極小值，而且是最小值于是，即令于是因此4、提示：，，故在（0，+∞）上是減函數(shù)，由有af(b)≤bf(a)故選（A） 1、由f(x)=ln(1+x)-x的導(dǎo)數(shù)為1/(x+1)-1=-x/(x+1)<0得知f(x)在(-1,∞)上單調(diào)減少.

2、所以bn=ln(1+n)-n,an=ln(n+1)-bn=n

一、√n<√(n+2)-c/√(n+2)得c

=1+(√(n+2)-√n)^2/2

由于隊(duì)所有n成立,而√(n+2)-√n可以任意小,且當(dāng)c=1時(shí),不等式依然成立,

所以c的范圍是(-∞,1]

二、分兩步證明,先用歸納法證明不等式(1)a1a3...a(2n-1)/[a2a4...a(2n)]<1/√(2n+1)

n=1時(shí)a1/a2=1/2=1/√4<1/√3

設(shè)n=k時(shí)成立,即a1a3.a(2k-1)/[a2a4...a(2k)]<1/(√2k+1)

所以a1a3...a(2k-1)a(2k+1)/[a2a4...a(2k)a(2k+2)]<(2k+1)/[√(2k+1)(2k+2)]

=√(2k+1)√(2k+3)/[(2k+2)√(2k+3)]

<(2k+1+2k+3)/[2(2k+2)√(2k+3)]

=1/√(2k+3)

所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式(1)成立.

所以對(duì)任意n>0不等式(1)成立.

第二步運(yùn)用第一問的不等式(c=1)時(shí),1/√(n+2)<√(n+2)-√n

得a