時間序列分析-第三章 滑動平均模型和自回歸滑動平均模型

章滑動平均模型與自回歸滑動平均模型2021/5/91本章結(jié)構(gòu)滑動平均模型

ARMA模型

2021/5/92§3.1滑動平均模型

模型引入MA(q)和MA(q)序列最小序列MA(q)系數(shù)的遞推計算MA(q)模型舉例2021/5/93q步相關(guān)平穩(wěn)序列的自協(xié)方差函數(shù)若滿足，

，則稱是q步相關(guān)的。2021/5/94滑動平均模型的例子每隔兩小時記錄的化學(xué)反應(yīng)數(shù)據(jù)時間序列。一階差分得

的樣本自相關(guān)系數(shù)列呈現(xiàn)截尾性。

2021/5/95可以擬合(1.1)

模型特點是1步截尾

2021/5/96MA(q)模型和MA(q)序列定義1.1設(shè)是，如果實數(shù)

使得則稱(1.2)是q階滑動平均模型，簡稱為MA(q)模型；

2021/5/97稱由(1.2)決定的平均序列是滑動平均模型，簡稱為MA(q)序列。如果進(jìn)一步要求多項式在單位圓周上也沒有零點：當(dāng)，則稱(1.2)是可逆的MA(q)模型，稱相應(yīng)的平穩(wěn)時間序列是可逆的MA(q)序列。2021/5/98MA的特征用推移算子把模型寫為(1.3)對于可逆MA，

有Taylor展式所以(1.4)2021/5/99MA序列的自協(xié)方差函數(shù)記，則對MA(q)序列有，(1.5)

2021/5/910MA序列的譜密度定理1.1MA(q)序列的自協(xié)方差函數(shù)是q步截尾的：(1.6)并且有譜密度(1.7)2021/5/911MA(q)序列的充要條件定理1.3設(shè)零均值平穩(wěn)序列有自協(xié)方差函數(shù)，則是MA(q)序列的充分必要是2021/5/912引理1.2引理1.2設(shè)實常數(shù)使得和則有唯一的實系數(shù)多項式：(1.8)使得這里為某個正常數(shù)。(注：)2021/5/913定理1.3的證明由自協(xié)方差絕對可和時譜密度公式得由引理，

單位圓內(nèi)沒有根

2021/5/914如果在單位圓上都沒有根，則可定義，用線性濾波的譜密度公式可得的譜密度是白噪聲譜密度。單位圓上可能有根的一般情況可以用hilbert空間預(yù)測的方法證明。2021/5/915MA(q)系數(shù)的計算MA(q)序列的系數(shù)及可以被數(shù)唯一確定?？梢杂梦墨I(xiàn)方法計算模型參數(shù)。2021/5/916MA(q)系數(shù)的計算記(1.11)2021/5/917則有：(1.12)其中.(1.13)2021/5/918MA(1)序列可逆MA(1)自協(xié)方差和自相關(guān)2021/5/919譜密度偏相關(guān)系數(shù)不截尾：逆表示2021/5/920MA(2)序列可逆MA(2)可逆域：2021/5/921自協(xié)方差自相關(guān)系數(shù)譜密度2021/5/922MA(2)序列的實際例子MA(2)的實際例子：特征根為。2021/5/9232021/5/924§3.2自回歸滑動平均模型ARMA(p,q)模型及其平穩(wěn)解ARMA(p,q)序列的自協(xié)方差函數(shù)ARMA(p,q)模型的可識別性ARMA序列的譜密度和可逆性例子2021/5/925ARMA模型定義2.1設(shè)是。實系數(shù)多項式和沒有公共根。滿足以及：(2.1)2021/5/926就稱差分方程：(2.2)是一個自回歸滑動平均模型，簡稱ARMA(p,q)模型。稱滿足(2.2)的平穩(wěn)序列為平穩(wěn)解或ARMA(p,q)序列。2021/5/927ARMA模型平穩(wěn)解模型寫成(2.3)

在解析(為的所有根)，可以Taylor展開(2.4)易見

是線性平穩(wěn)列。

2021/5/928兩邊用作用即是ARMA(p,q)模型(2.2)的解。2021/5/929惟一平穩(wěn)解反之，若是(2.2)的一個平穩(wěn)解，在(2.2)兩邊用既得即(2.6)是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平穩(wěn)解。2021/5/930稱(2.6)中的為的Word系數(shù)。定理2.1由(2.6)定義的平穩(wěn)序列是ARMA(p,q)模型(2.2)的唯一平穩(wěn)解。2021/5/931ARMA模型方程的通解模型(2.2)的任意解可寫成(2.7)其中為平穩(wěn)解(2.6).為的全體互不相同的零點。有重數(shù)隨機(jī)變量由唯一決定。2021/5/932ARMA序列的模擬生成(2.8)可以據(jù)此模擬ARMA模型：取初值

遞推的當(dāng)m較大時取后一段作為ARMA(p,q)模型的模擬數(shù)據(jù)。當(dāng)有靠近單位圓的根時m要取得較大2021/5/933ARMA序列的自協(xié)方差函數(shù)

可由wold系數(shù)表示：(2.10)由于由(2.10)可得2021/5/934ARMA模型Wold系數(shù)的遞推公式記或由參數(shù)計算時可以遞推(2.11)2021/5/935Wold遞推公式的證明記。注意

2021/5/936比較系數(shù)得即(2.11)成立。2021/5/937可識別性我們將證明：由ARMA(p,q)模型的自協(xié)方差函數(shù)可以決定ARMA(p,q)模型的參數(shù)2021/5/938引理2.2設(shè)是(2.2)的平穩(wěn)解。如果又有白噪聲和實系數(shù)多項式使得成立。則的階數(shù)的階數(shù)。2021/5/939ARMA序列的Y-W方程ARMA模型的平穩(wěn)解為所以2021/5/940（1）兩邊同乘以求期望得即2021/5/941當(dāng)時上式為2021/5/942總之(2.14)對的Y-W方程可以寫成矩陣形式：(2.15)2021/5/943把系數(shù)矩陣記為：只要可逆則可解出。2021/5/944（2）解出后令則是一個MA(q)序列。其自協(xié)方差函數(shù)為q步截尾，且2021/5/945可以用3.1的方法唯一解出。于是，只要可逆，則ARMA(p,q)序列的自協(xié)方差函數(shù)和ARMA(p,q)模型的參數(shù)

相互惟一決定。2021/5/946ARMA模型中AR部分的參數(shù)求解定理2.3設(shè)為ARMA(p,q)序列的自協(xié)方差函數(shù)列，則時可逆。證明：用反證法然后由引理2.2導(dǎo)出矛盾。2021/5/947設(shè)不滿秩。則存在

使得即(2.18)2021/5/948注意當(dāng)時，。所以這是

。所以取有2021/5/949遞推得上式當(dāng)時也成立。因此2021/5/950令，則是零均值平穩(wěn)列，利用可知的自協(xié)方差步截尾。是MA(q-1)序列，存在使得

與引理2.2矛盾。2021/5/951ARMA模型的一個充分條件定理2.4設(shè)零均值平穩(wěn)序列有自協(xié)方差函數(shù)。又設(shè)實數(shù)

使得滿足最小相位條件，另外(2.9)則是一個ARMA序列。其中2021/5/952定理2.4證明證明：設(shè)，則是零均值平穩(wěn)序列。滿足2021/5/953所以有說明的自協(xié)方差函數(shù)是q后截尾的。2021/5/954由定理1.3知道，為一個MA(q)序列。即存在單位圓內(nèi)沒有根的q階實系數(shù)多項式使得和(2.20)其中是2021/5/955如果和沒有公因子，上述模型就是所需要的ARMA(p,q)模型。否則設(shè)公因子是，則有

這是(2.20)變成兩邊乘以(顯然也滿足最小相位條件)后得到所需要ARMA模型：2021/5/956為2021/5/957有理譜密度由于ARMA序列的絕對可和，以及平穩(wěn)解的線性序列表達(dá)式，可得ARMA(p,q)序列(2.6)有譜密度