中考復(fù)習(xí)相似三角形練習(xí)題(完整版)資料

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中考復(fù)習(xí)相似三角形練習(xí)題（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）中考復(fù)習(xí)《相似三角形》練習(xí)題一．選擇題（共10小題）1．（2021?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（）A．11B．10C．9D．82．（2021?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（）A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm3．（2021?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（）A．B．C．D．4．（2021?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）A．B．C．D．5．（2021?綏化）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為（）A．4B．5C．6D．76．（2021?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：27．（2021?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．48．（2021?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC=（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：29．（2021?德陽）如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的異側(cè)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2021?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空題（共10小題）11．（2021?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為_________．（填出一個正確的即可）12．（2021?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為_________cm．13．（2021?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=_________．14．（2021?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為_________．15．（2021?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=_________cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為_________cm2．16．（2021?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正確的是_________（寫出所有正確結(jié)論的序號）．17．（2021?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）．（1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有_________條；（2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=_________時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的．18．（2021?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論：①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是_________．19．（2021?瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=_________．（用含n的式子表示）20．（2021?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn的邊長是_________．三．解答題（共8小題）21．（2021?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；（3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長．22．（2021?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求證：PA為⊙O的切線；（2）若OB=5，OP=，求AC的長．23．（2021?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值．24．（2021?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．（1）求證：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．25．（2021?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2021?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．（1）求證：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的長；（3）求證：BE是⊙O的切線．27．（2021?朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半徑．（2）點E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）求弦EC的長．28．（2021?成都）如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q；（i）當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，求的值；（ii）當(dāng)點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

九年級數(shù)學(xué)《相似三角形》提優(yōu)訓(xùn)練題參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．（2021?自貢）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分線交BC于E，交DC的延長線于F，BG⊥AE于G，BG=，則△EFC的周長為（）A．11B．10C．9D．8考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．分析：判斷出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的長度，繼而得到EC的長度，在Rt△BGE中求出GE，繼而得到AE，求出△ABE的周長，根據(jù)相似三角形的周長之比等于相似比，可得出△EFC的周長．解答：解：∵在?ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分線交BC于點E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周長等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比為1：2，∴△CEF的周長為8．故選D．點評：本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì)，注意掌握相似三角形的周長之比等于相似比，此題難度較大．2．（2021?重慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在AD上，連接CE并延長與BA的延長線交于點F，若AE=2ED，CD=3cm，則AF的長為（）新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：由邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，即可證得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故選B．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．3．（2021?孝感）如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．則EF等于（）XkB1.comA．B．C．D．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例的知識，可得出EF的長度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故選C．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，本題中相似三角形比較容易找到，難點在于根據(jù)對應(yīng)邊成比例求解線段的長度，注意仔細(xì)對應(yīng)，不要出錯．4．（2021?咸寧）如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機(jī)落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為（）A．B．C．D．考點：相似三角形的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)；幾何概率．專題：壓軸題．分析：求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥在花圃上的概率；解答：解：設(shè)正方形的ABCD的邊長為a，則BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴陰影部分的面積為（）2+（a）2=a2，∴小鳥在花圃上的概率為=故選C．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率，關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長，從而表示出兩個陰影正方形的邊長，最后表示出面積．5．（2021?綏化）如圖，點A，B，C，D為⊙O上的四個點，AC平分∠BAD，AC交BD于點E，CE=4，CD=6，則AE的長為（）wWw.xKb1.coMA．4B．5C．6D．7考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：根據(jù)圓周角定理∠CAD=∠CDB，繼而證明△ACD∽△DCE，設(shè)AE=x，則AC=x+4，利用對應(yīng)邊成比例，可求出x的值．解答：解：設(shè)AE=x，則AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圓周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故選B．點評：本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是得出∠CAD=∠CDB，證明△ACD∽△DCE．6．（2021?內(nèi)江）如圖，在?ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，S△DEF：S△ABF=4：25，則DE：EC=（）A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根據(jù)S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性質(zhì)即可求出DE：AB的值，由AB=CD即可得出結(jié)論．解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故選B．點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)，熟知相似三角形邊長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵．7．（2021?黑龍江）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結(jié)論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數(shù)是（）新課標(biāo)第一網(wǎng)A．1B．2C．3D．4考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角梯形．專題：壓軸題．分析：如解答圖所示：結(jié)論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；結(jié)論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進(jìn)而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；結(jié)論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；結(jié)論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．解答：解：（1）結(jié)論①正確．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM與△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）結(jié)論②正確．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）結(jié)論③正確．理由如下：證法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四點共圓，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點G為AF中點．wWw.xKb1.coM在Rt△ANF中，點G為斜邊AF中點，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG與△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）結(jié)論④正確．理由如下：證法一：∵A、D、C、G四點共圓，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④，共4個．故選D．點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識點，有一定的難度．解答中四點共圓的證法，僅供同學(xué)們參考．8．（2021?恩施州）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF：FC=（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：2考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．分析：首先證明△DFE∽△BAE，然后利用對應(yīng)變成比例，E為OD的中點，求出DF：AB的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四邊形ABCD中，AB∥DC，則△DFE∽△BAE，∴=，∵O為對角線的交點，∴DO=BO，又∵E為OD的中點，∴DE=DB，則DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故選D．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例求值．9．（2021?德陽）如圖，在⊙O上有定點C和動點P，位于直徑AB的異側(cè)，過點C作CP的垂線，與PB的延長線交于點Q，已知：⊙O半徑為，tan∠ABC=，則CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考點：圓周角定理；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°，再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==，然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P，則可證得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=?PC=PC，PC為直徑時，PC最長，此時CQ最長，然后把PC=5代入計算即可．解答：解：∵AB為⊙O的直徑，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=?PC=PC，當(dāng)PC最大時，CQ最大，即PC為⊙O的直徑時，CQ最大，此時CQ=×5=．故選D．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．10．（2021?岳陽）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，AD與CD相交于D，BC與CD相交于C，連接OD、OC，對于下列結(jié)論：①OD2=DE?CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD?OA；⑤∠DOC=90°，其中正確的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考點：切線的性質(zhì)；切線長定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：連接OE，由AD，DC，BC都為圓的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得到三個角為直角，且利用切線長定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代換可得出CD=AD+BC，選項②正確；由AD=ED，OD為公共邊，利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而這四個角之和為平角，可得出∠DOC為直角，選項⑤正確；由∠DOC與∠DEO都為直角，再由一對公共角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似，可得出三角形DEO與三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE?CD，選項①正確；又ABCD為直角梯形，利用梯形的面積計算后得到梯形ABCD的面積為AB（AD+BC），將AD+BC化為CD，可得出梯形面積為AB?CD，選項④錯誤，而OD不一定等于OC，選項③錯誤，即可得到正確的選項．解答：解：連接OE，如圖所示：∵AD與圓O相切，DC與圓O相切，BC與圓O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，選項②正確；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，選項⑤正確；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC?DE，選項①正確；而S梯形ABCD=AB?（AD+BC）=AB?CD，選項④錯誤；由OD不一定等于OC，選項③錯誤，則正確的選項有①②⑤．故選A點評：此題考查了切線的性質(zhì)，切線長定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及梯形面積的求法，利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．X|k|B|1.c|O|m二．填空題（共10小題）11．（2021?昭通）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=4cm，F(xiàn)是弦BC的中點，∠ABC=60°．若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)在AB上沿著A→B→A運動，設(shè)運動時間為t（s）（0≤t＜16），連接EF，當(dāng)△BEF是直角三角形時，t（s）的值為4s．（填出一個正確的即可）考點：圓周角定理；垂徑定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題；開放型．分析：根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中點，所以當(dāng)EF∥AC時，△BEF是直角三角形，此時E為AB的中點，易得t=4s；當(dāng)從A點出發(fā)運動到B點名，再運動到O點時，此時t=12s；也可以過F點作AB的垂線，點E點運動到垂足時，△BEF是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中點，∴當(dāng)EF∥AC時，△BEF是直角三角形，此時E為AB的中點，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案為4s．點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了圓周角定理的推論以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．12．（2021?南通）如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=4cm，則EF+CF的長為5cm．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．專題：壓軸題．新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得內(nèi)錯角∠DAE=∠BEA，等量代換后可證得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的長；然后，利用平行線分線段成比例的性質(zhì)分別得出EF，F(xiàn)C的長，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足為G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），F(xiàn)C=3（cm），∴EF+CF的長為5cm．故答案為：5．點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識的掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查，難度適中．13．（2021?菏澤）如圖所示，在△ABC中，BC=6，E、F分別是AB、AC的中點，動點P在射線EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分線交CE于Q，當(dāng)CQ=CE時，EP+BP=12．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理．專題：壓軸題．分析：延長BQ交射線EF于M，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得EF∥BC，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠M=∠CBM，再根據(jù)角平分線的定義可得∠PBM=∠CBM，從而得到∠M=∠PBM，根據(jù)等角對等邊可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根據(jù)CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求解即可．X|k|B|1.c|O|m解答：解：如圖，延長BQ交射線EF于M，∵E、F分別是AB、AC的中點，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分線，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案為：12．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，延長BQ構(gòu)造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．14．（2021?巴中）如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)4米的位置上，則球拍擊球的高度h為1.5米．考點：相似三角形的應(yīng)用．分析：根據(jù)球網(wǎng)和擊球時球拍的垂直線段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根據(jù)其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，則=，∴h=1.5m．故答案為：1.5米．新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)點評：本題考查了相似三角形在測量高度時的應(yīng)用，解題時關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．15．（2021?自貢）正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC、CD上兩個動點，且始終保持AM⊥MN，當(dāng)BM=cm時，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為cm2．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，當(dāng)AM⊥MN時，利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積，用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值．解答：解：設(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，則，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四邊形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴當(dāng)x=﹣=cm時，S四邊形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．XkB1.com點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運用．關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形，利用相似比求函數(shù)關(guān)系式．16．（2021?宜賓）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點D是⊙O上一點，點C是的中點，弦CE⊥AB于點F，過點D的切線交EC的延長線于點G，連接AD，分別交CF、BC于點P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③點P是△ACQ的外心；④AP?AD=CQ?CB．其中正確的是②③④（寫出所有正確結(jié)論的序號）．考點：切線的性質(zhì)；圓周角定理；三角形的外接圓與外心；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題．分析：連接BD，由GD為圓O的切線，根據(jù)弦切角等于夾弧所對的圓周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ACB為直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP為直角，再由一對公共角，得到三角形APF與三角形ABD相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出∠APF等于∠ABD，根據(jù)等量代換及對頂角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對等邊可得出GP=GD，選項②正確；由直徑AB垂直于弦CE，利用垂徑定理得到A為的中點，得到兩條弧相等，再由C為的中點，得到兩條弧相等，等量代換得到三條弧相等，根據(jù)等弧所對的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點，即為直角三角形ACQ的外心，選項③正確；利用等弧所對的圓周角相等得到一對角相等，再由一對公共角相等，得到三角形ACQ與三角形ABC相似，根據(jù)相似得比例得到AC2=CQ?CB，連接CD，同理可得出三角形ACP與三角形ACD相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得出AC2=AP?AD，等量代換可得出AP?AD=CQ?CB，選項④正確．解答：解：∠BAD與∠ABC不一定相等，選項①錯誤；連接BD，如圖所示：∵GD為圓O的切線，∴∠GDP=∠ABD，又AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，選項②正確；∵直徑AB⊥CE，∴A為的中點，即=，新課標(biāo)第一網(wǎng)又C為的中點，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB為圓O的直徑，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點，∴P為Rt△ACQ的外心，選項③正確；連接CD，如圖所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ?CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP?AD，∴AP?AD=CQ?CB，選項④正確，則正確的選項序號有②③④．故答案為：②③④點評：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．17．（2021?泉州）在△ABC中，P是AB上的動點（P異于A、B），過點P的直線截△ABC，使截得的三角形與△ABC相似，我們不妨稱這種直線為過點P的△ABC的相似線，簡記為P（lx）（x為自然數(shù)）．（1）如圖①，∠A=90°，∠B=∠C，當(dāng)BP=2PA時，P（l1）、P（l2）都是過點P的△ABC的相似線（其中l(wèi)1⊥BC，l2∥AC），此外，還有1條；（2）如圖②，∠C=90°，∠B=30°，當(dāng)=或或時，P（lx）截得的三角形面積為△ABC面積的．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC，l3是第3條相似線；（2）按照相似線的定義，找出所有符合條件的相似線．總共有4條，注意不要遺漏．解答：解：（1）存在另外1條相似線．如圖1所示，過點P作l3∥BC交AC于Q，則△APQ∽△ABC；故答案為：1；wWw.xKb1.coM（2）設(shè)P（lx）截得的三角形面積為S，S=S△ABC，則相似比為1：2．如圖2所示，共有4條相似線：①第1條l1，此時P為斜邊AB中點，l1∥AC，∴=；②第2條l2，此時P為斜邊AB中點，l2∥BC，∴=；③第3條l3，此時BP與BC為對應(yīng)邊，且=，∴==；④第4條l4，此時AP與AC為對應(yīng)邊，且=，∴==，∴=．故答案為：或或．點評：本題引入“相似線”的新定義，考查相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的運算；難點在于找出所有的相似線，不要遺漏．18．（2021?嘉興）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點D是AB的中點，連接CD，過點B作BG丄CD，分別交CD、CA于點E、F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連接DF．給出以下四個結(jié)論：①；②點F是GE的中點；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正確的結(jié)論序號是①③．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形．專題：壓軸題．分析：首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得正確；由點D是AB的中點，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，繼而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=AB，即可求得AF=AB；則可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，X|k|B|1.c|O|m∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正確；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，點D是AB的中點，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴點F不是GE的中點．故②錯誤；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正確；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④錯誤．故答案為：①③．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．19．（2021?瀘州）如圖，n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，△B1C1M1的面積為S1，△B2C2M2的面積為S2，…△BnCnMn的面積為Sn，則Sn=．（用含n的式子表示）新|課|標(biāo)考點：相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題；規(guī)律型．分析：由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，即可求得△B1C1Mn的面積，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，…Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，…，BnBn+1的中點，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=，∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即Sn：=，∴Sn=．故答案為：．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式．此題難度較大，注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．20．（2021?荊州）如圖，△ABC是斜邊AB的長為3的等腰直角三角形，在△ABC內(nèi)作第1個內(nèi)接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分別在AC、BC上），再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個內(nèi)接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，則第n個小正方形AnBnDnEn的邊長是．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．新課標(biāo)第一網(wǎng)專題：規(guī)律型．分析：求出第一個、第二個、第三個內(nèi)接正方形的邊長，總結(jié)規(guī)律可得出第n個小正方形AnBnDnEn的邊長．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一個內(nèi)接正方形的邊長=AB=1；同理可得：第二個內(nèi)接正方形的邊長=A1B1=AB=；第三個內(nèi)接正方形的邊長=A2B2=AB=；故可推出第n個小正方形AnBnDnEn的邊長=AB=．故答案為：．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出前幾個內(nèi)接正方形的邊長，得出一般規(guī)律．三．解答題（共8小題）21．（2021?珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)（點P對應(yīng)點P′），當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．（1）求證：∠CBP=∠ABP；（2）求證：AE=CP；（3）當(dāng)，BP′=5時，求線段AB的長．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；（2）過點P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AE=DP，從而得證；（3）設(shè)CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）證明：∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，∴∠EAP′+∠AP′E=90°，又∵∠PAD+∠EAP′=90°，∴∠PAD=∠AP′E，在△APD和△P′AE中，，∴△APD≌△P′AE（AAS），∴AE=DP，∴AE=CP；（3）解：∵=，∴設(shè)CP=3k，PE=2k，則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，在Rt△AEP′中，P′E==4k，∵∠C=90°，P′E⊥AC，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠EPP′=90°，∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），∴∠CBP=∠EP′P，又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，∴△ABP′∽△EPP′，∴=，即=，解得P′A=AB，在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，即AB2+AB2=（5）2，解得AB=10．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，（2）作輔助線構(gòu)造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵，（3）利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出P′A=AB是解題的關(guān)鍵．22．（2021?湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求證：PA為⊙O的切線；（2）若OB=5，OP=，求AC的長．XkB1.com考點：切線的判定；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP；（2）通過相似三角形△ABC∽△PAO的對應(yīng)邊成比例來求線段AC的長度．解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°．又∵OP∥BC，∴∠AOP=∠B，∴∠BAC+∠AOP=90°．∵∠P=∠BAC．∴∠P+∠AOP=90°，∴由三角形內(nèi)角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．又∵OA是的⊙O的半徑，∴PA為⊙O的切線；（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，∴OA=OB=5．又∵OP=，∴在直角△APO中，根據(jù)勾股定理知PA==，由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．∵∠BAC=∠P，∴△ABC∽△POA，∴=．∴=，解得AC=8．即AC的長度為8．點評：本題考查的知識點有切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，得到兩個三角形中的兩組對應(yīng)角相等，進(jìn)而得到兩個三角形相似，是解答（2）題的關(guān)鍵．23．（2021?宜賓）如圖，AB是⊙O的直徑，∠B=∠CAD．新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若點E是的中點，連接AE交BC于點F，當(dāng)BD=5，CD=4時，求AF的值．考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）證明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，繼而可判斷AC是⊙O的切線．（2）根據(jù)（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的長度，繼而判斷∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長度，繼而得出DF的長，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長．解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠B=∠CAD，∠C=∠C，∴△ADC∽△BAC，∴∠BAC=∠ADC=90°，∴BA⊥AC，∴AC是⊙O的切線．（2）∵△ADC∽△BAC（已證），∴=，即AC2=BC×CD=36，解得：AC=6，在Rt△ACD中，AD==2，∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD，∴CA=CF=6，∴DF=CA﹣CD=2，在Rt△AFD中，AF==2．點評：本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線的判定定理、相似三角形的性質(zhì)，勾股定理的表達(dá)式．24．（2021?襄陽）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，且AB為⊙O的直徑．∠ACB的平分線交⊙O于點D，過點D作⊙O的切線PD交CA的延長線于點P，過點A作AE⊥CD于點E，過點B作BF⊥CD于點F．（1）求證：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求線段PD的長．XkB1.com考點：切線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：證明題；壓軸題．分析：（1）連結(jié)OD，由AB為⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°，再由ACD=∠BCD=45°，則∠DAB=∠ABD=45°，所以△DAB為等腰直角三角形，所以DO⊥AB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥PD，于是可得到DP∥AB；（2）先根據(jù)勾股定理計算出AB=10，由于△DAB為等腰直角三角形，可得到AD==5；由△ACE為等腰直角三角形，得到AE=CE==3，在Rt△AED中利用勾股定理計算出DE=4，則CD=7，易證得∴△PDA∽△PCD，得到===，所以PA=PD，PC=PD，然后利用PC=PA+AC可計算出PD．解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ACB的平分線交⊙O于點D，∴∠ACD=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠ABD=45°，∴△DAB為等腰直角三角形，∴DO⊥AB，∵PD為⊙O的切線，∴OD⊥PD，∴DP∥AB；（2）解：在Rt△ACB中，AB==10，∵△DAB為等腰直角三角形，∴AD===5，∵AE⊥CD，∴△ACE為等腰直角三角形，∴AE=CE===3，在Rt△AED中，DE===4，∴CD=CE+DE=3+4=7，∵AB∥PD，∴∠PDA=∠DAB=45°，∴∠APD=∠PCD，而∠DPA=∠CPD，∴△PDA∽△PCD，∴===，新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)∴PA=PD，PC=PD，而PC=PA+AC，∴PD+6=PD，∴PD=．點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理定理、等腰直角三角形的性質(zhì)和三角形相似的判定與性質(zhì)．25．（2021?紹興）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，點E為AB的中點，EC與AD交于點G，點F在BC上．（1）如圖1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求證：EF=CD．（2）如圖2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)同角的余角相等得出∠CAD=∠B，根據(jù)AC：AB=1：2及點E為AB的中點，得出AC=BE，再利用AAS證明△ACD≌△BEF，即可得出EF=CD；（2）作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，先證明四邊形EQDH是矩形，得出∠QEH=90°，則∠FEQ=∠GEH，再由兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似證明△EFQ∽△EGH，得出EF：EG=EQ：EH，然后在△BEQ中，根據(jù)正弦函數(shù)的定義得出EQ=BE，在△AEH中，根據(jù)余弦函數(shù)的定義得出EH=AE，又BE=AE，進(jìn)而求出EF：EG的值．解答：（1）證明：如圖1，在△ABC中，∵∠CAB=90°，AD⊥BC于點D，∴∠CAD=∠B=90°﹣∠ACB．∵AC：AB=1：2，∴AB=2AC，∵點E為AB的中點，∴AB=2BE，∴AC=BE．在△ACD與△BEF中，，∴△ACD≌△BEF，∴CD=EF，即EF=CD；（2）解：如圖2，作EH⊥AD于H，EQ⊥BC于Q，∵EH⊥AD，EQ⊥BC，AD⊥BC，∴四邊形EQDH是矩形，∴∠QEH=90°，∴∠FEQ=∠GEH=90°﹣∠QEG，又∵∠EQF=∠EHG=90°，∴△EFQ∽△EGH，∴EF：EG=EQ：EH．∵AC：AB=1：，∠CAB=90°，∴∠B=30°．在△BEQ中，∵∠BQE=90°，∴sin∠B==，wWw.xKb1.coM∴EQ=BE．在△AEH中，∵∠AHE=90°，∠AEH=∠B=30°，∴cos∠AEH==，∴EH=AE．∵點E為AB的中點，∴BE=AE，∴EF：EG=EQ：EH=BE：AE=1：．點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，綜合性較強，有一定難度．解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相似三角形，并且證明四邊形EQDH是矩形．26．（2021?汕頭）如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E．（1）求證：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的長；（3）求證：BE是⊙O的切線．考點：切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論；（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長度．（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD，∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），∴∠BCA=∠BAD．（2）解：∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90°，∴△BED∽△CBA，∴=，即=，解得：DE=．（3）證明：連結(jié)OB，OD，在△ABO和△DBO中，∵，∴△ABO≌△DBO，∴∠DBO=∠ABO，∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC，∴OB∥ED，∵BE⊥ED，∴EB⊥BO，∴OB⊥BE，∴BE是⊙O的切線．點評：本題考查了切線的判定及圓周角定理的知識，綜合考查的知識點較多，解答本題要求同學(xué)們熟練掌握一些定理的內(nèi)容．27．（2021?朝陽）如圖，直線AB與⊙O相切于點A，直徑DC的延長線交AB于點B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半徑．（2）點E在⊙O上，連接AE，AC，EC，并且AE=AC，判斷直線EC與AB有怎樣的位置關(guān)系？并證明你的結(jié)論．（3）求弦EC的長．考點：切線的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定與性質(zhì)．分析：（1）連接OA，交EC于F，根據(jù)切線性質(zhì)得出∠OAB=90°，根據(jù)勾股定理求出即可；（2）根據(jù)AE=AC推出弧AE=弧AC，根據(jù)垂徑定理求出OA⊥EC，根據(jù)平行線判定推出即可；（3）證△OFC∽△OAB，求出FC，根據(jù)垂徑定理得出EC=2FC，代入求出即可．解答：（1）解：連接AO，交EC于F，∵AB切⊙O于A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OA===6，答：⊙O的半徑是6．（2）直線EC與AB的位置關(guān)系是EC∥AB．證明：∵AE=AC，∴弧AE=弧AC，∵OA過O，∴OA⊥EC，∵OA⊥AB，∴EC∥AB．（3）解：∵EC∥AB，∴△OFC∽△OAB，∴=，∴=，∴FC=，∵OA⊥EC，OA過O，∴EC=2FC=．點評：本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．28．（2021?成都）如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC同側(cè)，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求證：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q；（i）當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，求的值；（ii）當(dāng)點P從A點運動到AC的中點時，求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長．（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．新|課|標(biāo)|第|一|網(wǎng)專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=CE，然后根據(jù)AC=AB+BC整理即可得證；（2）（i）過點Q作QF⊥BC于F，根據(jù)△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根據(jù)△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP﹣BF）（5﹣AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，從而得解；（ii）判斷出DQ的中點的路徑為△BDQ的中位線MN．求出QF、BF的長度，利用勾股定理求出BQ的長度，再根據(jù)中位線性質(zhì)求出MN的長度，即所求之路徑長．解答：（1）證明：∵BD⊥BE，∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°，∵∠C=90°，∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°，∴∠1=∠E，∵在△ABD和△CEB中，，∴△ABD≌△CEB（AAS），∴AB=CE，∴AC=AB+BC=AD+CE；（2）（i）如圖，過點Q作QF⊥BC于F，則△BFQ∽△BCE，∴=，wWw.xKb1.coM即=，∴QF=BF，∵DP⊥PQ，∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°，∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°，∴∠ADP=∠FPQ，又∵∠A=∠PFQ=90°，∴△ADP∽△FPQ，∴=，即=，∴5AP﹣AP2+AP?BF=3?BF，整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0，∵點P與A，B兩點不重合，∴AP≠5，∴AP=BF，由△ADP∽△FPQ得，=，∴=；（ii）線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）就是△BDQ的中位線MN．由（2）（i）可知，QF=AP．當(dāng)點P運動至AC中點時，AP=4，∴QF=．∴BF=QF×=4．在Rt△BFQ中，根據(jù)勾股定理得：BQ===．∴MN=BQ=．∴線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑（線段）長為．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）求出三角形全等的條件∠1=∠E是解題的關(guān)鍵，（2）（i）根據(jù)兩次三角形相似求出AP=BF是解題的關(guān)鍵，（ii）判斷出路徑為三角形的中位線是解題的關(guān)鍵．新課標(biāo)第一網(wǎng)系列資料北京市海淀區(qū)2021屆初三數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)三角形全等的判定-邊角邊專題練習(xí)1.如圖，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要補充的一個條件是()A．∠B＝∠CB．∠D＝∠EC．∠BAC＝∠EADD．∠B＝∠E2.如圖，AC與BD相交于點O，若OA＝OD，用“SAS”證明△AOB≌△DOC，還需條件()A．AB＝DCB．OB＝OCC．∠A＝∠DD．∠AOB＝∠DOC3.下圖中全等的三角形有()A．Ⅰ和ⅡB．Ⅱ和ⅣC．Ⅱ和ⅢD．Ⅰ和Ⅲ4.如圖，若線段AB，CD互相平分且相交于點O，則下列結(jié)論錯誤的是()A．AD＝BCB．∠C＝∠DC．AD∥BCD．OB＝OC5.如圖，AB＝CD，AB∥CD，E，F(xiàn)是BD上兩點且BE＝DF，則圖中全等的三角形有()A．1對B．2對C．3對D．4對6.如圖，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.下列結(jié)論不正確的是()A．∠BAD＝∠CAEB．△ABD≌△ACEC．AB＝BCD．BD＝CE7.如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于點D，在AB上截取AE＝AC，則△BDE的周長為()A．8B．7C．6D．58.如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點，且DE＝DF，連接BF，CE，下列說法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE.其中正確的有()A．1個B．2個C．3個D．4個9.如圖所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，則∠F＝_______.10.如圖，有一池塘，要測池塘兩端A，B的距離，可先在平地上取一個可以直接到達(dá)A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD＝CA，連接BC并延長到E，使CE＝CB.連接DE，那么量出DE的長，就是A，B的距離．該過程利用了_____________的原理．11.如圖，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD與BE相交于點F，則∠AFE＝______.12.如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是角平分線，BE＝CF，則下列說法中：①DA平分∠EDF；②△EBD≌△FCD；③BD＝CD；④AD⊥BC.正確的是____________.(填序號)13.如圖，E是BC的中點，∠1＝∠2，AE＝DE.求證：△ABE≌△DCE.14.如圖，在△ABC和△ABD中，AC與BD相交于點E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA.求證：AC＝BD.15.如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.求證：AE＝FB.16.如圖，已知∠1＝∠2，AC＝AE，BC＝DE，且點D在BC上，求證：AB＝AD.17.如圖，點M，N在線段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD.求證：∠1＝∠2.18.兩個大小不同的等腰直角三角板如圖①放置，圖②是由它抽象出的幾何圖形，點B，C，E在同一條直線上，連接CD.求證：CD⊥BE.答案：1---8CBDDCCBD9.70°10.SAS(或邊角邊)11.60°12.①②③④13.證明：∵E是BC的中點，∴BE＝EC，在△ABE和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AE＝DE，,∠1＝∠2，,BE＝EC，))∴△ABE≌△DCE(SAS)14.在△ABC和△BAD中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BC，,∠DAB＝∠CBA，,AB＝BA，))∴△ABC≌△BAD(SAS)∴AC＝BD15.證明：∵CE∥DE，∴∠ACE＝∠D，在△ACE和△FDB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AC＝FD，,∠ACE＝∠D，,EC＝BD，))∴△ACE≌△FDB(SAS)，∴AE＝FB16.證明：∵∠1＝∠2，∠AOE＝∠DOC，∴∠E＝∠C，又AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE(SAS)，∴AB＝AD17.先證△ABN≌△CDM(SAS)得BN＝DM，∠BNM＝∠DMN，再證△BMN≌△DNM(SAS)即可得到∠1＝∠218.證△ABE≌△ACD(SAS)，得∠ACD＝∠ABE＝45°，∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝45°＋45°＝90°，即CD⊥BE專題：相似三角形的性質(zhì)（一）重難點易錯點解析題一：題面：兩個直角三角形重疊在一起，將其中一個三角形沿著點B到點C的方向平移到△DEF的位置，AB=12，DH=3，平移距離為4，求陰影部分的面積．金題精講題一：題面：如圖，點A1，A2，A3，A4，…，An在射線OA上，點B1，B2，B3，…，Bn1在射線OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An1Bn1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn1△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An1AnBn1，為陰影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面積分別為1，4，則圖中面積小于2021的陰影三角形面積共有（）題二：題面：如圖△ABC中，AD為△ABC的角平分線，求證：AB?DC=AC?BD．題三：題面：如圖，在矩形ABCD中對角線AC、BD相交于點F，延長BC到點E，使得四邊形ACED是一個平行四邊形，平行四邊形對角線AE交BD、CD分別為點G和點H．證明：DG2=FG?BG．題四：題面：如圖，Rt△ABC中，有三個正方形，DF=9cm，GK=6cm，則第三個正方形的邊長PQ=．重難點易錯點解析題一：答案：42．詳解：∵AB=12，

∴DE=12，

又∵DH=3，

∴HE=123=9，

∵HE∥AB，

∴，

即，

故EC=12，

∴S△DEF=DE?EF=×12×(4+12)=96；

S△HEC=HE?EC=×9×12=54；

∴S陰影部分DHCF=9654=42．金題精講