數值積分與微分

數值積分與微分第一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六引言

依據微積分基本定理,只要找到被積函數的原函數，，便有牛頓-萊伯尼茲公式

由于大量的被積函數找不到用初等函數表示的原函數，而實驗測量或數值計算給出的通常是一張函數表，所以牛頓-萊伯尼茲公式往往不能直接運用。因此有必要研究積分的數值計算問題。第二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六數值求積的基本思想

依據積分中值定理，就是說，底為而高為的矩形面積恰恰等于所求曲邊梯形的面積。取內若干個節(jié)點處的高度，通過加權平均的方法生成平均高度，這類求積公式稱機械求積公式：式中稱為求積節(jié)點，稱為求積系數，亦稱伴隨節(jié)點的權。第三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六代數精度的概念數值求積方法是近似方法，為保證精度，自然希望所提供求積公式對于“盡可能多”的函數是準確的。如果機械求積公式對均能準確成立，但對不準確，則稱機械求積公式具有次代數精度。事實上，令求積公式對準確成立，即得可見，在求積公式節(jié)點給定的情況下，求積公式的構造問題本質上是個解線性方程組的代數問題。第四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六插值型的求積公式

設已給在節(jié)點的函數值，作插值多項式

其中

由于多項式的求積是容易的，令這樣得到的求積公式稱為插值型的求積公式，其求積系數為

定理機械求積公式至少有次代數精度的充分必要條件是它是插值型的。第五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六牛頓－柯特斯公式

設分為等份，步長，取等分點構造出的插值型求積公式（其中）稱作階牛頓－柯特斯公式。一階和二階牛頓－柯特斯公式分別是

梯形公式辛甫生公式四階牛頓－柯特斯公式，也稱為柯特斯公式：第六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六第七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六第八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六第九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六第十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六幾種低階求積公式的代數精度

階的牛頓－柯特斯公式至少有次代數精度，事實上，二階的辛甫生公式與四階的柯特斯公式在精度方面會獲得“額外”的好處，它們分別有3次和5次代數精度。因此，在幾種低階的牛頓－柯特斯公式中，人們更感興趣的是梯形公式（它最簡單、最基本），辛甫生公式和柯特斯公式。第十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六幾種低階求積公式的余項

利用線性插值的余項公式以及積分中值定理，我們可以得到梯形公式的余項：利用埃爾米特插值的余項公式以及積分中值定理我們可以得到辛甫生公式的余項：

另外，我們可以得到如下柯特斯公式的積分余項：第十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六復化求積公式第十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六復化求積公式

復化梯形公式有如下形式：其余項為：第十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六在利用插值求積公式求積分時，為了提高精度有兩種途徑。一是提高積分區(qū)間上的插值多項式的階數，從而也就提高了求積公式的階數。但是，由于插值多項式的階數越高，其逼近性質未必好（即精度未必能提高），因此，牛頓-柯特斯公式的階數越高，其積分精度也未必提高，工程上一般只作到六階牛頓-柯特斯公式（即龍貝格公式）為止。二是采用復化公式，盡量減小每一個求積小區(qū)間的長度。在實際應用時，往往將這兩種方法混合使用，以便提高求積的精度。

第十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六變步長求積法

在數值積分中，精度是一個很重要的問題，如果誤差太大，就沒有實際意義。為了提高精度，通常需要在復化求積公式中盡量減小各細分小區(qū)間的長度，即減小步長h。顯然，如果步長h取得太大，則精度就難以得到保證；但是，如果步長取得太小，則計算工作量也就隨之增大，并且，由于項數的增加，其誤差的積累也就增大。因此，在采用復化公式求積時，關鍵的問題是合理地選擇步長（即合理選擇對整個積分區(qū)間的細分數），以便既能滿足精度要求，又不致于引起過多的誤差積累和過大的計算工作量。在實際計算過程中，通常采用變步長的求積法。

第十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六變步長梯形求積法變步長求積法的基礎是復化梯形公式，但并不是先確定對積分區(qū)間的細分數，而是根據精度要求逐步將區(qū)間細分。并且在對區(qū)間細分的過程中，為了盡量避免被積函數值的重復計算，總是對原先的小區(qū)間再二等分一次，以便充分利用原來結點上的函數值。第十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六變步長梯形求積法的基本過程

(1)首先利用梯形公式計算積分值。這相當于將積分區(qū)間一等分，即

n＝1，h＝b－a則有

Tn＝即實際上為

T1＝[f(a)＋f(b)]第十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六變步長梯形求積法的基本過程(2)將每一個求積小區(qū)間再二等分一次（即由原來的n等分變成2n等分），則有其中為再二等分一次后新增加的結點，它們都是原來各小區(qū)間的中點；f()為新增加結點上的函數值。由上式可以看出，在對每一個小區(qū)間再二等分后，在積分值T2n的第一項中只包括再二等分之前的各結點上的函數值，并且第一項的值正好是再二等分之前積分值Tn的一半，顯然，這一項中所包含的函數值就不必計算了。再二等分后需要計算的函數都包含在第二項中，它們都是二等分后出現(xiàn)的新的結點。因此有第十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六變步長梯形求積法的基本過程

(3)判斷二等分前后兩次的積分值之差的絕對值是否小于預先所規(guī)定的精度要求，即

T2n－Tn|＜ε若不等式成立，即表示已經滿足精度要求，二等分后的積分值T2n就是最后結果，即

若不等式不成立，則保存當前的等分數、積分值與步長，即轉第(2)步繼續(xù)作二等分處理。第二十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六變步長求積法

變步長求積法是以梯形公式為基礎，逐步改變步長，以達到預先所要求的精度。在變步長梯形求積法的遞推公式中，Tn是二等分前的積分值，而右端的第二項只涉及到二等分時新增加的分點上的函數值，這就避免了老結點上函數值的重復計算。第二十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六算法——梯形求積法參數說明：

a雙精度實型變量。積分下限。

b雙精度實型變量。積分上限。要求b＞a。eps雙精度實型變量。積分精度要求。

f雙精度函數指針變量。指向計算被積函數值的函數。本函數返回一個雙精度實型積分值。

第二十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六算法源程序第二十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六

梯形法的加速

梯形法的算法簡單，但精度低，收斂的速度緩慢。如何提高收斂速度以節(jié)省計算量呢？由復化梯形公式的截斷誤差公式可得，整理得，

由此可知，這樣導出的加速公式是辛甫生公式：第二十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六算法——辛卜生求積法參數說明：

a雙精度實型變量。積分下限。

b雙精度實型變量。積分上限。要求b＞a。eps雙精度實型變量。積分精度要求。

f雙精度函數指針變量。指向計算被積函數值的函數。本函數返回一個雙精度實型積分值。

第二十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六算法源程序第二十六頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六龍貝格算法

我們可以在步長逐步分半過程中將粗糙的積分值逐步加工為精度較高的積分值：或者說將收斂緩慢的梯形值序列加工成收斂迅速的積分值序列，這種加速方法稱為龍貝格算法。第二十七頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六龍貝格求積法的計算格式

第二十八頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六龍貝格算法根據龍貝格求積法構造出來的序列T1(h)，T2(h)，…，Tm(h)，…，其收斂速度比變步長求積法更快。這是因為，在龍貝格求積法中，同時采用了提高階數與減小步長這兩種提高精度的措施。在實際應用中，一般只作到龍貝格公式為止，然后二等分后再繼續(xù)作下去。龍貝格求積法又稱為數值積分逐次分半加速收斂法。

第二十九頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六算法——龍貝格求積法參數說明：

a雙精度實型變量。積分下限。

b雙精度實型變量。積分上限。要求b＞a。eps雙精度實型變量。積分精度要求。

f雙精度函數指針變量。指向計算被積函數值的函數。本函數返回一個雙精度實型積分值。

第三十頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六算法源程序第三十一頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六高斯求積公式

不失一般性，設，考慮下列求積公式

我們將會看到，適當的選取求積節(jié)點可以使上述求積公式具有次代數精度，這種高精度的求積公式稱為高斯（Gauss）公式，高斯公式的求積節(jié)點稱為高斯點。第三十二頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六高斯點的基本特性

盡管高斯點的確定原則上可以化為代數問題，但是由于所歸結的方程組是非線性的，而它的求解存在實質性的困難，所以我們要從研究高斯點的基本特性著手解決高斯公式的構造問題。設是求積公式中的高斯點，令則有如下結論：定理節(jié)點是高斯點的充分必要條件是多項式與一切次數的多項式正交，即成立第三十三頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六尋找高斯點的途徑第三十四頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六勒讓德多項式第三十五頁，共三十八頁，編輯于2023年，星期六數值微分

設已知在節(jié)點的函數值，利用所給定數據作次插值多項式，并取