流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

流體運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法根據(jù)連續(xù)介質(zhì)的假設(shè)，流體是由質(zhì)點(diǎn)組成，無空隙地充滿所占據(jù)的空間。對(duì)于無數(shù)多的流體質(zhì)點(diǎn)，當(dāng)其發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何正確描述和區(qū)分各流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)行為，將是流體運(yùn)動(dòng)學(xué)必須回答的問題。描述流體運(yùn)動(dòng)的方法有兩種。1、Lagrange方法（拉格朗日方法，質(zhì)點(diǎn)法）在該方法中，觀察者著眼于個(gè)別流體質(zhì)點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過跟蹤每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)歷程，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。（引出跡線的概念）§2.1描述流體運(yùn)動(dòng)的方法第二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日用如下方程描述質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）所經(jīng)歷的軌跡：

x(a,b,c,t),y(a,b,c,t),z(a,b,c,t)其中，a,b,c為流體質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)識(shí)符，用于區(qū)分和識(shí)別各質(zhì)點(diǎn)，一般可用質(zhì)點(diǎn)的初始坐標(biāo)表示;t

表示時(shí)間。

a.b.c.t稱為拉格朗日變數(shù)。

a.b.c

給定，表示指定質(zhì)點(diǎn)的軌跡。

t給定，表示在給定時(shí)刻不同質(zhì)點(diǎn)的空間位置。上式就是質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的軌跡參數(shù)方程，三式消去得軌跡

(警察抓小偷的方法)··§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法第三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置是時(shí)間

t的函數(shù)，對(duì)于給定的流體質(zhì)點(diǎn)（a，b，c），速度表達(dá)式是：流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法這里使用偏導(dǎo)數(shù)是因?yàn)樽鴺?biāo)同時(shí)是時(shí)間和質(zhì)點(diǎn)標(biāo)號(hào)的函數(shù)，求導(dǎo)時(shí)要求a,b,c固定不變，即求導(dǎo)是針對(duì)同一流體質(zhì)點(diǎn)的。第四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日流體質(zhì)點(diǎn)的其它物理量也都是a,b,c,t的函數(shù)。例如流體質(zhì)點(diǎn)（a,b,c）的溫度可表為T(a,b,c,t)2、Euler方法（歐拉方法，空間點(diǎn)法，流場(chǎng)法）歐拉方法的著眼點(diǎn)不是流體質(zhì)點(diǎn)而是空間點(diǎn)?？疾觳煌黧w質(zhì)點(diǎn)通過空間固定點(diǎn)的流動(dòng)行為，通過記錄不同空間點(diǎn)流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的運(yùn)動(dòng)情況，從而獲得整個(gè)流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。在固定空間點(diǎn)看到的是不同流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)變化，無法像拉格朗日方法那樣直接記錄同一質(zhì)點(diǎn)的時(shí)間歷程。在固定空間點(diǎn)很容易記錄流過的不同質(zhì)點(diǎn)的速度：§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法第五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日其中，x,y,z為空間點(diǎn)的坐標(biāo)。t表示時(shí)間。x.y.z.t稱為歐拉變數(shù)，是四個(gè)相互獨(dú)立的變量。x.y.z

給定，t變化，表示不同時(shí)刻不同流體質(zhì)點(diǎn)通過同一空間點(diǎn)的速度。t給定，x.y.z變化，表示給定時(shí)刻，不同流體質(zhì)點(diǎn)通過不同空間點(diǎn)的速度，給定速度場(chǎng)。

(守株待兔，看門房式的工作方法)§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法第六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日上式既描述了某一瞬間各點(diǎn)的流動(dòng)情況，也描述了不同瞬間的流動(dòng)參數(shù)在各點(diǎn)的分布情況。這種描述法稱為歐拉法。

請(qǐng)注意，x,y,z,t是四個(gè)獨(dú)立變數(shù)。如果不另外賦以意義，則不能有這類的表達(dá)式。應(yīng)該指出，速度場(chǎng)的表達(dá)本質(zhì)上指的是該瞬時(shí)恰好通過該空間點(diǎn)的流體微團(tuán)所具有的速度。§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法第七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日一個(gè)速度場(chǎng)

即使沒有解析表達(dá)式，但只要有離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)，也可以描繪出流場(chǎng)，例如下圖就是用某時(shí)刻下速度的空間分布描繪的一個(gè)速度場(chǎng):

一個(gè)布滿了某種物理量的空間稱為場(chǎng)。除速度場(chǎng)之外，還有壓強(qiáng)場(chǎng)。在高速流動(dòng)時(shí)，氣流的密度和溫度也隨流動(dòng)有變化，那就還有一個(gè)密度場(chǎng)和溫度場(chǎng)。這都包括在流場(chǎng)的概念之內(nèi)?！?.1.1拉格朗日方法與歐拉方法第八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

如果場(chǎng)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)而與時(shí)間無關(guān)則稱為定常場(chǎng)，否則為非定常場(chǎng)，例如，定常速度場(chǎng)的表達(dá)為：§2.1.1拉格朗日方法與歐拉方法第九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

歐拉觀點(diǎn)下如何表達(dá)加速度？我們用如下4圖來定性描述引起各處速度變化的原因：第1圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B速度不變；第2圖表示A點(diǎn)與B點(diǎn)因水位下降引起速度同時(shí)減?。坏?圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因管道收縮引起速度增加；第4圖表示流體質(zhì)點(diǎn)從A流到B點(diǎn)，因水位下降和管道收縮引起速度的變化?！?.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

水位下降表示流場(chǎng)的非定常性，管道收縮表示流場(chǎng)的不均勻性。由此可見，一般情況下引起流體質(zhì)點(diǎn)速度的變化來自于兩方面的貢獻(xiàn)：其一是流場(chǎng)的不均勻性，其二是流場(chǎng)的非定常性。

用歐拉法來描述一般的非定常流場(chǎng)時(shí)，關(guān)于加速度要強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)。第一，A（x，y，z）點(diǎn)上t

瞬時(shí)的流體微團(tuán)的速度是時(shí)間的函數(shù)，所以速度可以隨時(shí)間變化。第二，原在A點(diǎn)的微團(tuán)經(jīng)Δt后到了B點(diǎn)，若B點(diǎn)的速度與A點(diǎn)的不同，那么由于遷移，它也會(huì)有速度的變化。§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式

設(shè)在t

瞬時(shí)，位于A（x，y，z）點(diǎn)的一個(gè)微團(tuán)具有速度u，v，w。經(jīng)Δt時(shí)間后，該微團(tuán)移到令：經(jīng)Δt之后，u

變成u+Δu:第十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日將變化前后的速度表達(dá)相減，略去高階項(xiàng)，僅保留一階項(xiàng)，得此式右側(cè)第一項(xiàng)是微團(tuán)在（x，y，z）處其速度隨時(shí)間的變化率，即當(dāng)?shù)丶铀俣?。后三?xiàng)是由于微團(tuán)流向速度不相同的鄰點(diǎn)而出現(xiàn)的速度變化率，即遷移加速度。注意上式并非全導(dǎo)數(shù)的表達(dá)（在《高數(shù)》中當(dāng)復(fù)合函數(shù)只是一個(gè)自變量t的函數(shù)時(shí)才有全導(dǎo)數(shù)），因?yàn)樵跉W拉觀點(diǎn)下x、y、z等與時(shí)間t無關(guān)，不能寫出dx/dt的表達(dá)?！?.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日算子：

往往用這樣一個(gè)符號(hào)來表示。這個(gè)導(dǎo)數(shù)稱為隨流體運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)數(shù)，或稱隨體導(dǎo)數(shù)、實(shí)質(zhì)導(dǎo)數(shù)或物質(zhì)導(dǎo)數(shù)。從而上述加速度可以寫成：

同理：§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

需要指出，上述加速度仍然是空間坐標(biāo)和時(shí)間坐標(biāo)四個(gè)獨(dú)立變量（x,y,z,t）的函數(shù)：§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式將上三式分別乘再相加可得加速度表達(dá)的向量式：其中，哈密頓算子：第十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日隨體導(dǎo)數(shù)算子：除可作用于速度外，對(duì)流場(chǎng)中其它變量也成立。如對(duì)于壓強(qiáng)

p，有：雖然，由于在歐拉觀點(diǎn)下，x,y,z,t

是四個(gè)獨(dú)立變量，一般不能寫出dx/dt

的表達(dá)，因此上述表達(dá)并非數(shù)學(xué)上的全導(dǎo)數(shù)。但在物理上上式仍然表示質(zhì)點(diǎn)壓強(qiáng)在運(yùn)動(dòng)過程中的時(shí)間變化率，只是在場(chǎng)的觀點(diǎn)下將這個(gè)變化率寫為當(dāng)?shù)刈兓屎瓦w移變化率稱為隨體導(dǎo)數(shù)?！?.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日因此歐拉法與拉格朗日方法表示的加速度實(shí)質(zhì)上是一致的，據(jù)此我們也可以利用拉格朗日觀點(diǎn)下對(duì)流體質(zhì)點(diǎn)求全導(dǎo)數(shù)得到質(zhì)點(diǎn)的加速度后，再轉(zhuǎn)化為歐拉法的加速度表達(dá)。例如在拉格朗日觀點(diǎn)下沿軌跡線對(duì)質(zhì)點(diǎn)速度求全導(dǎo)數(shù)得流體質(zhì)點(diǎn)的加速度為：§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式

歐拉法表示的流場(chǎng)速度和加速度實(shí)質(zhì)上顯然是指該瞬時(shí)恰好通過該點(diǎn)的流體質(zhì)點(diǎn)所具有的速度和加速度：第十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日代入即得歐拉法下的加速度表達(dá)在不引起誤會(huì)的條件下，也有將隨體導(dǎo)數(shù)表為的。隨體導(dǎo)數(shù)與全導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)上是瞬時(shí)統(tǒng)一的，前者采用場(chǎng)的表示方法，后者采用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的表示方法。由于拉格朗日法與歐拉法下的速度關(guān)系為：§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

譬如像直圓管中的定常層流（如下圖）那樣一種實(shí)際流動(dòng)，u=u（y）。當(dāng)?shù)丶铀俣群瓦w移加速度都是零。

遷移加速度中的任何一項(xiàng)都是速度分量與同一方向的導(dǎo)數(shù)之乘積，或稱沿速度方向的導(dǎo)數(shù)。因此只有上述兩項(xiàng)都不為零才可能存在遷移加速度，因此也將稱為對(duì)流導(dǎo)數(shù)?！?.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)上述分析可得出以下各圖中歐拉法的加速度表達(dá)式。§2.1.2歐拉法的加速度表達(dá)式第二十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

人們希望用一些曲線將流場(chǎng)上的流動(dòng)情況表現(xiàn)出來。在某一瞬間看流場(chǎng)的話，從某點(diǎn)出發(fā)，順著這一點(diǎn)的速度指向畫一個(gè)微小的距離到達(dá)鄰點(diǎn)，再按鄰點(diǎn)在同一瞬間的速度指向再畫一個(gè)微小距離，一直畫下去便得一條曲線。這條某瞬時(shí)的空間曲線，其切線都和該點(diǎn)的微團(tuán)速度指向相一致。這樣的空間曲線稱為流線，這樣的線可以畫無數(shù)條。

§2.1.3流線、流管、流面與流量時(shí)間t固定第二十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日或流線上的切線切線方向數(shù)與速度方向數(shù)對(duì)應(yīng)成比例，表為微分的關(guān)系則有此式稱為流線微分方程。設(shè)流線上位移向量：又設(shè)速度向量：流線與速度方向相切即：§2.1.3流線、流管、流面與流量第二十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

流線是反映流場(chǎng)某瞬時(shí)流速方向的曲線。其是同一時(shí)刻，由不同流體質(zhì)點(diǎn)組成的。與跡線相比，跡線是同一質(zhì)點(diǎn)不同時(shí)刻的軌跡線。根據(jù)流線的定義，可知流線具有以下性質(zhì)：（1）在定常流動(dòng)中，流體質(zhì)點(diǎn)的跡線與流線重合。在非定常流動(dòng)中，流線和跡線一般是不重合的。（2）在定常流動(dòng)中，流線是流體不可跨越的曲線?！?.1.3流線、流管、流面與流量第二十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（3）在常點(diǎn)處，流線不能相交、分叉、匯交、轉(zhuǎn)折，流線只能是一條光滑的曲線。也就是，在同一時(shí)刻，一點(diǎn)處只能通過一條流線。（4）在奇點(diǎn)和零速度點(diǎn)例外。§2.1.3流線、流管、流面與流量第二十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)給定速度場(chǎng)u,v,w時(shí)，跡線微分方程可寫為：還可以寫為：這與流線微分方程在形式上相同，但是二者有很大區(qū)別。在流線微分方程中

t是固定不變的參數(shù)，積分時(shí)t當(dāng)常數(shù)看，而在跡線微分方程中t

是自變量，積分時(shí)

t為變量，僅在定常流情況下上述二微分方程的積分才相等，此時(shí)流線與跡線重合?！?.1.3流線、流管、流面與流量第二十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日跡線：同一流體質(zhì)點(diǎn)走過的軌跡脈線（染色線）：對(duì)同一空間點(diǎn)連續(xù)染色后形成的染色線流線：某瞬時(shí)由不同流體質(zhì)點(diǎn)組成并與當(dāng)?shù)厮俣认嗲械囊粭l空間曲線時(shí)間線：對(duì)橫向的連續(xù)空間點(diǎn)按等時(shí)間間隔進(jìn)行染色形成的染色線聯(lián)合時(shí)間線－脈線：對(duì)橫向的間隔空間點(diǎn)按等時(shí)間間隔進(jìn)行染色形成的染色線§2.1.3流線、流管、流面與流量實(shí)驗(yàn)錄像：跡線、脈線、時(shí)間線與流線的關(guān)系第二十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例.設(shè)有一個(gè)二維非定常流場(chǎng)其速度分布是：求t=0時(shí)過（1，1）的流線和跡線。問定常時(shí)結(jié)果如何？解：1.求流線，由流線方程（其中t固定當(dāng)常數(shù)看）：積分得任一時(shí)刻t流線族為：t=0時(shí)刻流線族為：（這也是定常流流線族）§2.1.3流線、流管、流面與流量第二十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日過（1，1）流線：2.求跡線，由跡線方程（其中t為自變量）：積分得跡線參數(shù)方程：由初始條件定得c1=c2=1,故所求的跡線參數(shù)方程為：§2.1.3流線、流管、流面與流量第二十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日當(dāng)流動(dòng)為定常時(shí)再求跡線。由跡線方程：積分得：由初始條件定得c1=c2=1,故所求為：消去

t

得：可見定常時(shí)跡線與流線重合?！?.1.3流線、流管、流面與流量第二十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

與流線密切相關(guān)的，還有流管和流面這樣兩個(gè)概念。流管是由一系列相鄰的流線圍成的。經(jīng)過一條有流量穿過的封閉圍線的所有流線，如圖，經(jīng)過圍線ABCDA（非流線）的各條流線便圍成一條流管。

圖2-6流管（a）流線組成流管側(cè)壁；（b）沒有流量由流管側(cè)壁流出

由流線所圍成的流管也正像一根具有實(shí)物管壁一樣的一根管子，管內(nèi)的流體不會(huì)越過流管流出來，管外的流體也不會(huì)越過管壁流進(jìn)去?！?.1.3流線、流管、流面與流量第三十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

流面是由許多相鄰的流線連成的一個(gè)曲面，這個(gè)曲面不一定合攏成一根流管。當(dāng)然流管的側(cè)表面也是一個(gè)流面。不管合攏不合攏，流面也是流動(dòng)不會(huì)穿越的一個(gè)面。

流量是單位時(shí)間內(nèi)穿過指定截面的流體量，例如穿過上述流管中任意截面S的體積流量、質(zhì)量流量和重量流量可分別表為:其中，是速度向量，是密度，是微面積法線向量§2.1.3流線、流管、流面與流量第三十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.2流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分析§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式在理論力學(xué)中，研究對(duì)象是質(zhì)點(diǎn)和剛體（無變形體），它們的基本運(yùn)動(dòng)形式可表示為：質(zhì)點(diǎn)（無體積大小的空間點(diǎn)）:只有平移運(yùn)動(dòng)（平動(dòng)）；剛體（具有一定體積大小，但無變形）:除平移運(yùn)動(dòng)外，還有整體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)）；第三十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

在流體力學(xué)中，研究對(duì)象是流體質(zhì)點(diǎn)和不斷變化形狀與大小的變形體，就變形體而言，其運(yùn)動(dòng)形式除包括了剛體的運(yùn)動(dòng)形式外，還有變形運(yùn)動(dòng)。變形運(yùn)動(dòng)包括兩種，其一是引起體積大小變化的邊長(zhǎng)伸縮線變形運(yùn)動(dòng)，其二是引起體積形狀變化的角變形運(yùn)動(dòng)。由此可得變形體的基本運(yùn)動(dòng)形式包括：（1）平動(dòng)；（2）轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）線變形運(yùn)動(dòng)；（4）角變形運(yùn)動(dòng)§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)（角平分線轉(zhuǎn)動(dòng)）線變形運(yùn)動(dòng)角變形運(yùn)動(dòng)（角平分線不動(dòng)）§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

為便于分析，在流場(chǎng)中任取一平面微團(tuán)ABCD分析。根據(jù)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開，微分面四個(gè)頂點(diǎn)的速度可表示如下?！?.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（1）各頂點(diǎn)速度相同的部分，為微團(tuán)的平動(dòng)速度（u,v,w）。（2）線變形速率線變形運(yùn)動(dòng)是指微元體各邊長(zhǎng)發(fā)生伸縮的運(yùn)動(dòng)。線變形速率定義為單位時(shí)間單位長(zhǎng)度的線變形量。如對(duì)于AB邊長(zhǎng)，在微分時(shí)段內(nèi)邊長(zhǎng)的增加量為：由此得到x方向的線變形速率為：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日同理，在y方向的線變形速率為：平面微團(tuán)的面積變化率為：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（3）角變形速率與旋轉(zhuǎn)角速度在微分時(shí)段內(nèi)，AB與AC兩正交邊夾角的變化與微分平面的角變形和轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)。在微分時(shí)段內(nèi)，AB邊的偏轉(zhuǎn)角度為（逆時(shí)針為正）：AC邊的偏轉(zhuǎn)角度為（順時(shí)針為負(fù)）：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日解出可得：平面微團(tuán)夾角的總變化量可分解為像剛體一樣角平分線的轉(zhuǎn)動(dòng)部分和角平分線不動(dòng)兩邊相對(duì)偏轉(zhuǎn)同樣大小角度的純角變形部分。如圖所示：設(shè)在微分時(shí)段內(nèi)，平面微團(tuán)角平分線轉(zhuǎn)動(dòng)角度為α，邊線的純角變形量為β，則由幾何關(guān)系可得：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第三十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日定義平面微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度（單位時(shí)間的旋轉(zhuǎn)角度）為：定義平面微團(tuán)的角變形速率（單位時(shí)間單邊角變形量）為：上述定義實(shí)質(zhì)是平面微團(tuán)上兩相互垂直線旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，即角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度。上述定義實(shí)質(zhì)是平面微團(tuán)上兩相互垂直線相對(duì)于角平分線的轉(zhuǎn)角速度?！?.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第四十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

對(duì)于三維六面體微團(tuán)而言，其運(yùn)動(dòng)形式同樣可分為：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)，類似平面微團(tuán)很容易導(dǎo)出相關(guān)公式。此處不再推導(dǎo)，以下直接給出。微團(tuán)平動(dòng)速度：微團(tuán)線變形速率：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第四十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日微團(tuán)角變形速率（剪切變形速率）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：§2.2.1流體微團(tuán)的基本運(yùn)動(dòng)形式第四十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日在點(diǎn)處，速度為：

德國(guó)物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場(chǎng)速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)形式。設(shè)在流場(chǎng)中，考慮相距微量的任意兩點(diǎn)M0

和M1，在速度為：§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理第四十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日右側(cè)可按變形率及角速度的形式改寫為：將相鄰點(diǎn)速度分量臺(tái)勞展開：§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理第四十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日同理：

各式第一項(xiàng)和M0點(diǎn)速度相同是微團(tuán)的整體移動(dòng)速度。第二項(xiàng)是線變形率，第三、四項(xiàng)是角變形率；第五、六項(xiàng)是角速度。說明，微團(tuán)運(yùn)動(dòng)包含移動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)和變形?！?.2.2流體微團(tuán)速度分解定理第四十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.2.2流體微團(tuán)速度分解定理

應(yīng)該指出，實(shí)際流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以是一種或幾種運(yùn)動(dòng)的組合。如：（1）對(duì)于均速直線運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)只有平動(dòng)，無轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)。（2）無旋流動(dòng)，流體微團(tuán)存在平動(dòng)、變形運(yùn)動(dòng)，但無轉(zhuǎn)動(dòng)。（3）旋轉(zhuǎn)容器內(nèi)的流體運(yùn)動(dòng)，流體微團(tuán)存在平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，但無變形運(yùn)動(dòng)。微團(tuán)運(yùn)動(dòng)＝平動(dòng)＋線變形（拉伸）＋角變形＋角速度（轉(zhuǎn)動(dòng)）第四十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

還應(yīng)指出的是，剛體的速度分解定理和流體微團(tuán)的速度分解定理除了變形運(yùn)動(dòng)外，還有一個(gè)重要的差別。剛體速度分解定理是對(duì)整個(gè)剛體都成立，因此它是整體性定理；而流體速度分解定理只是對(duì)流體微團(tuán)成立，因它是局部性定理。譬如，剛體的角速度是刻畫整個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的一整體特征量，在剛體上任意一點(diǎn)都是不變的，而流體的旋轉(zhuǎn)角速度是刻畫局部流體微團(tuán)轉(zhuǎn)動(dòng)的一個(gè)局部性特征量，在不同點(diǎn)處微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度不同?！?.2.2流體微團(tuán)速度分解定理第四十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.2.3散度及其意義

三個(gè)方向的線變形率之和在向量分析中稱為速度向量

的散度，符號(hào)為，即

散度在流動(dòng)問題中的意義是微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率（單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)量）。為說明此點(diǎn)可取一簡(jiǎn)單的矩形微元六面體來看，設(shè)六面體的三邊原長(zhǎng)分別是Δx,Δy,Δz，原來體積是（ΔxΔyΔz），經(jīng)過Δt

時(shí)間后三個(gè)邊長(zhǎng)分別變?yōu)椋旱谒氖隧?，共一百七十二頁，編輯?023年，星期日則相對(duì)體積膨脹率（單位體積在單位時(shí)間內(nèi)的增長(zhǎng)量）為：§2.2.3散度及其意義第四十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日可以證明任何形狀微團(tuán)的相對(duì)體積膨脹率均為上式。

流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)中不論它的形狀怎么變，體積怎么變，它的質(zhì)量總是不變的。而質(zhì)量等于體積乘密度，所以在密度不變的不可壓流里，其速度的散度必為零：如果是密度有變化的流動(dòng)，那么散度一般地不等于零。§2.2.3散度及其意義第五十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.2.4旋度和位函數(shù)

微團(tuán)的瞬時(shí)角速度是上述三個(gè)方向角速度分量之和，這個(gè)值在向量分析里記為，或，稱為的旋度：一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的基本上不等于零，這種流場(chǎng)稱為有旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱為有旋流。一個(gè)流場(chǎng)，如果各處的都等于零，這種流場(chǎng)稱為無旋流場(chǎng)，其流動(dòng)稱無旋流。xyzωxωyωz第五十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日在數(shù)學(xué)分析里，上式是式成為全微分的必要和充分條件這樣的劃分在作理論研究時(shí)有很大的意義。無旋流多了一個(gè)的條件。這個(gè)條件就是：§2.2.4旋度和位函數(shù)第五十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日現(xiàn)在既是無旋流，我們可令代表這個(gè)全微分：名為速度位或稱位函數(shù)，為標(biāo)量。；；這就是說，位函數(shù)在某個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)便等于速度在那個(gè)方向的分量，例如：u,v,w

與φ

的關(guān)系是：§2.2.4旋度和位函數(shù)SxyzuVvwvs第五十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

位函數(shù)的絕對(duì)值沒有太大意義但其差值有意義。對(duì)于無旋流存在速度位φ，則沿一條連接A、B兩點(diǎn)的曲線進(jìn)行速度的線積分結(jié)果只與二端點(diǎn)的φ

值之差有關(guān)而與積分路徑無關(guān)：

一個(gè)無旋流場(chǎng)一旦知道了它的位函數(shù)的具體函數(shù)，按這個(gè)式子就可以算出流場(chǎng)上任何一點(diǎn)的流速來?！?.2.4旋度和位函數(shù)第五十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例.設(shè)有一個(gè)二維流場(chǎng)其速度分布是,問這個(gè)流動(dòng)是有旋的還是無旋的？有沒有速度位存在？流線方程是什么？微元如何變形？可見流動(dòng)是無旋的，應(yīng)該有速度位函數(shù)φ存在。

解:1.計(jì)算ωz：

§2.2.4旋度和位函數(shù)第五十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日積分得：

（此處積分常數(shù)取為零）3.求流線：由流線方程2.求Φ：

§2.2.4旋度和位函數(shù)第五十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日積分得常數(shù)C取一系列的值，得流線是一系列雙曲線。

4.線變形率：由

及，得：

5.角變形率：

6.散度：

§2.2.4旋度和位函數(shù)第五十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日A’’B’’C’’D’’A’B’C’D’DCABxy0

考察矩形微團(tuán)ABCD，在如圖流場(chǎng)中將從左上方流向右下方，由于流動(dòng)無旋微團(tuán)不轉(zhuǎn)動(dòng)；x方向線段有拉伸，y方向線段縮短；盡管微團(tuán)有線變形，但微團(tuán)無角變形；此外由于散度為零，流動(dòng)過程中矩形微團(tuán)面積保持不變。

需要指出，一般并不是先有了速度后求φ，而是恰恰相反，先求出φ，然后再確定速度分布的?！?.2.4旋度和位函數(shù)第五十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日連續(xù)方程是質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中具體表達(dá)形式。由于連續(xù)方程僅是運(yùn)動(dòng)的行為，與動(dòng)力無關(guān)，因此適應(yīng)于理想流體和粘性流體。以下針對(duì)一個(gè)微分六面體推導(dǎo)微分形式的連續(xù)方程?，F(xiàn)在流場(chǎng)中劃定一個(gè)邊長(zhǎng)分別為dx，dy，dz的矩形六面體，這個(gè)體的空間位置相對(duì)于坐標(biāo)系是固定的，不隨時(shí)間變化，被流體所通過，如下圖:§2.3理想流體運(yùn)動(dòng)微分方程組2.3.1連續(xù)方程第五十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日假設(shè)六面體:中心點(diǎn)坐標(biāo)為：x，y，z中心點(diǎn)三個(gè)分速：u，v，w中心點(diǎn)密度：ρt瞬時(shí)通過垂直于x軸單位面積的流體流量為ρu,稱密流;xzyABCDA’B’C’D’將密流當(dāng)一個(gè)標(biāo)量看，則各面中點(diǎn)的密流可由中心點(diǎn)臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開表達(dá)。在dt時(shí)段內(nèi)，從ABCD面進(jìn)入的流體質(zhì)量為：§2.3.1連續(xù)方程第六十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日在dt時(shí)段內(nèi)，從A’B’C’D’面流出的流體質(zhì)量為：§2.3.1連續(xù)方程在dt時(shí)段內(nèi)，x方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為：第六十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日同理可得，在dt時(shí)段內(nèi)，由y,z方向凈流入微分六面體的流體質(zhì)量為：由此可得，在dt

時(shí)段內(nèi)由所有側(cè)面流入到微分六面體的凈流體總質(zhì)量為：§2.3.1連續(xù)方程第六十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)質(zhì)量守恒定律，在dt

時(shí)段內(nèi)從側(cè)面凈流入微分六面體的總質(zhì)量，應(yīng)等于六面體內(nèi)流體質(zhì)量因密度隨時(shí)間變化的引起增量：§2.3.1連續(xù)方程由于ρ是空間位置和時(shí)間的函數(shù)，在dt

時(shí)段內(nèi)，由于密度變化引起微分六面體質(zhì)量的增加量為：即：第六十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日上式兩邊同除以dxdydzdt，整理得到微分形式的連續(xù)方程，即：§2.3.1連續(xù)方程第六十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

等于微元控制體上單位體積流出的質(zhì)量流量的原因在于，因?yàn)橛懈咚构剑海@然當(dāng)密度不變時(shí)，可將散度看成單位體積流出的體積流量）

連續(xù)方程的物理意義是：流體微元控制體密度的局部增長(zhǎng)率與微元控制體單位體積流出的質(zhì)量流量之和等于零。§2.3.1連續(xù)方程第六十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日連續(xù)方程的物理意義是：流體微元的相對(duì)密度增加率與相對(duì)體積膨脹率之和為零。對(duì)于不可壓縮流體，連續(xù)方程變?yōu)椋翰豢蓧哼B續(xù)方程的物理意義是：不可壓縮流動(dòng)流體微元的相對(duì)體積膨脹率保持為零，或從微元控制體流出的單位體積流量為零?！?.3.1連續(xù)方程第六十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日連續(xù)方程是流動(dòng)首先應(yīng)該滿足的基本關(guān)系。例如，速度場(chǎng)：滿足不可壓連續(xù)方程，能夠代表一個(gè)三維不可壓縮流動(dòng)。則不能夠代表一個(gè)三維不可壓縮流動(dòng)。而速度場(chǎng)：此外，還可以根據(jù)某方向的速度分布和連續(xù)方程，確定出其他方向的速度分布?！?.3.1連續(xù)方程第六十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例：設(shè)不可壓縮流體在xoy

平面內(nèi)流動(dòng)，速度沿x軸方向的分量u=Ax(A

為常數(shù))，求速度在

y

軸方向的分量v。解：對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，密度的隨體導(dǎo)數(shù)由微分形式連續(xù)方程：§2.3.1連續(xù)方程第六十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.3.1連續(xù)方程如果流動(dòng)非定常，上式中函數(shù)f(x)則應(yīng)為f(x，t)。而函數(shù)f()

的形式可任取。因此v

有無窮多個(gè)解。如果設(shè)v在x

軸上的分布為0即f(x)

＝0

，則：第六十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日反過來，ρ＝c的流體必然滿足不可壓條件，是不可壓流體。而均值的定義是▽?duì)眩?，即密度在空間上處處均勻，但不能保證隨時(shí)間不變化，▽是哈密頓算子：不可壓、均值與密度為常數(shù)的關(guān)系*這幾個(gè)概念之間是有差別的不可壓指的是每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的密度在流動(dòng)過程中不變，但是這個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)和那個(gè)流體質(zhì)點(diǎn)的密度可以不同，即流體可以是非均值的，因此不可壓縮流體的密度并不一定處處都是常數(shù)，例如定常變密度平行流動(dòng)：只有既為不可壓縮流體，同時(shí)又是均值時(shí)密度才處處都是同一常數(shù)：由不可壓：，均值：▽?duì)眩?，從而有，于是ρ＝c，即密度既不隨時(shí)間變化也沒有遷移變化?！?.3.1連續(xù)方程第七十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

在流場(chǎng)中劃出一塊三邊分別的為dx，dy，dz的微元矩形六面體的流體來看，不計(jì)粘性力，表面力就沒有切向力，僅只法向力（壓力）一種，而徹體力是可以有的。xyz·Pdxdydz§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組

歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程組是在不計(jì)流體粘性前提下推導(dǎo)出來的，該方程實(shí)質(zhì)上是微分形式的動(dòng)量方程。第七十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日假設(shè)：六面體體積：dτ=dxdydz中心點(diǎn)坐標(biāo)：x,y,z中心點(diǎn)速度：u,v,w中心點(diǎn)加速度：中心點(diǎn)壓強(qiáng)：p中心點(diǎn)密度：ρ中心點(diǎn)處沿三個(gè)方向的單位質(zhì)量徹體力：

fx,fy,fzxyz·Pdxdydz微元六面體的表面力可以用中心點(diǎn)處壓強(qiáng)的一階臺(tái)勞展開表示,如圖為x方向徹體力，其他方向同理可得?！?.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第七十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日由于沒有剪應(yīng)力，并且其他面上的壓力在x方向均無投影，從而x方向的表面力為：x方向的徹體力為：根據(jù)牛頓定律：x方向合外力等于質(zhì)量乘以x方向加速度，得§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第七十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日兩邊同除以微元體積dxdydz，令其趨于零，并代入加速度的表達(dá)，得同理可以寫出y

和

z方向的表達(dá)：這就是笛卡爾坐標(biāo)系下理想流體的歐拉方程。§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第七十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

歐拉方程規(guī)定了理想流的壓強(qiáng)變化與速度變化和徹體力之間的關(guān)系。我們不妨把速度的變化和徹體力的存在看作是壓強(qiáng)之所以有變化的原因，這兩個(gè)使壓強(qiáng)起變化的因素是彼此獨(dú)立的，對(duì)于壓強(qiáng)的作用是分開來計(jì)算的。

對(duì)于如圖的一維理想流動(dòng)，利用牛頓定律很容易證明歐拉方程為：sV歐拉方程的向量形式為：§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第七十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日理想流歐拉方程還可以有另一種表達(dá)形式。把加速度的遷移部分改寫一下，把角速度配成顯式：

式中V是合速，另兩個(gè)遷移加速度也可以改為類似的式子：§2.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第七十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日得到如下形式的理想流歐拉方程稱為“格羅米柯－蘭姆方程”：該方程的向量形式為，其中微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的2倍也稱為渦量。這個(gè)方程本質(zhì)上仍是理想流體運(yùn)動(dòng)方程。其好處是在方程中顯示了旋轉(zhuǎn)角速度。便于分析無旋流動(dòng)?！?.3.2Euler運(yùn)動(dòng)微分方程組第七十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于理想正壓流體，在質(zhì)量力有勢(shì)條件下，假設(shè)為定常流動(dòng)，有：§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義這樣格羅米柯方程變?yōu)椋含F(xiàn)在流場(chǎng)中，任取一條光滑曲線dS，并將上式投影到曲線上，有：第七十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日如果上式右邊項(xiàng)為零，有:這樣在曲線上，下式成立:這就是Bernoulli積分（1738年），或伯努利方程。上式表明，對(duì)于理想正壓流體的定常流動(dòng)，在質(zhì)量力有勢(shì)條件下，單位體積流體微團(tuán)沿著這條特定曲線s的勢(shì)能、壓能和動(dòng)能之和不變，即總機(jī)械能不變?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第七十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日Bernoulli積分成立的條件是:（1）沿著任意一條流線，Bernoulli積分成立。這是因?yàn)椋诖饲闆r下:（2）沿著任意一條渦線，Bernoulli積分成立。這是因?yàn)?，在此情況下:§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第八十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（3）在以下條件下，Bernoulli積分與所取的曲線無關(guān)，在整個(gè)流場(chǎng)中積分常數(shù)不變，等于同一個(gè)常數(shù)。

(a)靜止流場(chǎng):(b)無旋流場(chǎng)，有勢(shì)流動(dòng):(c)流線與渦線重合，即螺旋流動(dòng):可得：即括號(hào)中標(biāo)量在全流場(chǎng)保持為常數(shù)?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第八十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日在不計(jì)質(zhì)量力情況下，Bernoulli積分變?yōu)?對(duì)于不可壓縮流體:如果質(zhì)量力只有重力:Bernoulli積分變?yōu)?§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第八十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

事實(shí)上沿流線的伯努利方程也可由一維流歐拉方程：在定常和重力場(chǎng)條件下（其中是g與s夾角的余弦），沿一維流線s方向積分得到。（補(bǔ)充習(xí)題）

伯努利方程各項(xiàng)具有能量的量綱，例如代表單位質(zhì)量流體的動(dòng)能，代表單位質(zhì)量流體的勢(shì)能，代表單位質(zhì)量流體的壓力勢(shì)能或流動(dòng)功?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第八十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日如果將一維流的伯努利方程寫成高度的量綱，并且應(yīng)用于重力不能忽略的液體，可用下圖表示一維流伯努利方程的幾何意義：y：代表所論流體質(zhì)點(diǎn)的高度稱為高度水頭p/γ:

代表所論流體沿真空管上升的高度稱為壓力水頭，上2項(xiàng)合稱靜力水頭V2/2g:代表所論流體垂直上拋所能達(dá)到高度，稱為速度水頭H:代表沿一維流管每單位重量流體具有的總能量，稱總水頭?！?.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第八十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日y1y2H1H2靜力水頭線總水頭線12yx表明：理想、定常、不可壓、重力場(chǎng)中，沿一維流管的高度水頭、壓力水頭和速度水頭可以互相轉(zhuǎn)化，總水頭保持不變（注意靜力學(xué)中靜力水頭線為水平線）從1→2有：§2.3.3Bernoulli積分方程及其物理意義第八十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日伯努利方程的實(shí)際例子：收縮渠道及其測(cè)壓管結(jié)構(gòu)收縮使流速增加，而流速增加處壓強(qiáng)降低(由于渠道上下游高度相同，故靜壓管的高度直接反映靜壓頭)§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第八十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例.求如圖光滑容器中小孔的出流速度V，假設(shè)小孔中心距自由面深為h。Vhpapa解.由于是小孔出流，流動(dòng)可以假設(shè)是定常的。假設(shè)不計(jì)粘性損失。從而：（由于實(shí)際上粘性不可忽略，實(shí)際速度將略低于上述理論值，其中cv叫做速度系數(shù)，實(shí)驗(yàn)表明cv＝0.97）沿小孔中心點(diǎn)處一根流線列伯努利方程，由于是小孔，中心點(diǎn)處速度可以近似代表小孔速度?！?.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第八十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日測(cè)量低速氣流的速度用的風(fēng)速管就是根據(jù)上述原理設(shè)計(jì)并由上式去計(jì)算風(fēng)速的。風(fēng)速管的構(gòu)造很簡(jiǎn)單，見右下圖：

總壓孔對(duì)準(zhǔn)來流，來流撞在孔上速度降為零，相應(yīng)的壓強(qiáng)達(dá)到了總壓p0

，而靜壓空處感受到的是靜壓，測(cè)量時(shí)不必分開量總壓和靜壓，只要把二者接在一根U形測(cè)壓計(jì)的兩支上，看二者的差（p0-p）就行了。速度V用伯努利方程計(jì)算：（在實(shí)際流動(dòng)中由于有損失故左式還要乘上一個(gè)修正系數(shù)）風(fēng)速管的結(jié)構(gòu)氫氣泡顯示的來流在風(fēng)速管頭部滯止情況§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第八十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日直勻流對(duì)機(jī)翼的繞流

例.在海平面上，直勻流流過一個(gè)機(jī)翼，遠(yuǎn)前方直勻流的靜壓p＝p∞＝101200牛/米2，流速=100米/秒。已知A，B，C三點(diǎn)的速度分別是VA=0，VB=150米/秒，VC=50米/秒，空氣在海平面的ρ=1.255千克/米3

。假設(shè)流動(dòng)無旋，求A、B、C三點(diǎn)的壓強(qiáng)。解:流動(dòng)是無旋的，伯努利常數(shù)全流場(chǎng)通用。根據(jù)遠(yuǎn)前方的條件得：§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第八十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日這就是通用于全流場(chǎng)的常數(shù)。于是：§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例:

有一種二維的繞其固定軸線的旋轉(zhuǎn)流動(dòng)，其Vθ正比于半徑r，即Vθ=kr，如圖。試證伯努利常數(shù)C是r的函數(shù)。證:先沿著流線寫出伯努利方程

一種旋轉(zhuǎn)流動(dòng)

對(duì)半徑取導(dǎo)數(shù)：§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日由于法向壓力差必須平衡微團(tuán)的離心力，故有

左側(cè)的第二項(xiàng)是AD面和BC面上的壓力在r向的投影。略去微量的高次項(xiàng)，得代入的式子，并將代入，得：一種旋轉(zhuǎn)流動(dòng)

§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日Vθ=kr的速度分布就像剛體轉(zhuǎn)動(dòng)一樣，可以證明這個(gè)流動(dòng)是有旋流（ω=k），這個(gè)結(jié)果說明在有旋流場(chǎng)上，伯努利常數(shù)跨流線是要變的。等角速度旋轉(zhuǎn)容器中的流動(dòng)是有旋的，跨流線總能量改變渦量表顯示等角速度旋轉(zhuǎn)容器中的流動(dòng)是有旋的§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日如果速度場(chǎng)是：容易證明，能量方程的積分常數(shù)對(duì)整個(gè)流場(chǎng)是不變的：該流場(chǎng)實(shí)際上是一個(gè)無渦流場(chǎng)，能量方程積分常數(shù)不變。因?yàn)椋骸?.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日旋渦的速度分布與壓力分布的關(guān)系：旋渦可以分為像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的渦核和被渦核誘導(dǎo)的速度場(chǎng)，從旋渦外至渦核中心，壓強(qiáng)是一路降低的，其壓強(qiáng)分布如圖所示rVθ＝ωrVθ＝k/rr0p渦核內(nèi)為有旋流，跨流線不滿足伯努利方程，沿徑向速度越大壓力越大渦核外為無旋流，跨流線也滿足伯努利方程，從而沿徑向速度越小壓力越大右邊的例子同時(shí)還說明了，轉(zhuǎn)彎的流體不一定必然是有旋流§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日平行渠道中兩股速度不同的流動(dòng)是有旋的，跨流線總能量改變平行渠道中的流動(dòng)由于在法向存在速度梯度因而是有旋的，說明有旋流不一定要轉(zhuǎn)彎有旋流時(shí)跨流線伯努利常數(shù)（總能量）發(fā)生改變的其他例子：p0p上右圖中，總靜壓管的結(jié)構(gòu)及其總壓、靜壓和動(dòng)壓之間的關(guān)系如右圖所示：靜壓管的高度表示靜力水頭p/γ+y,總壓管的高度表示總水頭p0/γ,二者之差為動(dòng)壓頭V2/2g§2.3.4Bernoulli方程應(yīng)用第九十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日§2.4流體運(yùn)動(dòng)的積分方程§2.4.1基本概念

流體動(dòng)力學(xué)是研究產(chǎn)生流體運(yùn)動(dòng)的原因。為此，我們必須解決三個(gè)方面的問題：（1）流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題；（2）作用于流體上各種力的特征（如前述）；（3）控制流體運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律（質(zhì)量守恒、牛頓第二定律（動(dòng)量守恒）、動(dòng)量矩守恒、能量守恒等）；流體動(dòng)力學(xué)方程是將這些描述物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的普遍規(guī)律，應(yīng)用于流體運(yùn)動(dòng)的物理現(xiàn)象中，從而得到聯(lián)系流體運(yùn)動(dòng)各物理量之間的關(guān)系式，這些關(guān)系式就是流體動(dòng)力學(xué)的基本方程。第九十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日1、系統(tǒng)(System)定義：系統(tǒng)是指包含著確定不變物質(zhì)的任何集合體，稱為系統(tǒng)。在流體力學(xué)中，系統(tǒng)是指由任何確定流體質(zhì)點(diǎn)組成的團(tuán)體。如果關(guān)系式是以微分形式給出稱為微分方程（如前所述）。如果是以積分形式給出，稱為流體動(dòng)力學(xué)積分方程，在流體動(dòng)力學(xué)積分方程中，具體包括：（1）質(zhì)量方程；（2）動(dòng)量方程；（3）動(dòng)量矩方程；（4）能量方程§2.4.1基本概念第九十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日系統(tǒng)的基本特點(diǎn)：（1）系統(tǒng)邊界隨流體一起運(yùn)動(dòng)；（2）在系統(tǒng)的邊界上沒有質(zhì)量的交換；（3）在系統(tǒng)的邊界上受到外界的表面力；（4）在系統(tǒng)的邊界上存在能量的交換。t’txyz例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于系統(tǒng)上所有外力的合力。a指系統(tǒng)的平均加速度。系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于Lagrange觀點(diǎn)，即以確定的流體質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)作為研究對(duì)象，研究系統(tǒng)各物理量的關(guān)系。§2.4.1基本概念第九十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日2、控制體（ControlVolume）定義：被流體所流過，相對(duì)于某個(gè)坐標(biāo)系而言，固定不變的任何體積稱為控制體?？刂企w的邊界，稱為控制面。控制體是不變的，但占據(jù)控制體的流體質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間是變化的?？刂企w的形狀可根據(jù)需要而定?！?.4.1基本概念xzyxyzs1s2n第一百頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例如，F(xiàn)=ma，F(xiàn)指作用于控制體邊界面上所有作用于流體上外力的合力。控制體對(duì)應(yīng)Euler觀點(diǎn)，研究控制體內(nèi)流體各物理量的關(guān)系?？刂企w的基本特點(diǎn):（1）控制體的邊界相對(duì)于坐標(biāo)系而言是固定的；（2）在控制面上可以發(fā)生質(zhì)量交換，即流體可以流進(jìn)、流出控制面；（3）在控制面上受到外界作用于控制體內(nèi)流體上的力；（4）在控制面上存在能量的交換?！?.4.1基本概念第一百零一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

針對(duì)質(zhì)量m確定的封閉系統(tǒng)τ，上述基本物理定律可以分別表述為：（1）質(zhì)量方程：表示：系統(tǒng)τ

中的質(zhì)量m不隨時(shí)間變化。（2）動(dòng)量方程：

表示：系統(tǒng)受外界作用的合外力等于系統(tǒng)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率?！?.4.1Lagrange型積分方程第一百零二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（3）動(dòng)量矩方程

表示：外界作用于系統(tǒng)上所有外力對(duì)某點(diǎn)力矩之和等于系統(tǒng)對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的變化率。（4）能量方程

表示：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)由外界傳入系統(tǒng)的熱量與外界對(duì)系統(tǒng)所做的功之和等于該系統(tǒng)的總能量E

對(duì)時(shí)間的變化率。其中右端括號(hào)內(nèi)為單位質(zhì)量流體所含內(nèi)能和動(dòng)能?！?.4.1Lagrange型積分方程第一百零三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

上述積分方程稱為拉格朗日型積分方程，其特點(diǎn)是：研究對(duì)象是質(zhì)量確定的封閉系統(tǒng)τ，方程中均含有封閉系統(tǒng)中某物理量對(duì)時(shí)間的變化率。由于流體系統(tǒng)τ

的大小和形狀均隨時(shí)間而改變，長(zhǎng)時(shí)間追蹤系統(tǒng)有困難。此外要確切表達(dá)系統(tǒng)中物理量隨時(shí)間的變化率也不容易。

有許多流體力學(xué)問題往往只關(guān)心物體附近確定區(qū)域內(nèi)的速度、作用力等，并不關(guān)心具體流體系統(tǒng)的時(shí)間歷程，拉格朗日型方程對(duì)于分析、研究流場(chǎng)來說并不方便，因此實(shí)用的是以控制體為研究對(duì)象的Euler型積分方程。§2.4.1Lagrange型積分方程第一百零四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

下面我們考察如何將系統(tǒng)中的物理量N（可以是質(zhì)量、動(dòng)量、動(dòng)量矩、能量等等物理量）隨時(shí)間的變化率，用關(guān)于控制體的描述方法表達(dá)出來。

所謂控制體分析方法，就是要把上述適用于流體系統(tǒng)的各物理定律用關(guān)于控制體的描述方法表達(dá)出來，而連系著系統(tǒng)分析方法和控制體方法之間的橋梁就是雷諾輸運(yùn)方程?！?.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百零五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日則系統(tǒng)τ中的物理量N可以用下述體積分（三重積分）表示，其中τ是系統(tǒng)占據(jù)的空間：顯然，當(dāng)=1

時(shí)，N=m

代表系統(tǒng)的質(zhì)量；當(dāng)時(shí)，代表系統(tǒng)的動(dòng)量；當(dāng)時(shí)，代表系統(tǒng)的動(dòng)量矩；當(dāng)時(shí)，N=E

代表系統(tǒng)的能量?！?.4.2Reynolds輸運(yùn)方程

對(duì)于系統(tǒng)τ中的物理量N，假設(shè)每單位質(zhì)量中含有物理量為σ：第一百零六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日設(shè)t時(shí)刻系統(tǒng)位于如圖位置（虛線），t+Δt時(shí)刻系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到了新位置（實(shí)線），在這過程中系統(tǒng)中的物理量N隨時(shí)間的變化率可以寫為：txyzt＋ΔtA

B

C

§2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百零七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日注意到當(dāng)

t

趨于0時(shí)，系統(tǒng)將動(dòng)而未動(dòng)，剛好處于虛線表示的空間中，將這個(gè)空間設(shè)為控制體τ0

，其外表面積為s。從而上述表達(dá)的第一項(xiàng)可以寫為：§2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百零八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日從而第二項(xiàng)可以寫為：xyztτs1s2ntxyzt＋ΔtA

B

C

如圖用虛線將控制體τ0

的外表面S

劃分為上游表面S1

和下游表面

S2?！?.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百零九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日(以下我們將外法向的下標(biāo)略去，均指外法向)從而：§2.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百一十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（以下將τ0中的下標(biāo)0去掉，用τ表示控制體體積）這就是雷諾輸運(yùn)方程。它的意義是：流體系統(tǒng)物理量N隨時(shí)間的增加率，等于控制體τ

內(nèi)的物理量隨時(shí)間的變化率加上凈流出控制面S

的物理量流量?！?.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百一十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

雷諾輸運(yùn)方程將針對(duì)系統(tǒng)的表達(dá)轉(zhuǎn)化為針對(duì)控制體的表達(dá)，這在研究流動(dòng)問題時(shí)帶來了極大方便。后者的表達(dá)往往容易寫出，尤其是在定常情況下，只需寫出流過控制面上的物理量流量：

當(dāng)=1

時(shí)，代表質(zhì)量流量；當(dāng)時(shí)，代表動(dòng)量流量；當(dāng)時(shí)，代表動(dòng)量矩流量；當(dāng)時(shí)，代表能量流量?！?.4.2Reynolds輸運(yùn)方程第一百一十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日由質(zhì)量守恒：這就是積分形式的質(zhì)量方程。其意義為：控制體中質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面的質(zhì)量流量。xyztτs1s2nEuler型積分方程是對(duì)控制體建立的積分方程。利用Reynolds輸運(yùn)方程，可很容易獲得。（1）質(zhì)量方程由雷諾輸運(yùn)方程，取σ＝1，有§2.4.3Euler型積分方程第一百一十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日由雷諾輸運(yùn)方程，取，有：（2）動(dòng)量方程由動(dòng)量守恒原理得：意義為：控制體所受合外力等于控制體中動(dòng)量的增加率加上凈流出控制面的動(dòng)量流量。－積分形式動(dòng)量方程§2.4.3Euler型積分方程第一百一十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日由雷諾輸運(yùn)方程，取，有：（3）動(dòng)量矩方程由動(dòng)量矩守恒原理得：－積分形式動(dòng)量矩方程意義是：控制體所受合外力矩等于控制體中動(dòng)量矩的增加率加上凈流出控制面的動(dòng)量矩流量。選定控制體后，可用上式求物體受到的力矩或力的作用點(diǎn)等。§2.4.3Euler型積分方程第一百一十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日pdsτn由雷諾輸運(yùn)方程，取，有：（4）能量方程由能量守恒原理得：－積分形式能量方程意義是：外界對(duì)控制體的傳熱率和凈輸入功率等于控制體中能量的增加率加上凈流出控制面的能量流量。§2.4.3Euler型積分方程第一百一十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日我們將系統(tǒng)在初始時(shí)刻占據(jù)的空間設(shè)為控制體，因此在初始瞬間上述對(duì)系統(tǒng)輸入的加熱率和做的功率都可以看成是對(duì)控制體的加熱率和功率。pdsτn其中，外界對(duì)系統(tǒng)做功還可以細(xì)分為：流體機(jī)械通過軸轉(zhuǎn)動(dòng)傳遞的功率稱為軸功率（有正負(fù)），表面力對(duì)系統(tǒng)做功以及徹體力對(duì)系統(tǒng)做功。

設(shè)輸入功為正，輸出功為負(fù)，則水泵、風(fēng)機(jī)等輸入正功，渦輪輸入負(fù)功：§2.4.3Euler型積分方程第一百一十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日表面力做功還可以分為法向應(yīng)力做功和切向應(yīng)力做功。法向應(yīng)力做功（率）為：切向應(yīng)力做功（率）為：S為控制體的外表面積上式中的表面剪應(yīng)力做功（率）一項(xiàng)可以分以下三種情況來考慮：§2.4.3Euler型積分方程第一百一十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（1）如果控制面的部分表面為旋轉(zhuǎn)軸表面，則這部分表面上的剪應(yīng)力做的功率已歸入軸功率之中；（2）部分控制面可能為靜止固體表面，因?yàn)閂=0，從而上述剪切應(yīng)力做功為零；（3）控制面表面是流體進(jìn)出的通道，此時(shí)可以通過適當(dāng)選擇控制面方位和形狀使控制面和流體速度相垂直，即剪應(yīng)力與速度相垂直，從而上述剪切應(yīng)力做功為零；總之，可以適當(dāng)選擇控制面使剪應(yīng)力在控制面上做的功（率）為零：§2.4.3Euler型積分方程第一百一十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日徹體力做功（率）為：τ為控制體的體積設(shè)徹體力有勢(shì)：，有：對(duì)于定常流動(dòng)，第二項(xiàng)由連續(xù)方程為零。第一項(xiàng)由高斯公式：§2.4.3Euler型積分方程第一百二十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日從而：整理得：上式就是常用的積分形式的能量方程。代入：§2.4.3Euler型積分方程第一百二十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日積分形式質(zhì)量方程的應(yīng)用值得指出：質(zhì)量方程描述流體的質(zhì)量守恒條件，與流體是否受力無關(guān)，與流體屬性是否有粘性也無關(guān)。積分形式質(zhì)量方程不描述單獨(dú)點(diǎn)的細(xì)節(jié)，它用在控制體上，甚至允許控制體包含流動(dòng)不連續(xù)的地方，例如以后要介紹的激波等處?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例：一段輸氣管道直徑150mm，在相距8m的兩個(gè)截面上同時(shí)量取數(shù)據(jù)，流入、流出的重量流量分別為2N/s和1.8N/s，問這段管道內(nèi)氣體的平均密度隨時(shí)間的變化率有多大？解：這是一個(gè)非定常問題，流入與流出流量不相等必然造成控制體內(nèi)質(zhì)量增加。取這段管道內(nèi)空間為控制體，由積分形式質(zhì)量方程：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例：一容積固定為τ

的容器裝滿鹽水，初始時(shí)刻密度為ρi，純水（設(shè)水密度為ρw

）流入容器并與其中鹽水充分混合，設(shè)流動(dòng)定常，容器內(nèi)液位恒定，流入與流出的體積流量不變Q1＝Q2＝Q。求（1）容器內(nèi)液體混合物的密度變化率；（2）密度變?yōu)棣褧r(shí)（ρi>ρ>ρw）所需的時(shí)間。解（1）：劃容器內(nèi)部為控制區(qū)。由積分形式質(zhì)量方程：τ=常數(shù)ρwρ§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日解（2）：由上式：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日關(guān)于積分形式質(zhì)量方程的進(jìn)一步討論：（1）當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，ρ＝c(必然為不可壓)，由上式得：Q1S1S2Q2上述積分可用流入與流出的體積流量Q表為：或說明：當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，流入控制體的體積流量與流出的體積流量相等§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（2）當(dāng)流動(dòng)為定?？蓧簳r(shí)，有：設(shè)質(zhì)量流量用表示，得到或說明當(dāng)流動(dòng)定常時(shí)，流入控制體的質(zhì)量流量與流出的質(zhì)量流量相等。注意后一式表示流經(jīng)控制面任一截面的流量為常數(shù)?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日說明：在密度不變的一維流動(dòng)中，流管的粗細(xì)將反映流速小大。（3）對(duì)于一維流動(dòng)，控制體如圖sV1V2ρ2ρ1A1A2

一維流動(dòng)中，當(dāng)密度等于常數(shù)時(shí)，流入的體積流量等于流出的體積流量，可表為§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

一維流動(dòng)中，當(dāng)定?？蓧簳r(shí)，流入的質(zhì)量流量等于流出的質(zhì)量流量，可表為：說明：在定常一維可壓流動(dòng)中，密度ρ、速度V與截面積A的乘積為常數(shù)。

對(duì)式取微分，可以得到定常一維流動(dòng)質(zhì)量方程的微分形式：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百二十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日積分形式動(dòng)量方程與動(dòng)量矩方程的應(yīng)用

積分形式動(dòng)量方程中的合外力指流體受到的所有形式的外力之和，可以包含徹體力、法向表面力和切向表面力，控制體中的物體對(duì)于流體的作用力也可以單獨(dú)考慮。

一般來說有兩類控制體可供選擇：一類是物體不包括在所取控制體之內(nèi)，而物體的部分壁面構(gòu)成控制面的一部分，例如管道中的流動(dòng)；另一類是控制體將流過的物體也包括在內(nèi)，例如繞機(jī)翼的流動(dòng)。§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日積分形式的動(dòng)量方程用于定常、一維管流控制體時(shí)（如圖），可得：p1、ρ1、V1A1A2xyθ1θ2p2、ρ2、V2

對(duì)于物體不包括在所取控制體之內(nèi)的第一類，例如管道，應(yīng)用積分形式動(dòng)量方程的目的主要是通過求流體受力來確定管道受到流體的反作用力。RxRy方程左端是控制體內(nèi)流體所受合力在相應(yīng)坐標(biāo)系的投影?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十一頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日設(shè)兩端的壓強(qiáng)分別為p1、p2，管壁對(duì)流體的作用力為投影分別為Rx、Ry

，不計(jì)徹體力，從而動(dòng)量方程可寫為（x方向）：即：管壁受力大小相等方向相反。當(dāng)求管壁所受純由流動(dòng)引起的反作用力例如固定管道的螺栓受力時(shí)，由于大氣壓無合力可不考慮，上式中壓強(qiáng)用表壓。y方向同理得：§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十二頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

將控制體外部取得離機(jī)翼足夠遠(yuǎn)，這樣即使翼面附近有粘性力，到了S面上也沒有粘性力了，只有壓力的作用，從而x方向表面力為：

對(duì)于如圖的第二類控制體（機(jī)翼被包含在控制體之內(nèi)），主要目的是求物體（機(jī)翼）受力。我們將動(dòng)量方程作些變換和說明，得到更常用的形式。設(shè)機(jī)翼受力在三個(gè)方向的分量為Fx、Fy和Fz。則控制體受力的三個(gè)分量為－Fx、－Fy和－Fz

。(n,x)np§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十三頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日控制體內(nèi)的x方向徹體力為：從而控制體內(nèi)x方向所受的合外力為：控制體內(nèi)x方向的動(dòng)量隨時(shí)間變化率及凈流出控制面的動(dòng)量流量為：注：連接S和S1雙層面上的面積分為0?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十四頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日由動(dòng)量守恒，得：同理：上述方程常常用于定常流動(dòng)的氣體，此時(shí)式中的當(dāng)?shù)刈兓室豁?xiàng)等于零，且徹體力可以忽略。積分形式動(dòng)量方程的一個(gè)重要方面在于人們不需要知道控制體中的流動(dòng)細(xì)節(jié)，只需要知道控制面邊界處的流動(dòng)特性來求作用力，這個(gè)作用力可以包含摩擦力的影響在內(nèi)，例如用上述方程來求物體受到的阻力等?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十五頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例．有一種尾跡詳測(cè)法可以用來測(cè)量一個(gè)二維物體的型阻（型阻是由粘性直接和間接造成的物體動(dòng)量法測(cè)型阻

p1、u1p2、u2解：取控制面S

如圖。在上游足夠遠(yuǎn)處氣體流基本上還沒有受到物體的影響還是直勻流。在下游一定距離處氣流的靜壓已經(jīng)和來流的靜壓沒有什么區(qū)別了，但尾跡區(qū)速度分布仍然受到影響如圖。阻力，例如摩擦阻力和壓差阻力）。我們來看一看要測(cè)哪些量，并怎樣使用積分形式的動(dòng)量方程?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十六頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日

上下兩根流線取在遠(yuǎn)離物體的地方，那里流速和靜壓都和原來的來流值一樣。在這個(gè)S面上作用的靜壓既然都是同一個(gè)值，那末壓力做面積分的結(jié)果必是零。上下兩根流線處沒有摩擦力。

設(shè)定常，不計(jì)徹體力，則計(jì)算翼型受到的阻力Fx只需計(jì)算越過控制面的動(dòng)量流量：測(cè)出尾跡區(qū)σ中速度分布即可求出阻力。§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十七頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日例：求寬度為b的二維不可壓定常射流對(duì)固定斜板（與水平成θ角）的（1）作用力（2）射流寬度比b1/b2（3）力的作用點(diǎn)設(shè)不計(jì)重力和流動(dòng)損失。θb,Vb1,V1b2,V2解：由于是自由射流，射流開始處及1、2截面處壓強(qiáng)均為大氣壓。分別沿上下兩根流線列不計(jì)重力的伯努利方程可得：V1=V2=V（或認(rèn)為流動(dòng)均勻無旋，伯努利常數(shù)全場(chǎng)成立）由質(zhì)量方程可知：Q＝Q1＋Q2

或b=b1+b2R§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十八頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（1）求作用力如圖建立坐標(biāo)系，取控制體如圖，假設(shè)控制體受力為R，由y

向動(dòng)量方程：（注意控制面上大氣壓無合力）θb,Vb1,V1b2,V2xyR可見θ＝900時(shí)受力最大斜板受力與此大小相等方向相反?！?.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百三十九頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（2）求射流寬度比b1/b2由x向動(dòng)量方程：考慮到：V1=V2=V，有上式與b=b1+b2

聯(lián)立得：故得射流寬度比：

這也是流量比Q1/Q2θb,Vb1,V1b2,V2xyR§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百四十頁，共一百七十二頁，編輯于2023年，星期日（3）求力的作用點(diǎn)e設(shè)力的作用點(diǎn)距y軸的距離為e，設(shè)順時(shí)針方向?yàn)榫氐恼较?，由?dòng)量矩方程僅當(dāng)θ＝900

時(shí)合力的作用點(diǎn)才通過射流中心θb,Vb1,V1b2,V2xyRe§2.4.4Euler型積分方程的應(yīng)用第一百四十一頁，共一百七十二