理論分布與抽樣分布

理論分布與抽樣分布第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日Section3.1

二項(xiàng)分布

TheBinomialDistributions第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日一、二項(xiàng)分布設(shè)定

TheBinomialSetting固定的觀察次數(shù)n。n次的觀察都獨(dú)立，每次的觀察都不會(huì)對(duì)其他觀察提供任何信息。每次的觀察都只有兩種可能的結(jié)果，多假設(shè)為“成功”或“失敗”兩種。每次的觀察“成功”的概率都一樣，設(shè)定為p。第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日二、二項(xiàng)分布

BinomialDistribution滿足二項(xiàng)分布設(shè)定的試驗(yàn)，以X記錄n次觀察中“成功”的次數(shù)，則稱X的分布為參數(shù)為n與p的二項(xiàng)分布(binomial)，記為B(n,p)。X的所有可能取值為{0,1,…,n}。對(duì)應(yīng)的概率函數(shù)為P(X=x)=P(x)。第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

[例]有一批食品，其合格率為0.85，今在該批食品中隨機(jī)抽取6分該食品，求正好有5份食品合格的概率？

由前述所知，在二項(xiàng)分布中n辭試驗(yàn)正好有k次發(fā)生的概率公式就：

三、二項(xiàng)分布概率的計(jì)算第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日若問最多有4個(gè)合格的概率為多少？則應(yīng)該應(yīng)用累積函數(shù)，即第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日四、二項(xiàng)分布的期望值與標(biāo)準(zhǔn)差期望值：E(X)=np方差： Var(X)=np(1-p)標(biāo)準(zhǔn)差：第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日Section3.2

NormalDistributions

正態(tài)分布第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日一、特點(diǎn)正態(tài)曲線所有正態(tài)曲線都有相同的外型具有對(duì)稱、單峰及鐘形的特性。正態(tài)曲線所代表的分布即為正態(tài)分布(normaldistribution)每一正態(tài)分布都有其平均值μ與標(biāo)準(zhǔn)差σ

第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日ms第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)曲線σ較大ms第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日正態(tài)曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)落在一個(gè)σ處拐點(diǎn)落在-σ處第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日二、為什么這么重要Gooddescriptionsforsomedistributionsofrealdata身高,體重,考試成績(jī)GoodapproximationstotheresultsofmanykindsofchanceoutcomesTossingacoinmanytimesManystatisticalinferenceproceduresarebasedonnormaldistributions第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日三、68-95-99.7規(guī)則正態(tài)分布有其特定的數(shù)據(jù)分布規(guī)則：平均值為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布68%的觀察資料落在m的1σ之內(nèi)95%的觀察資料落在m的2σ之內(nèi)99.7%的觀察資料落在m的3σ之內(nèi)第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日0123-1-2-3mm+sm+2sm+3sm-sm-2sm-3s68%的資料95%的資料99.7%的資料第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日四、變量標(biāo)準(zhǔn)化(Standardization)令觀察值x服從平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的分布，則x的標(biāo)準(zhǔn)化值(standardizedvalue)定義為標(biāo)準(zhǔn)化值又稱為z-值(z-score)。第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日標(biāo)準(zhǔn)化變量可以證明z的平均值為0z的標(biāo)準(zhǔn)差為1

第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日五、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量X服從平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ的正態(tài)分布，簡(jiǎn)記為X~N(μ,σ2)。X經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化后為Z(=(X-μ)/s)，則Z也服從正態(tài)分布，并且平均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，即Z

~N(0,1)。我們稱Z服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)(standardnormal)。第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日六、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表z表列數(shù)字是z左邊的面積z=-0.44z左邊的面積為0.33-0.440.33第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日z表列數(shù)字是z左邊的面積z=0.44z左邊的面積為0.67第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日七、雙側(cè)臨界值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線圖下，右方與左方的面積和為a,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率為a的雙側(cè)臨界值。可查表。m=0面積為a/2面積為a/2第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日八、單側(cè)臨界值在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線圖下，右方的面積為a,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率為a的單側(cè)臨界值?？刹楸?。m=0面積為a第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日

[例]假定y是一隨機(jī)變數(shù)具有正態(tài)分布，平均數(shù)

=30，標(biāo)準(zhǔn)差=5，試計(jì)算小于26，小于40的概率，介乎26和40區(qū)間的概率以及大于40的概率。首先計(jì)算：先將x轉(zhuǎn)換為u值

九、計(jì)算第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日同理可得：

FN(40)=0.9773

所以：P(26＜x≤40)=FN(40)－FN(26)=0.9773－0.2119=0.7654

P(x＞40)=1－P(x≤40)=1－0.9773=0.0227查附表，當(dāng)u=－0.8時(shí)，F(xiàn)N(26)=0.2119，說明這一分布從－∞到26范圍內(nèi)的變量數(shù)占全部變量數(shù)的21.19%，或者說，x≤26概率為0.2119.第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日[例]在應(yīng)用正態(tài)分布時(shí)，經(jīng)常要討論隨機(jī)變數(shù)x離其平均數(shù)的差數(shù)大于或小于若干個(gè)值的概率。例如計(jì)算離均差絕對(duì)值等于小于和等于大于1的概率為：也可以簡(jiǎn)寫為

第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日相應(yīng)地，離均差絕對(duì)值等于小于2、等于大于2、等于小于3和等于大于3的概率值為：第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日[例]計(jì)算正態(tài)分布曲線的中間概率為0.99時(shí)，其y或u值應(yīng)等于多少？

因?yàn)檎龖B(tài)分布是對(duì)稱的，故在曲線左邊從－∞到－

u的概率和在曲線右邊從u到∞的概率都應(yīng)等于1/2(1－0.99)=0.005。查表，u=－2.58時(shí)，fN(x)

=0.00494≈0.005。于是知，當(dāng)±2.58時(shí)，在其范圍內(nèi)包括99%的變量，僅有1%變量在此范圍之外。上述結(jié)果寫作：第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日同理可求得：第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日同理，亦可寫成：以上

乃正態(tài)曲線下左邊一尾x從－∞到

上的面積和右邊一尾y從到∞上的面積之和，亦可寫成：第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日Section3.3

SamplingDistributions

抽樣分布第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)主要任務(wù)是研究總體和樣本之間的關(guān)系。

兩個(gè)方向從總體到樣本的方向,即本節(jié)所要討論的抽樣分布。從樣本到總體的方向，即統(tǒng)計(jì)推斷問題。抽樣分布(samplingdistribution)是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日一、統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)從總體中隨機(jī)抽樣得到樣本，獲得樣本觀察值后可以計(jì)算一些統(tǒng)計(jì)數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)分布稱為抽樣分布。抽樣

復(fù)置抽樣，指將抽得的個(gè)體放回總體后再繼續(xù)抽樣不復(fù)置抽樣，指將抽得的個(gè)體不放回總體而繼續(xù)進(jìn)行抽樣第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日(一)樣本平均數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)總體隨機(jī)樣本123無窮個(gè)樣本……

如圖從一個(gè)總體進(jìn)行隨機(jī)抽樣可以得到許多樣本，如果總體是無限總體，那么可以得到無限多個(gè)隨機(jī)樣本。

第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日如果從容量為N的有限總體抽樣，若每次抽取容量為n的樣本，那么一共可以得到個(gè)樣本(所有可能的樣本個(gè)數(shù))。抽樣所得到的每一個(gè)樣本可以計(jì)算一個(gè)平均數(shù)，全部可能的樣本都被抽取后可以得到許多平均數(shù)，如等。如果將抽樣所得到的所有可能的樣本平均數(shù)集合起來便構(gòu)成一個(gè)新的總體，平均數(shù)就成為這個(gè)新總體的變量。由平均數(shù)構(gòu)成的新總體的分布，稱為平均數(shù)的抽樣分布。隨機(jī)樣本的任何一種統(tǒng)計(jì)數(shù)都可以是一個(gè)變量，這種變量的分布稱為統(tǒng)計(jì)數(shù)的抽樣分布。除平均數(shù)抽樣分布外還有總和數(shù)、方差的抽樣分布等。第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日新總體與母總體在特征參數(shù)上存在函數(shù)關(guān)系。以平均數(shù)抽樣分布為例，這種關(guān)系可表示為以下兩個(gè)方面。

(1)該抽樣分布的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)相等。(2)該抽樣分布的方差與母總體方差間存在如下關(guān)系：

其中n為樣本容量。抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差又稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，它可以度量抽樣分布的變異。第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日設(shè)有一總體N=3(例2，4，6)。以樣本容量n=1、n=2、n=4及n=8，從總體中進(jìn)行復(fù)置抽樣，抽出全部樣本于表1。表1中列出這些不同樣本容量的抽樣分布，并在圖1用方柱形圖表示其分布形狀。由表中第一列當(dāng)N=3，n=1的總體平均數(shù)和方差為：

當(dāng)樣本容量依次為2、4、8時(shí)，其相應(yīng)為4、4、4；其相應(yīng)為4/3、2/3、1/3。即，。第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日n=1n=2n=4n=8yffff24611123456123212.02.53.03.54.04.55.05.56.0141016191610412.002.252.502.753.003.253.503.754.004.254.504.755.005.255.505.756.001836112266504784101611071016784504266112368139816561平均數(shù)4444方差8/34/32/31/3表1各種不同樣本容量的樣本平均數(shù)()的抽樣分布

第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日n=1n=2圖4.15各種不同樣本容量的

分布方柱形圖第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日?qǐng)D4.15各種不同樣本容量的

分布方柱形圖n=4n=8第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日(二)兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)樣本平均數(shù)差數(shù)的抽樣及其分布參數(shù)如果從一個(gè)總體隨機(jī)地抽取一個(gè)樣本容量為n1的樣本，同時(shí)隨機(jī)獨(dú)立地從另一個(gè)總體抽取一個(gè)樣本容量為n2的樣本，那么可以得到分別屬于兩個(gè)總體的樣本，這兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)抽取的樣本平均數(shù)間差數(shù)()的抽樣分布參數(shù)與兩個(gè)母總體間存在如下關(guān)系：(1)該抽樣分布的平均數(shù)與母總體的平均數(shù)之差相等。(2)該抽樣分布的方差與母總體方差間的關(guān)系為：第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日二、正態(tài)總體的抽樣分布(一)樣本平均數(shù)的分布從正態(tài)總體抽取的樣本平均數(shù)的分布一般為N(，)。圖1給出樣本容量n=1，4與9時(shí)的分布，從圖中可以看出隨著樣本容量的增加，分布的集中程度增加了，說明方差減少了。圖1不同樣本容量的抽樣分布第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日由中心極限定理知，只要樣本容量適當(dāng)大，不論總體分布形狀如何，其的分布都可看作為正態(tài)分布，且具平均數(shù)和方差。在實(shí)際應(yīng)用上，如n>30就可以應(yīng)用這一定理。

平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化分布是將上述平均數(shù)轉(zhuǎn)換為u變數(shù)。第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日(二)兩個(gè)獨(dú)立樣本平均數(shù)差數(shù)的分布假定有兩個(gè)正態(tài)總體各具有平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為，和，，從第一個(gè)總體隨機(jī)抽取n1個(gè)觀察值，同時(shí)獨(dú)立地從第二個(gè)總體隨時(shí)機(jī)抽取n2個(gè)觀察值。這樣計(jì)算出樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，s1和，s2。從統(tǒng)計(jì)理論可以推導(dǎo)出其樣本平均數(shù)的差數(shù)()的抽樣分布，具有以下特性：

(1)如果兩個(gè)總體各作正態(tài)分布，則其樣本平均數(shù)差數(shù)()準(zhǔn)確地遵循正態(tài)分布律，無論樣本容量大或小，都有N(，)。第四十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期日(2)兩個(gè)樣本平均數(shù)差數(shù)分布的平均數(shù)必等于兩個(gè)總體平均數(shù)