電磁場與電磁波PPT

電磁場與電磁波PPT第一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.1場的概念1.1.1矢性函數(shù)在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點P，它是一個既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量，故稱為實數(shù)矢量，用黑體A表示，而白體A表示A的大小(即A的模)。若用幾何圖形表示，它是從該點出發(fā)畫一條帶有箭頭的直線段，直線段的長度表示矢量A的模，箭頭的指向表示該矢量A的方向。矢量一旦被賦予物理單位，便成為具有物理意義的矢量，如電場強度E、磁場強度H、速度v等等。第二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日若某一矢量的模和方向都保持不變，此矢量稱為常矢，如某物體所受到的重力。而在實際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會發(fā)生變化的矢量，這種矢量我們稱為變矢，如沿著某一曲線物體運動的速度v等。設(shè)t是一數(shù)性變量，A為變矢，對于某一區(qū)間G［a,b］內(nèi)的每一個數(shù)值t,A都有一個確定的矢量A(t)與之對應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為第三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日而G為A的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標系中的三個坐標分量都是變量t的函數(shù)，分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t)，則矢性函數(shù)A(t)也可用其坐標表示為其中ex、ey、ez為x軸、y軸、z軸正向單位矢量。第四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.1.2標量場和矢量場如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點，都對應(yīng)著某個物理量的一個確定的值，則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。換句話說，在某一空間區(qū)域中，物理量的無窮集合表示一種場。如在教室中溫度的分布確定了一個溫度場，在空間電位的分布確定了一個電位場。場的一個重要的屬性是它占有一定空間，而且在該空間域內(nèi)，除有限個點和表面外，其物理量應(yīng)是處處連續(xù)的。若該物理量與時間無關(guān)，則該場稱為靜態(tài)場；若該物理量與時間有關(guān)，則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。第五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時，數(shù)學上只需用一個代數(shù)變量來描述，這些代數(shù)變量(即標量函數(shù))所確定的場稱為標量場，如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中，其狀態(tài)不僅需要確定其大小，同時還需確定它們的方向，這就需要用一個矢量來描述，因此稱為矢量場，例如電場、磁場、流速場等等。第六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日標量場φ(x,y,z)的等值面方程為圖1-1矢量場的矢量線第七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-1求數(shù)量場φ=(x+y)2-z通過點M(1,0,1)的等值面方程。解：點M的坐標是x0=1,y0=0,z0=1，則該點的數(shù)量場值為φ=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程為或第八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-2求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為從而有解之即得矢量方程c1和c2是積分常數(shù)。第九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.2標量場的方向?qū)?shù)和梯度1.2.1標量場的方向?qū)?shù)圖1-2方向?qū)?shù)的定義第十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日設(shè)M0是標量場φ=φ(M)中的一個已知點，從M0出發(fā)沿某一方向引一條射線l,在l上M0的鄰近取一點M，MM0=ρ，如圖1-2所示。若當M趨于M0時(即ρ趨于零時)，的極限存在，則稱此極限為函數(shù)φ(M)在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)，記為第十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點M0(x0,y0,z0)處可微，cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦，則函數(shù)φ在點M0處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在，且為證明：M點的坐標為M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz)，由于函數(shù)φ在M0處可微，故第十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日兩邊除以ρ，可得當ρ趨于零時對上式取極限，可得第十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日

例1-3求數(shù)量場在點M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：l方向的方向余弦為第十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日而數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為在點M處沿l方向的方向?qū)?shù)第十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.2.2標量場的梯度標量場φ(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為在直角坐標系中，令第十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日矢量l°是l方向的單位矢量，矢量G是在給定點處的一常矢量。由上式顯然可見，當l與G的方向一致時，即cos(G,l°)=1時，標量場在點M處的方向?qū)?shù)最大，也就是說沿矢量G方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為第十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日在標量場φ(M)中的一點M處，其方向為函數(shù)φ(M)在M點處變化率最大的方向，其模又恰好等于最大變化率的矢量G，稱為標量場φ(M)在M點處的梯度，用gradφ(M)表示。在直角坐標系中，梯度的表達式為梯度用哈密頓微分算子的表達式為第十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日設(shè)c為一常數(shù)，u(M)和v(M)為數(shù)量場，很容易證明下面梯度運算法則的成立。第十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日

例1-4設(shè)標量函數(shù)r是動點M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez的模，即，證明：證：因為第二十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日所以第二十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-5求r在M(1，0，1)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。解：由例1-2知r的梯度為點M處的坐標為x=1,y=0,z=1,所以r在M點處的梯度為r在M點沿l方向的方向?qū)?shù)為第二十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日而所以第二十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-6已知位于原點處的點電荷q在點M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為，其中矢徑r為r=xex+yey+zey，且已知電場強度與電位的關(guān)系是E=-▽φ，求電場強度E。解：根據(jù)▽f(u)=f′(u)·u的運算法則，第二十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.3矢量場的通量和散度1.3.1矢量場的通量將曲面的一個面元用矢量dS來表示，其方向取為面元的法線方向，其大小為dS，即n是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況：對開曲面上的面元，設(shè)這個開曲面是由封閉曲線l所圍成的，則選定繞行l(wèi)的方向后，沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n的方向，如圖1-3(a)所示；第二十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日圖1-3法線方向的取法第二十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日將曲面S各面元上的A·dS相加，它表示矢量場A穿過整個曲面S的通量，也稱為矢量A在曲面S上的面積分：如果曲面是一個封閉曲面，則第二十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.3.2矢量場的散度稱此極限為矢量場A在某點的散度，記為divA，即散度的定義式為第二十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日矢量場A的散度可表示為哈密頓微分算子▽與矢量A的標量積，即第二十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.3.3散度定理第三十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-7已知矢量場r=xex+yey+zez，求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H所圍封閉曲面的通量。解：

第三十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-8在坐標原點處點電荷產(chǎn)生電場，在此電場中任一點處的電位移矢量為求穿過原點為球心、R為半徑的球面的電通量(見圖1-4)。圖1-4例1-8圖第三十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日解：由于球面的法線方向與D的方向一致，所以第三十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日

例1-9原點處點電荷q產(chǎn)生的電位移矢量，試求電位移矢量D的散度。解：第三十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-10球面S上任意點的位置矢量為r=xex+yey+zez，求解：根據(jù)散度定理知而r的散度為所以第三十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.4矢量場的環(huán)量和旋度在力場中，某一質(zhì)點沿著指定的曲線c運動時，力場所做的功可表示為力場F沿曲線c的線積分，即第三十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日圖1-5矢量場的環(huán)量第三十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.4.2矢量場的旋度第三十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日第三十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日第四十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.4.3斯托克斯定理因為旋度代表單位面積的環(huán)量，因此矢量場在閉合曲線c上的環(huán)量等于閉合曲線c所包圍曲面S上旋度的總和，即此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分變換成該矢量的線積分，或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。第四十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-11求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線(x-2)2+y2=R2,z=0的環(huán)量(見圖1-6)。圖1-6例1-11圖第四十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日解：由于在曲線l上z=0，所以dz=0。第四十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-12求矢量場A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點M(1，0，1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的環(huán)量面密度。解：矢量場A的旋度第四十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日在點M(1，0，1)處的旋度n方向的單位矢量在點M(1，0，1)處沿n方向的環(huán)量面密度第四十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-13在坐標原點處放置一點電荷q，在自由空間產(chǎn)生的電場強度為求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度▽×E。第四十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日解：第四十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.5圓柱坐標系與球坐標系1.5.1圓柱坐標系圖1-7圓柱坐標系第四十八頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日第四十九頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日第五十頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日哈密頓微分算子▽的表示式為拉普拉斯微分算子▽2的表示式為第五十一頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.5.2球面坐標系圖1-8球面坐標系第五十二頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日第五十三頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日故拉梅系數(shù)分別為第五十四頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日哈密頓微分算子▽的表示式為拉普拉斯微分算子▽2的表示式為第五十五頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日例1-14在一對相距為l的點電荷+q和-q的靜電場中，當距離r>>l時，其空間電位的表達式為求其電場強度E(r,θ,φ)。解：在球面坐標系中，哈密頓微分算子▽的表達式為第五十六頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日因為第五十七頁，共六十二頁，編輯于2023年，星期日1.6亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理的簡單表達是：若矢量場F在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，而源分布在有限空間區(qū)域中，則矢量場由其散度和旋度唯一確定，并且可以表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和，即假