3.3.3點到直線的距離和兩條平行直線間的距離教（學(xué)）案

/張喜林制點到直線的距離[教學(xué)目標(biāo)]1.讓學(xué)生掌握點到直線的距離公式.并會求兩條平行線間的距離.2.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)思距離公式的推導(dǎo)方案.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力.鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的精神.學(xué)會合作.[重點難點]教學(xué)重點:點到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.教學(xué)難點:對距離公式推導(dǎo)方法的感悟與數(shù)學(xué)模型的建立.[教學(xué)過程]導(dǎo)入新課思路1.點P<0,5>到直線y=2x的距離是多少？更進(jìn)一步在平面直角坐標(biāo)系中,如果已知某點P的坐標(biāo)為<x0,y0>,直線l的方程是Ax+By+C=0,怎樣由點的坐標(biāo)和直線的方程直接求點P到直線l的距離呢?這節(jié)課我們就來專門研究這個問題.思路2.我們已學(xué)習(xí)了兩點間的距離公式.本節(jié)課我們來研究點到直線的距離.如圖1,已知點P<x0,y0>和直線l:Ax+By+C=0.求點P到直線l的距離<為使結(jié)論具有一般性.我們假設(shè)A、B≠0>.圖1新知探究提出問題①已知點P<x0,y0>和直線l:Ax+By+C=0.求點P到直線l的距離.你最容易想到的方法是什么?各種做法的優(yōu)缺點是什么?②前面我們是在A、B均不為零的假設(shè)下推導(dǎo)出公式的.若A、B中有一個為零.公式是否仍然成立？③回顧前面證法一的證明過程.同學(xué)們還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？<如何求兩條平行線間的距離>活動：①請學(xué)生觀察上面三種特殊情形中的結(jié)論:<ⅰ>x0=0,y0=0時.d=；<ⅱ>x0≠0,y0=0時.d=；<ⅲ>x0=0,y0≠0時.d=.觀察、類比上面三個公式.能否猜想：對任意的點P<x0,y0>.d=?學(xué)生應(yīng)能得到猜想：d=.啟發(fā)誘導(dǎo)：當(dāng)點P不在特殊位置時.能否在距離不變的前提下適當(dāng)移動點P到特殊位置.從而可利用前面的公式？<引導(dǎo)學(xué)生利用兩平行線間的距離處處相等的性質(zhì).作平行線.把一般情形轉(zhuǎn)化為特殊情形來處理>證明：設(shè)過點P且與直線l平行的直線l1的方程為Ax+By+C1=0.令y=0.得P′<,0>.∴P′N=.<*>∵P在直線l1:Ax+By+C1=0上,∴Ax0+By0+C1=0.∴C1=-Ax0-By0.代入<*>得|P′N|=即d=,.②可以驗證.當(dāng)A=0或B=0時.上述公式也成立.③引導(dǎo)學(xué)生得到兩條平行線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0的距離d=.證明：設(shè)P0<x0,y0>是直線Ax+By+C2=0上任一點.則點P0到直線Ax+By+C1=0的距離為d=.又Ax0+By0+C2=0,即Ax0+By0=-C2.∴d=.討論結(jié)果：①已知點P<x0,y0>和直線l:Ax+By+C=0.求點P到直線l的距離公式為d=.②當(dāng)A=0或B=0時.上述公式也成立.③兩條平行線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0的距離公式為d=.應(yīng)用示例例1求點P0<-1.2>到下列直線的距離：<1>2x+y-10=0;<2>3x=2.解:<1>根據(jù)點到直線的距離公式得d=.<2>因為直線3x=2平行于y軸.所以d=|-<-1>|=.點評：例1<1>直接應(yīng)用了點到直線的距離公式.要求學(xué)生熟練掌握；<2>體現(xiàn)了求點到直線距離的靈活性.并沒有局限于公式.變式訓(xùn)練點A<a.6>到直線3x－4y=2的距離等于4.求a的值.解:=4|3a-6|=20a=20或a=.例2已知點A<1.3>.B<3.1>.C<-1.0>.求△ABC的面積.解:設(shè)AB邊上的高為h.則S△ABC=|AB|·h.|AB|=.AB邊上的高h(yuǎn)就是點C到AB的距離.AB邊所在的直線方程為,即x+y-4=0.點C到x+y-4=0的距離為h=.因此.S△ABC=×=5.點評：通過這兩道簡單的例題.使學(xué)生能夠進(jìn)一步對點到直線的距離理解應(yīng)用.能逐步體會用代數(shù)運(yùn)算解決幾何問題的優(yōu)越性.變式訓(xùn)練求過點A<-1,2>,且與原點的距離等于的直線方程.解:已知直線上一點.故可設(shè)點斜式方程.再根據(jù)點到直線的距離公式,即可求出直線方程為x＋y－1=0或7x＋y＋5=0.例3求平行線2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距離.解:在直線2x-7y-6=0上任取一點,例如取P<3,0>,則點P<3,0>到直線2x-7y+8=0的距離就是兩平行線間的距離.因此,d=.點評:把求兩平行線間的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離.變式訓(xùn)練求兩平行線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離.答案：.解:點O<0.0>關(guān)于直線l:2x-y+1=0的對稱點為O′<-,>.則直線MO′的方程為y-3=x.直線MO′與直線l:2x-y+1=0的交點P<>即為所求.相應(yīng)的||PO|-|PM||的最大值為|MO′|=.課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí).要求大家：1.掌握點到直線的距離公式.并會求兩條平行線間的距離.2.構(gòu)思距離公式的推導(dǎo)方案.培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、轉(zhuǎn)化、探索問題的能力.鼓勵創(chuàng)新.培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、善于研究的精神.學(xué)會合作.3.本節(jié)課重點討論了平面內(nèi)點到直線的距離和兩條平行線之間的距離.后者實際上可作為前者的變式應(yīng)用.當(dāng)堂檢測導(dǎo)學(xué)案當(dāng)堂檢測[板書設(shè)計]一、點到直線距離公式二、例題例1變式1例2變式2[作業(yè)布置]課本習(xí)題3.3A組9、10；B組2、4及導(dǎo)學(xué)案課后練習(xí)與提高點到直線的距離課前預(yù)習(xí)學(xué)案一、預(yù)習(xí)目標(biāo)讓學(xué)生掌握點到直線的距離公式.并會求兩條平行線間的距離二、學(xué)習(xí)過程預(yù)習(xí)教材P117~P119.找出疑惑之處問題1．已知平面上兩點.則的中點坐標(biāo)為.間的長度為.問題2．在平面直角坐標(biāo)系中.如果已知某點的坐標(biāo)為.直線的方程是.怎樣用點的坐標(biāo)和直線的方程直接求點到直線的距離呢?5分鐘訓(xùn)練1.點〔0.5到直線y=2x的距離是<>A.B.C.D.2.兩條平行直線3x+4y-2=0,3x+4y-12=0之間的距離為________________.3.已知點<a,2><a＞0>到直線l：x-y+3=0的距離為1,則a的值等于<>A.B.C.D.答案：C提出疑惑同學(xué)們.通過你的自主學(xué)習(xí).你還有那些疑惑.請?zhí)钤谙旅娴谋砀裰幸苫簏c疑惑內(nèi)容課內(nèi)探究學(xué)案一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解點到直線距離公式的推導(dǎo).熟練掌握點到直線的距離公式；2．會用點到直線距離公式求解兩平行線距離3．認(rèn)識事物之間在一定條件下的轉(zhuǎn)化.用聯(lián)系的觀點看問題學(xué)習(xí)重點:點到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點:對距離公式推導(dǎo)方法的感悟與數(shù)學(xué)模型的建立二、學(xué)習(xí)過程知識點1：已知點和直線.則點到直線的距離為：.注意：⑴點到直線的距離是直線上的點與直線外一點的連線的最短距離；⑵在運(yùn)用公式時.直線的方程要先化為一般式.問題1：在平面直角坐標(biāo)系中.如果已知某點的坐標(biāo)為.直線方程中.如果.或.怎樣用點的坐標(biāo)和直線的方程直接求點P到直線的距離呢并畫出圖形來.例分別求出點到直線的距離.問題2：求兩平行線：.：的距離.知識點2：已知兩條平行線直線..則與的距離為注意：應(yīng)用此公式應(yīng)注意如下兩點：〔1把直線方程化為一般式方程；〔2使的系數(shù)相等.典型例題例1求點P0<-1.2>到下列直線的距離：<1>2x+y-10=0;<2>3x=2.變式訓(xùn)練點A<a.6>到直線3x－4y=2的距離等于4.求a的值.例2已知點A<1.3>.B<3.1>.C<-1.0>.求△ABC的面積變式訓(xùn)練求兩平行線l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0的距離當(dāng)堂檢測課本本節(jié)練習(xí).拓展提升問題：已知直線l:2x-y+1=0和點O<0.0>、M<0.3>.試在l上找一點P.使得||PO|-|PM||的值最大.并求出這個最大值..學(xué)習(xí)小結(jié)點到直線距離公式的推導(dǎo)過程.點到直線的距離公式.能把求兩平行線的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離公式課后鞏固練習(xí)與提高30分鐘訓(xùn)練1.點〔3,2到直線l:x-y+3=0的距離為<>A.B.C.D.2.點P<m-n,-m>到直線=1的距離為<>A.B.C.D.3.點P在直線x+y-4=0上.O為坐標(biāo)原點.則|OP|的最小值為<>A.B.C.D.24.到直線2x+y+1=0的距離為的點的集合為<>A.直線2x+y-2=0B.直線2x+y=0C.直線2x+y=0或直線2x+y-2=0D.直線2x+y=0或直線2x+y+2=05.若動點A、B分別在直線l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移動,則AB的中點M到原點的距離的最小值為<>A.B.C.D.6.兩平行直線l1、l2分別過點P1<1,0>、P2<1,5>,且兩直線間的距離為５.則兩條直線的方程分別為l1：_________________,l2：_______________.7.已知直線l過點A<-2,3>,且點B<1,-1>到該直線l的距離為3.求直線l的方程.8.已知直線l過點<1,1>且點A<1,3>、B<5,-1>到直線l的距離相等.求直線l的方程.9.已知三條直線l1：2x-y+a=0<a＞0>,直線l2：4x-2y-1=0和直線l3：x+y-1=0,且l1與l2的距離是.<1>求a的值.<2>能否找到一點P,使得P點同時滿足下列3個條件:①P是第一象限的點；②P點到l1的距離是P到l2的距離的；③P點到l1的距離與P點到l3的距離之比是？若能,求P點的坐標(biāo);若不能,請說明理由.參考答案1.解析:由點到直線的距離公式可得d=.答案：C2.解析:nx+my-mn=0.由點到直線的距離公式.得.答案：A3.解析:根據(jù)題意知|OP|最小時.|OP|表示原點O到直線x+y-4=0的距離.即根據(jù)點到直線的距離公式.得.答案：B4.解析:根據(jù)圖形特點.滿足條件的點的集合為直線.且該直線平行于直線2x+y+1=0.且兩直線間的距離為.設(shè)所求直線的方程為2x+y+m=0,根據(jù)平行線間的距離公式.得｜m-1｜=1.解得m=2或m=0.故所求直線的方程為2x+y=0或2x+y+2=0.答案：D8.解：直線l平行于直線AB時.其斜率為k=kAB==-1.即直線方程為y=-<x-1>+1x+y-2=0；直線l過線段AB的中點M<2,1>時也滿足條件.即直線l的方程為y=1.綜上.直線l的方程為x+y-2=0或y=1.9.解：<1>根據(jù)題意得：l1與l2的距離d=a=3或a=-4<舍>.<2>設(shè)P點坐標(biāo)為<x0,y0>,則x0＞0,y0＞0.若P點滿