復(fù)變與積分變換講義筆記課堂

一復(fù)考重要程分常見題16選擇、填2.復(fù)數(shù)的運3選擇、填3.復(fù)數(shù)的方3計算題、選擇、（（1）zxx:實部Rezy:Imz虛yxryr:z的模長zx2Ox實z的輻Argz2k,k0,1,2,argz,,輻角主值，也叫主（2）z指數(shù)表（3）zrcosi三角表題1.設(shè)z1i,則argz izx B. izx

arctan14

argz4x2x2yxyx yx zreiercosisincosisin 3 3 題3.sinicos的三角表示 ，指數(shù)表示 題3.sinicos的三角表示 ，指數(shù)表示

sinicoscos

isin

2 2 4.z2iz2i表示成直角坐標(biāo)方程解zxiy，代入得xiy2ixiy整理

xiy2x2x2yx2y2

xiy2兩邊平方得x2y22x2y2題題5.方程z23i 2所代表的曲線是 A.中心為23i，半徑 的圓 B.中心為23i，半徑為2的圓222C.中心為23i，半徑 的圓 D.中心為23i，半徑為2的圓2222z23i22、復(fù)

z點到23i點的距離題題1.設(shè)z12i，z34i，則zz ，Rez1 12 z2i2zxiy,zxx1iy1x2iy2x1x2iy1y2x1iy1x2iy2x1x2y1y2ix2y1x1y2x1x2x1iy1x2iy2x2iy2x2iy2z1z212i34i1324i4 3z112i12i34i34i34i1314i2i32i4i346i8324i3211Rez1z2AA.B.C.D.yi11i1 12i2i2O ii3題2.當(dāng)z1i時，z100z75z50的值等于 1z zr zzrrz zr zzrrei12 12 iz100z75z50i425i4183i4122i0i3i21i1題3.復(fù)題3.復(fù) 的指數(shù)形式 cos3isincos4isincos4isin i4 e 解：原式 e24i33ie ei3 nxiyxiy1xiyrcosi設(shè)cosi11(3)代入rnn,k0,1,...,n7 1711題1.設(shè)z1 3i，求z 解z化成三角表示式z1

3i2

i 6設(shè)cosisin2

i

33 31代入

,k0,1,...,1 1

26cos isin 2 226cosisin 1

18 6 1 2

26

isin 1

1

cos

i

1 4 1

26

isin 1

1

6 25 26

isin z38z3383z8 88cos1設(shè)cosisin8cosisin3z3801183 1

, 3y y 13

12cos3isin311

2

i 14 2cos5isin51 一練習(xí)復(fù)數(shù)z1616i的主輻角為 4

4

復(fù)復(fù)數(shù)i的模 ，主輻角 ，指數(shù)表示 3．已知3．已知z 2argz3，則指數(shù)表示z4。ii求復(fù)z2e35．5．方程z2z2在z平面上表示 A.直線x B.直線y D.虛6．6．方程z2i2所代表的曲線是 A.直 B. C.橢 7．7．方程z23z1表示一 輻角為 指數(shù)形式為 318．復(fù)數(shù) 1i9i49i44i17i 10 cos2isincos2isin11．3rei，則r。12．求1i413．若z380，且Imz0， A.z21 3i B.z21 3i C.z21 3i D.z21 3i 14．14．方程z410的所有根 二考重要程占常見題13選擇、填2.解析函6大3.調(diào)和函必6大導(dǎo)題題1.已知f01,f01i,則limfz1 zlimfz1limf0zf0f01fzlimfzlimfz0zfz00題題2.已知fzsinz2iezz23i，則f0 fzcosz2iez2zf0fz|z01題題3.函數(shù)fzxyiy僅在點z 處可導(dǎo)，且在該點的導(dǎo)數(shù)值 uxyxyvxyfzfzuivzuv在該點可導(dǎo)且滿足u 柯西-黎曼方程（CR方程fzuivvi 代入CR

y x zi v

z

yi z解析函ffzuiv在區(qū)D內(nèi)解u、vD內(nèi)可導(dǎo)且滿足CRfz在區(qū)D內(nèi)處處可1.fzx2iy2fz①寫出ux,yvx,y②代入CR①寫出ux,yvx,y②代入CRu ③求出可導(dǎo)/解析區(qū)u代入CR

得2x2 0

x fzxy上可導(dǎo)，在復(fù)平面處處不解2fzmy3nx2yix3kxy2z平面上解析，求m、n、kuxymy3nx2yvx,yx3kxyu m代入CR方程

n

3mynx3x 題3.下列說法正確的是

kfzuivz0連續(xù)fzz0fzuivz0可導(dǎo)fzuivz0fzz0不可fzuivz可導(dǎo)fzz連 答案題題4.函數(shù)fz在點z0可導(dǎo)是fz在點z0解析的 必要但不充分條答案：A1.調(diào)和函1.調(diào)和函數(shù)xyx2y22解析函數(shù)fzuiv滿足2u2u0 02v 3.解析函數(shù)的虛部v稱為實部u的共軛調(diào)和

充分但不必要條1.fzux,yivxyD內(nèi)解析，則下列命題中錯誤的是）fz在區(qū)D內(nèi)可函數(shù)ux,y、vx,y是區(qū)D的調(diào)和函函數(shù)ux,y、vx,y在區(qū)域D內(nèi)滿 方2.驗證uxyx2y2xy是調(diào)和2.驗證uxyx2y2xy是調(diào)和函數(shù)，并求相應(yīng)的解析函fzuiv，使其滿ff00

u2x

x2u 2u 2 2u2u uxy是調(diào)和函 由CRuv得vudy2xydy2xy1y2Cx uvv2yCx2yx2yxCx Cx xdx

1x2 v2xy1y21x2 zxfzuivx2y2xyi2xy1y21xzx 1 由f0

得C1 fzuivx2y2xyi2xy1y21x2z21iz 二練習(xí)1．設(shè)1．設(shè)fzz5z32，則f1i 20D.20

20 C.2022fzz2sinz2f3．（3．（判斷）如果ux,y和vx,y可導(dǎo)，那么fuiv也可導(dǎo) 方方程是指 uv,v B.uv,v y y C.uv,u D.uv,u x y 5．設(shè)f5．設(shè)fz3xyi3yx，則f1i 6．設(shè)fzx3y3ix2y2，則f1i 7．（判斷）若fzz0點不解析，則fzz0點必不可8fzxy2ix2yfz滿足A僅在直yx

B僅在直yxDz09．9．fz2x23y2i1010fzx2axyby2icx2dxyy2，則abcdfz在平處處解析11．設(shè)f11．設(shè)fzux,yivx,y是解析函數(shù)，則u與v的關(guān)系 12．證明u3x23y22y是調(diào)和函數(shù)，并求滿足f0ifzux,yivx,13．設(shè)v2x22y2x，求解析函fzuiv，且滿f1三考重要程分常見題1exp指數(shù)函3選擇、填空、計2Ln對數(shù)3ab冪函4.三角函expzexpzezexcosyisinyexpz以2ki為周題題 fzez是周期函數(shù) 答案11題2.計算3 3 解：原式e isin e ezez，則LnLnzlnzlnzlnziarg 主題題1.ln1i 2解：原式ln1iiarg1i2

i1ln2i 2ln解：ez1

ln C.題2.題2.ez1 3i0，則Rez

zLn13iln13iiArg13iln2i2k，k0,1 實部Rezln答案題3.下列等式中成立的是 A.lnz22ln B.Lnz22Ln C.Arg2i2Argi D.ei1解zreiz2rA:lnz2lnz2iargzzlnr2B:Lnz2lnz2iArg2z2lnri22k2Lnz2lnri2k2lnri2C:Arg2iArgi2k,k0,1,2D:eicosisin答案：ab冪函數(shù)ab

ei11計算1i解：原式eiLn1eiln|1|iArg1e2kk0,1,2.計算23i

3

3 1iln22i

iln22iiarg22i 1i 解：主值 i 三角函

3e31.2sini的值等ee1C.e解：原式2eii

ee11.sinze cos1.sinze cosze 2 siniy isheye雙曲正弦cosiyeyeych雙曲余弦23.|sinz|1|cosz|1 1e i答案：題題2.若z為任意復(fù)數(shù)，則|sinz| 答案題題3.sin2zcos2z1 A.C.在上半復(fù)平面成解：由定義sinzeiz

，cosz

B.D.eiz2 eizeiz e2iz2eizeiz

z cos2z

eiz

zcos2z

e2iz2eizeiz

e2iz2eizeiz44eiz4答案三練習(xí)1.設(shè)1.設(shè)ze1i，則輻角主 4

4

D32k（k為整數(shù)42.（判斷題）2.（判斷題）ez是以2i為周期的函數(shù) 3.（判斷題）復(fù)數(shù)3.（判斷題）復(fù)數(shù)1424e41i1）4.計算i35.ln34i的虛部 6.求Ln3i7.解方程iez1i8.（判斷題）8.（判斷題）Lnz22Lnz 9.計算9.計算1 3ii的值10.計算3i11.1i2i的主值 （寫成三角形式sini 13.Im13.Imcosi14sin2z2sinzcosz15.證明：在復(fù)數(shù)域sin2zcos2z16.下列復(fù)數(shù)中，為實數(shù)的是 C.ln D.e2四級考重要程占常見題13選擇、填23選擇、填36大4.洛朗級必6大1.1.復(fù)數(shù)列nanibn收斂limana,limbnb，則limna級數(shù)nanibn an收斂，bn收收斂實部收斂，虛部1.設(shè)a nn1i1n，則liman 1 1n解：lim 1，lim1

nnlimn

n n1

n

n題題2.復(fù)數(shù)列an收斂的充要條件是Rean,Iman收斂 1.絕對1.絕對收斂an收3. az在z發(fā)散，則zz處發(fā)n00 az在z收斂，則zz處絕對收n001.數(shù)項級數(shù)2i的斂散性

2in2i

2i2in2i2i

0nn

絕對收題題2.如果級 cn在z2i點收斂，則級數(shù)在 A.z1i點絕對收 B.z2點條件收答案：A

z12i點一定發(fā)3.求收斂半徑i i（1）34i334i34i（1）

lim34i

（2）en1.lim1.liman1 Rlimn Rn 收斂半Rnn

ieien

收斂半R冪冪級數(shù)展開（泰勒級數(shù)展開111zz2znzz111zz1z12nnnnzez1z zz n00zsinzz nz2n11n0zcosz1 nz2nz20z1.fzzz1zz2fz2z

z 1 z z2 1 nz2z24z2 z22

1 1 4

n1 n1n

2 12

z2

22n1z2 ,z4

1z2 1 z z2 1 nz2z z2 31 3z2 33

3

1

n z3 z3

3n1 2

1z23 3 fz1n22n13n1z2n，收斂半z22.fzzz展開z的冪級數(shù)，并求收斂1解： 1zz2zn z11z兩邊求導(dǎo) 1z

12z3z24z3nzn1

zfz z

z2z23z3nznn

z 題3.求函數(shù)fzln1z在z0處的 解：ln1z 1而11z

1zz21nzn

z兩邊積分ln1zz

z2

33

1n

n1z1

n

級1.fz1z1z分別在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開級數(shù)（1）0

z1 （2）1

z2 （3）2

zfz 1

11z1z12z1n z1z1 z11z1 n

z1 zzz

z（2）在1z2上，0 fz z21z2 z22 z z

1z21z221nz2n1nz2n1z在2z上，0 1，0 1zfz111

z

z

z1

z1 12 z1 n0 z

2n 11 z1 n0 z

fz2n1zn四練習(xí)1．復(fù)數(shù)列的通項1．復(fù)數(shù)列的通項ann21n2ni，則極限liman 級數(shù)nanibn收斂的充要條件是級數(shù)an和bn都收斂下列級數(shù)中，條件收斂的是 3i

1n

34in n n

n

44．級數(shù)3的斂散性情況為A.絕對收 B.條件收 D.斂散性不能確55．若級 anz53i絕對收斂，則該級數(shù)在z25i處的斂散性為A.絕對收 B.條件收 D.不能確6．級6．級數(shù)n3的收斂半徑R 7．級數(shù)2inzn的收斂半徑 8．fzzz2zz1展開式的收斂圓為

z1

z

z1 nn z1級數(shù)為 nn z1級數(shù)為 z1時展開zz9．冪級數(shù)S1zz2zn，則當(dāng)z1時，limS

z1 B.1 2 2

z1C.1nzn1zn

z11111fz14zz012．求ln12．求lnz1在z0處 展開式13．將函fz1z在圓環(huán)域（1）0z23（2）3z2內(nèi)展開級數(shù)14fz1z2zi在去心解析鄰域（1）0zi1（2）1zi內(nèi)分別展開 級數(shù)五求積考重要程占常見題1.簡單方3~選擇、填空、計算2.-古薩定3~選擇、填空、計算3.積分必6~計算4n6~計算0 00簡單方0 001.1.計算積分zsin10參數(shù)方程解：原式1zdcoszzcosz11coszdzzcosz1sinz1sin1題題2.分別沿yx,yx，計算積 22iy0x解：（1）yx，令y

原式1t2it1idt1t2it2ittdt11it21 1i1t31i1t2

11i11i150 0

，令y（2）沿y ，令y

，則dzdxiy12it原式1t2it212itdt12i2t31it201 1

0 t4

t3cfcf(z)dz

1.設(shè)c:z1121.設(shè)c:z112coszdz）cfzc圍成的區(qū)域cfzdzfzcoszz0處不解析，在z11內(nèi)處處解 題2.題2. 1dz z1cos 2k，k0,1,2fz cos

1內(nèi)處處解 答案：f(z)f(z)在曲線c的內(nèi)部解z0在cfz01fz zfczdzif00題1. dz）z1A.題1. dz）z1z

解：原式z1z0dz

題2.若fz 題2.若fz ，則z2zfzdz z1：原式

z5z2z

dz

11nn n 11nn nz5z

dz

2：原式

z3dzc1z

z2c2z令c1c2分別是以z2,z3為圓心的小1z3z1z3z答案：

1z1z

z1解：令c1,c2分別是z0zi為圓心的小1原式1

zzzidzz

zzdzzi

z

z

2iz z

2ii2i1i1.設(shè)c2fzsin2dfi的值cz n 0n! fz dzz04n解：設(shè)sin2 f1fz sin2d2i z4isinz8icos

fi8icos2i8ich五練習(xí)1.計算積分

（提示：利用分部積分計算計算zcos103.求積分czdz3.求積分czdzc為從0到13i的直線4.設(shè)曲線c是從原點到23i的直線段，計算積 x cz1z2coszdz 1z1z22zdzzcz23zdz，c:z2z110.z3z1z dz11. 1dz z2z12 3cz z2idz,c:z設(shè)函數(shù)fz在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，在D內(nèi)的曲線C上連續(xù)，則對任意zD fzdfnz

fz

f

z fdfnz

f

fnz 14.設(shè)14.設(shè)函fzD內(nèi)解析CD內(nèi)一條簡單正向閉曲線z0在c的內(nèi)部，積分 fz dz cz0六留考重要程占題1.奇點和零3選擇、填空、大2.留數(shù)的含6計算3.求留數(shù)規(guī)則I、必4.求留數(shù)規(guī)則Ⅲ、11m級零 m 0 0,nn 0z0fz的mz是 的m級極點0fz3z0fz的m級零點gz的n級零zgz的mn級極0fz1.z1fz5z210z5的m零點，則m f

5z210z fz

fz

m2z0fzsinz的三級極點）z0z4的4級零sinz cosz1z0sinz的3

z0是sinz的1級零答案3fzgz分別za為m級與n級極點，那么下列三個函數(shù)：1）fzgzfzgz

3）fzgzza處有什么性fzf1zza

,gzg1zza

，

1）fzgzf1zg1zmn級極zaf1zf1zg1z gz za當(dāng)mnmn級極點當(dāng)mn時，可去奇點（或解析點；當(dāng)mn時nm級零點。3）當(dāng)mnm級極點當(dāng)mnm級極點或低于m級極點；當(dāng)mn時n級極點。若若fz z nn0 sinzz0處展sinz1 z z z z2z3!5! Ressinz,0答案

ez ,0 ez解

z0ez11 z z z

z z z11z2!3!z4 z5

ez c14! Res ,0I、1.f sin zz在 處的留數(shù) fz 2222zfz的一級極2

fzlimsinz

z 2 z 題2.用留數(shù)計算積分題2.用留數(shù)計算積分5zz2zz解：fz 5z2,在zz

2z0z1兩個 z0z Resfz,1limz12fzlim5z2lim2 z1 z1 z1z 原式2iResfz0Resfz,1求留數(shù)規(guī)則Ⅲ、11.規(guī)則fzPzQzzfz的一級極Resfzz00P 0Qz0.z3.Resfz,zinRes

1.fz1.fz1znz1的留數(shù)為0）1zn

11

C.n 3 2z 2z

,解：原式

2,0Res

1

3 z z3.函fz

z212z42

在復(fù)平面內(nèi)的所有有限孤立奇點處的留數(shù)ResfzzResfzResf110

i Res 3,0limz 3z1z212z4 z1z212z4 六練習(xí)點z0是fz1cosz的 ）級零點B. C. D.ffz1zz在圓環(huán)z11上級數(shù)fz111z z zz1fz。3z0fzsinzz（A.可去奇 B.本性奇 D.解析ez1sin （奇點類型5．設(shè)函fzzcos1，則Resfz0z6．設(shè)函fz

e2z 77．z5z32z23z8．函8．函 z z2，則Resfz 9．用留數(shù)定理計算Czz12dz的值，其中Cz5的正向圓10．設(shè)函數(shù)fzz41z3，判斷fz的所有有限奇點的類型，并利用留數(shù)定1Cfzdz，其中C為正向圓周z七利用留數(shù)求考重要程占題16計算21.1.0令z2Rx ResRz,kzkRz在上半平面內(nèi)的Rxe2iResRzeaiz,k Rxcosaxdx Rxsin1.計算積分Icos12pcospd,0p0cos21e2ie2i1z2z2 I z2z2

1

12pzz1p 2z12iz1pzzp1fz2iz21pzzpz1內(nèi)有z0，zp兩個極Resfz,0limdz2 1z

1pz0dz

2iz1pzzp1

1Resfz,plimzpzp

1pzzp

I

11

1 2ip21p2 1z2

zz2i2z2i在上半平z2i一個2級極 d z z2i 2z2idz原式=2ii

z2iz2i 題題3.用留數(shù)計算積分cosx0x2 解fzz21zizifz在上半平zi一個極

zilimzi eecosxdx x2 cosxdx1cosxdx x2 2x2 方特fzCfz在C內(nèi)解fz：Czzdz2ifz00z0fz的一級極點z在Cz 0求留數(shù)的規(guī)則fzdz2iResfz,z0C z0fz的一級極點z0在Cn階導(dǎo)： fz dz2ifnzCzz 0z0fz的n1級極點z在Czz0 求留數(shù)規(guī)fzdz2iResfz,z0C2ilim zzn1fznn! 0z0fz的n1級極點z0在Cfzdz2iResfz,zkCzkfz在C內(nèi)的Czifz在C外的奇點（包括C1是fz在z0 展開的系z0fz在C內(nèi)的奇利用留數(shù)求積分①0Rcos,sin②Rx③ Rx只能用留數(shù)的規(guī)七練習(xí)1．計算積1．計算積0acosd,a2 利用留數(shù)求積分的值Ix45x241 3．利用留數(shù)定理，計算積x24x24．利用留數(shù)計算積分xsinx01 z2z41 12dz（曲線為正向八Fourier考重要程占題1.t★3選擇、填2Fourier傅里葉變3選擇、填空、大2Fourier傅里葉變

1.FftejtdtFftft

2e3t,t1.ft ,t

2Fourier變換，并證明下 9

tejtdt

2e3 233 9F求逆變ft

Fe 2 913costsint 923costsintd2e3tt 9 92.ftE,t的其

te EejtdtEcostj sintejte2sintejte2 題題3.函數(shù)ftsint 變

sinteejte

e

dt

ejtejtejte 2 2j2 2變換變換ett0,0

E

t 01 0常用常用 變換的性1.Fftt Fft j0t0 Fejt0ftF03.tftdt1Fftaa表示卷4.已知Fsinktjkk解：利用性質(zhì)1Fsint2ej2Fsintej2j11題題5.設(shè)ftcos2t，則Fft ftcos2t1cos2t2F1

2

2 ，利用Fourier變換的性質(zhì)，求下列函116.設(shè)函ftFourier變換F j

111F2fte3jtft2 1 1（2）利用性質(zhì)1：Fft2e2jFfte2 1e2 12

12

2e2e11 12題題7.設(shè)函數(shù)ft 變換為F，求函數(shù)gtt2ft 變換解：利用性質(zhì)2 八練習(xí) tdt 求指數(shù)衰ftt t0的傅氏變換e2t,t ft ,t

的傅氏變換F ft2,0t0,的ftsintcostFourier變換是（ D.2j22已知函ftFourier變換F，求函gtf2t5Fourier已知函數(shù)ft 1010.ftet2變換為F e4，求函數(shù)gttet2和hte2的傅葉變換九Lace拉斯變考重要程占題1.定義和性3選擇、填26大 fte0題題1.求fekt的 ce變換（k為實數(shù)解：FsLftektestdtesktdt1e(sk s

s題題2.求ftsinkt的 ce變換（k為實數(shù)FsL

sinktestdt0

es2k

(ssinktkcoskt 0

s2k常見常見 ce 斯變換seat scosat s2

sinat s2tn,(n1)常用常用 ce 斯變換的性質(zhì)Lf(t)FLf(ta)easF Lf(t)sF(s)f Ltf(t)F f(t)dt t1s f s3.求t3tete2tcos5t解：L 3! Lt1

Ltet Lcos5t

sLe2tcos5t

(ss2 (s2)2FsLt3tete2tcos5t6 s (s (s2)2題題4.變換求積分1cos2te2tt解：求1cos2t的 ce變換FF(F(s) f 1L1s

Lcos2t s2利用性質(zhì)

1cos2t 1 dslns1lns24L s s2 ssss2原式F(2)

s ln

s21s22題題5.已知f(t)的 ce變換F(s)1(sf(t。 t 3解

33 Lt

1

6 利用性質(zhì)1

(s ft 題題6.求下列函數(shù) 逆變 s(s解： s(s

2ss24s s Let ftL1(

L1 )es 2s 2(s2)1 2(s s24s (s2)2利用性質(zhì)Lcos3t s2Le2tcos3t s

s22 s22Lsin3t s2Le2tsin3t (s2)2L2e2tcos3t 2(s

(s2)2L1e2tsin3t (s2)2 (s2)2 f(t)L1 2s 2e2tcos3t1e2tsin s24s13 應(yīng)1.變換求初值問題y(0)0y(0)y2yy解：對兩邊取Lace變換，利用性質(zhì)s2Y(s)sy(0)y(0)2sY(s)y(0)Y(s)s代入y(0)0,y(0)1 s2Y(s)12sY(s)Y(s)s整理得(s22s1)Y(s1s設(shè)Y(s) A s (s

Y(s) 1(s1)2 1 AResY(s),1lim(s1)2 s1 s12s BResY(s)(s1),1 1 (s1)2lim1ss1s12 CResY(s),0lim 1 lim1sY(s)

(s1)21 s (s

s0(s求 ce逆變換ytet2tet題2.用拉氏變換解方程y(t)e tt題2.用拉氏變換解方程y(t)e tt0s

Ys整理得Y(s) (s1)(s

設(shè)Y(s) As

sAResY(s),1lim(s (s1)(s BResY(s),1lim(s s1(s Y(s)

求 ce逆變換yt

et

s s 3.ce變換求解方程y(t)sint t0解：方程ytsint2yt ce變換得：Ys s2

2Y(s) s21整理得Ys s21 (s求 ce逆變換得yt

卷積f卷積f(t)g(t) ft)gtd0 ftg(t01.1.利 變換F(s)已知已知f(t)t2，則f(t)的 ce變換為 A.

B.

C.

D.3.3.求函數(shù)