寧波效實中學2018-2019學年第一學期期中考試 （含解析）

寧波效實中學2018-2019學年第一學期期中考試高一數學一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每個題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化簡全集，再根據補集定義求結果.【詳解】因為,所以，選B.【點睛】求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．2.下列四組函數中，與表示同一函數的是（）A.,B.,C.,D.,【答案】B【解析】【分析】先求定義域，在定義域相同的情況下判斷解析式是否相同，進而確定選項.【詳解】A.,,定義域不同；B.,,為同一函數；C.,,定義域不同；,,定義域不同；因此選B.【點睛】本題考查函數定義域以及函數解析式，考查基本分析與求解能力.3.已知，以下一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據不等式性質推導D，舉反例說明A,B,C不成立.【詳解】2>1>0>-1>-2,21=-1（-2），2（-1）=1（-2），，A，B，C錯；因為，所以,因此，即得，D對.【點睛】本題考查不等式性質，考查基本分析判斷能力.4.設函數，則的表達式為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令再換元得函數解析式.【詳解】令則,所以,從而,選B.【點睛】本題考查換元法求函數解析式，考查基本轉化求解能力.5.三個數，，之間的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先與1比較大小，再根據冪函數單調性確定大小.【詳解】因為，,又為上單調遞增函數，所以,綜上，選B.【點睛】本題考查比較大小以及冪函數單調性，考查基本分析判斷能力.6.函數的圖象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據奇偶性舍去C,D,再根據函數值確定選A.【詳解】因為為奇函數，所以舍去C,D;因為時,所以舍去B，選A.【點睛】有關函數圖象識別問題的常見題型及解題思路(1)由解析式確定函數圖象的判斷技巧：（1）由函數的定義域，判斷圖象左右的位置，由函數的值域，判斷圖象的上下位置；②由函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；③由函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；④由函數的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復．(2)由實際情景探究函數圖象．關鍵是將問題轉化為熟悉的數學問題求解，要注意實際問題中的定義域問題．7.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據倒數性質，分類求解不等式.【詳解】當時,;當時,;因此不等式解集為，選D.【點睛】本題考查解分式不等式，考查分類討論思想與基本求解能力.8.已知為上奇函數，當時,，則當時，().A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：取，則，有，因為是上的奇函數，所以，代入前式得，故正確答案為B.考點：1.函數的奇偶性；2.分段函數.9.已知，若關于的方程有三個實根，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先解方程，再根據圖象確定滿足條件時的取值范圍.【詳解】因為，所以或,由圖象得有一個實根0，所以要使有兩個不同非零實根，需，選C.【點睛】利用函數圖象可以解決很多與函數有關的問題，如利用函數的圖象解決函數性質問題，函數的零點、方程根的問題，有關不等式的問題等.解決上述問題的關鍵是根據題意畫出相應函數的圖象，利用數形結合的思想求解.10.給出定義：若（其中為整數），則叫做離實數最近的整數，記作，即.設函數，二次函數，若函數與的圖象有且只有一個公共點，則的取值不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據定義，逐一求函數與的圖象交點個數，再作選擇.【詳解】當時，，為整數,只需考慮當時，與的圖象交點個數，由得,時0；此時與有一個交點（0，0），時,與有一個交點（0，0），時;與有兩個交點（0，0），;時與有一個交點（0，0），因此選C.【點睛】合理利用有關性質是破解新定義型問題的關鍵．在解題時要善于從題設條件給出的數式中發(fā)現可以使用性質的一些因素，并合理利用．二、填空題：本大題共7小題，多空題每小題4分，單空題每小題3分，共25分.11.（1）_________；（2）_________.【答案】(1).(2).4【解析】【分析】(1)根據分數指數冪化簡求值；（2）根據對數運算法則化簡求值.【詳解】(1),【點睛】本題考查分數指數冪以及對數運算法則，考查基本化解求值能力.12.關于的不等式的解集為，則________，________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先根據不等式解集與對應方程根的關系得為方程兩根，再根據韋達定理求結果.【詳解】由題意得為方程兩根，所以【點睛】本題考查二次不等式與二次方程根得關系，考查基本分析求解能力.13.函數的值域是____________，單調遞增區(qū)間是____________.【答案】(1).(2).【解析】【分析】先求二次函數值域，再根據指數函數單調性求函數值域；根據二次函數單調性與指數函數單調性以及復合函數單調性法則求函數增區(qū)間.【詳解】因為,所以，即函數的值域是因為單調遞減，在（1，+）上單調遞減，因此函數的單調遞增區(qū)間是（1，+）.【點睛】本題考查復合函數值域與單調性，考查基本分析求解能力.14.已知，且，則的最大值是________，的最小值是________.【答案】(1).2(2).【解析】【分析】根據基本不等式得的最大值，即得的最大值；利用1的代換得,再根據基本不等式求最值.【詳解】因為,所以，即得，當且僅當時取等號，所以的最大值是2；因為,當且僅當時取等號，所以的最小值是.【點睛】在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應用，否則會出現錯誤.15.若集合，則實數的取值范圍是______________.【答案】【解析】【分析】根據函數定義域為R求實數a取值范圍.【詳解】因為集合，所以恒成立，即，即【點睛】本題考查函數定義域以及不等式恒成立問題，考查基本分析求解能力.16.函數，，則的值域是______________.【答案】【解析】【分析】先化簡函數，再分別求各段值域，最后求并集得結果.【詳解】當,,即或時，;當,,即時，,0]因此的值域是【點睛】分段函數的考查方向注重對應性，即必須明確不同的自變量所對應的函數解析式是什么.17.已知時，對任意，有恒成立，則的取值范圍是_________________.【答案】【解析】【分析】根據條件的為方程的根,化簡為一元函數,再求取值范圍.【詳解】因為對任意，有恒成立，所以為方程的根,即,因為,所以或，即或.【點睛】在研究函數性質特別是單調性、最值、零點時，要注意用好其與圖象的關系，結合圖象研究.三、解答題：本大題共5小題，共45分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.18.已知集合，，其中.（1）當時，求集合，；（2）若，求實數的取值范圍.【答案】【解析】【分析】（1）先求集合B,再根據交集、并集以及補集得定義求結果，（2）先根據條件化為集合關系，再結合數軸求實數的取值范圍.【詳解】(1)當時，,所以因為,所以(2)因為，所以,當時,,滿足條件，,不滿足條件，因此.【點睛】防范空集.在解決有關等集合問題時，往往忽略空集的情況，一定先考慮是否成立，以防漏解.19.解關于的不等式（1）；（2）（）【答案】【解析】【分析】(1)根據絕對值定義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，(2)先因式分解，再根據兩根大小分類討論，分別求對應解集.【詳解】(1)當時,,所以,當時,,所以,當時,,舍去，綜上不等式解集為,（2）因為,所以當,解集為當,解集為.【點睛】含絕對值不等式的解法法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；法三：通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想.20.已知函數（）（1）求函數的值域；（2）若時，函數的最小值為，求的值和函數的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)先設,轉化為二次函數，再根據二次函數性質求值域，（2）【詳解】(1)設,則,,即,(2)設,則,而,所以當時,函數取最小值，即,因為,所以,當時函數取最大值，為.【點睛】研究二次函數性質時，要注意對稱軸與定義區(qū)間位置關系.21.已知函數.（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）若對于任意的，都有成立，求實數的范圍.【答案】（1）遞增區(qū)間（2）【解析】【分析】(1)先根據絕對值定義將函數化為分段函數形式,再根據各段函數單調性確定增區(qū)間,(2)先化簡,再利用基本不等式求最值得實數的范圍.【詳解】(1)因為,所以當時,單調遞增,當時,單調遞增,當時,單調遞減,因此函數的單調遞增區(qū)間為,（2）當時,,令,則,為上單調遞減函數,因此時,取最大值18,從而.【點睛】不等式有解問題與不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.22.已知定義域為的函數是奇函數.（1）求的值；（2）判斷并證明函數的單調性；(3)若存在，不等式有解，求的取值范圍.【答案】（1）（2）增函數（3）【解析】【分析】(1)根據奇函數定義求的值；(2)利用單調性定義判斷與證明函數單調性,(3)先根據函數奇偶性與單調性化簡不等式,再利用變量分離轉化為對應函數最值問題,最后求函數最值得的取值范圍.【詳解】(1)因為函數是奇函數,所