專題13不等式的證明練習題教師版紙間書屋

13.42

1（2019屆模擬）a，b>0a＋b＝1，求證：＋a＋b＋b22 122

【證明】因為

≥a＋a＋b＋b＝1＋a＋b＝1＋ab≥25因為

b

2

21所以＋a＋b＋b≥2（2019屆質檢）

1∴1＝a＋b≥2

∴a＋b＋ab＝(a＋b)a＋b＋ab≥2

（佛山一中2019屆模擬）已知函數(1)x(2)m，n∈{y|y＝f(x)}mn＋42(m＋n)的大小【解析】

或

2或 解得x≤－3或x∈?或 所以不等式的解集為 (2)由(1)f(x)≥3，所以4（(2)證明：a＋b＋ 【證明】(1)1＋a≥2a，1＋b≥2b，1＋c≥2c，相乘得：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8abc＝8. ab＋bc≥2ab2c＝2b，ab＋ac≥2a2bc＝2a，bc＋ac≥2abc2＝2相加得a＋b＋ 5（

…＋1屆模擬）求證 ＝【證明】因為1 1 ＝

n2n（n－1）n－

1 1 1

1

6．(2019屆質量檢測)設不等式||x＋1|－|x－1||<2(1)ab－cab－c由|f(x)|<2得－1<x<1ab－c1＋a2b2c2>a2ab－c所以(1－a2b2)(1－c2)>0恒成立．ab－cab－c7.（2019屆模擬）(1)f(x)≤6(2)f(x)na，b2nab＝a＋2b，求證：2a＋

或(2)a，b

∴2a＋b＝8b＋a(2a＋b)＝8b＋a

2a b·a＝8a＝b＝8時取等號原不等式得證1.(2019屆質量檢測)a，b，c(1)f(x)≤10【解析】(1)等價于

或

解得－3≤x≤－1或－1<x<5f(x)≤10的解集為{x|－3≤x≤7}.∴a2＋b2＋c2≥12.a＝b＝c＝2時等號成立2.（渦陽四中2019屆模擬）設a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求證(1)a＋b＋c≥ a＋ b＋ c≥3(a＋b＋c). 【證明】(1)a＋b＋c≥3，a，b，c>0，因此只需證明a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

所以原不等式成立 a＋ b＋ c

＋

＝a＋b＋c(a＝b＝c時等號成立)證得

abc在(1)a＋b＋c≥只需證明1≥a＋b＋abc＋bac＋cabc＋bac＋c而abc＝ b ，c abc＋bac＋c＝當且僅當 3時等號成立.＝ 所以原不等式成立3.(百校2019屆聯考)已知函數f(x)＝|2x－3|＋|2x－1|的最小值為(2)若 2|m＋n|≤|4＋mn|，a，b∈(0，＋∞)， a

a

b·a當且僅當 所以a＋b4（(2)f(0)＝－1，f(1)＝1a

所以

(2)f(0)＝－1，f(1)＝1c＝－1，b＝2－a，f(x)＝ax2＋(2－a)x－1.a＝0a≠0

＝2a，即

整理得 所以 所以 所 5（因此只要解不等式當x≤1時，原不等式等價于 ，即1<x≤21≤2x>22x－3≤2

綜上，原不等式的解集為 6（(1)k

1

f(x＋3)≥0等價于|x|≤k，

由|x|≤kk≥0，且解集為[－k，k]．f(x＋3)≥0的解集為[－1，1]．(2)由 a，b，c 1a a a ＝3＋2b＋3c＋a＋3c＋a＋2b＝3＋2b＋a＋3c＋a

a a 2b·a3c·aa 2b·aa＝2b＝3c時，等號成立．a＋2b＋3c≥9.7（(1)

【解析】 22當x<－3時，由－3x－2≥8，解得 —3當

x＋4≥8當f(2x)＋f(x＋4)≥8

3

所以1．(2019·高考卷Ⅲ)設x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若

a≤－3故由已知得

33

＝3＝－3＝－3

故由已知得(x－2)＋(y－1)＋(z－a)

3

3

因此(x－2)＋(y－1)

≥3a≤－32．【2019年高考Ⅰ卷理數】已知a，b，c為正數，且滿足abc=1．證明（1）111a2b2c2 （2）(ab)3(bc)3(ca)324【解析】（1）a2b22ab,b2c22bcc2a22acabc1a2b2c2abbccaabbcca111 111a2b2c2 （2）因為a,b,cabc1(ab)3(bc)3(ca)333(ab)3(bc)3(a

ab)

bc)

ac所以(ab)3(bc)3(ca)324．3.(2017·Ⅱ卷)已知a>0，b>0，且a3＋b3＝2.證明：【證明】 4.(2015·Ⅱ卷)設a，b，c，d均為正數，且a＋b＝c＋d，證明ab>cd，則a＋b>c＋a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要條件【證明】(1)∵a，b，c，d欲證a＋b>c＋d，只需證明(a＋b)2>(c＋d)2，a＋b＋2ab>c＋d