《一元二次方程的解法》課件PPT 蘇科版

1.2一元二次方程的解法第1課時用直接開平方法解一元二次方程第1章一元二次方程逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2形如x2=p(p≥0)型方程的解法形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法課時導入復習提問

引出問題你會解哪些方程，如何解的？二元、三元一次方程組一元一次方程一元二次方程消元降次思考：如何解一元二次方程．知識點形如x2=p(p≥0)型方程的解法知1－講感悟新知1問

題（一）一桶某種油漆可刷的面積為1500dm2，李林用這桶油漆恰好刷完10個同樣的正方體形狀的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱長嗎?知1－講感悟新知設(shè)其中一個盒子的棱長為xdm，則這個盒子的表面積為6x2dm2，根據(jù)一桶油漆可刷的面積，列出方程10×6x2=1500.①整理，得x2=25.根據(jù)平方根的意義，得x=±5，即

x1=5，

x2=－5.可以驗證，5和－5是方程①的兩個根，因為棱長不能是負值，所以盒子的棱長為5dm.知1－講歸納感悟新知當p>0時，根據(jù)平方根的意義，方程(Ⅰ)有兩個不等的實數(shù)根x1＝－

，x2＝

；當p＝0時，方程(Ⅰ)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝0；當p<0時，因為對任意實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程(Ⅰ)無實數(shù)根．感悟新知知1－練例1解：

用直接開平方法解方程x2－81＝0.

移項得x2＝81.根據(jù)平方的意義，得x＝±9，即x1＝9，x2＝－9.移項，要變號開平方降次方程有兩個不相等的實數(shù)根知1－講總結(jié)感悟新知用直接開平方法解一元二次方程的方法：首先將方程化成左邊是含有未知數(shù)的完全平方式，右邊是非負數(shù)，然后化完全平方式的系數(shù)為1，最后根據(jù)平方根的定義求解．感悟新知知1－練1方程x2－3＝0的根是________.對于方程x2＝m－1.(1)若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則m________；(2)若方程有兩個相等的實數(shù)根，則m________；(3)若方程無實數(shù)根，則m________．＞1＝1＜1感悟新知知1－練下列方程中，沒有實數(shù)根的是(

)A．2x＋3＝0B．x2－1＝0C.＝1D．x2＋x＋1＝0D感悟新知知1－練解下列方程：

（1）2x2-8=0

（2）9x2-5=3

（3）9x2+5=1感悟新知知1－練

知識點形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法知2－講感悟新知2探究

對照上面解方程(Ⅰ)的過程，你認為應(yīng)怎樣解方程(x＋3)2＝5?

在解方程(Ⅰ)時，由方程x2＝25得x＝±5.

由此想到：由方程(x＋3)2＝5，②

得

x＋3＝±，

知2－講感悟新知

即

x＋3＝

，或x＋3＝－

，③

于是，方程(x＋3)2＝5的兩個根為

x1＝－3＋

，x2＝－3－.知2－講總結(jié)感悟新知

上面的解法中，由方程②得到③，實質(zhì)上是把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，這樣就把方程②轉(zhuǎn)化為我們會解的方程了．知2－練感悟新知

用直接開平方法解下列方程．(1)(x－3)2＝25；(2)(2y－3)2＝16.

解：(1)x－3＝±5，于是x1＝8，x2＝－2.(2)2y－3＝±4，于是y1＝，y2＝－.例2知2－講總結(jié)感悟新知解形如(mx+n)2=p(p≥0，m≠0)的方程時，先將方程利用平方根性質(zhì)降次，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再求解.課堂小結(jié)一元二次方程直接開平方法解一元二次方程的“三步法”開方求解變形將方程化為含未知數(shù)的完全平方式＝非負常

數(shù)的形式；利用平方根的定義，將方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；解一元一次方程，得出方程的根．第2課時用配方法解

一元二次方程第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程配方的方法用配方法解一元二次方程課時導入完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2回顧舊知知識點一元二次方程配方的方法知1－練感悟新知1

用利用完全平方式的特征配方，并完成填空．(1)x2＋10x＋________＝(x＋________)2；(2)x2＋(________)x＋36＝[x＋(________)]2;(3)x2－4x－5＝(x－________)2－______．導引：配方就是要配成完全平方，根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，當二次項系數(shù)為1時，常數(shù)項是一次項系數(shù)一半的平方．25例15±12±629知1－講歸納感悟新知當二次項系數(shù)為1時，已知一次項的系數(shù)，

則常數(shù)項為一次項系數(shù)一半的平方；已知常

數(shù)項，則一次項系數(shù)為常數(shù)項的平方根的兩

倍．注意有兩個．當二次項系數(shù)不為1時，則先化二次項系數(shù)

為1，然后再配方．知1－練感悟新知1填空：(1)x2＋10x＋____＝(x＋____)2；(2)x2－12x＋____＝(x－____)2；(3)x2＋5x＋____＝(x＋____)2；(4)x2－x＋____＝(x－____)2.將代數(shù)式a2＋4a－5變形，結(jié)果正確的是(

)A．(a＋2)2－1B．(a＋2)2－5C．(a＋2)2＋4D．(a＋2)2－92255366D知1－練感悟新知將代數(shù)式x2－10x＋5配方后，發(fā)現(xiàn)它的最小值為(

)A．－30B．－20C．－5

D．0不論x，y為何實數(shù)，代數(shù)式x2＋y2＋2x－4y＋7的值(

)A．總不小于2B．總不小于7

C．可為任何實數(shù)D．可能為負數(shù)34BA知識點用配方法解一元二次方程知2－講感悟新知2x2＋6x＋4＝0(x＋3)2＝5這種方程怎樣解？變形為的形式．(a為非負常數(shù))變形為感悟新知知2－練例2解：

常數(shù)項移到“＝”右邊

解方程：3x2－6x＋4＝0.移項，得3x2－6x＝－4二次項系數(shù)化為1，得配方，得

x2－2x＝.x2－2x＋12＝＋12.

(x－1)2＝

.兩邊同時除以3兩邊同時加上二次項系數(shù)一半的平方感悟新知知2－練因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，(x－1)2都是非負數(shù)，上式都不成立，即原方程無實數(shù)根．

解下列方程．(1)x2－8x＋1＝0；(2)2x2＋1＝3x；(1)方程的二次項系數(shù)為1，直接運用配方法．

(2)先把方程化成2x2－3x＋1＝0.它的二次項系數(shù)為2，為了便于配方，需將二次項系數(shù)化為1，為此方程的兩邊都除以2.感悟新知知2－練例3分析：感悟新知知2－練解：(1)移項，得

x2－8x＝－1.配方，得

x2－8x＋42＝－1＋42，

(x－4)2＝15.由此可得

感悟新知知2－練

(2)移項，得2x2－3x＝－1.二次項系數(shù)化為1，得

配方，得由此可得

知2－講總結(jié)感悟新知

—般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成(x＋n)2＝p(Ⅱ)的形式，那么就有：(1)當p>0時，方程(Ⅱ)有兩個不等的實數(shù)根

(2)當p＝0時，方程(Ⅱ)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－n；x1＝－n－，x2＝－n＋；知2－講總結(jié)感悟新知(3)當p<0時，因為對任意實數(shù)x，都有(x＋n)2≥0，

所以方程(Ⅱ)無實數(shù)根．課堂小結(jié)一元二次方程直開平方法降次配方法轉(zhuǎn)化第3課時一元二次方程根的

判別式第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程根的判別式一元二次方程根的情況的判別一元二次方程根的判別式的應(yīng)用課時導入同學們，我們已經(jīng)學會了怎么解一元二次方程，那么老師這里有一手絕活，就是：我隨便拿到一個一元二次方程的題目，我不用具體地去解它，就能很快知道它的根的大致情況，同學們想知道老師是如何做到的嗎？這就是我們這節(jié)課要學習的內(nèi)容.知識點一元二次方程根的判別式知1－講感悟新知1我們可以用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．移項，得二次項系數(shù)化為1，得

知1－講感悟新知配方，得即

因為a≠0，所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三種情況:

(1)

(2)(3)

知1－講歸納感悟新知一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判別式，通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.

特別提醒確定根的判別式時，需先將方程化為一般形式，確定a，b，c后再計算；使用一元二次方程根的判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.知1－練感悟新知1已知方程2x2＋mx＋1＝0的判別式的值為16，則m的值為(

)A.

B.

C.

D.

C知識點一元二次方程根的情況的判別知2－講感悟新知2一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根有三種情況：

當Δ>0時，方程有兩個不等的實數(shù)根；

當Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；

當Δ<0時，方程無實數(shù)裉．知2－練感悟新知例1

不解方程，判斷下列方程根的情況．(1)

(2)根的判別式是在一般形式下確定的，因此應(yīng)

先將方程化成一般形式，然后算出判別式的

值．(1)原方程化為:

∴方程有兩個相等的實數(shù)根導引：解：感悟新知知2－練∴方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)原方程化為:解：知2－講總結(jié)感悟新知利用根的判別式判斷一元二次方程根的情況的方法：

先將一元二次方程化成一般形式ax2＋bx＋c=0，當方程中的a，b，c

是常數(shù)時，直接求出Δ=b2－4ac

的值，確定方程根的情況；當方程中的a，b，c含有字母時，求出Δ=b2－4ac

后再對含有字母的代數(shù)式進行討論，進而確定該方程根的情況.感悟新知知2－練一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根D．沒有實數(shù)根1A感悟新知知2－練一元二次方程x2－2x＋3＝0的根的情況是(

)A．沒有實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．有兩個不相等的實數(shù)根D．有兩個實數(shù)根2A感悟新知知2－練3

利用判別式判斷下列方程的根的情況：

(1)(2)感悟新知知2－練

解：知識點一元二次方程根的判別式的應(yīng)用知3－練感悟新知3

k取何值時，關(guān)于x的一元二次方程kx2－12x

＋9＝0有兩個不相等的實數(shù)根？導引：已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，則該方程

的Δ>0，用含k的代數(shù)式表示出Δ，然后列出

以k為未知數(shù)的不等式，求出k的取值范圍．例2感悟新知知3－練解：∵方程kx2－12x＋9＝0是關(guān)于x的一元二次方程，

∴k≠0.方程根的判別式

Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.

由144－36k>0，求得k<4，又k≠0，∴當k<4且k≠0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根．知3－講歸納感悟新知方程有兩個不相等的實數(shù)根，說明兩點：一是該方程是一元二次方程，即二次項系數(shù)不為零；二是該方程的Δ＞0.課堂小結(jié)一元二次方程(1)今天我們是在一元二次方程解法的基礎(chǔ)上，學習了根的判別式的應(yīng)用，它在整個中學數(shù)學中占有重要地位，是中考命題的重要知識點，所以必須牢固掌握好它.(2)注意根的判別式定理與逆定理的使用區(qū)別：一般當已知Δ值的符號時，使用定理；當已知方程根的情況時，使用逆定理.課堂小結(jié)一元二次方程(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)判別式的情況根的情況定理與逆定理

△＞0兩個不相等的實根△＞0兩個不相等的實根△＝0兩個相等的實根△＝0

兩個相等的實根

△＜0無實根△＜0

無實根第4課時用公式法解

一元二次方程第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2一元二次方程的求根公式求根公式解方程課時導入配方法解一元二次方程的一般步驟:

(1)移項;(2)二次項系數(shù)化為1;(3)配方;(4)開平方.回顧舊知知識點一元二次方程的求根公式知1－講感悟新知1我們知道，任意一個一元二次方程都可以轉(zhuǎn)化為一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).你能用配方法得出它的解嗎?知1－講感悟新知解：1.化1:把二次項系數(shù)化為1；2.移項:把常數(shù)項移到方程

的右邊；3.配方:方程兩邊都加上一次項系數(shù)絕對值一半的平方；4.變形:方程左分解因式，

右邊合并同類項知1－講感悟新知當b2－4ac

≥0時，5.開方:根據(jù)平方根意義，方程兩邊開平方；6.求解:解一元二次方程；7.定解:寫出原方程的解；知1－講感悟新知一般地，對于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)當b2－4ac≥0時，它的根是：上面這個式子稱為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法.知1－練感悟新知1方程3x2－x＝4化為一般形式后的a，b，c的值分別為(

)A．3、1、4B．3、－1、－4C．3、－4、－1D．－1、3、－4一元二次方程

中，b2－4ac的值應(yīng)是(

)A．64B．－64C．32D．－32BA2知識點求根公式解方程知2－講感悟新知2解一個具體的一元二次方程時，把各系數(shù)直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法．確定a，b，c的值時，要注意它們的符號.知2－講感悟新知特別提醒1.公式法是解一元二次方程的通用解法（也稱萬能法），它適用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.2.只有當方程ax2+bx+c=0中a≠0，b2-4ac≥0時，才能使用求根公式.3.用公式法解一元二次方程時，若b2-4ac=0，則方程ax2+bx+c=0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，即知2－練感悟新知例1

用公式法解方程：x2－4x－7＝0；a＝1，b＝－4，c＝－7.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.方程有兩個不等的實數(shù)根解：1.確定系數(shù)；2.計算Δ；3.代入；提示：方程必須要轉(zhuǎn)化成一般形式才能確定系數(shù)知2－練感悟新知即4.定根；感悟新知知2－練例2

用公式法解下列方程：

(1)2x2－

＋1＝0；

(2)5x2－3x＝x＋1；(3)

x2＋17＝8x.解：(1)a＝2，b＝

，c＝1.Δ＝b2－4ac＝

－4×2×1＝0.方程有兩個相等的實數(shù)根感悟新知知2－練(2)方程化為5x2－4x－1＝0.a＝5，b＝－4，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.方程有兩個不等的實數(shù)根即感悟新知知2－練(3)方程化為x2－8x＋17＝0.a＝1，b＝－8，c＝17.Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.方程無實數(shù)根．知2－講總結(jié)感悟新知用公式法解一元二次方程時，應(yīng)首先將方程化為一般形式，然后確定二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項，在確定了a，b，c后，先計算b2－4ac的值，當b2－4ac≥0時，再用求根公式解．課堂小結(jié)一元二次方程用公式法解一元二次方程的“四個步驟”：(1)把一元二次方程化為一般形式．(2)確定a，b，c的值．(3)計算b2－4ac的值．(4)當b2－4ac≥0時，把a，b，c的值代入求根公式，

求出方程的兩個實數(shù)根；當b2－4ac<0時，方程

無實數(shù)根．第5課時用因式分解法解

一元二次方程第1章一元二次方程1.2一元二次方程的解法逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學習目標課時講解1課時流程2因式分解法的依據(jù)用因式分解法解方程用適當?shù)姆椒ń庖辉畏匠陶n時導入解一元二次方程的基本思路是什么?我們已經(jīng)學過哪些解一元二次方程的方法?回顧舊知降次配方法，求根公式法.課時導入根據(jù)物理學規(guī)律，如果把一個物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么物體經(jīng)過xs離地面的高度(單位：m)為10x－4.9x2.根據(jù)上述規(guī)律，物體經(jīng)過多少秒落回地面(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)?課時導入設(shè)物體經(jīng)過xs落回地面，這時它離地面的高度為0m，即10x－4.9x2＝0.①思考：除配方法或公式法以外，能否找到更簡單的方法

解方程①?知識點用因式分解法解方程知1－講感悟新知1觀察方程10x－4.9x2＝0，它有什么特點?

你能根據(jù)它的特點找到更簡便的方法嗎?兩個因式的積等于零至少有一個因式為零10x

-

4.9x2=

0x1

=

0，x2

=x

=

0或10

-

4.9x

=

0x(10-

4.9x)=0知1－講總結(jié)感悟新知因式分解法的依據(jù)：

如果a·b=0,那么a=0或b=0．知1－講感悟新知思考：

解方程10x－4.9x2＝0.時，二次方程是如何降為一次的?知1－講感悟新知可以發(fā)現(xiàn)，上例解法中，不是用開平方降次，而是先因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次．這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法．知識儲備常用的因式分解的方法：1.提公因式法；2.公式法；3.x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.知1－練感悟新知

解方程：x(x－2)＋x－2＝0；解：

因式分解，得(x－2)(x＋1)＝0.于是得x－2＝0，或x＋1＝0，x1＝2，x2＝－1.

轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程例1知1－練感悟新知

解方程：移項、合并同類項，得4x2－1＝0.因式分解，得(2x＋1)(2x－1)＝0.于是得2x＋1＝0，或2x－1＝0，解：例2知1－講總結(jié)感悟新知采用因式分解法解一元二次方程的技巧為：

右化零，左分解，兩因式，各求解.2.用因式分解法解一元二次方程時，不能將“或”

寫成“且”，因為降次后兩個一元一次方程并

沒有同時成立，只要其中之一成立了就可以了知1－練感悟新知1解下列方程：(1)x2＋x＝0；(2)

(3)3x2－6x＝－3；解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，于是得x＝0，或x＋1＝0，x1＝0，x2＝－1.(2)因式分解，得x(x－)＝0，于是得x＝0，或x－

＝0，x1＝0，x2＝.知1－練感悟新知(3)移項，化簡，得x2－2x＋1＝0，因式分解，得(x－1)2＝0，于是得x－1＝0，x1＝x2＝1.知1－練感悟新知3△ABC的三邊長都是方程x2－6x＋8＝0的