2017太原二模理科數(shù)學(xué)試題及答案

太原市2017年高三年級(jí)模擬試題（二）數(shù)學(xué)試卷（理工類(lèi)）（考試時(shí)間:下午3:00—5：00）注意事項(xiàng)：.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1至3頁(yè)，第口卷4至7頁(yè)。.回答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫(xiě)在答題卡上。.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上的對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào),寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。.回答第n卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的..已知』=（1+i）2（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共扼復(fù)數(shù)為Z.已知全集U=R,A=10,1,2,3|,B=\y\y=2\x€ 貝iJ(CuA)AB=A.(-8,0)(J(3,+8) B.UIx>3,x6N|C.|4,8| D,[4,8]3.已知°=（2,1）,。=（-1,1）,則a在方方向上的投影為A..B.JiA..B.Ji2c.高三數(shù)學(xué)（理）第1頁(yè)（共7頁(yè)）

4.巳知S”是等差數(shù)列l(wèi)a”|的前n項(xiàng)和，且S3=2a］，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是A.04=0 B.S4=SjC.S7=0 D.|aj是遞減數(shù)列.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形（陰影部分）圍成一個(gè)大正方形，中間空出一個(gè)小正方形組成的圖形，若在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在小正方形的概率為卷，則圖中直角三角形中較大銳角的正弦值為R”B.$.執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的s=D.0D.07?函數(shù)的圖象大致為BA8.某幾何體的三視圖如圖所示,A./B.C.D.BA8.某幾何體的三視圖如圖所示,A./B.C.D.22

316高三數(shù)學(xué)（理）第2頁(yè)（共7頁(yè)）37+/-7》0,9,已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件+3y-1340,則z=l2x-3y+4l的最大值為z-y-140,A.3 B.5C.6 D.8.巳知雙曲線(xiàn)9-?=1的右焦點(diǎn)是拋物線(xiàn)丁=2件("〉0)的焦點(diǎn),直線(xiàn)y=以+加與該拋物線(xiàn)相交于A(yíng),B兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)M(2,2)是AB的中點(diǎn)，則△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是A.4打 B.3713C.714 D.2/3.已知f(工)=若函數(shù)g(z)=/(工)/J)+1恰有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是A.(-8,-2)u(2,+oo) B.(2,￡+$c.(點(diǎn),2) D.'+q,+8).已知函數(shù)fix,)=(2a-l)x--^coslx-a(sinx+cosx)在[0,y]上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(-8,/] B.號(hào),1]C.[0,+oo) D.[1,+8)高三數(shù)學(xué)(理)第3頁(yè)(共7頁(yè))太原市2017年高三年級(jí)模擬試題（二）數(shù)學(xué)試卷（理工類(lèi)）第n卷（非選擇題共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題?第21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22題、第23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.13.已知sin（y-a）=- <a<叫則sin2a=.4 J.（2x+--l）5的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是 .I.已知三棱錐A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=打,點(diǎn)七是口。的中點(diǎn)，點(diǎn)A在平面BCD的射影恰好為DE的中點(diǎn)，則該三棱錐外接球的表面積為..已知點(diǎn)O是AABC的內(nèi)心,NBAC=30\BC=1,則△BOC面積的最大值為高三數(shù)學(xué)（理）第4頁(yè)（共7頁(yè)）三、解答題:本大題共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟..（本小題滿(mǎn)分12分）已知數(shù)列l(wèi)a」的前，項(xiàng)和S?=2”討-2,數(shù)列憶/滿(mǎn)足勾=afl+an+1（nEN-）.（1）求數(shù)列16“|的通項(xiàng)公式；（II）若。=\og2an（n€N"）,求數(shù)列"”.cj的前〃項(xiàng)和T”..（本小題滿(mǎn)分12分）某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng),抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：.抽獎(jiǎng)方案有以下兩種，方案。：從裝有2個(gè)紅球、3個(gè)白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若都是紅球，則獲得獎(jiǎng)金30元;否則，沒(méi)有獎(jiǎng)金，兌獎(jiǎng)后將摸出的球放回甲袋中；方案6：從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球（僅顏色不同）的乙袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若都是紅球，則獲得獎(jiǎng)金15元;否則，沒(méi)有獎(jiǎng)金，兌獎(jiǎng)后將摸出的球放回乙袋中..抽獎(jiǎng)條件是,顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額滿(mǎn)100元，可根據(jù)方案a抽獎(jiǎng)一次;滿(mǎn)150元,可根據(jù)方案b抽獎(jiǎng)一次（例如某顧客購(gòu)買(mǎi)商品的金額為260元,則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎(jiǎng)兩次或方案b抽獎(jiǎng)一次或方案a、b各抽獎(jiǎng)一次）,已知顧客A在該商場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)商品的金額為350元.（I）若顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求其所獲獎(jiǎng)金的期望值；（n）要使所獲獎(jiǎng)金的期望值最大，顧客a應(yīng)如何抽獎(jiǎng)？高三數(shù)學(xué)（理）第5頁(yè)（共7頁(yè)）.(本小題滿(mǎn)分12分)如圖(1),在平面六邊形ABFCDE中，四邊形ABCD是矩形，且AB=4,BC=2,AE=DE=/l,BF=CF=6,點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，分別沿直線(xiàn)△BCF翻折成如圖(2)的空間幾何體ABCDEF.(I)利用下面的結(jié)論1或結(jié)論2,證明:E、尸、M、N四點(diǎn)共面；結(jié)論1：過(guò)空間一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂面，有且只有一個(gè).結(jié)論2：過(guò)平面內(nèi)一條直線(xiàn)作該平面的垂面，有且只有一個(gè).(II)若二面角E-AD-B和二面角F-BC-A都是60?，求二面角A-BE-F的余弦值..(本小題滿(mǎn)分12分)如圖，曲線(xiàn)C由左半橢圓M：岑+1=1(。>6>0,xC0)和圓N：(x-2)2+9=5aO在'軸右側(cè)的部分連接而成,A,B是M與N的公共點(diǎn)，點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A.B)分別是M,N上的動(dòng)點(diǎn).(I)若IPQI的最大值為4+々,求半橢圓M的方程；(H)若直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)A,且4=-2AP,BP±BQ,求半橢圓M的離心率.高三數(shù)學(xué)(理)第6頁(yè)(共7頁(yè)).(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)/(1)=(ttli2-x+m)e~x(.mGR).(I)討論/(2的單調(diào)性；(口)當(dāng)加>0時(shí),證明:不等式/(x)<f在(0,1+上恒成立.請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答?如果多做，則按所做的第一題計(jì)分,作答時(shí)請(qǐng)把答題卡上所選題目題號(hào)后的方框涂黑..(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與叁數(shù)方程X=28s外在直角坐標(biāo)系g中，曲線(xiàn)Ci的參數(shù)方程為 (其中中為參數(shù)).以原點(diǎn)o為y=sin.極點(diǎn)，N軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)C2的極坐標(biāo)方程是p(tana-ooS-sin。)=1(a是常數(shù),0<a<%且a/多，點(diǎn)AtB(A在］軸的下方)是曲線(xiàn)g與C?的兩個(gè)不同交點(diǎn).(I)求曲線(xiàn)g普通方程和c2的直角坐標(biāo)方程；(口)求IABI的最大值及此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)..(本小題滿(mǎn)分10分)選修4-5：不等式選餅已知函數(shù)/(±)=Ix+m1+12x-1I(m>0).(I)當(dāng)帆=1時(shí)，解不等式f(z)》3;(n)當(dāng)nG［mt2m2］時(shí),不等式JfG)《Ix+1I恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.高三數(shù)學(xué)(理)第7頁(yè)(共7頁(yè))

題號(hào)12345題號(hào)123456789101112選項(xiàng)BCADBADDCADD一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分）二、填空題（本大題共4小題,每小題5分，共20分）二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分)I? 24 1A1(I t- 60Jr R+通一2一五TOC\o"1-5"\h\z13.- tz 14.-161 15. VT 16.1 1~: 匚25 11 4三、解答題(本大題共70分).(本小題滿(mǎn)分12分)解(I)當(dāng)n=1時(shí),％ = Si=2, 1 分當(dāng)n>2時(shí),% = S。-S”_i=2"， 3 分%=2"(n6N，)， 4 分6〃=%+ =3x2"; 6 分(II)由(I)得6=2",???bn=3x2。?*-cn=log2an=n,A=3nx2" 8分=3x(1x2+2x22+3x23+-+nx2”)，①①x2得2T”=3x(1x2?+2x23+3x24+…+力x2"])，② 10 分①一②得-7；=3x[(2+2?+…+2")-〃x2"m]=3x[(1-n)x-2],??.Tn=3(n-1)x2"i+6. 12 分.(本小題滿(mǎn)分12分)解(I)解法一：由題意得選擇方案a抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金30元的概率為旨=0.1,……1分設(shè)顧客A所獲獎(jiǎng)金為隨機(jī)變量X,則X的所有取值為0,30,60,90,???P(X=0)=0.9\P(X=30)=Cjxo.lxo.92=0.243,P(X=60)=C1x0.12x0.9=0.027,P(X=90)=O,l3=0.001,；?EX=Ox0.93+30x0.243+60x0.027+90x0.001=9; 4 分解法二：由題意得選擇方案a抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金30元的概率為腎=0.1,…1分設(shè)只選擇方案a抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)的次數(shù)為隨機(jī)變量卻則工?B（3,O.1）,E￥=3x0.1=0.3,設(shè)此時(shí)顧客A所獲獎(jiǎng)金為隨機(jī)變貴X,則X=30乙AEX=30EC=30x0.3=9; 4 分高三數(shù)學(xué)（理）答案第1頁(yè)（共5頁(yè)）

(n)由題意得選擇方案6抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金15元的概率為2=0.3, 5分設(shè)顧客A只選擇方案6抽獎(jiǎng)時(shí)所獲獎(jiǎng)金為隨機(jī)變盤(pán)丫,則丫的所有取值為0,15,30.rP(Y=0)=0.72tP(y=10)=C\xo.3X0.7=0.42,P(y=20)=0.32=0.09,AEY=Ox0.72+15x0.42+30x0.09=9；……7分設(shè)顧客A選擇方案a抽2次、方案b抽1次時(shí)所獲獎(jiǎng)金為隨機(jī)變料Z,則Z的所有取值為0,15,30,45,60,75, 8 分:P(Z=0)=0.92X0.7=0.567,P(Z=15)=0.92x0.3=0.243,P(Z=30)=2x0,1x0.9x0.7=0.126tP(Z=45)=C1x0.1X0.9X0.3=0.054,P(Z=60)=0.12x0.7=0.007,P(Z=75)=0.12x0.3=0,003,EZ=0x0.92x0.7+15x0.243+30x0.126+45x0.054+60x0.007+75x0.003=10.5, 11分/EZ>EX=EY9顧客A應(yīng)選擇方案a抽2次、方案b抽1次抽獎(jiǎng)，可使所獲獎(jiǎng)金的期望值最大.…12分19.(本小題滿(mǎn)分12分)(I)證法一：?/四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，??AM!/BN,AM=BN,NDAB=90\A四邊形ABNM是矩形，，AD±MN,??AE=DE,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，AD±ME,，AD±平面EMN.……3分同理可得BCJl平面FMN,TOC\o"1-5"\h\z,:四邊形ABCD是矩形，,AD//BC,AD±平面FMN, 4分??平面EMN與平面FMN是同一平面,E,F,M,N四點(diǎn)共面； 6分證法二：?/四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，??AM//BN,AM=BN,/DAB=90*,/.四邊形ABNM是矩形，.二AD±MN,,:AE=DE,點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，AD±ME9AAD±平面EMN, 3分??平面EMNJL平面ABCD, 4分同理可得平面FMN±平面ABC。，??平面EMN與平面FMN是同一平面,E,F,M,N四點(diǎn)共面； 6分（U）由（I）得AD平面EMNF,???平面ABCD±平面EMNF,過(guò)點(diǎn)E作EOJ.MN,垂足為O,???EO,平面ABCD,以過(guò)點(diǎn)O作垂直于MN的直線(xiàn)為Z軸，ON,OE分別為y軸，z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系0-工廣，…7分AD=29AE=DE=々，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，???EM=1,,:二面角E-AD-B是6（T,???NEMN=60\AON同理可得FN=2,???A（l,-日,O）,B（1，5,O），E（O,O,jxK/圖⑵81=/,OE=§,^),F(0,p/3), 8分高三數(shù)學(xué)（理）答案第2頁(yè)（共5頁(yè)）設(shè)m=（zi，yi，zi）是平面ABE的一個(gè)法向量,m-AB=0, [4刈=0,TOC\o"1-5"\h\z則<f?e?\ 7 /3m-BE=0,卜孫—7^1+2Z[=0，令ni=2,:.m=(75,0,2), 9 分設(shè)”=(12,y2,N2)是平面BEF的一個(gè)法向量，[n?EF=0, 4y2+§叼=0,則V - r加.BE=0, -x2- +§Z2=0,令Z2=2,「?n=(6/,-6,5) 10 分008<5>=需溫=喑二面角A-BE-F的余弦值為-嚕……12分20.(本小題滿(mǎn)分12分)解(I)令z=0,由(1-2)2+y1=5(JT>0)得y=±1,TOC\o"1-5"\h\z???A(0,l),B(0,-1),/.6=1, 1分由題意可知當(dāng)P、Q均在工軸上時(shí)，IPQI取得最大值，：?a+2+/5=4+耳,:.a=2,… 2分.??半橢圓M的方程為手+J=1(]&0)； 4分(H)由(I)得A(0,l),B(0,-1),設(shè)直線(xiàn)PQ的方程為y=紅+1,卜=h+1,設(shè)尸(了1~1),由〈工2 得(1+a2k2)x2+202Az=0,/.xi=-"""a2.2>\~2y-1 1+ahlaTOC\o"1-5"\h\z設(shè)Q(]2，)2),由2'2得(1+/b2+2(k-2)x=0,x2=；一胤…6分l(1-2)2+y2=5 1+A-A f 1;AQ=-2AP,/.N[=一萬(wàn)工2，??BP±BQ,BP-BQ=0, (1+/)工12+2MHi+X2)+4=0, 8 分10分12分：?(1+k2)T2-21X2-8=0,將N2=—72代入上式得上=:，10分12分??叫=3,???-???1=3,C2=2,.e-區(qū) ?e-3.21.(本小題滿(mǎn)分12分)解(I)由題意得/"(x)="[mx-(m+1)](x-l)e"x,①當(dāng)機(jī)=0時(shí)，貝I/(￡)=(1-1)。-",高三數(shù)學(xué)（理）答案第3頁(yè)（共5頁(yè)）令，（z）>0,則1>1;令，（工）<0,則工<1;TOC\o"1-5"\h\z??/（Z）在（—8,1］上遞減，在（1,+8）上遞增； 2分②當(dāng)m<0時(shí)，令f（工）<0,貝IJ1+,<z<1;令/Cr）>0,則/<1+1或工>1;th m??/（I）在（-8,1+工］和［1,+8）上遞增.在（1+^,1）上遞減； 3分m m③當(dāng)m>0時(shí)，令/（x）<0,則工<1或工>1+工;令/（x）>0,則1<工<1+工；th m??/（#）在（-8,1］和口+工，+8）上遞減，在（1,1+▲）上遞增； 4分m m(U)由(I)知當(dāng)加>0時(shí),/(z)在(0,1]上遞減，在(1,1+工)上遞增，m卷l/c?1I\wx2—1+m/mr2+m——(z+1), “m,/v當(dāng)n￡(0,1」時(shí)，/(工)= ； < ； 4-A~<mC—,…6分TOC\o"1-5"\h\ze e e 彳當(dāng)hG(1,1+5)時(shí)JG)</(I+[)=(2m+l)e-ad)，e)*n=^7，2下面證明(2m+l)e-ud〉< ,即證>(1+工)(2+工), 7 分w+1 mm令g(i)=/-x(x+1),N>1,貝|Jg'(z)=/-(2l+1),令A(yù)G)=ex-(2x+1),I>1,則Ki)="-2>0t*-A(X)=g'(N)在(1,+8)上遞增，且gz(D=e-3<0,gz(2*)=e2-4>0,??存在zo6(1,當(dāng)時(shí)，使得/(勾)=0;即^-(2x0+l)=0, 8分'?當(dāng)z￡(l?x0)時(shí),/(工)<0；當(dāng)I6(xo?知時(shí),/(l)>0,—在(1,勤)上遞減，在(I0，/)上遞增，：?gGXrin-gGo)=，。一式-孫=-/+%+1=-(工0-1)2+W>°， 1°分當(dāng)X>1時(shí),？(M)=/-x{x+1)>0,即e1>x(x+1), 11分???。壯)(1+工)(2+工)，不等式/(工)《膽在(0,1+工]上恒成立.…12分mm x m22.(本小題滿(mǎn)分10分)解(I)...]=2cos夕，,f+/=|, 2分ly=sin%Q由I0?I得曲線(xiàn)C2的直角坐標(biāo)方程為y=tana?x-1; 4分ly=psina(n)由(I)得曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為卜=’8"’'a是參數(shù))，