線性代數(shù)行列式按行或列展開

線性代數(shù)行列式按行或列展開第一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一行列式的性質(zhì)共8條(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立).目前我們學(xué)習(xí)的計(jì)算行列式常用方法：

(1)利用行列式的定義;(2)利用性質(zhì)、利用運(yùn)算rikrj

(或者cikcj)把行列式等價(jià)地轉(zhuǎn)化為三角形行列式，從而得行列式的值．知識點(diǎn)復(fù)習(xí)第二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一數(shù)k乘行列式等于數(shù)k乘此行列式的某一行(列)

行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式DT相等

某一行(列)的公因子可提到行列式符號的外面

互換行列式的兩行(列)

行列式變號

行列式有兩行(列)完全相同則此行列式等于零

行列式中有兩行(列)元素成比例則行列式等于零.若行列式的某一行(列)的元素都是兩個(gè)數(shù)之和則行列式等于兩個(gè)行列式之和

把行列式的某一行(列)的倍數(shù)，加到另一行(列)對應(yīng)的元素上去行列式不變行列式8個(gè)性質(zhì)知識點(diǎn)復(fù)習(xí)第三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一三階行列式的結(jié)構(gòu)再思考1第四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一方法分析

將行列式化為三角形是計(jì)算行列式的基本方法，我們感到低階行列式更容易計(jì)算．自然地想到能否用低階的行列式去表示高階行列式．第五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一§1.4行列式按行(列)展開一、行列式的展開定理二、用降階法計(jì)算行列式第六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一§1.4行列式按行(列)展開一、行列式的展開定理1、什么是行列式的余子式及代數(shù)余子式？第七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一注1:

行列式的每個(gè)元素分別對應(yīng)著一個(gè)余子式與一個(gè)代數(shù)余子式.注2:

行列式的某個(gè)元素的余子式與代數(shù)余子式,只與該元素的位置有關(guān),與該元素的大小無關(guān).注3:余子式和代數(shù)余子式都是一個(gè)行列式。再例§1.4行列式按行(列)展開第八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一三階行列式的結(jié)構(gòu)再思考2§1.4行列式按行(列)展開第九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一三階行列式的結(jié)構(gòu)再思考2§1.4行列式按行(列)展開第十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一引理一個(gè)n階行列式D,若其中第i行所有元素除aij外都為零，則該行列式等于aij與它的代數(shù)余子式Aij的乘積，即§1.4行列式按行(列)展開第十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

展開定理說明：

n階行列式可表示為n個(gè)特殊的n-1階行列式的代數(shù)和的形式；反過來，這種代數(shù)和的形式也可理解為一個(gè)n階行列式。或§1.4行列式按行(列)展開第十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一證明：設(shè)定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與它對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或§1.4行列式按行(列)展開①式②式第十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一①式證畢，同理可證②式第十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即定理1

行列式等于它的任一行（列）的各元素與它對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即或§1.4行列式按行(列)展開或證明見后。第十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即或§1.4行列式按行(列)展開證明將行列式中第j行的元素?fù)Q成第i行的元素，則得到一個(gè)有兩行相同的行列式D1，且D1=0，再將D1按j行展開得

.同理，可證D1按列展開的情形.第十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì):其中§1.4行列式按行(列)展開德爾塔第十七頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一注：按行（列）展開計(jì)算行列式的方法稱為降階法.例1

試按第三列展開計(jì)算行列式解：將D按第三列展開，則有

其中第十八頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一§1.4行列式按行(列)展開二、用降階法計(jì)算行列式

直接應(yīng)用行(列)展開法計(jì)算行列式，計(jì)算工作量較大，尤其是高階行列式，因此，計(jì)算行列式時(shí)，可先用行列式的性質(zhì)將行列式中某一行(列)化為僅含有一個(gè)非零元素，再按此行(列)展開，變?yōu)榈鸵浑A的行列式，如此繼續(xù)下去直到化為三階或二階行列式.第十九頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一例2計(jì)算行列式

§1.4行列式按行(列)展開解：

第二十頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一例3計(jì)算行列式

§1.4行列式按行(列)展開解：

第二十一頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一例4求證

§1.4行列式按行(列)展開第二十二頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一證：n階第二十三頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一n-1階第二十四頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一證畢。

n-1階第二十五頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

分析例5證明范德蒙德(Vandermonde)行列式

一共有多少乘積項(xiàng)?所有后項(xiàng)減前項(xiàng)的乘積?！?.4行列式按行(列)展開第二十六頁，共三十頁，編輯于2023年，星期一

證用數(shù)學(xué)歸納法例5證明范德蒙德(Vandermonde)