高一數(shù)學(xué)（人教B版）直線與平面垂直的概念1教案

教案教學(xué)根本信息課題1直線與平面垂直的概念學(xué)科數(shù)學(xué)學(xué)段：高一下班級高一教材書名：?數(shù)學(xué)必修第四冊?B版出版社：人教社出版日期：2019年8月教學(xué)設(shè)計(jì)參加人員姓名單位聯(lián)系方式設(shè)計(jì)者姜濤北師大二附中實(shí)施者姜濤北師大二附中指導(dǎo)者李梁西城區(qū)研修學(xué)院課件制作者姜濤北師大二附中其他參加者教學(xué)目標(biāo)及教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)：1.了解異面直線成角的概念，了解空間中線線垂直的含義.2.理解線面垂直的概念，學(xué)會(huì)用線面垂直判定定理證明直線和平面垂直.3.初步運(yùn)用線面垂直的概念和判定定理解決實(shí)際問題.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是線面垂直的概念和判定的理解，難點(diǎn)是運(yùn)用線面垂直的判定定理解決相關(guān)問題．教學(xué)過程(表格描述)教學(xué)環(huán)節(jié)主要教學(xué)活動(dòng)設(shè)置意圖引入〔一〕學(xué)問回憶1、空間中兩條直線的位置關(guān)系，從有無公共點(diǎn)的角度可以分為：有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，為相交直線，沒有公共點(diǎn)，包含平行和異面兩種狀況，從是否共面的角度可以分為共面直線和異面直線，共面直線包含平行和相交兩種狀況．2、等角定理：假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.3、兩條相交直線所成角：兩條直線相交所得的不大于直角的角的大小即為兩條相交直線所成的角的大小，特殊兩條平行直線所成的角為.〔二〕問題探究4、思索探究:如圖在正方體中與異面，與也異面.(1)直觀上，你認(rèn)為這兩種異面有什么區(qū)分？(2)假如要利用角的大小來區(qū)分這兩種異面，你認(rèn)為該怎樣做？回憶復(fù)習(xí)前面學(xué)過學(xué)問，為新課學(xué)習(xí)鋪墊.問題思索探究，啟發(fā)同學(xué)思索異面直線成角的概念.新課〔一〕線線垂直的概念1、空間中異面直線的成角：如圖，假如，，是空間中的兩條異面直線過空間任一點(diǎn)分別作與，平行或重合直線，，我們把與所成角的大小叫做異面直線，所成的角的大小.異面直線所成角的范圍：.2、空間中兩條直線所成角的取值范圍：.空間中假設(shè)兩條直線所成角為直角，那么稱它們相互垂直?？臻g中兩條直線與垂直也記作:由定義可知:.3、思索探究下面問題：思索(見上圖)：在正方體中(1)直線與所成的角為多少度；(2)直線與所成的角為多少度．(1)(2)〔二〕線面垂直的概念4、如何來定義空間中一條直線和平面垂直呢？生活中也有許多線面垂直的例子，比方旗桿和地面是垂直的．直線和平面垂直的定義：假如直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直，記作：l⊥α，直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.由定義可知：．〔三〕線面垂直的判定定理5、請同學(xué)們思索如何來推斷直線和平面垂直呢？探究：問題1.利用直線與平面垂直定義能檢驗(yàn)旗桿豎直地面嗎?由定義可知需要檢驗(yàn)地面上任意一條直線都與旗桿垂直，操作起來太麻煩，不太簡單實(shí)現(xiàn).問題2.假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直，此直線是否和平面垂直？舉個(gè)例子，如下圖，雖然一條直線和面內(nèi)一條直線垂直，但是明顯不能和該平面垂直.問題3.假如一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，此直線是否和平面垂直？如下圖，假如該直線和平面內(nèi)的兩條平行直線都垂直，也不能判定直線和平面垂直．6、直線和平面垂直的判定定理：定理：假如一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。圖形語言可以如下圖，符號語言為定理的證明留待后續(xù)的學(xué)習(xí)中同學(xué)們學(xué)習(xí)了空間向量的學(xué)問后再來做具體證明。直線與平面垂直的判定定理也給出了證明線面垂直的方法：在平面內(nèi)找兩條相交直線與直線垂直。辨析：下面表達(dá)中其中正確的有：①假設(shè)直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與平面垂直；②假設(shè)直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么這條直線與平面垂直；③假設(shè)直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，那么這條直線垂直于梯形所在平面；④假設(shè)直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，那么這條直線垂直于梯形所在平面.個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)辨析：①中假設(shè)兩條直線為平行直線，那么這條直線不肯定與平面垂直，所以不正確；②由定義可知正確；③中直線與梯形的兩腰所在直線垂直，兩腰相交，那么由判定定理知與梯形所在平面垂直，所以正確；④中直線與梯形兩底邊所在直線垂直，兩底平行，那么不肯定與梯形所在平面垂直，不正確.應(yīng)選B.梳理線面垂直定義、定理，我們可以得到判定線面垂直的兩種方法．方法總結(jié)：方法一借助定義：假如一條直線垂于一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線，那么此直線垂直于這個(gè)平面.方法二借助判定定理:假如一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么此直線垂直于這個(gè)平面．明確線線垂直概念，為引入直線和平面垂直的概念做預(yù)備.聯(lián)系生活中的實(shí)際問題，引導(dǎo)同學(xué)探究直線和平面垂直的概念.例題例1有一旗桿高，在它的頂點(diǎn)處系兩條長的繩子，拉緊繩子并把它們的兩個(gè)下端固定在地面上的兩點(diǎn)〔和旗桿腳不在同始終線上〕．假如這兩點(diǎn)都和旗桿腳距，那么旗桿就和地面垂直，為什么?我們依據(jù)題目中的信息，畫出幾何圖形，如下圖，旗桿，兩繩長，且不共線，那么確定平面α〔即地面〕.又由于，，那么,，，所以.從而旗桿OP與地面垂直．例題1是線面垂直的實(shí)際應(yīng)用，解決此類問題時(shí)，需要挖掘問題的實(shí)質(zhì)，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成幾何語言，利用勾股定理，推證旗桿所在直線與地面上兩條相交直線垂直，將問題解決.例2如下圖，在四棱錐中，側(cè)棱，,底面是平行四邊形，與交于點(diǎn)．求證：.例題2要求我們證明，關(guān)鍵在于在平面內(nèi)找到兩條相交直線與直線垂直.證明：如下圖，由于底面是平行四邊形，所以是的中點(diǎn)，由于，所以．同理而，，所以．例題2是線面垂直判定定理的應(yīng)用，通過證明線線垂直，得到了線面垂直．例3如圖，在四周體中，是的中點(diǎn)，和均為等邊三角形，，．求證：． 例題3要求我們證明，運(yùn)用判定定理，我們可以找到面內(nèi)的兩條相交直線與其垂直。證明：如圖，連接．由于為等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以．由于和為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，，所以．在中，由于，所以，即．由于，所以．練習(xí)1：如圖，垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上不同于A、B任意一點(diǎn)．求證：BC⊥平面PAC.證明：由于PA⊥平面ABC，，所以PA⊥BC.又由于AB是⊙O的直徑，所以BC⊥AC.而PA∩AC＝A，，所以BC⊥平面PAC.我們對練習(xí)1進(jìn)行引申探究：引申探究1：假設(shè)練習(xí)1中其他條件不變，作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC.題目中要求同學(xué)們證明AE⊥平面PBC，同時(shí)條件中增加了AE⊥PC，只需在面內(nèi)再找到一條直線與AE垂直即可。具體證明過程：證明：由練習(xí)1知BC⊥平面PAC，又由于AE?平面PAC，所以BC⊥AE.由于PC⊥AE，且PC∩BC＝C，,所以AE⊥平面PBC.我們將上述問題進(jìn)一步探究，引申探究2：假設(shè)引申探究1中其他條件不變，作AF⊥PB于F，求證：PB⊥平面AEF.通過前面問題的逐步探究，我們不難得到下面的證明證明：由引申探究1知AE⊥平面PBC.由于PB?平面PBC，所以AE⊥PB，又AF⊥PB，且AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.例4如圖，所在平面外一點(diǎn)，且，點(diǎn)為斜邊的中點(diǎn)．〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)，求證：．〔1〕證明：由于，為斜邊的中點(diǎn)D，所以．連接．在中，為斜邊的中點(diǎn)，那么..所以，所以．又，所以．

〔2〕證明：由于，為的中點(diǎn)，所以．又由〔1〕知，所以．,,所以．練習(xí)2如圖，菱形的邊長為，，，將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，．〔1〕求證：；〔2〕求三棱錐的體積．〔1〕證明：由于是菱形，，，中，，，所以．又是的中點(diǎn)，所以，，由于，所以．由于，，所以．

〔2〕解：中，，，，所以，由〔1〕得，所以．此題利用線面垂直的判定定理找到三棱錐的高，同時(shí)也需關(guān)注折疊過程中變化與不變化的量.例5如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是正三角形，且，是的中點(diǎn)．〔1〕求證：；〔2〕當(dāng)?shù)闹档扔诙嗌贂r(shí)，．〔1〕證明：由于，即，由于，所以.又知為矩形，那么，，,所以．又，所以．又由于側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以．，，因此．

〔2〕解：設(shè)，，那么．由于，所以，從而，由〔1〕知．當(dāng)時(shí)，那么，又為的中點(diǎn)，所以．即，解得，所以當(dāng)時(shí)，．例題5是立體幾何學(xué)問的綜合運(yùn)用，也請同學(xué)們課后仔細(xì)反思體會(huì)．通過例題1，聯(lián)系實(shí)際問題逐步把握判定定理的使用.例2是線面垂直判定定理的應(yīng)用，意在引導(dǎo)同學(xué)查找線面垂直的條件.例3啟發(fā)同學(xué)借助平面幾何的學(xué)問查找到線線垂直，從而證明線面垂直.練習(xí)1和它的兩個(gè)探究問題，在條件轉(zhuǎn)變的狀況下，引導(dǎo)同學(xué)始終關(guān)注判定定理中的成立條件，關(guān)注線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化.例題4借助平面幾何中的學(xué)問，利用線面垂直判定定理，解決問題.練習(xí)2把前面所學(xué)過的三棱錐的體積公式和本節(jié)課線面垂直建立聯(lián)系，培育同學(xué)前后全都的思維習(xí)慣過程.例題5是一