第六節(jié)三角恒等變換

第六節(jié)三角恒等變換第一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一變式：第三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一2.二倍角的正弦、余弦、正切公式公

式

名公式二倍角的正弦sin2α=________________二倍角的余弦cos

2α=_____________=_________=_________二倍角的正切tan2α=2sinα·cosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一3.半角公式第五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一4.降冪公式、升冪公式、萬能公式公

式

名公式降冪公式sin2α=,cos2α=sinαcosα=升冪公式1-cos

2α=_______,1+cos2α=1-sin2α=(sinα-cosα)21+sin2α=(sinα+cosα)2萬能公式sin2α=,cos2α=2cos2α2sin2α第六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一5第七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一判斷下面結(jié)論是否正確（請在括號中打“√”或“×”）.（1）當(dāng)α是第一象限角時，()（2）對任意角α，都成立.()（3）半角的正、余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的.()（4）用sinα,cosα可將表示為()（5）當(dāng)時，()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√第八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一練習(xí)第十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第二十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第二十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一1.已知則等于()B2.已知則等于()（A）3（B）6（C）12（D）A第二十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一3.下列各式的值為的是()（B）1-2sin275°（D）sin15°cos15°D4.已知則sin2θ=______.5.計算=

.2第二十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一6.計算______.7（1）（2013·吉安模擬）已知（0＜α＜π），則cos2α=______.(2)已知且則的值為______.第二十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一8.已知α為第三象限的角，則______.9.(2012·江西高考)若tanθ+=4，則sin2θ=()第二十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一10.(2013·寶雞模擬)已知且則等于()11.(2012·江蘇高考)設(shè)α為銳角，若則的值為______．第二十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第二十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【拓展提升】1.三角函數(shù)式化簡的原則、要求及方法(1)化簡原則:①統(tǒng)一角;②統(tǒng)一函數(shù)名;③能求值的則求值.(2)化簡結(jié)果的要求：①盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；②盡量使項數(shù)最少；③盡量使分母不含三角函數(shù)；④盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).(3)化簡方法：主要是弦切互化，異名化同名，異角化同角.第二十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一2.三角函數(shù)式求值的類型和思路(1)三角函數(shù)式求值問題的類型①直接求值.即直接根據(jù)所給的三角函數(shù)式選擇恰當(dāng)?shù)墓交喿冃吻蟮萌呛瘮?shù)式的值；②條件求值.即根據(jù)條件選擇合適的公式進(jìn)行三角恒等變換求得所需要的值，同時注意所給角的范圍.第二十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一3.條件求值題的一般解法①先化簡所求式子或已知條件;②觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手);③將已知條件代入所求式子,化簡求值.2.三角函數(shù)式給值求角的注意點一是找出已知角和未知角之間的關(guān)系，用已知角構(gòu)造未知角，二是涉及的角的范圍要確定準(zhǔn).第三十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一第三十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一考向3

三角函數(shù)的綜合問題【典例3】（1）（2013·上饒模擬）關(guān)于函數(shù)以下結(jié)論正確的是()(A)f(x)的最小正周期是π,在區(qū)間上是增加的(B)f(x)的最小正周期是2π,最大值是2(C)f(x)的最小正周期是π,最大值是

(D)f(x)的最小正周期是π,在區(qū)間上是增加的第三十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一（2）（2013·商洛模擬）將函數(shù)y=f(x)·sinx的圖像向右平移個單位后，再作關(guān)于x軸對稱變換，得到函數(shù)y=1-2sin2x的圖像，則f(x)可以是()(A)sinx(B)cosx(C)2sinx(D)2cosx（3）設(shè)滿足①求f(x)的解析式.②求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.第四十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【思路點撥】（1）運用倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式后再判斷.(2)運用逆變換的思想解題.（3）①將f(x)的關(guān)系式展開合并再利用可求a，并利用輔助角公式化為一個角的三角函數(shù)，從而得f(x)的解析式.②利用x的范圍及函數(shù)單調(diào)性求最值.第四十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【規(guī)范解答】（1）選D.

故該函數(shù)的最小正周期為π,最大值為2，故選項B，C錯誤.對于A，當(dāng)時，故函數(shù)不單調(diào)，錯誤；對于選項D，當(dāng)時，故函數(shù)是增加的，即D正確.(2)選D.運用逆變換方法：作y=1-2sin2x=cos2x的圖像關(guān)于x軸的對稱圖像得的圖像，再向左平移個單位得的圖像，∴f(x)=2cosx.第四十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一(3)①f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x由得解得因此當(dāng)時,f(x)是增加的；當(dāng)時,f(x)是減少的，第四十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一所以f(x)在上的最大值為又因為故f(x)在上的最小值為第四十四頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【拓展提升】解三角函數(shù)綜合應(yīng)用問題的注意點（1）兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中.需要利用這些公式,先把函數(shù)解析式化為y=Asin(ωx+φ）的形式,再進(jìn)一步探討定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì).（2）注意特殊角三角函數(shù)值、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識的應(yīng)用，主要考查基本運算能力．第四十五頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)的最小正周期為π.（1）求ω的值.（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍.【解析】因為函數(shù)f(x)的最小正周期為π,且ω>0，所以解得ω=1.第四十六頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一(2)由（1）得因為所以所以所以所以f(x)在區(qū)間上的取值范圍為第四十七頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【滿分指導(dǎo)】解答三角函數(shù)綜合題的規(guī)范【典例】（12分）（2012·北京高考）已知函數(shù)（1）求f（x）的定義域及最小正周期.(2)求f（x）的遞增區(qū)間.第四十八頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【思路點撥】已知條件條件分析分母是sinx令sinx≠0得定義域sin2x可利用倍角公式sin2x=2sinxcosx利用公式整理化成一個角的三角函數(shù)第四十九頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【規(guī)范解答】（1）由sinx≠0得，x≠kπ,k∈Z，①所以定義域為{x|x≠kπ,k∈Z}.3分

②5分所以f(x)的最小正周期8分第五十頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一(2)令且x≠kπ，其中k∈Z，………………10分所以遞增區(qū)間為

……12分第五十一頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【失分警示】(下文①②③④見規(guī)范解答過程)第五十二頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一5.(2012·天津高考)已知函數(shù)f(x)=sin(2x+)+sin(2x-)+2cos2x-1，x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.第五十三頁，共五十五頁，編輯于2023年，星期一【解析】(1)f(x)=sin2x·cos+cos2x·sin+sin2x·cos-cos2x·sin+cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+).所以f(x)的最小正周期T==π.(2)因為f(x)在區(qū)間上是增加的，在區(qū)間上是減少的，又f(