《量子力學(xué)》全本課件

課程名稱(chēng)：量子力學(xué)主講教師：1全本PPT課件639頁(yè)

研究微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，與相對(duì)論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)。原子核、基本粒子材料物理原子、分子天體物理團(tuán)簇、納米體系，介觀體系化學(xué)生物研究對(duì)象：231.《量子力學(xué)教程》曾謹(jǐn)言（科學(xué)出版社,2003年第一版，普通高等教育十五國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材）2.《量子力學(xué)導(dǎo)論》曾謹(jǐn)言（北京大學(xué)出版社，1998年第二版）3.《量子力學(xué)基礎(chǔ)》關(guān)洪，（高等教育出版社，1999年第一版）4.《QuantunMechanics，AnIntroduction》Greiner，W.（Springer-VerlagBerlinHeidelberg，1994；有中澤本）5.《量子力學(xué)》汪德新，（湖北科學(xué)技術(shù)出版社出版，2000年第一版）6.Problemsinquantummechanicswithsolutions(量子力學(xué)題解)，G.L.Squires，（世界圖書(shū)出版公司）參考書(shū)第一章量子力學(xué)的誕生§1經(jīng)典物理學(xué)的困難§2量子論的誕生§3實(shí)物粒子的波粒二象4§1經(jīng)典物理學(xué)的困難(一）經(jīng)典物理學(xué)的成功

19世紀(jì)末，物理學(xué)理論在當(dāng)時(shí)看來(lái)已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段，其各個(gè)分支已經(jīng)建立起系統(tǒng)的理論：經(jīng)典力學(xué)從牛頓三大定律發(fā)展為分析力學(xué)電磁學(xué)與光學(xué)發(fā)展為麥克斯韋理論熱學(xué)在建立了以熱力學(xué)定律為基礎(chǔ)的宏觀理論的同時(shí)，波爾茲曼、吉布斯建立了稱(chēng)之為統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的微觀理論。5在經(jīng)典物理學(xué)的輝煌成就面前，有的科學(xué)家認(rèn)為物理學(xué)已大功告成。絕對(duì)溫標(biāo)的創(chuàng)始人開(kāi)爾文在1889年新年賀詞中說(shuō)：“19世紀(jì)已將物理大廈全部建成，今后物理學(xué)家的任務(wù)就是修飾、完美這所大廈了”。（二）經(jīng)典物理學(xué)的困難但是這些信念，在進(jìn)入20世紀(jì)以后，受到了沖擊。經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗(yàn)結(jié)果上遇到了嚴(yán)重的困難。

（1）黑體輻射問(wèn)題（2）光電效應(yīng)（3）原子穩(wěn)定性（4）原子的線(xiàn)狀光譜（5）低溫下固體的熱容6（1）黑體輻射黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱(chēng)為絕對(duì)黑體，簡(jiǎn)稱(chēng)黑體。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：輻射熱平衡狀態(tài):處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時(shí)，輻射達(dá)到熱平衡狀態(tài)。

熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長(zhǎng)的分布曲線(xiàn)，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì)溫度

T

有關(guān)而與黑體的形狀和材料無(wú)關(guān)。能量密度(104cm)05107Wien公式

Wien線(xiàn)能量密度(104cm)0510Wien公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長(zhǎng)波部分則明顯不一致。從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式：

8Rayleigh-Jeas公式Rayleigh-Jeas線(xiàn)能量密度(104cm)0510Rayleigh-Jeas公式在長(zhǎng)波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，短波部分則明顯不一致,出現(xiàn)紫外發(fā)散。從經(jīng)典電力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理出發(fā)，得到一個(gè)分布公式：

9入射光線(xiàn)OOOOOOVGAKBOO光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)裝置光電效應(yīng)

當(dāng)波長(zhǎng)較短的可見(jiàn)光或紫外光照射到某些金屬表面上時(shí),金屬中的電子就會(huì)從光中吸取能量而從金屬表面逸出的現(xiàn)象。

金屬板釋放的電子稱(chēng)為光電子,光電子在電場(chǎng)作用下在回路中形成光電流。（2）光電效應(yīng)10光強(qiáng)較弱光強(qiáng)較強(qiáng)光電效應(yīng)的伏安特性曲線(xiàn)(1)飽和電流

實(shí)驗(yàn)表明：

在一定強(qiáng)度的單色光照射下,光電流隨加速電勢(shì)差的增加而增大,但當(dāng)加速電勢(shì)差增加到一定量值時(shí),光電流達(dá)飽和值，如果增加光的強(qiáng)度，相應(yīng)的也增大。結(jié)論1：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi),受光照的金屬板釋放出來(lái)的電子數(shù)和入射光的強(qiáng)度成正比。11（2）遏止電勢(shì)差

如果使負(fù)的電勢(shì)差足夠大，從而使由金屬板表面釋放出的具有最大速度的電子也不能到達(dá)陽(yáng)極時(shí)，光電流便降為零，此外加電勢(shì)差的絕對(duì)值叫遏止電勢(shì)差。

實(shí)驗(yàn)表明：遏止電勢(shì)差與光強(qiáng)度無(wú)關(guān)。

結(jié)論2：光電子從金屬表面逸出時(shí)具有一定的動(dòng)能，最大初動(dòng)能與入射光的強(qiáng)度無(wú)關(guān)。12遏止電勢(shì)差與頻率的關(guān)系（3）遏止頻率（又稱(chēng)紅限）實(shí)驗(yàn)表明：遏止電勢(shì)差和入射光的頻率之間具有線(xiàn)性關(guān)系。13

為不隨金屬性質(zhì)不同而改變的普適恒量

即最大初動(dòng)能隨入射光的頻率線(xiàn)性地增加，要使光所照射的金屬釋放電子，入射光的頻率必須滿(mǎn)足：

稱(chēng)為光電效應(yīng)的紅限（遏止頻率）14

結(jié)論3：光電子從金屬表面逸出時(shí)的最大初動(dòng)能與入射光的頻率成線(xiàn)性關(guān)系。當(dāng)入射光的頻率小于時(shí)，不管照射光的強(qiáng)度多大，不會(huì)產(chǎn)生光電效應(yīng)。（4）弛豫時(shí)間

實(shí)驗(yàn)表明，從入射光開(kāi)始照射直到金屬釋放出電子，無(wú)論光的強(qiáng)度如何，這段時(shí)間很短，不超過(guò)。經(jīng)典的電磁波理論無(wú)法解釋以上現(xiàn)象！15（3）原子的穩(wěn)定性

湯姆遜“西瓜”式模型——

粒子實(shí)驗(yàn)相矛盾

盧瑟福核式模型——

粒子實(shí)驗(yàn)相符合，與經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)相矛盾。根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電子環(huán)繞原子核運(yùn)動(dòng)是加速運(yùn)動(dòng)，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來(lái)越小，因此繞原子核運(yùn)動(dòng)的電子，終究會(huì)因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現(xiàn)實(shí)世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。16（4）原子的線(xiàn)狀光譜氫原子光譜有許多分立譜線(xiàn)組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個(gè)線(xiàn)系，并得出氫原子譜線(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)公式是：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線(xiàn)系，它們都可以用下面公式表示：

17三條定律：

經(jīng)典理論無(wú)法解釋1.光譜總是線(xiàn)狀的，譜線(xiàn)有一定的位置，即譜線(xiàn)彼此分立，且有確定的波長(zhǎng)；2.每一條譜線(xiàn)的波數(shù)都可以表示成兩光譜項(xiàng)之差，即，m和n是某些正整數(shù)——里茲組合原則。3.譜線(xiàn)之間有一定的關(guān)系。18（5）低溫下固體的熱容按照經(jīng)典統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的觀點(diǎn)，原子在一個(gè)自由度上的能量為：根據(jù)能量均分定理，在溫度T時(shí)，一個(gè)原子的平均能量為：，固體的定容熱容量為：與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較會(huì)發(fā)現(xiàn):在室溫和高溫范圍內(nèi)很符合，但在低溫范圍，實(shí)驗(yàn)所得到的固體熱容量隨溫度降低得很快，當(dāng)溫度趨于絕對(duì)零度時(shí)，熱容量也趨于零3kN實(shí)驗(yàn)線(xiàn)經(jīng)典理論線(xiàn)0TCV19§2量子論的誕生（一）Planck能量子假設(shè)（二）Einstein的光量子論（三）Bohr

理論（四）DeBroglie假設(shè)20（一）Planck黑體輻射定律1900年１２月１４日Planck

提出：

黑體可看作一組連續(xù)振動(dòng)的帶電諧振子，這些諧振子的能量取分立值，這些分立值都是最小能量E的整數(shù)倍，這些分立的能量稱(chēng)為諧振子的能級(jí)。21可見(jiàn)：黑體與輻射場(chǎng)交換能量只能以ε

為單位進(jìn)行，亦即黑體吸收或發(fā)射電磁輻射能量的方式是不連續(xù)的，只能量子地進(jìn)行，每個(gè)“能量子”的能量為Planck輻射公式Planck線(xiàn)能量密度(104cm)051022討論：23Planck公式維恩公式瑞利-瓊斯公式可見(jiàn)由維恩、瑞利-瓊斯分別從經(jīng)典物理學(xué)導(dǎo)出的黑體輻射能量密度公式僅是普朗克公式在兩種不同特例條件下的近似結(jié)果。注：Planck的“能量子”假說(shuō)與經(jīng)典物理中振子的能量是連續(xù)的相抵觸。可見(jiàn)，Planck理論突破了經(jīng)典物理學(xué)在微觀領(lǐng)域的束縛，打開(kāi)了認(rèn)識(shí)光的粒子性的大門(mén)。1918年P(guān)lanck由此獲得諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)

Planck輻射定律解釋固體熱容量問(wèn)題（1）當(dāng)

T

較高時(shí)，hv/kT<<1時(shí)（設(shè)x=hv/kT

）（2）當(dāng)T很低時(shí)，hv/kT>>1時(shí),則

與經(jīng)典理論相一致與實(shí)驗(yàn)相一致24（二）Einstein的光量子論（1） 光子概念（2） 光電效應(yīng)的解釋?zhuān)?）光子的動(dòng)量（4） Compton效應(yīng)25(1)光子概念在Planck能量子假設(shè)的啟發(fā)下，愛(ài)因斯坦提出了“光量子”的概念，他認(rèn)為，不僅黑體與輻射場(chǎng)的能量交換是量子化的，而且輻射（光）是由一顆顆具有一定能量的粒子組成的粒子流，這些粒子在空間以光速

C

傳播，這種粒子叫做光量子。

26光子的能量光子的動(dòng)量Planck-Einstein公式—波矢量（2）光電效應(yīng)的解釋當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，能量為hν的光子被電子所吸收，電子把這份能量的一部分用來(lái)克服金屬表面對(duì)它的吸引，另一部分用來(lái)提供電子離開(kāi)金屬表面時(shí)的動(dòng)能。其能量關(guān)系可寫(xiě)為：27—臨界頻率注：利用光子的概念很好的解釋了光電效應(yīng)，同時(shí)，光電效應(yīng)體現(xiàn)了光的粒子性。1916年，密立根實(shí)驗(yàn)證實(shí)了光子論的正確性，并測(cè)得h=6.5710-34

焦耳?秒。（3）光子的動(dòng)量光子不僅具有確定的能量E=hv，而且具有動(dòng)量。根據(jù)相對(duì)論知，速度為

V運(yùn)動(dòng)的粒子的能量由右式給出：對(duì)于光子，速度V=C，欲使上式有意義，必須令0=0,即光子靜質(zhì)量為零。根據(jù)相對(duì)論能動(dòng)量關(guān)系：總結(jié)光子能量、動(dòng)量關(guān)系式如下：把光子的波動(dòng)性和粒子性聯(lián)系了起來(lái)28

雖然愛(ài)因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的解釋是對(duì)Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛(ài)因斯坦的光子假設(shè)，這一點(diǎn)流露在Planck推薦愛(ài)因斯坦為普魯士科學(xué)院院士的推薦信中。

“

總而言之，我們可以說(shuō)，在近代物理學(xué)結(jié)出碩果的那些重大問(wèn)題中，很難找到一個(gè)問(wèn)題是愛(ài)因斯坦沒(méi)有做過(guò)重要貢獻(xiàn)的，在他的各種推測(cè)中，他有時(shí)可能也曾經(jīng)沒(méi)有射中標(biāo)的，例如，他的光量子假設(shè)就是如此，但是這確實(shí)并不能成為過(guò)分責(zé)怪他的理由，因?yàn)榧词乖谧罹艿目茖W(xué)中，也不可能不偶爾冒點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)去引進(jìn)一個(gè)基本上全新的概念

”29（4）Compton散射

-光的粒子性的進(jìn)一步證實(shí)X光管光闌散射物質(zhì)康普頓實(shí)驗(yàn)裝置示意圖X光檢測(cè)器晶體（a）Compton效應(yīng)30經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)不能解釋這種新波長(zhǎng)的出現(xiàn)，經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為電磁波被散射后，波長(zhǎng)不應(yīng)該發(fā)生改變。但是如果把X--射線(xiàn)被電子散射的過(guò)程看成是光子與電子的碰撞過(guò)程，則該效應(yīng)很容易得到理解.1、

散射光中，除了原來(lái)X光的波長(zhǎng)λ外，增加了一個(gè)新的波長(zhǎng)為λ'的X光，且λ'>λ；2、

波長(zhǎng)增量Δλ=λ′–λ隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱(chēng)為Compton效應(yīng)。X--射線(xiàn)被輕元素如石蠟、碳中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。該效應(yīng)有如下2個(gè)特點(diǎn)：31（b）定性解釋根據(jù)光量子理論，具有能量E=hν

的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)镋′=hν′顯然有E′<E從而有ν′<ν,散射后的光子的頻率減小，波長(zhǎng)變長(zhǎng)。根據(jù)這一思路，可以證明：式中也包含了Planck常數(shù)h，經(jīng)典物理學(xué)無(wú)法解釋它，Compton散射實(shí)驗(yàn)是對(duì)光量子概念的一個(gè)直接的強(qiáng)有力的支持。該式首先由Compton提出，后被Compton

和吳有訓(xùn)用實(shí)驗(yàn)證實(shí)，用量子概念完全解釋了Compton效應(yīng)。因?yàn)槭接沂且粋€(gè)恒大于或等于零的數(shù)，所以散射波的波長(zhǎng)λ′總是比入射波波長(zhǎng)長(zhǎng)（λ′>λ）且隨散射角θ增大而增大。32（c）證明根據(jù)能量和動(dòng)量守恒定律：代入得：兩邊平方：兩邊平方（2）式—（1）式得：kk′mv33所以最后得：34此式不僅再次證明了普朗克—愛(ài)因斯坦關(guān)系式的正確性，還第一次證實(shí)了在微觀單個(gè)碰撞事件中，動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律仍然成立。351923年威爾遜云室實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了反沖電子軌跡；驗(yàn)證了康普頓解釋康普頓和威爾遜獲得1927年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)36小結(jié)：以上三個(gè)問(wèn)題，都屬于經(jīng)典物理（實(shí)際上是經(jīng)典電磁波理論）所遇到的困難，解決困難的共同點(diǎn)就是電磁波的能量不再看作是連續(xù)的，而必須看成是能量量子化的。從這點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，上述三個(gè)問(wèn)題都體現(xiàn)了光的粒子性，但不能否定光的波動(dòng)性，因波動(dòng)早被光的干涉，衍射等現(xiàn)象證實(shí)，因此，概括起來(lái)，光具有波動(dòng)和粒子二重性質(zhì)，稱(chēng)為光的波粒二象性。作為粒子的能量E和動(dòng)量

與波動(dòng)的頻率

和波矢

由Planck-Einstein方程聯(lián)系起來(lái)。Planck-Einstein方程37另一方面我們也看到，在新的理論中，Planck常數(shù)

起著關(guān)鍵作用，當(dāng)h的作用可以略去時(shí)，經(jīng)典理論是適用的，當(dāng)h的作用不可忽略時(shí)，經(jīng)典理論不再適用。因此，凡是h起重要作用的現(xiàn)象都稱(chēng)為量子現(xiàn)象。Planck常數(shù)：h=6.6255910-34

焦耳?秒（三）Bohr理論38Planck--Einstein

光量子概念必然會(huì)促進(jìn)物理學(xué)其他重大疑難問(wèn)題的解決。1913年Bohr

把這種概念運(yùn)用到原子結(jié)構(gòu)問(wèn)題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學(xué)所代替，但是它在歷史上對(duì)量子理論的發(fā)展曾起過(guò)重大的推動(dòng)作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學(xué)中保留了下來(lái)（1）波爾假定（2）氫原子線(xiàn)光譜的解釋?zhuān)?）量子化條件的推廣（4）波爾量子論的局限性（1）波爾假定Bohr在他的量子論中提出了兩個(gè)極為重要的概念，可以認(rèn)為是對(duì)大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)的概括。1.量子化條件原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量E1,E2,...,En

的狀態(tài)。原子處于定態(tài)時(shí)不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個(gè)能級(jí)En

躍遷到另一個(gè)較低（高）的能級(jí)

Em，同時(shí)將發(fā)射（吸收）一個(gè)光子。光子的頻率為：處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在電子的角動(dòng)量滿(mǎn)足：2.頻率條件39（2）氫原子線(xiàn)光譜的解釋根據(jù)這兩個(gè)假設(shè)，可以圓滿(mǎn)地解釋氫原子的線(xiàn)狀光譜假設(shè)氫原子中的電子繞核作圓周運(yùn)動(dòng)+Fcvre由量子化條件40電子的能量與氫原子線(xiàn)光譜的經(jīng)驗(yàn)公式比較根據(jù)Bohr量子躍遷的概念得Rydberg常數(shù)與實(shí)驗(yàn)完全一致41（3）量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動(dòng)量L

選為廣義動(dòng)量，則θ為廣義坐標(biāo)?？紤]積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr

量子化條件推廣后，量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對(duì)于只有一個(gè)電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。42（4）波爾量子論的局限性1.不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜；2.不能給出光譜的譜線(xiàn)強(qiáng)度（相對(duì)強(qiáng)度）；3.Bohr只能處理周期運(yùn)動(dòng)，不能處理非束縛態(tài)問(wèn)題，如散射問(wèn)題；4.從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。

波爾量子論首次打開(kāi)了認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門(mén)，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問(wèn)題也逐漸為人們所認(rèn)識(shí)43§3實(shí)物粒子的波粒二象性（一）L．DeBroglie關(guān)系（二）deBroglie波（三）駐波條件（四）deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證44(一)德布羅意的物質(zhì)波德布羅意(L.DeBroglie,1892-1960)

德布羅意原來(lái)學(xué)習(xí)歷史，后來(lái)改學(xué)理論物理學(xué)。他善于用歷史的觀點(diǎn)，用對(duì)比的方法分析問(wèn)題。

1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動(dòng)性統(tǒng)一起來(lái)。1924年，在博士論文《關(guān)于量子理論的研究》中提出德布羅意波,同時(shí)提出用電子在晶體上作衍射實(shí)驗(yàn)的想法。愛(ài)因斯坦覺(jué)察到德布羅意物質(zhì)波思想的重大意義，譽(yù)之為“揭開(kāi)一幅大幕的一角”。法國(guó)物理學(xué)家，1929年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者，波動(dòng)力學(xué)的創(chuàng)始人，量子力學(xué)的奠基人之一。45

一個(gè)質(zhì)量為m的實(shí)物粒子以速率v

運(yùn)動(dòng)時(shí)，即具有以能量E和動(dòng)量P所描述的粒子性，同時(shí)也具有以頻率n和波長(zhǎng)l所描述的波動(dòng)性。德布羅意關(guān)系如速度v=5.0102m/s飛行的子彈，質(zhì)量為m=10-2Kg，對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)為：如電子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s,對(duì)應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)為：太小測(cè)不到！X射線(xiàn)波段46（二）deBroglie波因?yàn)樽杂闪Ｗ拥哪芰?/p>

E和動(dòng)量

p都是常量，所以由deBroglie關(guān)系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長(zhǎng)λ）都不變，即是一個(gè)單色平面波。由力學(xué)可知，頻率為ν，波長(zhǎng)為λ，沿單位矢量n

方向傳播的平面波可表為：寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱(chēng)為描寫(xiě)自由粒子的平面波，這種寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式的波稱(chēng)為deBroglie波deBroglie關(guān)系：ν=E/h

=2

ν=2E/h=E/

λ=h/pk=1/=2/λ=p/

47（三）駐波條件為了克服Bohr理論帶有人為性質(zhì)的缺陷，deBroglie

把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來(lái)，即把粒子能量量子化問(wèn)題和有限空間中駐波的波長(zhǎng)（或頻率）的分立性聯(lián)系起來(lái)。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運(yùn)動(dòng)的電子相應(yīng)的駐波示意圖要求圓周長(zhǎng)是波長(zhǎng)的整數(shù)倍于是角動(dòng)量：deBroglie關(guān)系r代入玻爾量子化條件48deBroglie波在1924年提出后，在1927-1928年由

Davisson和 Germer

以及G.P.Thomson

的電子衍射實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。θ法拉第圓筒入射電子注鎳單晶d衍射最大值公式（四）deBroglie波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)測(cè)得的值與根據(jù)德布羅依關(guān)系式計(jì)算的值十分接近，證實(shí)了物質(zhì)波波動(dòng)性的客觀存在，而且還定量地證明了德布羅依關(guān)系式的正確性。德布羅依關(guān)系49電子衍射實(shí)驗(yàn)1、戴維遜-革末實(shí)驗(yàn)GM

戴維遜和革末的實(shí)驗(yàn)是用電子束垂直投射到鎳單晶，電子束被散射。其強(qiáng)度分布可用德布羅意關(guān)系和衍射理論給以解釋?zhuān)瑥亩?yàn)證了物質(zhì)波的存在。1937年他們與G.P.湯姆孫一起獲得Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。實(shí)驗(yàn)裝置：電子從燈絲K飛出，經(jīng)電勢(shì)差為U的加速電場(chǎng)，通過(guò)狹縫后成為很細(xì)的電子束，投射到晶體M上，散射后進(jìn)入電子探測(cè)器，由電流計(jì)G測(cè)量出電流。K50實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，單調(diào)地增加加速電壓，電子探測(cè)器的電流并不是單調(diào)地增加的，而是出現(xiàn)明顯的選擇性。例如，只有在加速電壓U=54V,且θ=500時(shí)，探測(cè)器中的電流才有極大值。Δ實(shí)驗(yàn)解釋?zhuān)?4U(V)IOΘ/2Θ/251X射線(xiàn)實(shí)驗(yàn)測(cè)得鎳單晶的晶格常數(shù)d=0.215nm實(shí)驗(yàn)結(jié)果：理論值(θ=500)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果(θ=510)相差很小，表明電子確實(shí)具有波動(dòng)性，德布羅意關(guān)于實(shí)物具有波動(dòng)性的假設(shè)是正確的。當(dāng)加速電壓U=54V，加速電子的能量eU=mv2/2，電子的德布羅意波長(zhǎng)為522、湯姆遜實(shí)驗(yàn)1927年，湯姆遜在實(shí)驗(yàn)中，讓電子束通過(guò)薄金屬膜后射到照相底片上，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，與X射線(xiàn)通過(guò)金箔時(shí)一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣。1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術(shù)，把蒸發(fā)到銅（111）表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄，用實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實(shí)了電子的波動(dòng)性。3、電子通過(guò)狹縫的衍射實(shí)驗(yàn)：

1961年，約恩孫(Jonsson)制成長(zhǎng)為50mm，寬為0.3mm，縫間距為1.0mm的多縫。用50V的加速電壓加速電子，使電子束分別通過(guò)單縫、雙縫等，均得到衍射圖樣。53545556X射線(xiàn)經(jīng)晶體的衍射圖電子射線(xiàn)經(jīng)晶體的衍射圖57附錄量子力學(xué)的建立及相關(guān)科學(xué)家傳略量子力學(xué)的建立

量子力學(xué)是現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)之一，是研究微觀粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)，使人們對(duì)物質(zhì)世界的認(rèn)識(shí)從宏觀層次跨進(jìn)了微觀層次。自1900年普朗克提出量子假設(shè)以來(lái)，量子力學(xué)便以前所未有的速度發(fā)展起來(lái)，緊接著是1905年愛(ài)因斯坦提出光量子假說(shuō)，直接推動(dòng)了量子力學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展。而玻爾運(yùn)用量子理論和核式結(jié)構(gòu)模型解決了氫原子光譜之謎。之后德布羅意的物質(zhì)波理論使經(jīng)典物理學(xué)的衛(wèi)道士們大吃一驚。海森堡的矩陣力學(xué)、“不確定原理”和薛定諤的波動(dòng)力學(xué)成了量子力學(xué)獨(dú)當(dāng)一面的基礎(chǔ)。而數(shù)學(xué)高手狄拉克在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了量子力學(xué)的統(tǒng)一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相容原理”又給量子力學(xué)抹上了燦爛的一筆。58

綜觀其發(fā)展史可謂是群星璀璨、光彩紛呈。它不僅較大地推動(dòng)了原子物理、原子核物理、光學(xué)、固體材料、化學(xué)等科學(xué)理論的發(fā)展，還引發(fā)了人們對(duì)哲學(xué)意義上的思考。相關(guān)科學(xué)巨匠馬克斯.普朗克（1858-1947）

德國(guó)理論物理學(xué)家。1874年進(jìn)入慕尼黑大學(xué)。最初他主攻數(shù)學(xué)，隨后又愛(ài)上了物理學(xué)。普朗克的一生在科學(xué)上提出了許多創(chuàng)見(jiàn)，但貢獻(xiàn)最大的還是1900年提出的量子假設(shè)。59玻爾(1885-1962)1885年10月7日,出生于丹麥哥本哈根。由于對(duì)原子結(jié)構(gòu)和輻射研究的貢獻(xiàn)，他于1912年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。60德布羅意

法國(guó)著名物理學(xué)家，1892年出生于第厄普的一個(gè)貴族世家。在中學(xué)時(shí)期，他的興趣是文科，在20歲時(shí)志趣轉(zhuǎn)向自然科學(xué)，并用兩年時(shí)間學(xué)習(xí)了自然科學(xué)的基礎(chǔ)課程。德布羅意的治學(xué)原則是：廣見(jiàn)聞、多瀏覽、勤實(shí)驗(yàn)。他認(rèn)為環(huán)境和出身不能決定一個(gè)人的志向，重要的是在學(xué)術(shù)上要善于獨(dú)立思考，不迷信權(quán)威。61海森堡（1901-1976）

德國(guó)著名的現(xiàn)代物理學(xué)家。1924年進(jìn)入哥廷根大學(xué)深造，先后拜師于玻爾和波恩門(mén)下。特別是在與玻爾交往的三年中，他們經(jīng)常通宵達(dá)旦地討論問(wèn)題，是他的學(xué)術(shù)水平大大提高。62狄拉克(Diract)

由于發(fā)現(xiàn)原子理論的有效新形式，而與奧地利科學(xué)家薛定諤共同獲得1933年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1926年冬，狄拉克證明海森堡的矩陣力學(xué)與薛定諤的波動(dòng)方程是等價(jià)的，之后狄拉克又提出了著名的“狄拉克方程”（即相對(duì)論方程），他從這一方程的負(fù)能態(tài)解出發(fā)，預(yù)言了正電子的存在。這是關(guān)于反物質(zhì)的第一次假設(shè)。63薛定諤(ErwinSchr?dinger,1887–1961)

奧地利著名的理論物理學(xué)家，量子力學(xué)的重要奠基人之一，同時(shí)在固體的比熱、統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。641925年W.Heisenberg建立了量子力學(xué)的“矩陣形式”1926年E.Schr?dinger建立了量子力學(xué)的“波動(dòng)形式” 并證明了與“矩陣形式”等價(jià)。1927年Davission,Germer電子衍射實(shí)驗(yàn)。1927年Dirac發(fā)展了電磁場(chǎng)的量子理論1928年Dirac建立了相對(duì)論量子力學(xué)（Dirac方程）65作業(yè)P1.566第二章波函數(shù)和薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋§2態(tài)疊加原理§3Schrodinger方程§4幾率流密度和幾率守恒§5定態(tài)Schrodinger方程§6一維無(wú)限深勢(shì)阱§7線(xiàn)性諧振子§8勢(shì)壘貫穿§1波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)ㄒ唬┎ê瘮?shù)（二）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋?zhuān)ㄈ┎ê瘮?shù)的性質(zhì)

3個(gè)問(wèn)題？

描寫(xiě)自由粒子的平面波如果粒子處于隨時(shí)間和位置變化的力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，他的動(dòng)量和能量不再是常量（或不同時(shí)為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫(xiě)，而必須用較復(fù)雜的波描寫(xiě)，一般記為：描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個(gè)復(fù)標(biāo)量函數(shù)。稱(chēng)為de

Broglie波。此式稱(chēng)為自由粒子的波函數(shù)。(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫(xiě)的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)兩種錯(cuò)誤的看法1.波由粒子組成,是大量粒子運(yùn)動(dòng)的表現(xiàn)如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實(shí)驗(yàn)矛盾的，它不能解釋長(zhǎng)時(shí)間單個(gè)電子衍射實(shí)驗(yàn)。

電子一個(gè)一個(gè)的通過(guò)小孔，但只要時(shí)間足夠長(zhǎng)，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說(shuō)明電子的波動(dòng)性并不是許多電子在空間聚集在一起時(shí)才有的現(xiàn)象，單個(gè)電子就具有波動(dòng)性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動(dòng)性的一面，具有片面性。QQ電子源感光屏PPOO

事實(shí)上，正是由于單個(gè)電子具有波動(dòng)性，才能理解氫原子（只含一個(gè)電子！）中電子運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。（二）波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋2.粒子由波組成電子是波包（wavepacket）

。把電子波看成是電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu)，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動(dòng)現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運(yùn)動(dòng)速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長(zhǎng)）平面波的迭加。 平面波描寫(xiě)自由粒子，其特點(diǎn)是充滿(mǎn)整個(gè)空間，這是因?yàn)槠矫娌ㄕ穹c位置無(wú)關(guān)。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿(mǎn)整個(gè)空間，這是沒(méi)有意義的，與實(shí)驗(yàn)事實(shí)相矛盾。 實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的電子，總是處于一個(gè)小區(qū)域內(nèi)。例如在一個(gè)原子內(nèi)，其廣延不會(huì)超過(guò)原子大小≈1?。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波， 但是我們也可以說(shuō)，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動(dòng)二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個(gè)波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典概念中1、有一定質(zhì)量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2、有確定的運(yùn)動(dòng)軌道，每一時(shí)刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1、實(shí)在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2、干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.入射電子流強(qiáng)度小，開(kāi)始顯示電子的微粒性，長(zhǎng)時(shí)間亦顯示衍射圖樣;我們?cè)倏匆幌码娮拥难苌鋵?shí)驗(yàn)2.

入射電子流強(qiáng)度大，很快顯示衍射圖樣.OQQPP電子源感光屏玻恩的解釋波動(dòng)觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處：電子波強(qiáng)|ψ(x,y,z,t)|2大電子出現(xiàn)的概率大暗紋處：電子波強(qiáng)|ψ(x,y,z,t)|2小電子出現(xiàn)的概率小

可見(jiàn)，波函數(shù)模的平方|ψ(x,y,z,t)|2與粒子t時(shí)刻在(x,y,z)處出現(xiàn)的概率成正比。r點(diǎn)附近衍射花樣的強(qiáng)度正比于該點(diǎn)附近感光點(diǎn)的數(shù)目，正比于該點(diǎn)附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，正比于電子出現(xiàn)在

r

點(diǎn)附近的幾率。在電子衍射實(shí)驗(yàn)中，照相底片上

1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋

波函數(shù)在空間中某一點(diǎn)的強(qiáng)度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點(diǎn)出現(xiàn)的概率成比例。則微觀粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)的幾率

按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋,粒子在空間中某一點(diǎn)處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點(diǎn)模的平方成比例。設(shè)粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強(qiáng)度是

這表明描寫(xiě)粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運(yùn)動(dòng)的一種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，波函數(shù)有時(shí)也稱(chēng)為幾率幅。（三）波函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋?zhuān)ê瘮?shù)有如下重要性質(zhì)：在t時(shí)刻r點(diǎn)，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：在體積V內(nèi)，t時(shí)刻找到粒子的幾率為：

在t時(shí)刻，r點(diǎn)，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t)描寫(xiě)的粒子的幾率是：

其中C是比例系數(shù)。幾率密度probabilitydensity（1）幾率和幾率密度（2）平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應(yīng)為一，即：這即是要求描寫(xiě)粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對(duì)值平方可積的函數(shù)。若∫∞|Ψ|2dτ∞,

則C0

，這是沒(méi)有意義的。從而得常數(shù)

C之值為：（3）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來(lái)的2倍），則相應(yīng)的波動(dòng)能量將為原來(lái)的4倍，因而代表完全不同的波動(dòng)狀態(tài)。經(jīng)典波無(wú)歸一化問(wèn)題。兩者所描寫(xiě)狀態(tài)的相對(duì)幾率是相同的，這里的C是常數(shù)。因?yàn)樵趖時(shí)刻，空間任意兩點(diǎn)r1和r2處找到粒子的相對(duì)幾率之比是：由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點(diǎn)強(qiáng)度的相對(duì)比例，而不取決于強(qiáng)度的絕對(duì)大小，因而，將波函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù)后，所描寫(xiě)的粒子狀態(tài)不變，即Ψ

(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見(jiàn)，Ф(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。令

歸一化常數(shù)若Ψ(r,t)沒(méi)有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1

也就是說(shuō)，(A)-1/2Ψ(r，t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫(xiě)同一幾率波，(A)-1/2稱(chēng)為歸一化因子。

注意：對(duì)歸一化波函數(shù)仍有一個(gè)模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那么，exp{iα}Ψ(r,t)也是歸一化波函數(shù)（其中α是實(shí)數(shù)，叫相角），與前者描述同一幾率波，這種不確定性叫相角不定性。（4）微觀體系力學(xué)量的描述

對(duì)于任意的一個(gè)力學(xué)量A，如果它作用與波函數(shù)上的線(xiàn)性厄米算符A來(lái)表示，則它的平均值為：

如微觀粒子的歸一化波函數(shù)為，粒子在空間各點(diǎn)的位置幾率密度為：則坐標(biāo)和坐標(biāo)函數(shù)的平均值為：（1）“微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫(xiě)粒子的波是幾率波”，這是量子力學(xué)的一個(gè)基本假設(shè)（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點(diǎn)處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進(jìn)一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質(zhì)，因此說(shuō)波函數(shù)描寫(xiě)體系的量子狀態(tài)（簡(jiǎn)稱(chēng)狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復(fù)函數(shù)表示。（3）波函數(shù)滿(mǎn)足連續(xù)性、有限性、單值性必須注意稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件例：設(shè)一粒子作一維運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為：0A為任意常數(shù)，求：（1）歸一化波函數(shù)；（2）幾率密度w(x)和w(x)最大的位置；（3）在[0，a/2]內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率；（4）和（5）應(yīng)用解：（1）由歸一化條件有所以，歸一化常數(shù)，而歸一化波函數(shù)為0（2）幾率密度等于歸一化波函數(shù)模的平方則0令，有在區(qū)域[0,a]內(nèi)，只有x=0,a/2,a。再將w(x)對(duì)x求二階導(dǎo)數(shù)，可得所以只有x=a/2處為幾率密度最大值的位置。（3）在[0,a/2]內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率

（4）已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。

例：歸一化常數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)解：歸一化的波函數(shù)（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)幾率最大。例平面波的歸一化問(wèn)題已知平面波,求歸一化常數(shù)A

歸一化常數(shù)歸一化的平面波：

解：利用量子力學(xué)的基本假設(shè)之一

體系的狀態(tài)用坐標(biāo)和時(shí)間函數(shù)描述，叫體系的狀態(tài)波函數(shù)。一般要求是單值、連續(xù)和平方可積的，體系在空間內(nèi)出現(xiàn)的幾率正比于?！?態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理（二）動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)（一）態(tài)疊加原理

微觀粒子具有波動(dòng)性，會(huì)產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質(zhì)在于波的疊加性，即可相加性，兩個(gè)相加波的干涉的結(jié)果產(chǎn)生衍射。因此，同光學(xué)中波的疊加原理一樣，量子力學(xué)中也存在波疊加原理。因?yàn)榱孔恿W(xué)中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱(chēng)波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學(xué)的波疊加原理稱(chēng)為態(tài)疊加原理。

經(jīng)典物理中，波的迭加只不過(guò)是將波幅迭加（波幅代表實(shí)際物體的運(yùn)動(dòng)等），并在合成波中出現(xiàn)不同頻率的波長(zhǎng)的子波成分。微觀粒子的波動(dòng)性的迭加性其實(shí)質(zhì)是什么呢？考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]Ψ電子穿過(guò)狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度電子穿過(guò)狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點(diǎn)的幾率密度相干項(xiàng)正是由于相干項(xiàng)的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。Ψ2PΨ1S1S2電子源感光屏一個(gè)電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。其中C1

和C2是復(fù)常數(shù)態(tài)的疊加原理是“態(tài)的疊加性”和“波函數(shù)完全描述一個(gè)微觀體系的狀態(tài)”兩個(gè)概念的概括，其新的含義體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線(xiàn)性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2,也是該體系的一個(gè)可能狀態(tài).態(tài)疊加原理表述（1）體系處在線(xiàn)性疊加態(tài)時(shí)，應(yīng)理解為，體系既可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)，且分別處于和態(tài)的幾率是確定。（2）對(duì)于體系的力學(xué)量，如力學(xué)量，如果在ψ下的值是a1,在ψ2

下的值是a2

，則在ψ=c1ψ1+c2ψ2的態(tài)，它的值可能是a1,也可能是a2

，而測(cè)得a1，a2的相對(duì)幾率是完全確定的。

量子力學(xué)的態(tài)迭加原理，導(dǎo)致了粒子各種力學(xué)量觀測(cè)值的不確定性，是由微觀粒子的波粒二象性所決定的。（3）態(tài)函數(shù)應(yīng)隨時(shí)間演化，它所描述的是體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，應(yīng)滿(mǎn)足波體系運(yùn)動(dòng)方程。在這種情況下，態(tài)疊加原理中都應(yīng)滿(mǎn)足體系的運(yùn)動(dòng)方程，這必然給該運(yùn)動(dòng)方程加上線(xiàn)性方程的要求。

若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線(xiàn)性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復(fù)常數(shù))也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。

粒子處于Ψ態(tài)的體系中，即粒子部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...態(tài)疊加原理一般表述方式例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動(dòng)量p

運(yùn)動(dòng)。具有確定動(dòng)量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用de

Broglie平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線(xiàn)性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結(jié)果。dΨΨp了求和。所以后式應(yīng)用積分代替是連續(xù)變化的，由于其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppprrrrrrrrrrrr=Y=YY?=Yò),()(),(),()(),(（二）動(dòng)量空間（表象）的波函數(shù)波函數(shù)Ψ(r,t)可用各種不同動(dòng)量的平面波表示，證明：令則Ψ可按Фp展開(kāi)展開(kāi)系數(shù)其中是中所含平面波的波幅，顯然，表示在中所含平面波的比例成份.

兩式在數(shù)學(xué)上完全相互決定，而在物理上他們是完全等價(jià)的，他們是對(duì)體系同一狀態(tài)的兩種不同描述方式。二式互為Fourier變換式，故總是成立，且兩者一一對(duì)應(yīng)。Ψ(r,t)是以坐標(biāo)

r

為自變量的波函數(shù)，坐標(biāo)空間波函數(shù)，坐標(biāo)表象波函數(shù)；C(p,t)

是以動(dòng)量

p

為自變量的波函數(shù)，動(dòng)量空間波函數(shù)，動(dòng)量表象波函數(shù)；二者描寫(xiě)同一量子狀態(tài)?；蚰軌蛲耆拿枋鲆粋€(gè)微觀體系的狀態(tài)。因?yàn)椋阂粋€(gè)波函數(shù)給定后，不僅粒子的位置幾率分布確定了，而且它的動(dòng)量幾率分布，以及其他所有力學(xué)量的幾率分布都確定了。

若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的表示在該狀態(tài)中粒子位置取值幾率表示在同一狀態(tài)中體系的動(dòng)量取值幾率

§3Schrodinger方程（一） 引（二） 引進(jìn)方程的基本考慮（三） 自由粒子滿(mǎn)足的方程（四） 勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子（五） 多粒子體系的Schrodinger方程

這些問(wèn)題在1926年Schrodinger提出了波動(dòng)方程之后得到了圓滿(mǎn)解決。

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值及其測(cè)量的可能值和相應(yīng)的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫(xiě)微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學(xué)最核心的問(wèn)題就是要解決以下兩個(gè)問(wèn)題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時(shí)間演化。（一）引（二）引進(jìn)方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時(shí)刻t

粒子的狀態(tài)r

和p

。因?yàn)槌鯒l件知道的是坐標(biāo)及其對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，所以方程是時(shí)間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運(yùn)動(dòng)方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況（2）量子情況

3、方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿(mǎn)足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿(mǎn)足。1、t=t0

時(shí)刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)

且只知道這樣一個(gè)初條件，所以，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿(mǎn)足的方程只能含ψ對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)。2、ψ要滿(mǎn)足態(tài)疊加原理，即若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應(yīng)是該方程的解。這就要求方程應(yīng)是線(xiàn)性的，也就是說(shuō)方程中只能包含

ψ對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)和對(duì)坐標(biāo)各階導(dǎo)數(shù)的一次項(xiàng)，不能含它們的平方或開(kāi)方項(xiàng)。4、滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)原理，在經(jīng)典極限下可以回到牛頓方程或經(jīng)典波動(dòng)方程。

（三）自由粒子滿(mǎn)足的方程這不是所要尋找的方程，因?yàn)樗瑺顟B(tài)參量E。將Ψ對(duì)坐標(biāo)二次微商，得：描寫(xiě)自由粒子波函數(shù):應(yīng)是所要建立的方程的解。將上式對(duì)t微商，得：滿(mǎn)足上述構(gòu)造方程的三個(gè)條件討論：通過(guò)引出自由粒子波動(dòng)方程的過(guò)程可以看出，如果能量關(guān)系式E=p2/2μ

寫(xiě)成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿(mǎn)足的方程（3）。(1)–(2)式（四）勢(shì)場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子該方程稱(chēng)為Schrodinger方程，也常稱(chēng)為波動(dòng)方程。若粒子處于勢(shì)場(chǎng)V(r)

中運(yùn)動(dòng)(即非自由粒子)，則能動(dòng)量關(guān)系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：做（4）式的算符替換得：討論1、Schrodinger方程是量子力學(xué)的一條基本假設(shè)。體系狀態(tài)隨時(shí)間的演化由薛定諤方程描述，即其中2、它是線(xiàn)性微分方程，其解有疊加性，且不含狀態(tài)參量。3、滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)原理。4、薛定諤方程給出了態(tài)函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律。5、它是波動(dòng)方程。（五）多粒子體系的Schrodinger方程設(shè)體系由N個(gè)粒子組成，質(zhì)量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN;t)第i個(gè)粒子所受到的外場(chǎng)Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger方程可表示為：多粒子體系Hamilton量對(duì)有Z個(gè)電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對(duì)第i個(gè)電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位于坐標(biāo)原點(diǎn)，無(wú)窮遠(yuǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。例如：§4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒（二）幾點(diǎn)討論（一）定域幾率守恒

考慮低能非相對(duì)論實(shí)物粒子情況，因沒(méi)有粒子的產(chǎn)生和湮滅問(wèn)題，粒子數(shù)保持不變。對(duì)一個(gè)粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應(yīng)不隨時(shí)間改變，即

在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時(shí)間變化的規(guī)律后，我們進(jìn)一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時(shí)間變化。粒子在t時(shí)刻r點(diǎn)周?chē)鷨挝惑w積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：考慮Schrodinger方程及其共軛式：證：矢量在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時(shí)間內(nèi)的增量J是幾率流密度，是一矢量所以(1)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式令Eq.（1）τ趨于∞，即讓積分對(duì)全空間進(jìn)行，考慮到任何真實(shí)的波函數(shù)應(yīng)該是平方可積的，波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.（1）變?yōu)椋浩湮⒎中问脚c流體力學(xué)中連續(xù)性方程的形式相同單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)τ的封閉表面S流入（面積分前面的負(fù)號(hào)）τ內(nèi)的幾率S令使用高斯定理波函數(shù)歸一化不隨時(shí)間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1）幾率守恒具有定域性質(zhì)，當(dāng)空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來(lái)實(shí)現(xiàn)這種變化。（二）幾點(diǎn)討論（2）幾率守恒定律是波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋和薛定諤方程的推論，并不是量子力學(xué)中的一條獨(dú)立假設(shè)。（3）由幾率密度和幾率流密度的表達(dá)式中可知，波函數(shù)在空間坐標(biāo)的變化全部區(qū)域內(nèi)應(yīng)是連續(xù)的，且有連續(xù)的微商。（4）如體系由大量的、完全相同的、且無(wú)相互作用的粒子構(gòu)成，而且它們都處于相同的狀態(tài)，有（5）以μ乘連續(xù)性方程等號(hào)兩邊，得到：量子力學(xué)的質(zhì)量守恒定律同理可得量子力學(xué)的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時(shí)間改變質(zhì)量密度和質(zhì)量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量粒子數(shù)密度粒子流密度矢量回顧1.由Born的統(tǒng)計(jì)解釋可知，描寫(xiě)粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學(xué)量的平均值、可能值及相應(yīng)的幾率就都知道了，也就是說(shuō)，描寫(xiě)粒子狀態(tài)的一切力學(xué)量就都知道了。所以波函數(shù)又稱(chēng)為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。3.知道體系所受力場(chǎng)和相互作用及初始時(shí)刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時(shí)刻的狀態(tài)。（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)（2）波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件1.根據(jù)Born統(tǒng)計(jì)解釋?duì)?r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時(shí)刻出現(xiàn)在r點(diǎn)的幾率，這是一個(gè)確定的數(shù)，所以要求ψ(r,t)應(yīng)是r,t的單值函數(shù)且有限。式右含有ψ及其對(duì)坐標(biāo)一階導(dǎo)數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點(diǎn)都應(yīng)是有限、連續(xù)且其一階導(dǎo)數(shù)亦連續(xù)。概括之，波函數(shù)在全空間每一點(diǎn)通常應(yīng)滿(mǎn)足單值、有限、連續(xù)三個(gè)條件，該條件稱(chēng)為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:§5定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）定態(tài)的性質(zhì)（四）求解定態(tài)問(wèn)題的步驟（一）定態(tài)Schrodinger方程討論有外場(chǎng)情況下的定態(tài)Schrodinger方程：令：V(r)與t無(wú)關(guān)時(shí)，可以分離變量代入等式兩邊是相互無(wú)關(guān)的物理量，故應(yīng)等于與

t,r無(wú)關(guān)的常數(shù)

該方程稱(chēng)為定態(tài)Schrodinger方程，ψ(r)也可稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時(shí)刻ψ(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。

此波函數(shù)與時(shí)間t的關(guān)系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關(guān)系可知：E就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)的能量。也就是說(shuō)，此時(shí)體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱(chēng)為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱(chēng)為定態(tài)波函數(shù)?？臻g波函數(shù)ψ(r)可由方程和具體問(wèn)題ψ(r)應(yīng)滿(mǎn)足的邊界條件得出。定態(tài)波函數(shù)（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符

二方程都是以一個(gè)算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以這兩個(gè)算符是完全相當(dāng)?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。是相當(dāng)?shù)?。這兩個(gè)算符都稱(chēng)為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：（1）一個(gè)算符作用于一個(gè)函數(shù)上得到一個(gè)常數(shù)乘以該函數(shù),這與數(shù)學(xué)物理方法中的本征值方程相似。

數(shù)學(xué)物理方法中：微分方程+邊界條件構(gòu)成本征值問(wèn)題；

（2）量子力學(xué)中：波函數(shù)要滿(mǎn)足三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件，對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)物理方法中的邊界條件，稱(chēng)為波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學(xué)中稱(chēng)與上類(lèi)似的方程為束縛的本征值方程。常量E稱(chēng)為算符

H

的本征值；Ψ稱(chēng)為算符

H屬于本征值E的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當(dāng)體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)（簡(jiǎn)稱(chēng)能量本征態(tài)）時(shí)，粒子能量有確定的數(shù)值，這個(gè)數(shù)值就是與這個(gè)本征函數(shù)相應(yīng)的能量算符的本征值。將改寫(xiě)成(2)能量本征值方程（三）定態(tài)的性質(zhì)（2）幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)（1）粒子在空間幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)綜上所述，當(dāng)Ψ滿(mǎn)足下列三個(gè)等價(jià)條件中的任何一個(gè)時(shí)，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)：1.Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值；2.Ψ滿(mǎn)足定態(tài)Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無(wú)關(guān)。（3）任何不顯含t的力學(xué)量平均值與t無(wú)關(guān)（四）求解定態(tài)問(wèn)題的步驟

討論定態(tài)問(wèn)題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r,t)和在這些態(tài)中的能量E。其具體步驟如下：（1）列出定態(tài) Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)條件求解能量E的本征值問(wèn)題，得：（3）寫(xiě)出定態(tài)波函數(shù)即得到對(duì)應(yīng)第n個(gè)本征值En的定態(tài)波函數(shù)（4）通過(guò)歸一化確定歸一化系數(shù)Cn作業(yè)P44(2.12.2)

在繼續(xù)闡述量子力學(xué)基本原理之前，先用Schrodinger方程來(lái)處理一類(lèi)簡(jiǎn)單的問(wèn)題——一維定態(tài)問(wèn)題。其好處有四：（1）有助于具體理解已學(xué)過(guò)的基本原理；（2）有助于進(jìn)一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問(wèn)題，數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單，從而能對(duì)結(jié)果進(jìn)行細(xì)致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問(wèn)題中展現(xiàn)出來(lái)；（4）一維問(wèn)題還是處理各種復(fù)雜問(wèn)題的基礎(chǔ)?！?一維無(wú)限深勢(shì)阱

用48個(gè)Fe原子排成直徑為14.3nm的圓形圍欄蒸發(fā)到Cu表面，圍欄形成一個(gè)勢(shì)階圍住欄內(nèi)處于銅表面的電子，故稱(chēng)作“量子圍欄”。電子的運(yùn)動(dòng)在欄內(nèi)形成同心圓狀的駐波(一)引子在密閉容器中的一個(gè)氣體分子可以在兩壁之間來(lái)回彈射，而不會(huì)跑到容器之外；粒子被無(wú)限高的勢(shì)能壁束縛在空間的某個(gè)區(qū)域內(nèi)在很粗略的近似下，可以認(rèn)為電子在金屬內(nèi)部自由的運(yùn)動(dòng)，但不會(huì)自發(fā)的跑到金屬表面之外。（二）抽象模型在勢(shì)阱外：

粒子在（-a,a）內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)（勢(shì)能為0），粒子不會(huì)跑出區(qū)域之外，則相應(yīng)于在|x|≥a區(qū)域勢(shì)能應(yīng)為無(wú)限大。于是勢(shì)能函數(shù)為：-a0aU(x)解得：A和是待定常數(shù)

只有滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)條件的定態(tài)薛定諤方程的解，才是能量的本征函數(shù)。在勢(shì)阱內(nèi)：波函數(shù)連續(xù)性的條件有：由歸一化條件,歸一化的能量本征值函數(shù)為：體系的能量的本征值為：n稱(chēng)為體系的量子數(shù)1.能量量子化

在勢(shì)阱內(nèi)粒子的能量只能取分立的值，這叫能量量子化。粒子被勢(shì)能局限在空間一個(gè)有限區(qū)域的狀態(tài)叫束縛態(tài)。體系能量最低的狀態(tài)叫基態(tài)。此時(shí)基態(tài)n=1，對(duì)應(yīng)的基態(tài)能量為：三、討論n>1的態(tài)稱(chēng)為激發(fā)態(tài)能量分布是不均勻的，相鄰兩能級(jí)之間的間隔為：E10E2E3當(dāng)n很大時(shí)有，n很大時(shí)，能量可視為連續(xù)，量子力學(xué)過(guò)渡到經(jīng)典力學(xué)2.加入時(shí)間因子波函數(shù)是由兩個(gè)沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波波函數(shù)有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)數(shù)越多，能級(jí)越高。而德布羅依波的波長(zhǎng)越短，對(duì)應(yīng)的動(dòng)量和能量越大。ψ1-aψ2ψ3a當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)3.波函數(shù)的宇稱(chēng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)本征函數(shù)的奇偶性是由勢(shì)能函數(shù)U（x）對(duì)原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性引起的4.幾率密度粒子位置幾率密度分布勢(shì)阱內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度在勢(shì)阱內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度隨著n的增大起伏增多。-aa[小結(jié)]由無(wú)窮深方勢(shì)阱問(wèn)題的求解可以看 出，解S—方程的一般步驟如下：一、列出各勢(shì)域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值；四、由歸一化條件定出最后一個(gè)待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。例1：用駐波條件求一維無(wú)限深勢(shì)阱中的粒子的能級(jí)。一維無(wú)限深勢(shì)阱中粒子運(yùn)動(dòng)的波函數(shù)與兩端固定的長(zhǎng)度為2a的弦上的駐波相似，按駐波的條件：E1-aE2E3a解：取例2：估計(jì)在典型的宏觀領(lǐng)域和原子領(lǐng)域一維無(wú)限深勢(shì)阱粒子的零點(diǎn)能E1的值。說(shuō)明零點(diǎn)能和量子不連續(xù)性在宏觀領(lǐng)域是微不足道的。假如：是一個(gè)可見(jiàn)光光子能量的大小，與氫原子的電離能一個(gè)數(shù)量級(jí)，在原子尺度上它是一個(gè)“大”的能量。作業(yè)P42.7補(bǔ)充知識(shí)在勢(shì)函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)（設(shè)為x=a處）（2）在x=a處勢(shì)函數(shù)無(wú)限躍變時(shí)，有（1）在x=a處勢(shì)函數(shù)有限躍變時(shí)，有（3）函數(shù)勢(shì)躍變時(shí)，有二維或三維定態(tài)問(wèn)題與一維定態(tài)問(wèn)題的關(guān)系在中，如果，則有其中，梯形勢(shì)——0

x<0X>0方形勢(shì)——0其中f(x)是一個(gè)在x=0點(diǎn)處連續(xù)的非奇異函數(shù)

形勢(shì)——例題能量為E的粒子處在方形勢(shì)中，設(shè)U1>U2>E>0（束縛態(tài)），試求粒子能量所滿(mǎn)足的條件。粒子在勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)能級(jí)和波函數(shù)?！?線(xiàn)性諧振子（一）引言（二）線(xiàn)性諧振子（三）實(shí)例（一）引言（1）何謂諧振子量子力學(xué)中的線(xiàn)性諧振子就是指在該式所描述的勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子。在經(jīng)典力學(xué)中，當(dāng)質(zhì)量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫(xiě)出運(yùn)動(dòng)方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，作這種運(yùn)動(dòng)的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢(shì)V=0點(diǎn)，則2221xVmw=0=??axV0)(=VaVxaxxVk=??=22其中：（2）為什么研究線(xiàn)性諧振子

自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無(wú)論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢(shì)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0=

取新坐標(biāo)原點(diǎn)為(a,V0)，則勢(shì)可表示為標(biāo)準(zhǔn)諧振子勢(shì)的形式： 可見(jiàn)，一些復(fù)雜的勢(shì)場(chǎng)下粒子的運(yùn)動(dòng)往往可以用線(xiàn)性諧振動(dòng)來(lái)近似描述。（二）線(xiàn)性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）厄密多項(xiàng)式（4）求歸一化系數(shù)（5）討論（1）方程的建立線(xiàn)性諧振子的Hamilton量：則含時(shí)Schrodinger方程為：則定態(tài)Schrodinger方程為：為簡(jiǎn)單計(jì)，引入無(wú)量綱變量ξ和參量:其中（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當(dāng)ξ→±∞時(shí)波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋浩浣鉃椋害住?exp[±ξ2/2]1.漸近解欲驗(yàn)證解的正確性，可將其代回方程，由波函數(shù)有限性條件：當(dāng)ξ→±∞時(shí)，應(yīng)有c2=0，因整個(gè)波函數(shù)尚未歸一化，c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為ξ2>>±1其中H(ξ)必須滿(mǎn)足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。即：①當(dāng)ξ有限時(shí)，H(ξ)有限；②當(dāng)ξ→∞時(shí)，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。2.H(ξ)滿(mǎn)足的方程厄米方程3.級(jí)數(shù)解在=0的領(lǐng)域?qū)ζ涮├照归_(kāi)帶入厄米方程a0決定所有角標(biāo)a為偶數(shù)的系數(shù)；a1決定所有角標(biāo)a為奇數(shù)的系數(shù)。因?yàn)镠(ξ)是一個(gè)冪級(jí)數(shù)，故應(yīng)考慮它的收斂性。相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比：考察冪級(jí)數(shù)exp[ξ2]的展開(kāi)式的收斂性相鄰兩項(xiàng)系數(shù)之比：所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：來(lái)源于波函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)條件和束縛態(tài)的結(jié)果線(xiàn)性諧振子能量的本征值基于波函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的有限性條件導(dǎo)致了能量必須取分立值。同普朗克假設(shè)相一致，注意零點(diǎn)能不為零，這是由于波粒二象性帶來(lái)的一種量子效應(yīng)。（3）厄密多項(xiàng)式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數(shù)是2n。Hn(ξ)可寫(xiě)成封閉形式：諧振子能量的本征函數(shù)其中是厄米多項(xiàng)式λ=2n+1由下面給出前幾個(gè)厄密多項(xiàng)式具體表達(dá)式：

（4）求歸一化系數(shù)(I)作變量代換，ξ=αx，(II)應(yīng)用Hn(ξ)的封閉形式。繼續(xù)分步積分到底該式第一項(xiàng)是一個(gè)多項(xiàng)式與exp[-ξ2]的乘積，當(dāng)代入上下限ξ=±∞后，該項(xiàng)為零。分步積分法Hn的最高次項(xiàng)ξn的系數(shù)是2n，dnHn/dξn=2nn!（5）討論1、Hn(ξ)的最高次項(xiàng)是2n。所以： 當(dāng)n=偶，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的偶次項(xiàng)；當(dāng)n=奇，則厄密多項(xiàng)式只含ξ的奇次項(xiàng)。2、ψn具有n宇稱(chēng)

諧振子波函數(shù)所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱(chēng)由厄密多項(xiàng)式Hn(ξ)決定為n宇稱(chēng)。n=0n=1n=23.波函數(shù)然而，量子情況與此不同對(duì)于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|ax|<1范圍中運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)檎褡釉谶@一點(diǎn)(|ax|=1)處，其勢(shì)能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢(shì)能等于總能量，動(dòng)能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。-3-2-10123E0E1E2分析波函數(shù)可知量子力學(xué)的諧振子波函數(shù)ψn有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，在節(jié)點(diǎn)處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學(xué)的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點(diǎn)上都能找到粒子，沒(méi)有節(jié)點(diǎn)。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.幾率分布4.對(duì)應(yīng)一個(gè)諧振子能級(jí)只有一個(gè)本征函數(shù)，即一個(gè)狀態(tài)，所以能級(jí)是非簡(jiǎn)并的。值得注意的是，基態(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱(chēng)為零點(diǎn)能。這與無(wú)窮深勢(shì)阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒(méi)有意義的，零點(diǎn)能是量子效應(yīng)。回顧一維線(xiàn)性諧振子能量的本征函數(shù)和本征能量為：厄米多項(xiàng)式公式：（三）實(shí)例解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級(jí)，并討論它的簡(jiǎn)并情況（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量分別滿(mǎn)足如下三個(gè)方程：因此，設(shè)能量本征方程的解為：如果系統(tǒng)Hamilton量可以寫(xiě)成則必有：（3）簡(jiǎn)并度

當(dāng)N確定后，能量本征值確定，但是對(duì)應(yīng)同一N值的n1,n2,n3有多種不同組合，相應(yīng)于若干不同量子狀態(tài)，這就是簡(jiǎn)并。其簡(jiǎn)并度可決定如下：

當(dāng)n1,n2確定后，n3=N-n1-n2，也就確定了，不增加不同組合的數(shù)目。故對(duì)給定N，{n1,n2,n3}可能組合數(shù)即簡(jiǎn)并度為：解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數(shù)。例2.荷電q的諧振子，受到沿x向外電場(chǎng)的作用，其勢(shì)場(chǎng)為：（1）解題思路

勢(shì)V(x)是在諧振子勢(shì)上疊加上-qx項(xiàng)，該項(xiàng)是x的一次項(xiàng)，而振子勢(shì)是二次項(xiàng)。如果我們能把這樣的勢(shì)場(chǎng)重新整理成坐標(biāo)變量平方形式，就有可能利用已知的線(xiàn)性諧振子的結(jié)果。（2）改寫(xiě)V(x)（3）Hamilton量進(jìn)行坐標(biāo)變換：則Hamilton量變?yōu)椋海?）Schrodinger方程該式是一新坐標(biāo)下一維線(xiàn)性諧振子Schrodinger方程，于是可以利用已有結(jié)果得：新坐標(biāo)下Schroding