《量子力學》全本課件

課程名稱：量子力學主講教師：1全本PPT課件639頁

研究微觀粒子的運動規(guī)律的物理學分支學科，與相對論一起構成了現(xiàn)代物理學的理論基礎。原子核、基本粒子材料物理原子、分子天體物理團簇、納米體系，介觀體系化學生物研究對象：231.《量子力學教程》曾謹言（科學出版社,2003年第一版，普通高等教育十五國家級規(guī)劃教材）2.《量子力學導論》曾謹言（北京大學出版社，1998年第二版）3.《量子力學基礎》關洪，（高等教育出版社，1999年第一版）4.《QuantunMechanics，AnIntroduction》Greiner，W.（Springer-VerlagBerlinHeidelberg，1994；有中澤本）5.《量子力學》汪德新，（湖北科學技術出版社出版，2000年第一版）6.Problemsinquantummechanicswithsolutions(量子力學題解)，G.L.Squires，（世界圖書出版公司）參考書第一章量子力學的誕生§1經(jīng)典物理學的困難§2量子論的誕生§3實物粒子的波粒二象4§1經(jīng)典物理學的困難(一）經(jīng)典物理學的成功

19世紀末，物理學理論在當時看來已經(jīng)發(fā)展到相當完善的階段，其各個分支已經(jīng)建立起系統(tǒng)的理論：經(jīng)典力學從牛頓三大定律發(fā)展為分析力學電磁學與光學發(fā)展為麥克斯韋理論熱學在建立了以熱力學定律為基礎的宏觀理論的同時，波爾茲曼、吉布斯建立了稱之為統(tǒng)計物理學的微觀理論。5在經(jīng)典物理學的輝煌成就面前，有的科學家認為物理學已大功告成。絕對溫標的創(chuàng)始人開爾文在1889年新年賀詞中說：“19世紀已將物理大廈全部建成，今后物理學家的任務就是修飾、完美這所大廈了”。（二）經(jīng)典物理學的困難但是這些信念，在進入20世紀以后，受到了沖擊。經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗結果上遇到了嚴重的困難。

（1）黑體輻射問題（2）光電效應（3）原子穩(wěn)定性（4）原子的線狀光譜（5）低溫下固體的熱容6（1）黑體輻射黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。實驗發(fā)現(xiàn)：輻射熱平衡狀態(tài):處于某一溫度T下的腔壁，單位面積所發(fā)射出的輻射能量和它所吸收的輻射能量相等時，輻射達到熱平衡狀態(tài)。

熱平衡時，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對溫度

T

有關而與黑體的形狀和材料無關。能量密度(104cm)05107Wien公式

Wien線能量密度(104cm)0510Wien公式在短波部分與實驗還相符合，長波部分則明顯不一致。從熱力學出發(fā)加上一些特殊的假設，得到一個分布公式：

8Rayleigh-Jeas公式Rayleigh-Jeas線能量密度(104cm)0510Rayleigh-Jeas公式在長波部分與實驗還相符合，短波部分則明顯不一致,出現(xiàn)紫外發(fā)散。從經(jīng)典電力學和統(tǒng)計物理出發(fā)，得到一個分布公式：

9入射光線OOOOOOVGAKBOO光電效應實驗裝置光電效應

當波長較短的可見光或紫外光照射到某些金屬表面上時,金屬中的電子就會從光中吸取能量而從金屬表面逸出的現(xiàn)象。

金屬板釋放的電子稱為光電子,光電子在電場作用下在回路中形成光電流。（2）光電效應10光強較弱光強較強光電效應的伏安特性曲線(1)飽和電流

實驗表明：

在一定強度的單色光照射下,光電流隨加速電勢差的增加而增大,但當加速電勢差增加到一定量值時,光電流達飽和值，如果增加光的強度，相應的也增大。結論1：單位時間內(nèi),受光照的金屬板釋放出來的電子數(shù)和入射光的強度成正比。11（2）遏止電勢差

如果使負的電勢差足夠大，從而使由金屬板表面釋放出的具有最大速度的電子也不能到達陽極時，光電流便降為零，此外加電勢差的絕對值叫遏止電勢差。

實驗表明：遏止電勢差與光強度無關。

結論2：光電子從金屬表面逸出時具有一定的動能，最大初動能與入射光的強度無關。12遏止電勢差與頻率的關系（3）遏止頻率（又稱紅限）實驗表明：遏止電勢差和入射光的頻率之間具有線性關系。13

為不隨金屬性質不同而改變的普適恒量

即最大初動能隨入射光的頻率線性地增加，要使光所照射的金屬釋放電子，入射光的頻率必須滿足：

稱為光電效應的紅限（遏止頻率）14

結論3：光電子從金屬表面逸出時的最大初動能與入射光的頻率成線性關系。當入射光的頻率小于時，不管照射光的強度多大，不會產(chǎn)生光電效應。（4）弛豫時間

實驗表明，從入射光開始照射直到金屬釋放出電子，無論光的強度如何，這段時間很短，不超過。經(jīng)典的電磁波理論無法解釋以上現(xiàn)象！15（3）原子的穩(wěn)定性

湯姆遜“西瓜”式模型——

粒子實驗相矛盾

盧瑟福核式模型——

粒子實驗相符合，與經(jīng)典電動力學的觀點相矛盾。根據(jù)經(jīng)典電動力學，電子環(huán)繞原子核運動是加速運動，因而不斷以輻射方式發(fā)射出能量，電子的能量變得越來越小，因此繞原子核運動的電子，終究會因大量損失能量而“掉到”原子核中去，原子就“崩潰”了，但是，現(xiàn)實世界表明，原子穩(wěn)定的存在著。16（4）原子的線狀光譜氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗公式是：這就是著名的巴爾末公式（Balmer）。以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，它們都可以用下面公式表示：

17三條定律：

經(jīng)典理論無法解釋1.光譜總是線狀的，譜線有一定的位置，即譜線彼此分立，且有確定的波長；2.每一條譜線的波數(shù)都可以表示成兩光譜項之差，即，m和n是某些正整數(shù)——里茲組合原則。3.譜線之間有一定的關系。18（5）低溫下固體的熱容按照經(jīng)典統(tǒng)計物理學的觀點，原子在一個自由度上的能量為：根據(jù)能量均分定理，在溫度T時，一個原子的平均能量為：，固體的定容熱容量為：與實驗結果相比較會發(fā)現(xiàn):在室溫和高溫范圍內(nèi)很符合，但在低溫范圍，實驗所得到的固體熱容量隨溫度降低得很快，當溫度趨于絕對零度時，熱容量也趨于零3kN實驗線經(jīng)典理論線0TCV19§2量子論的誕生（一）Planck能量子假設（二）Einstein的光量子論（三）Bohr

理論（四）DeBroglie假設20（一）Planck黑體輻射定律1900年１２月１４日Planck

提出：

黑體可看作一組連續(xù)振動的帶電諧振子，這些諧振子的能量取分立值，這些分立值都是最小能量E的整數(shù)倍，這些分立的能量稱為諧振子的能級。21可見：黑體與輻射場交換能量只能以ε

為單位進行，亦即黑體吸收或發(fā)射電磁輻射能量的方式是不連續(xù)的，只能量子地進行，每個“能量子”的能量為Planck輻射公式Planck線能量密度(104cm)051022討論：23Planck公式維恩公式瑞利-瓊斯公式可見由維恩、瑞利-瓊斯分別從經(jīng)典物理學導出的黑體輻射能量密度公式僅是普朗克公式在兩種不同特例條件下的近似結果。注：Planck的“能量子”假說與經(jīng)典物理中振子的能量是連續(xù)的相抵觸?？梢姡琍lanck理論突破了經(jīng)典物理學在微觀領域的束縛，打開了認識光的粒子性的大門。1918年Planck由此獲得諾貝爾物理學獎

Planck輻射定律解釋固體熱容量問題（1）當

T

較高時，hv/kT<<1時（設x=hv/kT

）（2）當T很低時，hv/kT>>1時,則

與經(jīng)典理論相一致與實驗相一致24（二）Einstein的光量子論（1） 光子概念（2） 光電效應的解釋（3）光子的動量（4） Compton效應25(1)光子概念在Planck能量子假設的啟發(fā)下，愛因斯坦提出了“光量子”的概念，他認為，不僅黑體與輻射場的能量交換是量子化的，而且輻射（光）是由一顆顆具有一定能量的粒子組成的粒子流，這些粒子在空間以光速

C

傳播，這種粒子叫做光量子。

26光子的能量光子的動量Planck-Einstein公式—波矢量（2）光電效應的解釋當光照射到金屬表面時，能量為hν的光子被電子所吸收，電子把這份能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分用來提供電子離開金屬表面時的動能。其能量關系可寫為：27—臨界頻率注：利用光子的概念很好的解釋了光電效應，同時，光電效應體現(xiàn)了光的粒子性。1916年，密立根實驗證實了光子論的正確性，并測得h=6.5710-34

焦耳?秒。（3）光子的動量光子不僅具有確定的能量E=hv，而且具有動量。根據(jù)相對論知，速度為

V運動的粒子的能量由右式給出：對于光子，速度V=C，欲使上式有意義，必須令0=0,即光子靜質量為零。根據(jù)相對論能動量關系：總結光子能量、動量關系式如下：把光子的波動性和粒子性聯(lián)系了起來28

雖然愛因斯坦對光電效應的解釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設，這一點流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學院院士的推薦信中。

“

總而言之，我們可以說，在近代物理學結出碩果的那些重大問題中，很難找到一個問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻的，在他的各種推測中，他有時可能也曾經(jīng)沒有射中標的，例如，他的光量子假設就是如此，但是這確實并不能成為過分責怪他的理由，因為即使在最精密的科學中，也不可能不偶爾冒點風險去引進一個基本上全新的概念

”29（4）Compton散射

-光的粒子性的進一步證實X光管光闌散射物質康普頓實驗裝置示意圖X光檢測器晶體（a）Compton效應30經(jīng)典電動力學不能解釋這種新波長的出現(xiàn)，經(jīng)典力學認為電磁波被散射后，波長不應該發(fā)生改變。但是如果把X--射線被電子散射的過程看成是光子與電子的碰撞過程，則該效應很容易得到理解.1、

散射光中，除了原來X光的波長λ外，增加了一個新的波長為λ'的X光，且λ'>λ；2、

波長增量Δλ=λ′–λ隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為Compton效應。X--射線被輕元素如石蠟、碳中的電子散射后出現(xiàn)的效應。該效應有如下2個特點：31（b）定性解釋根據(jù)光量子理論，具有能量E=hν

的光子與電子碰撞后，光子把部分能量傳遞給電子，光子的能量變?yōu)镋′=hν′顯然有E′<E從而有ν′<ν,散射后的光子的頻率減小，波長變長。根據(jù)這一思路，可以證明：式中也包含了Planck常數(shù)h，經(jīng)典物理學無法解釋它，Compton散射實驗是對光量子概念的一個直接的強有力的支持。該式首先由Compton提出，后被Compton

和吳有訓用實驗證實，用量子概念完全解釋了Compton效應。因為式右是一個恒大于或等于零的數(shù)，所以散射波的波長λ′總是比入射波波長長（λ′>λ）且隨散射角θ增大而增大。32（c）證明根據(jù)能量和動量守恒定律：代入得：兩邊平方：兩邊平方（2）式—（1）式得：kk′mv33所以最后得：34此式不僅再次證明了普朗克—愛因斯坦關系式的正確性，還第一次證實了在微觀單個碰撞事件中，動量守恒定律和能量守恒定律仍然成立。351923年威爾遜云室實驗觀測到了反沖電子軌跡；驗證了康普頓解釋康普頓和威爾遜獲得1927年諾貝爾物理學獎36小結：以上三個問題，都屬于經(jīng)典物理（實際上是經(jīng)典電磁波理論）所遇到的困難，解決困難的共同點就是電磁波的能量不再看作是連續(xù)的，而必須看成是能量量子化的。從這點上來說，上述三個問題都體現(xiàn)了光的粒子性，但不能否定光的波動性，因波動早被光的干涉，衍射等現(xiàn)象證實，因此，概括起來，光具有波動和粒子二重性質，稱為光的波粒二象性。作為粒子的能量E和動量

與波動的頻率

和波矢

由Planck-Einstein方程聯(lián)系起來。Planck-Einstein方程37另一方面我們也看到，在新的理論中，Planck常數(shù)

起著關鍵作用，當h的作用可以略去時，經(jīng)典理論是適用的，當h的作用不可忽略時，經(jīng)典理論不再適用。因此，凡是h起重要作用的現(xiàn)象都稱為量子現(xiàn)象。Planck常數(shù)：h=6.6255910-34

焦耳?秒（三）Bohr理論38Planck--Einstein

光量子概念必然會促進物理學其他重大疑難問題的解決。1913年Bohr

把這種概念運用到原子結構問題上，提出了他的原子的量子論。該理論今天已為量子力學所代替，但是它在歷史上對量子理論的發(fā)展曾起過重大的推動作用，而且該理論的某些核心思想至今仍然是正確的，在量子力學中保留了下來（1）波爾假定（2）氫原子線光譜的解釋（3）量子化條件的推廣（4）波爾量子論的局限性（1）波爾假定Bohr在他的量子論中提出了兩個極為重要的概念，可以認為是對大量實驗事實的概括。1.量子化條件原子的穩(wěn)定狀態(tài)只可能是某些具有一定分立值能量E1,E2,...,En

的狀態(tài)。原子處于定態(tài)時不輻射，但是因某種原因，電子可以從一個能級En

躍遷到另一個較低（高）的能級

Em，同時將發(fā)射（吸收）一個光子。光子的頻率為：處于基態(tài)（能量最低態(tài)）的原子，則不放出光子而穩(wěn)定的存在電子的角動量滿足：2.頻率條件39（2）氫原子線光譜的解釋根據(jù)這兩個假設，可以圓滿地解釋氫原子的線狀光譜假設氫原子中的電子繞核作圓周運動+Fcvre由量子化條件40電子的能量與氫原子線光譜的經(jīng)驗公式比較根據(jù)Bohr量子躍遷的概念得Rydberg常數(shù)與實驗完全一致41（3）量子化條件的推廣由理論力學知，若將角動量L

選為廣義動量，則θ為廣義坐標。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將Bohr

量子化條件推廣后，量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對于只有一個電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。42（4）波爾量子論的局限性1.不能證明較復雜的原子甚至比氫稍微復雜的氦原子的光譜；2.不能給出光譜的譜線強度（相對強度）；3.Bohr只能處理周期運動，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題；4.從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學不相容。多少帶有人為的性質，其物理本質還不清楚。

波爾量子論首次打開了認識原子結構的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認識43§3實物粒子的波粒二象性（一）L．DeBroglie關系（二）deBroglie波（三）駐波條件（四）deBroglie波的實驗驗證44(一)德布羅意的物質波德布羅意(L.DeBroglie,1892-1960)

德布羅意原來學習歷史，后來改學理論物理學。他善于用歷史的觀點，用對比的方法分析問題。

1923年，德布羅意試圖把粒子性和波動性統(tǒng)一起來。1924年，在博士論文《關于量子理論的研究》中提出德布羅意波,同時提出用電子在晶體上作衍射實驗的想法。愛因斯坦覺察到德布羅意物質波思想的重大意義，譽之為“揭開一幅大幕的一角”。法國物理學家，1929年諾貝爾物理學獎獲得者，波動力學的創(chuàng)始人，量子力學的奠基人之一。45

一個質量為m的實物粒子以速率v

運動時，即具有以能量E和動量P所描述的粒子性，同時也具有以頻率n和波長l所描述的波動性。德布羅意關系如速度v=5.0102m/s飛行的子彈，質量為m=10-2Kg，對應的德布羅意波長為：如電子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s,對應的德布羅意波長為：太小測不到！X射線波段46（二）deBroglie波因為自由粒子的能量

E和動量

p都是常量，所以由deBroglie關系可知，與自由粒子聯(lián)系的波的頻率ν和波矢k（或波長λ）都不變，即是一個單色平面波。由力學可知，頻率為ν，波長為λ，沿單位矢量n

方向傳播的平面波可表為：寫成復數(shù)形式這種波就是與自由粒子相聯(lián)系的單色平面波，或稱為描寫自由粒子的平面波，這種寫成復數(shù)形式的波稱為deBroglie波deBroglie關系：ν=E/h

=2

ν=2E/h=E/

λ=h/pk=1/=2/λ=p/

47（三）駐波條件為了克服Bohr理論帶有人為性質的缺陷，deBroglie

把原子定態(tài)與駐波聯(lián)系起來，即把粒子能量量子化問題和有限空間中駐波的波長（或頻率）的分立性聯(lián)系起來。例如：氫原子中作穩(wěn)定圓周運動的電子相應的駐波示意圖要求圓周長是波長的整數(shù)倍于是角動量：deBroglie關系r代入玻爾量子化條件48deBroglie波在1924年提出后，在1927-1928年由

Davisson和 Germer

以及G.P.Thomson

的電子衍射實驗所證實。θ法拉第圓筒入射電子注鎳單晶d衍射最大值公式（四）deBroglie波的實驗驗證實驗測得的值與根據(jù)德布羅依關系式計算的值十分接近，證實了物質波波動性的客觀存在，而且還定量地證明了德布羅依關系式的正確性。德布羅依關系49電子衍射實驗1、戴維遜-革末實驗GM

戴維遜和革末的實驗是用電子束垂直投射到鎳單晶，電子束被散射。其強度分布可用德布羅意關系和衍射理論給以解釋，從而驗證了物質波的存在。1937年他們與G.P.湯姆孫一起獲得Nobel物理學獎。實驗裝置：電子從燈絲K飛出，經(jīng)電勢差為U的加速電場，通過狹縫后成為很細的電子束，投射到晶體M上，散射后進入電子探測器，由電流計G測量出電流。K50實驗現(xiàn)象：實驗發(fā)現(xiàn)，單調地增加加速電壓，電子探測器的電流并不是單調地增加的，而是出現(xiàn)明顯的選擇性。例如，只有在加速電壓U=54V,且θ=500時，探測器中的電流才有極大值。Δ實驗解釋：54U(V)IOΘ/2Θ/251X射線實驗測得鎳單晶的晶格常數(shù)d=0.215nm實驗結果：理論值(θ=500)與實驗結果(θ=510)相差很小，表明電子確實具有波動性，德布羅意關于實物具有波動性的假設是正確的。當加速電壓U=54V，加速電子的能量eU=mv2/2，電子的德布羅意波長為522、湯姆遜實驗1927年，湯姆遜在實驗中，讓電子束通過薄金屬膜后射到照相底片上，結果發(fā)現(xiàn)，與X射線通過金箔時一樣，也產(chǎn)生了清晰的電子衍射圖樣。1993年，Crommie等人用掃描隧道顯微鏡技術，把蒸發(fā)到銅（111）表面上的鐵原子排列成半徑為7.13nm的圓環(huán)形量子圍欄，用實驗觀測到了在圍欄內(nèi)形成的同心圓狀的駐波(“量子圍欄”)，直觀地證實了電子的波動性。3、電子通過狹縫的衍射實驗：

1961年，約恩孫(Jonsson)制成長為50mm，寬為0.3mm，縫間距為1.0mm的多縫。用50V的加速電壓加速電子，使電子束分別通過單縫、雙縫等，均得到衍射圖樣。53545556X射線經(jīng)晶體的衍射圖電子射線經(jīng)晶體的衍射圖57附錄量子力學的建立及相關科學家傳略量子力學的建立

量子力學是現(xiàn)代物理學的理論基礎之一，是研究微觀粒子運動規(guī)律的科學，使人們對物質世界的認識從宏觀層次跨進了微觀層次。自1900年普朗克提出量子假設以來，量子力學便以前所未有的速度發(fā)展起來，緊接著是1905年愛因斯坦提出光量子假說，直接推動了量子力學的產(chǎn)生與發(fā)展。而玻爾運用量子理論和核式結構模型解決了氫原子光譜之謎。之后德布羅意的物質波理論使經(jīng)典物理學的衛(wèi)道士們大吃一驚。海森堡的矩陣力學、“不確定原理”和薛定諤的波動力學成了量子力學獨當一面的基礎。而數(shù)學高手狄拉克在此基礎上進一步實現(xiàn)了量子力學的統(tǒng)一，建立了著名的“狄拉克方程”。泡利的“不相容原理”又給量子力學抹上了燦爛的一筆。58

綜觀其發(fā)展史可謂是群星璀璨、光彩紛呈。它不僅較大地推動了原子物理、原子核物理、光學、固體材料、化學等科學理論的發(fā)展，還引發(fā)了人們對哲學意義上的思考。相關科學巨匠馬克斯.普朗克（1858-1947）

德國理論物理學家。1874年進入慕尼黑大學。最初他主攻數(shù)學，隨后又愛上了物理學。普朗克的一生在科學上提出了許多創(chuàng)見，但貢獻最大的還是1900年提出的量子假設。59玻爾(1885-1962)1885年10月7日,出生于丹麥哥本哈根。由于對原子結構和輻射研究的貢獻，他于1912年獲得了諾貝爾物理學獎。60德布羅意

法國著名物理學家，1892年出生于第厄普的一個貴族世家。在中學時期，他的興趣是文科，在20歲時志趣轉向自然科學，并用兩年時間學習了自然科學的基礎課程。德布羅意的治學原則是：廣見聞、多瀏覽、勤實驗。他認為環(huán)境和出身不能決定一個人的志向，重要的是在學術上要善于獨立思考，不迷信權威。61海森堡（1901-1976）

德國著名的現(xiàn)代物理學家。1924年進入哥廷根大學深造，先后拜師于玻爾和波恩門下。特別是在與玻爾交往的三年中，他們經(jīng)常通宵達旦地討論問題，是他的學術水平大大提高。62狄拉克(Diract)

由于發(fā)現(xiàn)原子理論的有效新形式，而與奧地利科學家薛定諤共同獲得1933年諾貝爾物理學獎。1926年冬，狄拉克證明海森堡的矩陣力學與薛定諤的波動方程是等價的，之后狄拉克又提出了著名的“狄拉克方程”（即相對論方程），他從這一方程的負能態(tài)解出發(fā)，預言了正電子的存在。這是關于反物質的第一次假設。63薛定諤(ErwinSchr?dinger,1887–1961)

奧地利著名的理論物理學家，量子力學的重要奠基人之一，同時在固體的比熱、統(tǒng)計熱力學、原子光譜及鐳的放射性等方面的研究都有很大成就。641925年W.Heisenberg建立了量子力學的“矩陣形式”1926年E.Schr?dinger建立了量子力學的“波動形式” 并證明了與“矩陣形式”等價。1927年Davission,Germer電子衍射實驗。1927年Dirac發(fā)展了電磁場的量子理論1928年Dirac建立了相對論量子力學（Dirac方程）65作業(yè)P1.566第二章波函數(shù)和薛定諤方程§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋§2態(tài)疊加原理§3Schrodinger方程§4幾率流密度和幾率守恒§5定態(tài)Schrodinger方程§6一維無限深勢阱§7線性諧振子§8勢壘貫穿§1波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（一）波函數(shù)（二）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋（三）波函數(shù)的性質

3個問題？

描寫自由粒子的平面波如果粒子處于隨時間和位置變化的力場中運動，他的動量和能量不再是常量（或不同時為常量）粒子的狀態(tài)就不能用平面波描寫，而必須用較復雜的波描寫，一般記為：描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)，它通常是一個復標量函數(shù)。稱為de

Broglie波。此式稱為自由粒子的波函數(shù)。(1)

是怎樣描述粒子的狀態(tài)呢？(2)

如何體現(xiàn)波粒二象性的？(3)

描寫的是什么樣的波呢？（一）波函數(shù)兩種錯誤的看法1.波由粒子組成,是大量粒子運動的表現(xiàn)如水波，聲波，由分子密度疏密變化而形成的一種分布。這種看法是與實驗矛盾的，它不能解釋長時間單個電子衍射實驗。

電子一個一個的通過小孔，但只要時間足夠長，底片上增加呈現(xiàn)出衍射花紋。這說明電子的波動性并不是許多電子在空間聚集在一起時才有的現(xiàn)象，單個電子就具有波動性。

波由粒子組成的看法夸大了粒子性的一面，而抹殺了粒子的波動性的一面，具有片面性。QQ電子源感光屏PPOO

事實上，正是由于單個電子具有波動性，才能理解氫原子（只含一個電子！）中電子運動的穩(wěn)定性以及能量量子化這樣一些量子現(xiàn)象。（二）波函數(shù)的統(tǒng)計解釋2.粒子由波組成電子是波包（wavepacket）

。把電子波看成是電子的某種實際結構，是三維空間中連續(xù)分布的某種物質波包。因此呈現(xiàn)出干涉和衍射等波動現(xiàn)象。波包的大小即電子的大小，波包的群速度即電子的運動速度。什么是波包？波包是各種波數(shù)（長）平面波的迭加。 平面波描寫自由粒子，其特點是充滿整個空間，這是因為平面波振幅與位置無關。如果粒子由波組成，那么自由粒子將充滿整個空間，這是沒有意義的，與實驗事實相矛盾。 實驗上觀測到的電子，總是處于一個小區(qū)域內(nèi)。例如在一個原子內(nèi)，其廣延不會超過原子大小≈1?。

電子究竟是什么東西呢？是粒子？還是波？

“電子既不是粒子也不是波”，既不是經(jīng)典的粒子也不是經(jīng)典的波， 但是我們也可以說，“電子既是粒子也是波，它是粒子和波動二重性矛盾的統(tǒng)一?！边@個波不再是經(jīng)典概念的波，粒子也不是經(jīng)典概念中的粒子。經(jīng)典概念中1、有一定質量、電荷等“顆粒性”的屬性;粒子意味著2、有確定的運動軌道，每一時刻有一定 位置和速度。經(jīng)典概念中1、實在的物理量的空間分布作周期性的變化;波意味著2、干涉、衍射現(xiàn)象，即相干疊加性。1.入射電子流強度小，開始顯示電子的微粒性，長時間亦顯示衍射圖樣;我們再看一下電子的衍射實驗2.

入射電子流強度大，很快顯示衍射圖樣.OQQPP電子源感光屏玻恩的解釋波動觀點粒子觀點明紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2大電子出現(xiàn)的概率大暗紋處：電子波強|ψ(x,y,z,t)|2小電子出現(xiàn)的概率小

可見，波函數(shù)模的平方|ψ(x,y,z,t)|2與粒子t時刻在(x,y,z)處出現(xiàn)的概率成正比。r點附近衍射花樣的強度正比于該點附近感光點的數(shù)目，正比于該點附近出現(xiàn)的電子數(shù)目，正比于電子出現(xiàn)在

r

點附近的幾率。在電子衍射實驗中，照相底片上

1926年,玻恩(M.Born)首先提出了波函數(shù)的統(tǒng)計解釋

波函數(shù)在空間中某一點的強度（波函數(shù)模的平方）與粒子在該點出現(xiàn)的概率成比例。則微觀粒子在t時刻出現(xiàn)在處體積元dτ內(nèi)的幾率

按Born提出的波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,粒子在空間中某一點處出現(xiàn)的概率與粒子的波函數(shù)在該點模的平方成比例。設粒子狀態(tài)由波函數(shù)描述，波的強度是

這表明描寫粒子的波是幾率波(概率波),反映微觀客體運動的一種統(tǒng)計規(guī)律性，波函數(shù)有時也稱為幾率幅。（三）波函數(shù)的性質根據(jù)波函數(shù)的幾率解釋，波函數(shù)有如下重要性質：在t時刻r點，單位體積內(nèi)找到粒子的幾率是：在體積V內(nèi)，t時刻找到粒子的幾率為：

在t時刻，r點，dτ=dxdydz體積內(nèi)，找到由波函數(shù)Ψ(r,t)描寫的粒子的幾率是：

其中C是比例系數(shù)。幾率密度probabilitydensity（1）幾率和幾率密度（2）平方可積由于粒子在空間總要出現(xiàn)（不討論粒子產(chǎn)生和湮滅情況），所以在全空間找到粒子的幾率應為一，即：這即是要求描寫粒子量子狀態(tài)的波函數(shù)Ψ必須是絕對值平方可積的函數(shù)。若∫∞|Ψ|2dτ∞,

則C0

，這是沒有意義的。從而得常數(shù)

C之值為：（3）歸一化波函數(shù)這與經(jīng)典波不同。經(jīng)典波波幅增大一倍（原來的2倍），則相應的波動能量將為原來的4倍，因而代表完全不同的波動狀態(tài)。經(jīng)典波無歸一化問題。兩者所描寫狀態(tài)的相對幾率是相同的，這里的C是常數(shù)。因為在t時刻，空間任意兩點r1和r2處找到粒子的相對幾率之比是：由于粒子在全空間出現(xiàn)的幾率等于一，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只取決于波函數(shù)在空間各點強度的相對比例，而不取決于強度的絕對大小，因而，將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子狀態(tài)不變，即Ψ

(r,t)和CΨ(r,t)描述同一狀態(tài)可見，Ф(r,t)和CΨ(r,t)描述的是同一幾率波，所以波函數(shù)有一常數(shù)因子不定性。令

歸一化常數(shù)若Ψ(r,t)沒有歸一化，∫∞

|Ψ(r,t)|2dτ=A（A是大于零的常數(shù)），則有∫∞

|(A)-1/2Ψ(r,t)|2dτ=1

也就是說，(A)-1/2Ψ(r，t)是歸一化的波函數(shù)，與Ψ(r,t)描寫同一幾率波，(A)-1/2稱為歸一化因子。

注意：對歸一化波函數(shù)仍有一個模為一的因子不定性。若Ψ(r,t)是歸一化波函數(shù)，那么，exp{iα}Ψ(r,t)也是歸一化波函數(shù)（其中α是實數(shù)，叫相角），與前者描述同一幾率波，這種不確定性叫相角不定性。（4）微觀體系力學量的描述

對于任意的一個力學量A，如果它作用與波函數(shù)上的線性厄米算符A來表示，則它的平均值為：

如微觀粒子的歸一化波函數(shù)為，粒子在空間各點的位置幾率密度為：則坐標和坐標函數(shù)的平均值為：（1）“微觀粒子的運動狀態(tài)用波函數(shù)描述，描寫粒子的波是幾率波”，這是量子力學的一個基本假設（基本原理）。

知道了描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)，就可知道粒子在空間各點處出現(xiàn)的幾率，以后的討論進一步知道，波函數(shù)給出體系的一切性質，因此說波函數(shù)描寫體系的量子狀態(tài)（簡稱狀態(tài)或態(tài)）（2）波函數(shù)一般用復函數(shù)表示。（3）波函數(shù)滿足連續(xù)性、有限性、單值性必須注意稱為波函數(shù)的標準化條件例：設一粒子作一維運動，波函數(shù)為：0A為任意常數(shù)，求：（1）歸一化波函數(shù)；（2）幾率密度w(x)和w(x)最大的位置；（3）在[0，a/2]內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率；（4）和（5）應用解：（1）由歸一化條件有所以，歸一化常數(shù)，而歸一化波函數(shù)為0（2）幾率密度等于歸一化波函數(shù)模的平方則0令，有在區(qū)域[0,a]內(nèi)，只有x=0,a/2,a。再將w(x)對x求二階導數(shù)，可得所以只有x=a/2處為幾率密度最大值的位置。（3）在[0,a/2]內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率

（4）已知一維粒子狀態(tài)波函數(shù)為求歸一化的波函數(shù)，粒子的幾率分布，粒子在何處出現(xiàn)的幾率最大。

例：歸一化常數(shù)(1).求歸一化的波函數(shù)解：歸一化的波函數(shù)（2）幾率分布：

（3）由幾率密度的極值條件

由于

故處，粒子出現(xiàn)幾率最大。例平面波的歸一化問題已知平面波,求歸一化常數(shù)A

歸一化常數(shù)歸一化的平面波：

解：利用量子力學的基本假設之一

體系的狀態(tài)用坐標和時間函數(shù)描述，叫體系的狀態(tài)波函數(shù)。一般要求是單值、連續(xù)和平方可積的，體系在空間內(nèi)出現(xiàn)的幾率正比于?！?態(tài)疊加原理（一）態(tài)疊加原理（二）動量空間（表象）的波函數(shù)（一）態(tài)疊加原理

微觀粒子具有波動性，會產(chǎn)生衍射圖樣。而干涉和衍射的本質在于波的疊加性，即可相加性，兩個相加波的干涉的結果產(chǎn)生衍射。因此，同光學中波的疊加原理一樣，量子力學中也存在波疊加原理。因為量子力學中的波，即波函數(shù)決定體系的狀態(tài)，稱波函數(shù)為狀態(tài)波函數(shù)，所以量子力學的波疊加原理稱為態(tài)疊加原理。

經(jīng)典物理中，波的迭加只不過是將波幅迭加（波幅代表實際物體的運動等），并在合成波中出現(xiàn)不同頻率的波長的子波成分。微觀粒子的波動性的迭加性其實質是什么呢？考慮電子雙縫衍射

Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2

也是電子的可能狀態(tài)?？臻g找到電子的幾率則是：|Ψ|2=|C1Ψ1+C2Ψ2|2

=(C1*Ψ1*+C2*Ψ2*)(C1Ψ1+C2Ψ2)=|C1Ψ1|2+|C2Ψ2|2+[C1*C2Ψ1*Ψ2+C1C2*Ψ1Ψ2*]Ψ電子穿過狹縫１出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度電子穿過狹縫２出現(xiàn)在Ｐ點的幾率密度相干項正是由于相干項的出現(xiàn)，才產(chǎn)生了衍射花紋。Ψ2PΨ1S1S2電子源感光屏一個電子有Ψ1和Ψ2

兩種可能的狀態(tài)，Ψ是這兩種狀態(tài)的疊加。其中C1

和C2是復常數(shù)態(tài)的疊加原理是“態(tài)的疊加性”和“波函數(shù)完全描述一個微觀體系的狀態(tài)”兩個概念的概括，其新的含義體現(xiàn)在以下幾個方面：

一般情況下，如果Ψ1和Ψ2

是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2,也是該體系的一個可能狀態(tài).態(tài)疊加原理表述（1）體系處在線性疊加態(tài)時，應理解為，體系既可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)，且分別處于和態(tài)的幾率是確定。（2）對于體系的力學量，如力學量，如果在ψ下的值是a1,在ψ2

下的值是a2

，則在ψ=c1ψ1+c2ψ2的態(tài)，它的值可能是a1,也可能是a2

，而測得a1，a2的相對幾率是完全確定的。

量子力學的態(tài)迭加原理，導致了粒子各種力學量觀測值的不確定性，是由微觀粒子的波粒二象性所決定的。（3）態(tài)函數(shù)應隨時間演化，它所描述的是體系的運動狀態(tài)，應滿足波體系運動方程。在這種情況下，態(tài)疊加原理中都應滿足體系的運動方程，這必然給該運動方程加上線性方程的要求。

若Ψ1

，Ψ2,...,Ψn,...是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加Ψ=C1Ψ1+C2Ψ2+...+CnΨn+...(其中C1,C2,...,Cn,...為復常數(shù))也是體系的一個可能狀態(tài)。

粒子處于Ψ態(tài)的體系中，即粒子部分的處于Ψ1態(tài)，部分的處于Ψ2態(tài)...，部分的處于Ψn，...態(tài)疊加原理一般表述方式例：電子在晶體表面反射后，電子可能以各種不同的動量p

運動。具有確定動量的運動狀態(tài)用de

Broglie平面波表示根據(jù)疊加原理，在晶體表面反射后，電子的狀態(tài)Ψ可表示成

p取各種可能值的平面波的線性疊加，即而衍射圖樣正是這些平面波疊加干涉的結果。dΨΨp了求和。所以后式應用積分代替是連續(xù)變化的，由于其中，pdpdpdppdpdtrpctrtrpctrzyxppprrrrrrrrrrrr=Y=YY?=Yò),()(),(),()(),(（二）動量空間（表象）的波函數(shù)波函數(shù)Ψ(r,t)可用各種不同動量的平面波表示，證明：令則Ψ可按Фp展開展開系數(shù)其中是中所含平面波的波幅，顯然，表示在中所含平面波的比例成份.

兩式在數(shù)學上完全相互決定，而在物理上他們是完全等價的，他們是對體系同一狀態(tài)的兩種不同描述方式。二式互為Fourier變換式，故總是成立，且兩者一一對應。Ψ(r,t)是以坐標

r

為自變量的波函數(shù)，坐標空間波函數(shù)，坐標表象波函數(shù)；C(p,t)

是以動量

p

為自變量的波函數(shù)，動量空間波函數(shù)，動量表象波函數(shù)；二者描寫同一量子狀態(tài)。或能夠完全的描述一個微觀體系的狀態(tài)。因為：一個波函數(shù)給定后，不僅粒子的位置幾率分布確定了，而且它的動量幾率分布，以及其他所有力學量的幾率分布都確定了。

若Ψ(r,t)已歸一化，則C(p,t)也是歸一化的表示在該狀態(tài)中粒子位置取值幾率表示在同一狀態(tài)中體系的動量取值幾率

§3Schrodinger方程（一） 引（二） 引進方程的基本考慮（三） 自由粒子滿足的方程（四） 勢場V(r)中運動的粒子（五） 多粒子體系的Schrodinger方程

這些問題在1926年Schrodinger提出了波動方程之后得到了圓滿解決。

微觀粒子量子狀態(tài)用波函數(shù)完全描述，波函數(shù)確定之后，粒子的任何一個力學量的平均值及其測量的可能值和相應的幾率分布也都被完全確定，波函數(shù)完全描寫微觀粒子的狀態(tài)。因此量子力學最核心的問題就是要解決以下兩個問題：(1)在各種情況下，找出描述系統(tǒng)的各種可能的波函數(shù)；(2)波函數(shù)如何隨時間演化。（一）引（二）引進方程的基本考慮從牛頓方程，人們可以確定以后任何時刻t

粒子的狀態(tài)r

和p

。因為初條件知道的是坐標及其對時間的一階導數(shù)，所以方程是時間的二階常微分方程。讓我們先回顧一下經(jīng)典粒子運動方程，看是否能給我們以啟發(fā)。（1）經(jīng)典情況（2）量子情況

3、方程不能包含狀態(tài)參量，如p,E等，否則方程只能被粒子特定的狀態(tài)所滿足，而不能為各種可能的狀態(tài)所滿足。1、t=t0

時刻，已知的初態(tài)是ψ(r,t0)

且只知道這樣一個初條件，所以，描寫粒子狀態(tài)的波函數(shù)所滿足的方程只能含ψ對時間的一階導數(shù)。2、ψ要滿足態(tài)疊加原理，即若ψ1(r,t)

和ψ2(r,t)是方程的解，那末ψ(r,t)=C1ψ1(r,t)+C2ψ2(r,t)也應是該方程的解。這就要求方程應是線性的，也就是說方程中只能包含

ψ對時間的一階導數(shù)和對坐標各階導數(shù)的一次項，不能含它們的平方或開方項。4、滿足對應原理，在經(jīng)典極限下可以回到牛頓方程或經(jīng)典波動方程。

（三）自由粒子滿足的方程這不是所要尋找的方程，因為它包含狀態(tài)參量E。將Ψ對坐標二次微商，得：描寫自由粒子波函數(shù):應是所要建立的方程的解。將上式對t微商，得：滿足上述構造方程的三個條件討論：通過引出自由粒子波動方程的過程可以看出，如果能量關系式E=p2/2μ

寫成如下方程形式：做算符替換（4）即得自由粒子滿足的方程（3）。(1)–(2)式（四）勢場V(r)中運動的粒子該方程稱為Schrodinger方程，也常稱為波動方程。若粒子處于勢場V(r)

中運動(即非自由粒子)，則能動量關系變?yōu)椋簩⑵渥饔糜诓ê瘮?shù)得：做（4）式的算符替換得：討論1、Schrodinger方程是量子力學的一條基本假設。體系狀態(tài)隨時間的演化由薛定諤方程描述，即其中2、它是線性微分方程，其解有疊加性，且不含狀態(tài)參量。3、滿足對應原理。4、薛定諤方程給出了態(tài)函數(shù)隨時間變化的規(guī)律。5、它是波動方程。（五）多粒子體系的Schrodinger方程設體系由N個粒子組成，質量分別為μi(i=1,2,...,N)體系波函數(shù)記為ψ(r1,r2,...,rN;t)第i個粒子所受到的外場Ui(ri)粒子間的相互作用V(r1,r2,...,rN)則多粒子體系的Schrodinger方程可表示為：多粒子體系Hamilton量對有Z個電子的原子，電子間相互作用為Coulomb排斥作用：而原子核對第i個電子的Coulomb吸引能為：假定原子核位于坐標原點，無窮遠為勢能零點。例如：§4粒子流密度和粒子數(shù)守恒定律（一）定域幾率守恒（二）幾點討論（一）定域幾率守恒

考慮低能非相對論實物粒子情況，因沒有粒子的產(chǎn)生和湮滅問題，粒子數(shù)保持不變。對一個粒子而言，在全空間找到它的幾率總和應不隨時間改變，即

在討論了狀態(tài)或波函數(shù)隨時間變化的規(guī)律后，我們進一步討論粒子在一定空間區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的幾率將怎樣隨時間變化。粒子在t時刻r點周圍單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率即幾率密度是：考慮Schrodinger方程及其共軛式：證：矢量在空間閉區(qū)域τ中將上式積分，則有：閉區(qū)域τ上找到粒子的總幾率在單位時間內(nèi)的增量J是幾率流密度，是一矢量所以(1)式是幾率（粒子數(shù)）守恒的積分表示式令Eq.（1）τ趨于∞，即讓積分對全空間進行，考慮到任何真實的波函數(shù)應該是平方可積的，波函數(shù)在無窮遠處為零，則式右面積分趨于零，于是Eq.（1）變?yōu)椋浩湮⒎中问脚c流體力學中連續(xù)性方程的形式相同單位時間內(nèi)通過τ的封閉表面S流入（面積分前面的負號）τ內(nèi)的幾率S令使用高斯定理波函數(shù)歸一化不隨時間改變，其物理意義是粒子既未產(chǎn)生也未消滅。（1）幾率守恒具有定域性質，當空間某處幾率減少了，必然另外一些地方幾率增加，使總幾率不變，并伴隨著某種流來實現(xiàn)這種變化。（二）幾點討論（2）幾率守恒定律是波函數(shù)的統(tǒng)計解釋和薛定諤方程的推論，并不是量子力學中的一條獨立假設。（3）由幾率密度和幾率流密度的表達式中可知，波函數(shù)在空間坐標的變化全部區(qū)域內(nèi)應是連續(xù)的，且有連續(xù)的微商。（4）如體系由大量的、完全相同的、且無相互作用的粒子構成，而且它們都處于相同的狀態(tài)，有（5）以μ乘連續(xù)性方程等號兩邊，得到：量子力學的質量守恒定律同理可得量子力學的電荷守恒定律：表明電荷總量不隨時間改變質量密度和質量流密度矢量電荷密度和電流密度矢量粒子數(shù)密度粒子流密度矢量回顧1.由Born的統(tǒng)計解釋可知，描寫粒子的波函數(shù)已知后，就知道了粒子在空間的幾率分布，即

dω(r,t)=|ψ(r,t)|2dτ2.已知ψ(r,t)，則任意力學量的平均值、可能值及相應的幾率就都知道了，也就是說，描寫粒子狀態(tài)的一切力學量就都知道了。所以波函數(shù)又稱為狀態(tài)波函數(shù)或態(tài)函數(shù)。3.知道體系所受力場和相互作用及初始時刻體系的狀態(tài)后，由Schrodinger方程即可確定以后時刻的狀態(tài)。（1）波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)（2）波函數(shù)標準條件1.根據(jù)Born統(tǒng)計解釋ω(r,t)=ψ*(r,t)ψ(r,t)是粒子在t時刻出現(xiàn)在r點的幾率，這是一個確定的數(shù)，所以要求ψ(r,t)應是r,t的單值函數(shù)且有限。式右含有ψ及其對坐標一階導數(shù)的積分，由于積分區(qū)域τ是任意選取的，所以S是任意閉合面。要是積分有意義，ψ必須在變數(shù)的全部范圍，即空間任何一點都應是有限、連續(xù)且其一階導數(shù)亦連續(xù)。概括之，波函數(shù)在全空間每一點通常應滿足單值、有限、連續(xù)三個條件，該條件稱為波函數(shù)的標準條件。2.根據(jù)粒子數(shù)守恒定律:§5定態(tài)Schrodinger方程（一）定態(tài)Schrodinger方程（二）Hamilton算符和能量本征值方程（三）定態(tài)的性質（四）求解定態(tài)問題的步驟（一）定態(tài)Schrodinger方程討論有外場情況下的定態(tài)Schrodinger方程：令：V(r)與t無關時，可以分離變量代入等式兩邊是相互無關的物理量，故應等于與

t,r無關的常數(shù)

該方程稱為定態(tài)Schrodinger方程，ψ(r)也可稱為定態(tài)波函數(shù)，或可看作是t=0時刻ψ(r,0)的定態(tài)波函數(shù)。

此波函數(shù)與時間t的關系是正弦型的，其角頻率ω=2πE/h。由deBroglie關系可知：E就是體系處于波函數(shù)Ψ(r,t)所描寫的狀態(tài)時的能量。也就是說，此時體系能量有確定的值，所以這種狀態(tài)稱為定態(tài)，波函數(shù)Ψ(r,t)稱為定態(tài)波函數(shù)?？臻g波函數(shù)ψ(r)可由方程和具體問題ψ(r)應滿足的邊界條件得出。定態(tài)波函數(shù)（二）Hamilton算符和能量本征值方程（1）Hamilton算符

二方程都是以一個算符作用于Ψ(r,t)等于EΨ(r,t)。所以這兩個算符是完全相當?shù)模ㄗ饔糜诓ê瘮?shù)上的效果一樣）。是相當?shù)摹＿@兩個算符都稱為能量算符。也可看出，作用于任一波函數(shù)Ψ上的二算符再由Schrodinger方程：（1）一個算符作用于一個函數(shù)上得到一個常數(shù)乘以該函數(shù),這與數(shù)學物理方法中的本征值方程相似。

數(shù)學物理方法中：微分方程+邊界條件構成本征值問題；

（2）量子力學中：波函數(shù)要滿足三個標準條件，對應數(shù)學物理方法中的邊界條件，稱為波函數(shù)的自然邊界條件。因此在量子力學中稱與上類似的方程為束縛的本征值方程。常量E稱為算符

H

的本征值；Ψ稱為算符

H屬于本征值E的本征函數(shù)。 （3）由上面討論可知，當體系處于能量算符本征函數(shù)所描寫的狀態(tài)（簡稱能量本征態(tài)）時，粒子能量有確定的數(shù)值，這個數(shù)值就是與這個本征函數(shù)相應的能量算符的本征值。將改寫成(2)能量本征值方程（三）定態(tài)的性質（2）幾率流密度與時間無關（1）粒子在空間幾率密度與時間無關綜上所述，當Ψ滿足下列三個等價條件中的任何一個時，Ψ就是定態(tài)波函數(shù)：1.Ψ描述的狀態(tài)其能量有確定的值；2.Ψ滿足定態(tài)Schrodinger方程；3.|Ψ|2

與t無關。（3）任何不顯含t的力學量平均值與t無關（四）求解定態(tài)問題的步驟

討論定態(tài)問題就是要求出體系可能有的定態(tài)波函數(shù)Ψ(r,t)和在這些態(tài)中的能量E。其具體步驟如下：（1）列出定態(tài) Schrodinger方程（2）根據(jù)波函數(shù)三個標準條件求解能量E的本征值問題，得：（3）寫出定態(tài)波函數(shù)即得到對應第n個本征值En的定態(tài)波函數(shù)（4）通過歸一化確定歸一化系數(shù)Cn作業(yè)P44(2.12.2)

在繼續(xù)闡述量子力學基本原理之前，先用Schrodinger方程來處理一類簡單的問題——一維定態(tài)問題。其好處有四：（1）有助于具體理解已學過的基本原理；（2）有助于進一步闡明其他基本原理；（3）處理一維問題，數(shù)學簡單，從而能對結果進行細致討論，量子體系的許多特征都可以在這些一維問題中展現(xiàn)出來；（4）一維問題還是處理各種復雜問題的基礎。§6一維無限深勢阱

用48個Fe原子排成直徑為14.3nm的圓形圍欄蒸發(fā)到Cu表面，圍欄形成一個勢階圍住欄內(nèi)處于銅表面的電子，故稱作“量子圍欄”。電子的運動在欄內(nèi)形成同心圓狀的駐波(一)引子在密閉容器中的一個氣體分子可以在兩壁之間來回彈射，而不會跑到容器之外；粒子被無限高的勢能壁束縛在空間的某個區(qū)域內(nèi)在很粗略的近似下，可以認為電子在金屬內(nèi)部自由的運動，但不會自發(fā)的跑到金屬表面之外。（二）抽象模型在勢阱外：

粒子在（-a,a）內(nèi)自由運動（勢能為0），粒子不會跑出區(qū)域之外，則相應于在|x|≥a區(qū)域勢能應為無限大。于是勢能函數(shù)為：-a0aU(x)解得：A和是待定常數(shù)

只有滿足標準條件的定態(tài)薛定諤方程的解，才是能量的本征函數(shù)。在勢阱內(nèi)：波函數(shù)連續(xù)性的條件有：由歸一化條件,歸一化的能量本征值函數(shù)為：體系的能量的本征值為：n稱為體系的量子數(shù)1.能量量子化

在勢阱內(nèi)粒子的能量只能取分立的值，這叫能量量子化。粒子被勢能局限在空間一個有限區(qū)域的狀態(tài)叫束縛態(tài)。體系能量最低的狀態(tài)叫基態(tài)。此時基態(tài)n=1，對應的基態(tài)能量為：三、討論n>1的態(tài)稱為激發(fā)態(tài)能量分布是不均勻的，相鄰兩能級之間的間隔為：E10E2E3當n很大時有，n很大時，能量可視為連續(xù)，量子力學過渡到經(jīng)典力學2.加入時間因子波函數(shù)是由兩個沿相反方向傳播的平面波疊加而成的駐波波函數(shù)有n-1個節(jié)點，節(jié)點數(shù)越多，能級越高。而德布羅依波的波長越短，對應的動量和能量越大。ψ1-aψ2ψ3a當n為偶數(shù)時3.波函數(shù)的宇稱當n為奇數(shù)時本征函數(shù)的奇偶性是由勢能函數(shù)U（x）對原點的對稱性引起的4.幾率密度粒子位置幾率密度分布勢阱內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度在勢阱內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度隨著n的增大起伏增多。-aa[小結]由無窮深方勢阱問題的求解可以看 出，解S—方程的一般步驟如下：一、列出各勢域上的S—方程；二、求解S—方程；三、利用波函數(shù)的標準條件（單值、有限、連續(xù)）定未知數(shù)和能量本征值；四、由歸一化條件定出最后一個待定系數(shù)（歸一化系數(shù)）。例1：用駐波條件求一維無限深勢阱中的粒子的能級。一維無限深勢阱中粒子運動的波函數(shù)與兩端固定的長度為2a的弦上的駐波相似，按駐波的條件：E1-aE2E3a解：取例2：估計在典型的宏觀領域和原子領域一維無限深勢阱粒子的零點能E1的值。說明零點能和量子不連續(xù)性在宏觀領域是微不足道的。假如：是一個可見光光子能量的大小，與氫原子的電離能一個數(shù)量級，在原子尺度上它是一個“大”的能量。作業(yè)P42.7補充知識在勢函數(shù)不連續(xù)點（設為x=a處）（2）在x=a處勢函數(shù)無限躍變時，有（1）在x=a處勢函數(shù)有限躍變時，有（3）函數(shù)勢躍變時，有二維或三維定態(tài)問題與一維定態(tài)問題的關系在中，如果，則有其中，梯形勢——0

x<0X>0方形勢——0其中f(x)是一個在x=0點處連續(xù)的非奇異函數(shù)

形勢——例題能量為E的粒子處在方形勢中，設U1>U2>E>0（束縛態(tài)），試求粒子能量所滿足的條件。粒子在勢阱中運動，求束縛態(tài)能級和波函數(shù)?！?線性諧振子（一）引言（二）線性諧振子（三）實例（一）引言（1）何謂諧振子量子力學中的線性諧振子就是指在該式所描述的勢場中運動的粒子。在經(jīng)典力學中，當質量為的粒子，受彈性力F=-kx作用，由牛頓第二定律可以寫出運動方程為：其解為x=Asin(ωt+δ)。這種運動稱為簡諧振動，作這種運動的粒子叫諧振子。若取V0=0，即平衡位置處于勢V=0點，則2221xVmw=0=??axV0)(=VaVxaxxVk=??=22其中：（2）為什么研究線性諧振子

自然界廣泛碰到簡諧振動，任何體系在平衡位置附近的小振動，例如分子振動、晶格振動、原子核表面振動以及輻射場的振動等往往都可以分解成若干彼此獨立的一維簡諧振動。簡諧振動往往還作為復雜運動的初步近似，所以簡諧振動的研究，無論在理論上還是在應用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢V是二者相對距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢可以展開成泰勒級數(shù)：axV(x)0V0=

取新坐標原點為(a,V0)，則勢可表示為標準諧振子勢的形式： 可見，一些復雜的勢場下粒子的運動往往可以用線性諧振動來近似描述。（二）線性諧振子（1）方程的建立（2）求解（3）厄密多項式（4）求歸一化系數(shù)（5）討論（1）方程的建立線性諧振子的Hamilton量：則含時Schrodinger方程為：則定態(tài)Schrodinger方程為：為簡單計，引入無量綱變量ξ和參量:其中（2）求解為求解方程，我們先看一下它的漸近解，即當ξ→±∞時波函數(shù)ψ的行為。在此情況下，λ<<ξ2，于是方程變?yōu)椋浩浣鉃椋害住?exp[±ξ2/2]1.漸近解欲驗證解的正確性，可將其代回方程，由波函數(shù)有限性條件：當ξ→±∞時，應有c2=0，因整個波函數(shù)尚未歸一化，c1可以令其等于1。最后漸近波函數(shù)為ξ2>>±1其中H(ξ)必須滿足波函數(shù)的單值、有限、連續(xù)的標準條件。即：①當ξ有限時，H(ξ)有限；②當ξ→∞時，H(ξ)的行為要保證ψ(ξ)→0。2.H(ξ)滿足的方程厄米方程3.級數(shù)解在=0的領域對其泰勒展開帶入厄米方程a0決定所有角標a為偶數(shù)的系數(shù)；a1決定所有角標a為奇數(shù)的系數(shù)。因為H(ξ)是一個冪級數(shù)，故應考慮它的收斂性。相鄰兩項系數(shù)之比：考察冪級數(shù)exp[ξ2]的展開式的收斂性相鄰兩項系數(shù)之比：所以總波函數(shù)有如下發(fā)散行為：來源于波函數(shù)標準條件和束縛態(tài)的結果線性諧振子能量的本征值基于波函數(shù)在無窮遠處的有限性條件導致了能量必須取分立值。同普朗克假設相一致，注意零點能不為零，這是由于波粒二象性帶來的一種量子效應。（3）厄密多項式由上式可以看出，Hn(ξ)的最高次冪是n其系數(shù)是2n。Hn(ξ)可寫成封閉形式：諧振子能量的本征函數(shù)其中是厄米多項式λ=2n+1由下面給出前幾個厄密多項式具體表達式：

（4）求歸一化系數(shù)(I)作變量代換，ξ=αx，(II)應用Hn(ξ)的封閉形式。繼續(xù)分步積分到底該式第一項是一個多項式與exp[-ξ2]的乘積，當代入上下限ξ=±∞后，該項為零。分步積分法Hn的最高次項ξn的系數(shù)是2n，dnHn/dξn=2nn!（5）討論1、Hn(ξ)的最高次項是2n。所以： 當n=偶，則厄密多項式只含ξ的偶次項；當n=奇，則厄密多項式只含ξ的奇次項。2、ψn具有n宇稱

諧振子波函數(shù)所包含的exp[-ξ2/2]是ξ的偶函數(shù)，所以ψn的宇稱由厄密多項式Hn(ξ)決定為n宇稱。n=0n=1n=23.波函數(shù)然而，量子情況與此不同對于基態(tài)，其幾率密度是：ω0(ξ)=|ψ0(ξ)|2= =N02exp[-ξ2]分析上式可知：一方面表明在ξ=0處找到粒子的幾率最大；另一方面，在|ξ|≧1處，即在阱外找到粒子的幾率不為零，與經(jīng)典情況完全不同。以基態(tài)為例，在經(jīng)典情形下，粒子將被限制在|ax|<1范圍中運動。這是因為振子在這一點(|ax|=1)處，其勢能V(x)=(1/2)μω2x2={1/2}?ω=E0，即勢能等于總能量，動能為零，粒子被限制在阱內(nèi)。-3-2-10123E0E1E2分析波函數(shù)可知量子力學的諧振子波函數(shù)ψn有n個節(jié)點，在節(jié)點處找到粒子的幾率為零。而經(jīng)典力學的諧振子在[-a,a]區(qū)間每一點上都能找到粒子，沒有節(jié)點。-101ω0(ξ)ωn(ξ)n=2n=1n=0-11-22-44|10|2

5.幾率分布4.對應一個諧振子能級只有一個本征函數(shù)，即一個狀態(tài)，所以能級是非簡并的。值得注意的是，基態(tài)能量E0={1/2}?ω≠0，稱為零點能。這與無窮深勢阱中的粒子的基態(tài)能量不為零是相似的，是微觀粒子波粒二相性的表現(xiàn)，能量為零的“靜止的”波是沒有意義的，零點能是量子效應。回顧一維線性諧振子能量的本征函數(shù)和本征能量為：厄米多項式公式：（三）實例解： （1）三維諧振子Hamilton量例1.求三維諧振子能級，并討論它的簡并情況（2）本征方程及其能量本征值解得能量本征值為：則波函數(shù)三方向的分量分別滿足如下三個方程：因此，設能量本征方程的解為：如果系統(tǒng)Hamilton量可以寫成則必有：（3）簡并度

當N確定后，能量本征值確定，但是對應同一N值的n1,n2,n3有多種不同組合，相應于若干不同量子狀態(tài)，這就是簡并。其簡并度可決定如下：

當n1,n2確定后，n3=N-n1-n2，也就確定了，不增加不同組合的數(shù)目。故對給定N，{n1,n2,n3}可能組合數(shù)即簡并度為：解：Schrodinger方程：求能量本征值和本征函數(shù)。例2.荷電q的諧振子，受到沿x向外電場的作用，其勢場為：（1）解題思路

勢V(x)是在諧振子勢上疊加上-qx項，該項是x的一次項，而振子勢是二次項。如果我們能把這樣的勢場重新整理成坐標變量平方形式，就有可能利用已知的線性諧振子的結果。（2）改寫V(x)（3）Hamilton量進行坐標變換：則Hamilton量變?yōu)椋海?）Schrodinger方程該式是一新坐標下一維線性諧振子Schrodinger方程，于是可以利用已有結果得：新坐標下Schroding