江蘇省2019年高考數(shù)學考試真題與答案解析

江蘇省2019年高考：數(shù)學卷考試真題與答案解析一、填空題本大題共14小題，每小題5分，共計70分．請把答案填寫在答題卡相應位置上。1．已知集合，，則.2．已知復數(shù)的實部為0，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是.3．下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是.4．函數(shù)的定義域是.5．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是▲.6．從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是.7．在平面直角坐標系中，若雙曲線經(jīng)過點（3，4)，則該雙曲線的漸近線方程是.8．已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前n項和.若，則的值是.9．如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E-BCD的體積是.10．在平面直角坐標系中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是.11．在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點A的坐標是.12．如圖，在中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點.若，則的值是.13．已知，則的值是.14．設是定義在R上的兩個周期函數(shù)，的周期為4，的周期為2，且是奇函數(shù).當時，，，其中k>0.若在區(qū)間(0，9]上，關于x的方程有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是.二、解答題本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．16．如下左圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．如上右圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結AF1并延長交圓F2于點B，連結BF2交橢圓C于點E，連結DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標準方程；（2）求點E的坐標．18．如圖，一個湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個點P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑．已知點A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測得AB=10，AC=6，BD=12（單位：百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由；（3）在規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長度均為d（單位：百米）.求當d最小時，P、Q兩點間的距離．19．設函數(shù)、為f（x）的導函數(shù)．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零點均在集合中，求f（x）的極小值；（3）若，且f（x）的極大值為M，求證:M≤．20．定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M－數(shù)列”.（1）等比數(shù)列{an}滿足：，求證：數(shù)列{an}為“M－數(shù)列”；（2）已知數(shù)列{bn}滿足：，其中Sn為數(shù)列{bn}的前n項和．①求數(shù)列{bn}的通項公式；②設m為正整數(shù)，若存在“M－數(shù)列”{cn}，對任意正整數(shù)k，當k≤m時，都有成立，求m的最大值．

答案解析一、填空題1、 2、2 3、5 4、 5、 6、 7、8、16 9、10 10、4 11、 12、 13、 14、二、解答題15.解：（1）因為，由余弦定理，得，即。所以.（2）因為，由正弦定理，得，所以.從而，即，故.因為，所以，從而，因此.16.證明：（1）因為D，E分別為BC，AC的中點，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，所以A1B1∥ED.又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1∥平面DEC1.（2）因為AB=BC，E為AC的中點，所以BE⊥AC.因為三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又因為BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.因為C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17.解：（1）設橢圓C的焦距為2c，因為F1(-1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3。因此，橢圓C的標準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4。因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得 ，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以。因此.18.解：解法一：（1）過A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.'因為PB⊥AB，所以。所以.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除B，E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求。綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，B=15，此時；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，.此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當PB⊥AB，點Q位于點C右側(cè)，且CQ=時，d最小，此時P，Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過O作OH⊥l，垂足為H。以O為坐標原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系.因為BD=12，AC=6，所以OH=9，直線l的方程為y=9，點A，B的縱坐標分別為3，?3.因為AB為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線AB的斜率為.因為PB⊥AB，所以直線PB的斜率為，直線PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長為15（百米）.（2）①若P在D處，取線段BD上一點E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線段AD：.在線段AD上取點M（3，），因為，所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點P的位置.當∠OBP<90°時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；當∠OBP≥90°時，對線段PB上任意一點F，OF≥OB，即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑，點P符合規(guī)劃要求.設為l上一點，且，由（1）知，B=15，此時（?13，9）；當∠OBP>90°時，在中，.由上可知，d≥15.再討論點Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當P（?13，9），Q（，9）時，d最小，此時P，Q兩點間的距離.因此，d最小時，P，Q兩點間的距離為（百米）.19．解：（1）因為，所以．因為，所以，解得．（2）因為，所以，從而．令，得或．因為，都在集合中，且，所以．此時，．令，得或．列表如下：1+0–0+極大值極小值所以的極小值為．（3）因為，所以，．因為，所以，則有2個不同的零點，設為．由，得．列表如下：+0–0+極大值極小值所以的極大值．解法一：．因此．解法二：因為，所以．當時，．令，則．令，得．列表如下：+0–極大值所以當時，取得極大值，且是最大值，故．所以當時，，因此．20．解：（1）設等比數(shù)列{an}的公比為q，所以a1≠0，q≠0.由，得，解得．因此數(shù)列為“M—數(shù)列”.（2）①因為，所以．由，得，則.由，得，當時，由，得，整理得．所以數(shù)列{bn}是首項和公差均為1的等差數(shù)列.因此，數(shù)列{bn}的通項公式為bn=n.②由①知，bk=k，.因為數(shù)列{cn}為“M–數(shù)列”，設公比為q，所以c1=1，q>0.因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m.當k=1時，有q≥1；當k=2，3，…，m時，有．設f（x）=，則．令，得x=e.列表如下：xe(e，+∞)+0–f（x）極大值因為，所以．取，當k=1，2，3，4，5時，，即，經(jīng)檢驗知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分別取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，從而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6。綜上，所求m的最大值為5．數(shù)學Ⅱ(附加題)21．【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答．若多做，則按作答的前兩小題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．A.[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）已知矩陣（1）求A2；（2）求矩陣A的特征值.B.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分）在極坐標系中，已知兩點，直線l的方程為.（1）求A，B兩點間的距離；（2）求點B到直線l的距離.C.[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分）設，解不等式.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．22.設.已知.（1）求n的值；（2）設，其中，求的值.23.在平面直角坐標系xOy中，設點集，令.從集合Mn中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.（1）當n=1時，求X的概率分布；（2）對給定的正整數(shù)n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.

附加題答案解析21-A.[選修4-2：矩陣與變換]解：（1）因為，所以==．（2）矩陣A的特征多項式為.令，解得A的特征值.21-B．[選修4–4：坐標系與參數(shù)方程]解：（1）設極點為O.在△OAB中，A（3，），B（，），由余弦定理，得AB=.（2）因為直線l的方程為，則直線l過點，傾斜角為．又，所以點B到直線l的距離為.21-C．[選修4–5：不等式選講]解：當x<0時，原不等式可化為，解得x<-；當0≤x≤時，原不等式可化為x+1–2x>2，即x<–1，無解；當x