靜電場及其邊值問題的解

靜電場及其邊值問題的解第一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二2

本章內容

3.1靜電場基本方程與電位方程

3.3靜電場中的導體與電容

3.4靜電場的邊界條件

3.5靜電場的邊值問題，惟一性定理

3.6鏡像法

3.7

分離變量法

靜態(tài)電磁場：場量不隨時間變化，包括：

靜電場、恒定電場和恒定磁場

時變情況下，電場和磁場相互關聯，構成統一的電磁場靜態(tài)情況下，電場和磁場由各自的源激發(fā)，且相互獨立

第二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二3微分形式：本構關系：1.基本方程積分形式：3.1靜電場的基本方程和電位方程由即靜電場可以用一個標量函數的梯度來表示，標量函數稱為靜電場的標量電位或簡稱電位。1.電位函數的定義3.1.2

電位定義第三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二42.電位的表達式對于連續(xù)的體分布電荷，由面電荷的電位：故得點電荷的電位：線電荷的電位：第四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二53.電位差兩端點乘，則有將上式兩邊從點P到點Q沿任意路徑進行積分，得關于電位差的說明

P、Q兩點間的電位差等于電場力將單位正電荷從P點移至Q點所做的功，電場力使單位正電荷由高電位處移到低電位處；電位差也稱為電壓，可用U表示；電位差有確定值，只與首尾兩點位置有關，與積分路徑無關。P、Q兩點間的電位差電場力做的功第五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二6

靜電位不惟一，可以相差一個常數，即選參考點令參考點電位為零電位確定值(電位差)兩點間電位差有定值

選擇電位參考點的原則

應使電位表達式有意義；應使電位表達式最簡單。若電荷分布在有限區(qū)域，通常取無限遠作電位參考點；同一個問題只能有一個參考點。4.電位參考點

為使空間各點電位具有確定值，可以選定空間某一點作為參考點，且令參考點的電位為零，由于空間各點與參考點的電位差為確定值，所以該點的電位也就具有確定值，即第六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二7在均勻介質中，有5.

電位的微分方程在無源區(qū)域，標量泊松方程拉普拉斯方程第七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二8

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解利用在球坐標系中用二項式展開，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q第八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二9

由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線電場線電偶極子的場圖第九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二10

解選定均勻電場空間中的一點o為坐標原點，而任意點P的位置矢量為r，則若選擇點o為電位參考點，即，則

在球坐標系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱面坐標系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場的電位分布。第十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二11

例3.1.3兩塊無限大接地導體平板分別置于x=0和x=a處，在兩板之間的x=b處有一面密度為

的均勻電荷分布，如圖所示。求兩導體平板之間的電位和電場。

解在兩塊無限大接地導體平板之間，除x=b處有均勻面電荷分布外，其余空間均無電荷分布，故電位函數滿足一維拉普拉斯方程方程的解為obaxy兩塊無限大平行板第十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二利用邊界條件，有

處，最后得

處，

處，所以由此解得第十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二133.2靜電場中的導體與電容導體：含有大量自由電荷的物體。特征：1.導體內部各處電場強度均為02.導體內部不存在任何凈電荷，電荷都以面電荷形式分布于

導體表面3.導體為一等位體，其表面為等位面4.導體表面切向電場為0，而只有法向電場分量En第十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二14任何兩個導體都可看作一點容器電容器廣泛應用于電子設備的電路中：在電子電路中，利用電容器來實現濾波、移相、隔直、旁路、選頻等作用；通過電容、電感、電阻的排布，可組合成各種功能的復雜電路；在電力系統中，可利用電容器來改善系統的功率因數，以減少電能的損失和提高電氣設備的利用率；第十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二15

電容是導體系統的一種基本屬性，是描述導體系統儲存電荷能力的物理量。

孤立導體的電容定義為所帶電量q與其電位的比值，即1.電容

孤立導體的電容

兩個帶等量異號電荷（q）的導體組成的電容器，其電容為

電容的大小只與導體系統的幾何尺寸、形狀和及周圍電介質的特性參數有關，而與導體的帶電量和電位無關。第十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二16(1)假定兩導體上分別帶電荷+q和-q；

(2)計算兩導體間的電場強度E；

計算電容的步驟：(4)求比值，即得出所求電容。(3)由 ，求出兩導體間的電位差；或：(1)假定兩導體間電壓U；

(3)根據計算導體表面的電量；(2)由 ，求出電場強度E；(4)求比值，即得出所求電容。第十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二17

解：設內導體的電荷為q，則由高斯定理可求得內外導體間的電場同心導體間的電壓球形電容器的電容當時，

例3.1.4

同心球形電容器的內導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數為ε的均勻介質。求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容第十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二18

例3.1.5如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解設兩導線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P的電場強度為兩導線間的電位差故單位長度的電容為第十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二19

例3.1.6同軸線內導體半徑為a，外導體半徑為為b，內外導體間填充的介電常數為的均勻介質，求同軸線單位長度的電容。內外導體間的電位差

解設同軸線的內、外導體單位長度帶電量分別為和，應用高斯定理可得到內外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線第十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二203.4靜電場的邊界條件電場強度和電位移矢量的邊界條件或若分界面上不存在面電荷，即ρS＝0，則或第二十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二21介質2介質1

在靜電平衡的情況下，導體內部的電場為0，則導體表面的邊界條件為

或

場矢量的折射關系

導體表面的邊界條件

介質1導體第二十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二22

設P1和P2是介質分界面兩側緊貼界面的相鄰兩點，其電位分別為1和2。當兩點間距離⊿l→0時

若介質分界面上無自由電荷，即導體表面上電位的邊界條件：由和媒質2媒質1常數，靜電位的邊界條件講解書中例題3.4-1第二十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二233.5靜電場的邊值問題，惟一性定理3.5.1邊值問題的類型 已知場域邊界面上的位函數值，即

邊值問題：在給定的邊界條件下，求解位函數的泊松方程或拉普拉斯方程

第一類邊值問題（或狄里赫利問題）已知場域邊界面上的位函數的法向導數值，即

已知場域一部分邊界面上的位函數值，而另一部分邊界面上則已知位函數的法向導數值，即

第三類邊值問題（或混合邊值問題）

第二類邊值問題（或紐曼問題）第二十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二24

自然邊界條件（無界空間）

周期邊界條件

銜接條件不同媒質分界面上的邊界條件，如第二十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二25例：（第一類邊值問題）（第三類邊值問題）例：第二十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二26

在場域V的邊界面S上給定或的值，則泊松方程或拉普拉斯方程在場域V具有惟一值。3.5.2惟一性定理

惟一性定理的重要意義給出了靜態(tài)場邊值問題具有惟一解的條件為靜態(tài)場邊值問題的各種求解方法提供了理論依據為求解結果的正確性提供了判據

惟一性定理的表述第二十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二27

當有電荷存在于導體或介質表面附近時，導體和介質表面會出現感應電荷或極化電荷，而感應電荷或極化電荷將影響場的分布。非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代1.

問題的提出幾個實例接地導體板附近有一個點電荷，如圖所示。qq′非均勻感應電荷等效電荷

3.6鏡像法第二十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二28接地導體球附近有一個點電荷，如圖。非均勻感應電荷產生的電位很難求解，可以用等效電荷的電位替代接地導體柱附近有一個線電荷。情況與上例類似，但等效電荷為線電荷。q非均勻感應電荷q′等效電荷

結論：所謂鏡像法是將不均勻電荷分布的作用等效為點電荷或線電荷的作用。

問題：這種等效電荷是否存在？這種等效是否合理？第二十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二292.鏡像法的原理

用位于場域邊界外虛設的較簡單的鏡像電荷分布來等效替代該邊界上未知的較為復雜的電荷分布，從而將原含該邊界的非均勻媒質空間變換成無限大單一均勻媒質的空間，使分析計算過程得以明顯簡化的一種間接求解法。

在導體形狀、幾何尺寸、帶電狀況和媒質幾何結構、特性不變的前提條件下，根據惟一性定理，只要找出的解答滿足在同一泛定方程下問題所給定的邊界條件，那就是該問題的解答，并且是惟一的解答。鏡像法正是巧妙地應用了這一基本原理、面向多種典型結構的工程電磁場問題所構成的一種有效的解析求解法3.

鏡像法的理論基礎——解的惟一性定理第二十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二30

像電荷的個數、位置及其電量大小——“三要素”；4.鏡像法應用的關鍵點5.

確定鏡像電荷的兩條原則

等效求解的“有效場域”。

鏡像電荷的確定

像電荷必須位于所求解的場區(qū)域以外的空間中；

像電荷的個數、位置及電荷量的大小以滿足所求解的場區(qū)域的邊界條件來確定。第三十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二311.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像滿足原問題的邊界條件，所得的結果是正確的。3.6.1接地導體平面的點（線）電荷鏡像電荷電位函數因z=0時，q有效區(qū)域q第三十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二32上半空間(z≥0）的電位函數q

導體平面上的感應電荷密度為導體平面上的總感應電荷為第三十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二332.線電荷對無限大接地導體平面的鏡像鏡像線電荷：滿足原問題的邊界條件，所得的解是正確的。電位函數原問題有效區(qū)域當z=0時，第三十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二343.6.2.導體劈間的點電荷

如圖所示，兩個相互垂直相連的半無限大接地導體平板，點電荷q位于(d1,d2)處。顯然，q1對平面2以及q2對平面1均不能滿足邊界條件。對于平面1，有鏡像電荷q1=－q，位于(－d1,d2)對于平面2，有鏡像電荷q2=－q，位于(d1,－d2)

只有在(－d1,－d2)處再設置一鏡像電荷q3=q，所有邊界條件才能得到滿足。電位函數qd1d212RR1R2R3q1d1d2d2q2d1q3d2d1第三十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二35

例3.6.1一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？。q'qx=∞0d-d

解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導體板上的感應電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無窮遠時電場力所做的功。由鏡像法，感應電荷的電場可以用像電荷q'＝－q替代。當電荷q移至x時，像電荷q'應位于－x，則有第三十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二363.6.3導體圓柱面的鏡像問題：如圖1所示，一根電荷線密度為的無限長線電荷位于半徑為a的無限長接地導體圓柱面外，與圓柱的軸線平行且到軸線的距離為d。圖1線電荷與導體圓柱圖2線電荷與導體圓柱的鏡像特點：在導體圓柱面上有感應電荷，圓軸外的電位由線電荷與感應電荷共同產生。分析方法：鏡像電荷是圓柱面內部與軸線平行的無限長線電荷，如圖2所示。線電荷對接地導體圓柱面的鏡像第三十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二37由于上式對任意的都成立，因此，將上式對求導，可以得到由于導體圓柱接地，所以當時，電位應為零，即

所以有

設鏡像電荷的線密度為，且距圓柱的軸線為，則由和共同產生的電位函數第三十七頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二38導體圓柱面外的電位函數：由時，故導體圓柱面上的感應電荷面密度為導體圓柱面上單位長度的感應電荷為導體圓柱面上單位長度的感應電荷與所設置的鏡像電荷相等。第三十八頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二393.7分離變量法

將偏微分方程中含有n個自變量的待求函數表示成n個各自只含一個變量的函數的乘積，把偏微分方程分解成n個常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它們線性疊加起來，得到級數形式解，并利用給定的邊界條件確定待定常數。

分離變量法是求解邊值問題的一種經典方法

分離變量法的理論依據是惟一性定理

分離變量法解題的基本思路：第三十九頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二40在直角坐標系中，若位函數與z無關，則拉普拉斯方程為3.7.1直角坐標系中的分離變量法將

(x,y)表示為兩個一維函數X(x)和Y(y)的乘積，即將其代入拉普拉斯方程，得再除以X(x)Y(y)，有分離常數第四十頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二41

若取λ＝－k2，則有當當第四十一頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二42將所有可能的

(x,y)線性疊加起來，則得到位函數的通解，即

若取λ＝k2，同理可得到通解中的分離常數和待定系數由給定的邊界條件確定。第四十二頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二43

例3.7.1無限長的矩形金屬導體槽上有一蓋板，蓋板與金屬槽絕緣，蓋板電位為U0，金屬槽接地，橫截面如圖所示，試計算此導體槽內的電位分布。

解：位函數滿足的方程和邊界條件為因

(0,y)＝0、

(a,y)＝0，故位函數的通解應取為第四十三頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二44確定待定系數第四十四頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二45將U0

在（0，a）上按展開為傅立葉級數，即其中第四十五頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二46由故得到第四十六頁，共五十一頁，編輯于2023年，星期二473.7.2圓柱坐標系中的分離變量法

令其解為代入方程，可得到由此可將拉普拉斯方程分離為兩個常微分方程