正方形的性質(zhì)-教學(xué)課件

18.2.3正方形第十八章平行四邊形導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)第1課時(shí)正方形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解正方形的概念.2.探索并證明正方形的性質(zhì)，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯(lián)系和區(qū)別.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.會(huì)應(yīng)用正方形的性質(zhì)解決相關(guān)證明及計(jì)算問(wèn)題.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課觀(guān)察下面圖形,正方形是我們熟悉的幾何圖形，在生活中無(wú)處不在.情景引入你還能舉出其他的例子嗎？講授新課

矩形〃〃問(wèn)題1：矩形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？問(wèn)題引入正方形的性質(zhì)正方形問(wèn)題2菱形怎樣變化后就成了正方形呢?你有什么發(fā)現(xiàn)？正方形鄰邊相等矩形〃〃正方形〃〃

菱形一個(gè)角是直角正方形∟正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫正方形.歸納總結(jié)已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.求證：正方形ABCD四邊相等,四個(gè)角都是直角.ABCD證明：∵四邊形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AC

（正方形的定義）. 又∵正方形是平行四邊形. ∴正方形是矩形（矩形的定義）,

正方形是菱形(菱形的定義). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,

AB=BC=CD=AD.證一證已知：如圖,四邊形ABCD是正方形.對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.求證：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.ABCDO證明：∵正方形ABCD是矩形,

∴AO=BO=CO=DO.

∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.思考請(qǐng)同學(xué)們拿出準(zhǔn)備好的正方形紙片,折一折,觀(guān)察并思考.

正方形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形?如果是,那么對(duì)稱(chēng)軸有幾條?對(duì)稱(chēng)性：

.對(duì)稱(chēng)軸：

.軸對(duì)稱(chēng)圖形4條ABCD矩形菱形正方形平行四邊形正方形是特殊的平行四邊形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性質(zhì),正方形都有.平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間關(guān)系：性質(zhì)：1.正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊相等.2.正方形的對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分.歸納總結(jié)

例1求證:正方形的兩條對(duì)角線(xiàn)把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.ADCBO已知:如圖,四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.

求證:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO

≌△CDO≌△DAO.典例精析例2如圖，在正方形ABCD中，ΔBEC是等邊三角形，求證：∠EAD＝∠EDA＝15°

.證明：∵

ΔBEC是等邊三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD,∠ABE=∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形，∴∠BAE=∠BEA=∠CDE=∠CED=75°，∴∠EAD=∠EDA=90°-75°=15°.【變式題1】四邊形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一邊作等邊△ADE，求∠BEC的大?。猓寒?dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD外部時(shí)，如圖①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°.∴∠AEB＝15°.同理可得∠DEC＝15°.∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°；當(dāng)?shù)冗叀鰽DE在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)，如圖②，AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°，∴∠AEB＝75°.同理可得∠DEC＝75°.∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°.綜上所述，∠BEC的大小為30°或150°.易錯(cuò)提醒：因?yàn)榈冗叀鰽DE與正方形ABCD有一條公共邊，所以邊相等．本題分兩種情況：等邊△ADE在正方形的外部或在正方形的內(nèi)部．【變式題2】如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P滿(mǎn)足AP=AB，PB=PC，連接AC、PD．（1）求證：△APB≌△DPC；解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°．∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB，即∠ABP=∠DCP．又∵AB=DC，PB=PC，∴△APB≌△DPC．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC=∠DAC=45°．∵△APB≌△DPC，∴AP=DP．又∵AP=AB=AD，∴DP=AP=AD．∴△APD是等邊三角形．∴∠DAP=60°．∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°．∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°．∴∠BAP=2∠PAC．（2）求證：∠BAP=2∠PAC．

例3如圖，在正方形ABCD中，P為BD上一點(diǎn)，PE⊥BC于E，

PF⊥DC于F.試說(shuō)明：AP=EF.ABCDPEF解:連接PC，AC.又∵PE⊥BC，PF⊥DC,∵四邊形ABCD是正方形,∴∠FCE=90°,AC垂直平分BD,∴四邊形PECF是矩形,∴PC=EF.∴AP=PC.∴AP=EF.

在正方形的條件下證明兩條線(xiàn)段相等：通常連接對(duì)角線(xiàn)構(gòu)造垂直平分的模型，利用垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，角平分線(xiàn)性質(zhì)，等腰三角形等來(lái)說(shuō)明.歸納1.正方形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是()A.四個(gè)角相等B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分

C.對(duì)角互補(bǔ)D.對(duì)角線(xiàn)相等2.正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)（）

A.四條邊相等B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分C.對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角D.對(duì)角線(xiàn)相等BD練一練3.如圖，四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，AO＝2，求正方形的周長(zhǎng)與面積．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OD＝2.在Rt△AOD中，由勾股定理，得∴正方形的周長(zhǎng)為4AD＝，面積為AD2＝8.2.一個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2cm，則它的面積是（）A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2A1.平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的是（）A．對(duì)角線(xiàn)互相平分B．對(duì)角線(xiàn)互相垂直C．對(duì)角線(xiàn)相等D．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等A當(dāng)堂練習(xí)3．在正方形ABC中,∠ADB=

,∠DAC=

,∠BOC=

.4.在正方形ABCD中，E是對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，且AE=AB，則∠EBC的度數(shù)是

.ADBCOADBCOE45°90°22.5°第3題圖第4題圖45°5.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm，AC為對(duì)角線(xiàn)，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的長(zhǎng)．解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.在Rt△ABC中，∴FC＝AC－AF＝(－1)cm，∴BE＝(－1)cm．6.

如圖在正方形ABCD中,E為CD上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且CE=CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE=90°.∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.ABDCFE延長(zhǎng)BE交DE于點(diǎn)M,∵△BCE≌△DCF

,∴∠CBE=∠CDF.∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°,∴∠CBE+∠F=90°,∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.ABDFECM課堂小結(jié)1.四個(gè)角都是直角2.四條邊都相等3.對(duì)角線(xiàn)相等且互相垂直平分正方形的性質(zhì)性質(zhì)定義有一組鄰相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度第二十章數(shù)據(jù)的分析第2課時(shí)根據(jù)方差做決策情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差；（重點(diǎn)）2.能用樣本的方差估計(jì)總體的方差及根據(jù)方差做決策.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課方差的計(jì)算公式，請(qǐng)舉例說(shuō)明方差的意義．方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，才利用方差來(lái)判斷它們的波動(dòng)情況．方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越?。畯?fù)習(xí)引入講授新課根據(jù)方差做決策每個(gè)雞腿的質(zhì)量；雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性．抽樣調(diào)查．問(wèn)題1某快餐公司的香辣雞腿很受消費(fèi)者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠(chǎng)到快餐公司推銷(xiāo)雞腿，兩家雞腿的價(jià)格相同，品質(zhì)相近．快餐公司決定通過(guò)檢查雞腿的質(zhì)量來(lái)確定選購(gòu)哪家的雞腿．（1）可通過(guò)哪些統(tǒng)計(jì)量來(lái)關(guān)注雞腿的質(zhì)量？（2）如何獲取數(shù)據(jù)？例1在問(wèn)題1中，檢查人員從兩家的雞腿中各隨機(jī)抽取15個(gè)，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為快餐公司應(yīng)該選購(gòu)哪家加工廠(chǎng)的雞腿？

解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：

樣本平均數(shù)相同，估計(jì)這批雞腿的平均質(zhì)量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：樣本數(shù)據(jù)的方差分別是：

由

可知，兩家加工廠(chǎng)的雞腿質(zhì)量大致相等；由

＜

可知，甲加工廠(chǎng)的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應(yīng)該選購(gòu)甲加工廠(chǎng)生產(chǎn)的雞腿．例2在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)高低不等的臺(tái)階.如圖是其中的甲、乙兩段臺(tái)階路的示意圖(圖中數(shù)字表示每一階的高度，單位：cm).哪段臺(tái)階路走起來(lái)更舒服？為什么？212021191920172420171923甲乙分析：通過(guò)計(jì)算兩段臺(tái)階的方差，比較波動(dòng)性大小.

∴走甲臺(tái)階的波動(dòng)性更，走起來(lái)更舒適.解：∵隊(duì)員平均成績(jī)方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射擊隊(duì)員考核賽的平均成績(jī)（環(huán)）及方差統(tǒng)計(jì)如表，現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)，從中選出一人參加比賽，如果你是教練員，你的選擇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C練一練議一議（1）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大?。讲钤酱?數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，可用樣本方差估計(jì)總體方差．（2）運(yùn)用方差解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是怎樣的？

先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

相等或相近時(shí)，再利用樣本方差來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況．例3某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績(jī)（單位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）這兩名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)成績(jī)各有何特點(diǎn)？分析：分別計(jì)算出平均數(shù)和方差；根據(jù)平均數(shù)判斷出誰(shuí)的成績(jī)好，根據(jù)方差判斷出誰(shuí)的成績(jī)波動(dòng)大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601．6，s2甲≈65.84；(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599．3，s2乙≈284.21．由上面計(jì)算結(jié)果可知：甲隊(duì)員的平均成績(jī)較好，也比較穩(wěn)定，乙隊(duì)員的成績(jī)相對(duì)不穩(wěn)定．但甲隊(duì)員的成績(jī)不突出，乙隊(duì)員和甲隊(duì)員相比比較突出．（2）歷屆比賽表明，成績(jī)達(dá)到5.96m就很可能奪冠，你認(rèn)為為了奪冠應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽？如果歷屆比賽成績(jī)表明，成績(jī)達(dá)到6.10m就能打破紀(jì)錄，那么你認(rèn)為為了打破紀(jì)錄應(yīng)選誰(shuí)參加這項(xiàng)比賽．解：從平均數(shù)分析可知，甲、乙兩隊(duì)員都有奪冠的可能．但由方差分析可知，甲成績(jī)比較平穩(wěn)，奪冠的可能性比乙大．但要打破紀(jì)錄，成績(jī)要比較突出，因此乙隊(duì)員打破紀(jì)錄的可能性大，我認(rèn)為為了打破紀(jì)錄，應(yīng)選乙隊(duì)員參加這項(xiàng)比賽．做一做甲、乙兩班各有8名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，成績(jī)?nèi)缦卤恚杭?574708065666971乙6075786180626579請(qǐng)比較兩班學(xué)生成績(jī)的優(yōu)劣.當(dāng)堂練習(xí)1.學(xué)校準(zhǔn)備從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選擇一名同學(xué)代表學(xué)校參加市里舉辦的“漢字聽(tīng)寫(xiě)”大賽，四名同學(xué)平時(shí)成績(jī)的平均數(shù)（單位：分）及方差s2如下表所示：如果要選出一個(gè)成績(jī)好且狀態(tài)穩(wěn)定的同學(xué)參賽，那么應(yīng)該選擇的同學(xué)是

.甲乙丙丁94989896

s211.211.8丙2.某籃球隊(duì)對(duì)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行3分球投籃成績(jī)測(cè)試，每人每天投3分球10次，對(duì)甲、乙兩名隊(duì)員在五天中進(jìn)球的個(gè)數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

經(jīng)過(guò)計(jì)算，甲進(jìn)球的平均數(shù)為=8，方差為．隊(duì)員每人每天進(jìn)球數(shù)甲1061068乙79789（1）求乙進(jìn)球的平均數(shù)和方差；（2）現(xiàn)在需要根據(jù)以上結(jié)果，從甲、乙兩名隊(duì)員中選出一人去參加3分球投籃大賽，你認(rèn)為應(yīng)該選哪名隊(duì)員去？為什么？3.在學(xué)校，小明本學(xué)期五次測(cè)驗(yàn)的數(shù)學(xué)成績(jī)和英語(yǔ)成績(jī)分別如下（單位：分）數(shù)學(xué)7095759590英語(yǔ)8085908585通過(guò)對(duì)小明的兩科成績(jī)進(jìn)行分析，你有何看法？對(duì)小明的學(xué)習(xí)你有什么建議？解：數(shù)學(xué)、英語(yǔ)的平均分都是85分.數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為110，英語(yǔ)成績(jī)的方差為10.建議：英語(yǔ)較穩(wěn)定但要提高;數(shù)學(xué)不夠穩(wěn)定有待努力進(jìn)步!課堂小結(jié)根據(jù)方差做決策方差方差的作用：比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性利用樣本方差估計(jì)總體方差導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)20.2數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度第二十章數(shù)據(jù)的分析第2課時(shí)根據(jù)方差做決策情境引入學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能熟練計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差；（重點(diǎn)）2.能用樣本的方差估計(jì)總體的方差及根據(jù)方差做決策.（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課方差的計(jì)算公式，請(qǐng)舉例說(shuō)明方差的意義．方差的適用條件：當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等或相近時(shí)，才利用方差來(lái)判斷它們的波動(dòng)情況．方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越?。畯?fù)習(xí)引入講授新課根據(jù)方差做決策每個(gè)雞腿的質(zhì)量；雞腿質(zhì)量的穩(wěn)定性．抽樣調(diào)查．問(wèn)題1某快餐公司的香辣雞腿很受消費(fèi)者歡迎．現(xiàn)有甲、乙兩家農(nóng)副產(chǎn)品加工廠(chǎng)到快餐公司推銷(xiāo)雞腿，兩家雞腿的價(jià)格相同，品質(zhì)相近．快餐公司決定通過(guò)檢查雞腿的質(zhì)量來(lái)確定選購(gòu)哪家的雞腿．（1）可通過(guò)哪些統(tǒng)計(jì)量來(lái)關(guān)注雞腿的質(zhì)量？（2）如何獲取數(shù)據(jù)？例1在問(wèn)題1中，檢查人員從兩家的雞腿中各隨機(jī)抽取15個(gè)，記錄它們的質(zhì)量（單位：g）如下表所示．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，你認(rèn)為快餐公司應(yīng)該選購(gòu)哪家加工廠(chǎng)的雞腿？

解：樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是：

樣本平均數(shù)相同，估計(jì)這批雞腿的平均質(zhì)量相近．甲747475747673767376757877747273乙757379727671737278747778807175

解：樣本數(shù)據(jù)的方差分別是：

由

可知，兩家加工廠(chǎng)的雞腿質(zhì)量大致相等；由

＜

可知，甲加工廠(chǎng)的雞腿質(zhì)量更穩(wěn)定，大小更均勻．因此，快餐公司應(yīng)該選購(gòu)甲加工廠(chǎng)生產(chǎn)的雞腿．例2在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)高低不等的臺(tái)階.如圖是其中的甲、乙兩段臺(tái)階路的示意圖(圖中數(shù)字表示每一階的高度，單位：cm).哪段臺(tái)階路走起來(lái)更舒服？為什么？212021191920172420171923甲乙分析：通過(guò)計(jì)算兩段臺(tái)階的方差，比較波動(dòng)性大小.

∴走甲臺(tái)階的波動(dòng)性更，走起來(lái)更舒適.解：∵隊(duì)員平均成績(jī)方差甲9.72.12乙9.60.56丙9.80.56丁9.61.34甲、乙、丙、丁四名射擊隊(duì)員考核賽的平均成績(jī)（環(huán)）及方差統(tǒng)計(jì)如表，現(xiàn)要根據(jù)這些數(shù)據(jù)，從中選出一人參加比賽，如果你是教練員，你的選擇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁C練一練議一議（1）在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，方差的作用是什么？反映數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小．方差越大,數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大；方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小，可用樣本方差估計(jì)總體方差．（2）運(yùn)用方差解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟是怎樣的？

先計(jì)算樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)，當(dāng)兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)

相等或相近時(shí)，再利用樣本方差來(lái)估計(jì)總體數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況．例3某校要從甲、乙兩名跳遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)員中挑選一人參加一項(xiàng)校際比賽．在最近10次選拔賽中，他們的成績(jī)（單位:cm）如下：甲：585596610598612597604600613601乙：613618580574618593585590598624（1）這兩名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)成績(jī)各有何特點(diǎn)？分析：分別計(jì)算出平均數(shù)和方差；根據(jù)平均數(shù)判斷出誰(shuí)的成績(jī)好，根據(jù)方差判斷出誰(shuí)的成績(jī)波動(dòng)大．解：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)=601．6，s2甲≈65.84；(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)=599．3，s2乙≈284.21．由上面計(jì)算結(jié)果可知：甲隊(duì)員的