線段的垂直平分線與角平分線

/線段的垂直平分線與角平分線[知識(shí)框架]1、線段垂直平分線的性質(zhì)〔1垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖1.∵CD⊥AB.且AD＝BD∴AC＝BC.定理的作用：證明兩條線段相等〔2線段關(guān)于它的垂直平分線對(duì)稱.2、線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖2.∵AC＝BC∴點(diǎn)C在線段AB的垂直平分線m上.定理的作用：證明一個(gè)點(diǎn)在某線段的垂直平分線上.3、關(guān)于線段垂直平分線性質(zhì)定理的推論〔1關(guān)于三角形三邊垂直平分線的性質(zhì)：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn).并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.性質(zhì)的作用：證明三角形內(nèi)的線段相等.〔2三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：若三角形是銳角三角形.則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形內(nèi)部；若三角形是直角三角形.則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)是其斜邊的中點(diǎn)；若三角形是鈍角三角形.則它三邊垂直平分線的交點(diǎn)在三角形外部.反之.也成立。4、角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖4.∵OE是∠AOB的平分線.F是OE上一點(diǎn).且CF⊥OA于點(diǎn)C.DF⊥OB 于點(diǎn)D.∴CF＝DF.定理的作用：①證明兩條線段相等；②用于幾何作圖問(wèn)題；角是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.它的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線.5、角平分線性質(zhì)定理的逆定理：角平分線的判定定理：在角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖5.∵點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部.且PC⊥OA于C.PD⊥OB于D.且PC＝PD.∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線注意角平分線的性質(zhì)定理與判定定理的區(qū)別和聯(lián)系.6、關(guān)于三角形三條角平分線的定理：〔1關(guān)于三角形三條角平分線交點(diǎn)的定理：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn).并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.定理的數(shù)學(xué)表示：如圖6.如果AP、BQ、CR分別是△ABC的內(nèi)角∠BAC、∠ABC、∠ACB的平分線.那么：①AP、BQ、CR相交于一點(diǎn)I；②若ID、IE、IF分別垂直于BC、CA、AB于點(diǎn)D、E、F.則DI＝EI＝FI.定理的作用：①用于證明三角形內(nèi)的線段相等；②用于實(shí)際中的幾何作圖問(wèn)題.〔2三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心〔即內(nèi)切圓的圓心.7、關(guān)于線段的垂直平分線和角平分線的作圖：〔1會(huì)作已知線段的垂直平分線；〔2會(huì)作已知角的角平分線；〔3會(huì)作與線段垂直平分線和角平分線有關(guān)的簡(jiǎn)單綜合問(wèn)題的圖形.[典型例題]例1、如圖1.在△ABC中.BC＝8cm.AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D.交邊AC于點(diǎn)E.△BCE的周長(zhǎng)等于18cm.則AC的長(zhǎng)等于〔A．6cmB．8cm C．10cmD．12cm[跟蹤練習(xí)]如圖.AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D.交AC于點(diǎn)E.如果△EBC的周長(zhǎng)是24cm.那么BC=_________;如圖.AB=AC=14cm,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D.交AC于點(diǎn)E.如果BC=8cm.那么△EBC的周長(zhǎng)是______;如圖.AB=AC,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D.交AC于點(diǎn)E.如果∠A=28度.那么∠EBC=___.例2、已知：AB=AC.DB=DC.E是AD上一點(diǎn).求證：BE=CE.[跟蹤練習(xí)]已知：在△ABC中.ON是AB的垂直平分線,OA=OC.求證：點(diǎn)O在BC的垂直平分線.CC例3、在△ABC中.AB=AC.AB的垂直平分線與邊AC所在的直線相交所成銳角為50°.△ABC的底角∠B的大小為_(kāi)______________。[跟蹤練習(xí)]在△ABC中.AB=AC.AB的垂直平分線與AC所在直線相交所得的銳角為40°.則底角B的大小為_(kāi)_______________。例4、如圖8.已知AD是△ABC的BC邊上的高.且∠C＝2∠B.求證：BD＝AC＋CD.例5、已知：如圖.點(diǎn)B、C在∠A的兩邊上.且AB=AC.P為∠A內(nèi)一點(diǎn).PB=PC.PE⊥AB.PF⊥AC.垂足分別是E、F。求證：PE=PF[跟蹤練習(xí)]已知：PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA平分線.它們交于P.PD⊥BM于D.PF⊥BN于F.求證：BP為∠MBN的平分線。例6、如圖10.已知在直角梯形ABCD中.AB∥CD.AB⊥BC.E為BC中點(diǎn).連接AE、DE.DE平分∠ADC.求證：AE平分∠BAD.[跟蹤練習(xí)]如圖所示.AB=AC.BD=CD.DE⊥AB于E.DF⊥AC于F.求證：DE=DF。例7、如圖11.已知在四邊形ABCD中.對(duì)角線BD平分∠ABC.且∠BAD與∠BCD互補(bǔ).求證：AD＝CD.[課堂練習(xí)]1.如圖.AC=AD.BC=BD.則〔A.CD垂直平分ADB.AB垂直平分CDC.CD平分∠ACBD.以上結(jié)論均不對(duì)2.如果三角形三條邊的中垂線的交點(diǎn)在三角形的外部.那么.這個(gè)三角形是〔A.直角三角形 B.銳角三角形C.鈍角三角形 D.等邊三角形3.△ABC中.AB的垂直平分線交AC于D.如果AC=5cm.BC=4cm.那么△DBC的周長(zhǎng)是〔A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm4.如圖所示.AB//CD.O為∠A、∠C的平分線的交點(diǎn).OE⊥AC于E.且OE=2.則AB與CD之間的距離等于______________。5.已知.如圖.在△ABC中.AB=AC.O是△ABC內(nèi)一點(diǎn).且OB=OC.求證：AO⊥BC.6.如圖7.在△ABC中.AC＝23.AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D.交BC于點(diǎn)E.△ACE的周長(zhǎng)為50.求BC邊的長(zhǎng).7.已知：如圖所示.∠ACB.∠ADB都是直角.且AC=AD.P是AB上任意一點(diǎn).求證：CP=DP.8.如圖.AD⊥DC.BC⊥DC.E是DC上一點(diǎn).AE平分∠DAB．<1>如果BE平分∠ABC.求證：點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)；<2>如果E是DC的中點(diǎn).求證：BE平分∠ABC．9.如圖.在△ABC中.AB=BC=AC.AD⊥BC于D.E、F分別為AB、AC中點(diǎn)．求證：DA平分∠EDF．10.如圖.在直線MN上找一點(diǎn)P.使點(diǎn)P到直線AB和射線OC的距離相等．[課后作業(yè)]1.下列命題中正確的命題有〔①線段垂直平分線上任一點(diǎn)到線段兩端距離相等；②線段上任一點(diǎn)到垂直平分線兩端距離相等；③經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的直線只有一條；④點(diǎn)P在線段AB外且PA=PB.過(guò)P作直線MN.則MN是線段AB的垂直平分線；⑤過(guò)線段上任一點(diǎn)可以作這條線段的中垂線.A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)2.△ABC中.AB=AC.AC的中垂線交AB于E.△EBC的周長(zhǎng)為20cm.AB=2BC.則腰長(zhǎng)為_(kāi)_______________。3.如圖所示.直線表示三條互相交叉的公路.現(xiàn)在要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站.要求它到三條公路的距離相等.則可供選擇的地址有〔A.一處 B.二處 C.三處 D.四處4.如圖.在△ABC中.AB=AC.∠A=120°.A