直線和圓的方程

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞107六月2023

王新敞直線和圓的方程高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞2◎考綱要求◎（1）理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式.掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程.（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件、兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的關(guān)系.（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域.（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用.（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法.（6）掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程.新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞3數(shù)軸上兩點間距離公式：ABx直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點間距離公式：P2(x2,y2)P1(x1,y1)xyO1.兩點間距離公式新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞42.直線的傾斜角與斜率

在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為α，那么α就叫做直線的傾斜角.

當(dāng)直線和x軸平行或重合時，我們規(guī)定直線的傾斜角為0°可見，直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.xyOα新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞5直線的斜率：xyOα

傾斜角α不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用k表示.

即k=tanα（α≠90°）傾斜角是90°的直線沒有斜率；

傾斜角不是90°的直線都有斜率，其取值范圍是（－∞，+∞）.2.直線的傾斜角與斜率新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞6直線的方向向量：也是該直線的方向向量，k是直線的斜率.特別地，垂直于x軸的直線的一個方向向量為F2(x2,y2)F1(x1,y1)xyO2.直線的傾斜角與斜率新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞7直線斜率的方法①定義法：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα②公式法：已知直線過兩點P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,且x1≠x2，則斜率P2(x2,y2)P1(x1,y1)xyOα平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一條直線都有傾斜角，但不是每一條直線都有斜率.2.直線的傾斜角與斜率新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞8①定義法：已知直線的傾斜角為α，且α≠90°，則斜率k=tanα.②公式法：已知直線過兩點P1（x1,y1）、P2（x2,y2）,且x1≠x2，則斜率P2(x2,y2)P1(x1,y1)xyOα2.直線的傾斜角與斜率新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞9yxoP1(1,f(1))P2(-1,f(-1))例1（2009北京理）設(shè)f(x)是偶函數(shù)，若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為1，則該曲線在(-1,f(-1))處的切線的斜率為_____解法：曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為1，傾斜角為45°，-1f(x)是偶函數(shù)點(1,f(1))處的切線與(-1,f(-1))處的切線關(guān)于y軸對稱，其傾斜角為135°，斜率為k=tan135°=-1.2.直線的傾斜角與斜率新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞10yxoP1(1,f(1))P2(-1,f(-1))例1（2009北京理）設(shè)f(x)是偶函數(shù)，若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為1，則該曲線在(-1,f(-1))處的切線的斜率為_____解法2：曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為1，-1f(x)是偶函數(shù)，可設(shè)2.直線的傾斜角與斜率新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞113.直線方程的五種形式點斜式：斜截式：兩點式：截距式：一般式：P2(x2,y2)P1(x1,y1)xyOP(x0,y0)bak(其中A、B不同時為0).新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞123.直線的五種方程形式

所求直線的斜率為1，由直線的點斜式:所求直線的方程為：y-0=1×[x-(-1)]即x-y+1=0解：例2

(X2+2x+1)+y2=1(X+1)2+y2=12y=-x,k=-1新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞134.兩條直線的平行和垂直

且A1、A2、B1、B2都不為零新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞14例3（2009安徽卷文）直線l過點（-1，2）且與直線2x-3y+4=0垂直，則l的方程是4.兩條直線的平行和垂直

A.3x+2y-1=0B.3x+2y+7=0C.2x-3y+5=0D.2x-3y+8=0解析：直線2x-3y+4=0斜率為：則l的斜率是:由點斜式得整理得3x+2y-1=0A另法：設(shè)直線為3x+2y+c=0或使用驗證法若平行如何作？平行新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞155.l1到l2的角公式

,直線l1到l2的角為α=90°；,直線l1到l2的角為α=90°；新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞16例4（2008全國Ⅱ）等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為x+y-2=0與x-7y-4=0，原點在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為5.l1到l2的角公式

解:直線x+y-2=0與x-7y-4=0的斜率分別為設(shè)底邊所在直線的斜率為k，由到角公式得即化簡得A=另法：觀察驗證法新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞176.l1與l2的夾角公式

,直線l1與l2夾角為α=90°；,直線l1與l2的夾角為α=90°；新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞18例5（2008四川卷）直線y=3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，再向右平移１個單位，所得到的直線為

6.l1與l2的夾角公式

解析：直線y=3x繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°→向右平移１個單位→Ayxo新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞197．四種常用直線系方程(1)定點直線系方程：

(2)共點直線系方程：

(3)平行直線系方程：

(4)垂直直線系方程：

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞20所求直線的斜率為1，由直線的點斜式:所求直線的方程為：y-0=1×[x-(-1)]即x-y+1=0解：例2

7．四種常用直線系方程另法：由題意可設(shè)所求直線的方程為：x-y+λ=0將點C(-1,0)代入方程得λ=1所求直線的方程為：x-y+1=0前面的示例新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞218.點到直線及兩條平行直線之間的距離

⑴點到直線的距離：⑵兩條平行直線之間的距離：新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞228.點到直線及兩條平行直線之間的距離

例6

（2009全國卷Ⅰ文）若直線m被兩平行線所截得的線段的長為④60°⑤75°，其中正確答案的序號是________，則m的傾斜角可以是①15°②30°③45°解：兩平行線間的距離為yxoAPBH所截得的線段的長為

所以直線m的傾斜角等于或

①或⑤

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞23例7（2008安徽卷）若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為8.點到直線及兩條平行直線之間的距離

A．B．C．D．

離小于等于圓的半徑1：

C

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞24例7（2008安徽卷）若過點的直線與曲線有公共點，則直線的斜率的取值范圍為8.點到直線及兩條平行直線之間的距離

A．B．C．D．

另法：觀察圖像

C

⒈230°yxo新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞25例8（2008四川卷）已知直線與圓，則C上各點到l的距離的最小值為8.點到直線及兩條平行直線之間的距離

yxoCDH圓心C(1,1)

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞26例9（2008全國Ⅰ）若直線通過點，則

8.點到直線及兩條平行直線之間的距離

yxoM1H

∵|OM|=1,

∴原點O到直線的距離OH≤1

D

bx+ay-ab=0新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞279.Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域yxo將平面分為上下或左右兩部分一部分的平面區(qū)域，使另一部分的平面區(qū)域，使簡言之,兩部分，使異號yxoABM直線系與線段AB相交

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞28即由題意，有化簡得解得9.Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域例10

已知A(2,-3),B(-3,-2)，直線l經(jīng)過定點P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞299.Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域例10

已知A(2,-3),B(-3,-2)，直線l經(jīng)過定點P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是

另法：∵-2<1<2(點P在如圖的條形區(qū)域內(nèi)）思考：若點P在如圖的條形區(qū)域外？新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞30例11

(2009山東)設(shè)x,y滿足約束條件9.Ax+By+C>0或<0所表示的平面區(qū)域若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則的最小值為直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4,6）目標(biāo)函數(shù)z=ax+by取得最大12,即4a+6b=12,也就是2a+3b=6,A新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞31圓的定義

平面內(nèi)與定點距離等于定長的點的集合(軌跡)叫圓.Cr圓的標(biāo)準(zhǔn)方程MO10.圓的四種方程

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞32CrMO圓的一般方程叫做圓的一般方程.10.圓的四種方程

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞33圓的參數(shù)方程αα10.圓的四種方程

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞34二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件:①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0.線段AB為直徑的圓的方程：10.圓的四種方程

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞35確定圓需三個獨立的條件10.圓的四種方程

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞3610.圓的四種方程

例12

（2009重慶卷）圓心在y軸上，半徑為1，且過點（1,2）的圓的方程為由作圖,根據(jù)點（1,2）到圓心的距離為112yxor=1易知圓心為（0,2），故圓的方程為A

（驗證法）：將點（1,2）代入四個選擇支，排除B，D，又由于圓心在y軸上，排除C

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞3710.圓的四種方程

例13(2009年廣東卷文)以點（2,-1）為圓心且與直線x+y=6相切的圓的方程是

解：將直線x+y=6化為x+y-6=0,圓的半徑為

所以圓的方程為

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞3811.圓系方程過直線與圓的交點的圓系方程是λ是待定的系數(shù).

經(jīng)過直線與圓交點的圓系方程：新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞39經(jīng)過兩個圓交點的圓系方程

在過兩圓公共點的圖象方程中，若λ=－1，可得兩圓公共弦所在的直線方程.11.圓系方程新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞4012.點與圓的位置關(guān)系

點與圓的位置關(guān)系有三種：

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞41例14（2009全國卷Ⅱ文）已知圓O：和點A(1,2)，則過A且與圓O相切的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積等于

yxoA(1,2)由題意可直接求出切線方程為

即x+2y-5=0,從而求出在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是

5和所以所求面積為12.點與圓的位置關(guān)系

kOA=2新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞42①判別式法；②考查圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系.13.直線與圓的位置關(guān)系新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞43直線與圓的位置關(guān)系有三種：

13.直線與圓的位置關(guān)系d<rd>rd=r圓心到直線的距離新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞4413.直線與圓的位置關(guān)系例15（2009重慶卷理）直線與圓的位置關(guān)系為

A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離

圓心(0,0)為到直線y=x+1，即x-y+1=0的距離

∴相交但直線不過圓心B

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞4514.兩圓位置關(guān)系

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞4614.兩圓位置關(guān)系

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞4714.兩圓位置關(guān)系

新疆奎屯市高級中學(xué)特級教師王新敞4814.兩圓位置關(guān)系

例16（2008重慶卷)圓O1:和圓O2: