信號與系統(tǒng)4教學課件

SIGNALSANDSYSTEMS信號與系統(tǒng)第四章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析南京郵電大學通信與信息工程學院2015.11連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析概述傅里葉變換（頻域）分析法在信號分析和處理方面十分有效：分析諧波成分、系統(tǒng)的頻率響應、波形失真、取樣、濾波等要求信號滿足狄里赫勒條件只能求零狀態(tài)響應反變換有時不太容易拉普拉斯變換（復頻域）分析法在連續(xù)、線性、時不變系統(tǒng)的分析方面十分有效可以看作廣義的傅里葉變換變換式簡單擴大了變換的范圍為分析系統(tǒng)響應提供了規(guī)范的方法第四章連續(xù)時間系統(tǒng)的復頻域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的復頻域分析概述4.1拉普拉斯變換4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)4.3拉普拉斯反變換4.4連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析4.5系統(tǒng)函數(shù)4.6連續(xù)系統(tǒng)的模擬4.1拉普拉斯變換4.1.1定義——從傅里葉變換到拉普拉斯變換信號不滿足絕對可積條件的原因是：

只要取得合適，很多函數(shù)(幾乎所有常用的函數(shù))都可以滿足絕對可積的條件。一.引進廣義函數(shù)(傅氏變換)二.拉氏變換(無需引進廣義函數(shù))

若

f(t)

不滿足狄里赫勒條件，我們?yōu)榱四塬@得變換域中的函數(shù)，人為地用一個實指數(shù)函數(shù)e-t

去乘f(t)

。稱

為衰減因子；e-t

為收斂因子。解決的方法：取

f(t)e-t

的傅里葉變換：其傅里葉反變換為雙邊拉普拉斯正變換雙邊拉普拉斯反變換上兩式稱為雙邊拉普拉斯變換對，可以表示為拉氏變換擴大了信號的變換范圍。變換域的內(nèi)在聯(lián)系時域函數(shù)頻域函數(shù)時域函數(shù)復頻域函數(shù)單邊拉普拉斯變換考慮到：1.

實際信號都是有始信號，即2.

我們觀察問題總有一個起點，或者說只需考慮的部分。此時拉普拉斯正變換可以改寫為

正變換的積分下限用0-

的目的是：把t=0

時出現(xiàn)的沖激包含進去。這樣，利用拉氏變換求解微分方程時，可以直接引用已知的初始狀態(tài)f(0-)。但反變換的積分限并不改變。以后只討論單邊拉氏變換：

（1）f(t)

和f(t)u(t)

的拉氏正變換F(s)

是一樣的。

（2）反之，當已知F(s)

，求原函數(shù)時，也無法得到t<0

時的f(t)

表達式。

例如，常數(shù)1和u

(t)

的（單邊）拉普拉斯變換是一樣的。單邊拉氏變換的優(yōu)點：(1)不僅可以求解零狀態(tài)響應，而且可以求解零輸入響應或全響應。(2)單邊拉氏變換自動將初始條件包含在其中，而且只需要了解t=0-

時的情況就可以了。(3)時間變量

t

的取值范圍為0~

，復頻域變量s

的取值范圍為復平面(S平面)的一部分。S

平面當

>0

時，

f(t)e-t

絕對收斂。(4)任何可以進行拉氏變換的信號，其拉氏變換F(s)

中一定沒有沖激函數(shù)。4.1.2（單邊）拉氏變換的收斂域

信號

f(t)

乘以收斂因子后，有可能滿足絕對可積的條件。是否一定滿足，還要看f(t)

的性質(zhì)與的相對關系。通常把使f(t)e-t

滿足絕對可積條件的值的范圍稱為拉氏變換的收斂域。

滿足上述條件的最低限度的

值，稱為0

(絕對收斂橫坐標)。如：有始有終的能量信號0=-功率信號0=0按指數(shù)規(guī)律增長的信號：如

et，0=

凡是增長速度不超過指數(shù)函數(shù)的函數(shù)，統(tǒng)稱為指數(shù)階函數(shù)。指數(shù)階函數(shù)均可以用乘以e-t

的方法將其分散性壓下去。結論：凡指數(shù)階函數(shù)都有拉氏變換。比指數(shù)信號增長的更快的信號：如找不到0

，則此類信號不存在拉氏變換。

單邊拉氏變換的收斂域是：復平面(s平面)內(nèi)，Re(s)=σ＞σ0

的區(qū)域，比較容易確定。一般情況下，不再加注其收斂域。1.傅里葉級數(shù)：

實際上是把周期信號分解為一系列等幅振蕩的正弦分量之和。

復振幅：（可以用復平面虛軸上的離散頻譜表示）變換域之間的內(nèi)在聯(lián)系單元信號:角頻率:（在虛軸上離散取值）2.傅里葉變換頻譜密度：（可以用復平面虛軸上的連續(xù)頻譜表示）單元信號:角頻率:（在虛軸上連續(xù)取值）

復振幅：（為無窮小量）

實際上是把非周期信號分解為無窮多等幅振蕩的正弦分量之和。3.拉普拉斯變換象函數(shù)：（可以用s右半平面上的連續(xù)頻譜表示）單元信號:復頻率:（在s右半平面上連續(xù)取值）

復系數(shù)：（為無窮小量）

實際上是把非周期信號分解為無窮多變幅（按指數(shù)規(guī)律增長或衰減）或等幅振蕩的正弦分量之和。1.單位沖激信號根據(jù)沖激函數(shù)作為廣義函數(shù)的定義：故即4.1.3常用信號的拉普拉斯變換由此，可以導出一些常用函數(shù)的拉氏變換。2.指數(shù)信號

e-tu(t)(這里

無任何限制)單位階躍信號u(t)拉普拉斯變換與傅里葉變換的關系例如增長的指數(shù)信號：：只有拉氏變換而無傅氏變換：拉氏變換、傅氏變換都存在，且例如衰減的指數(shù)信號：例如單位階躍信號：u

(t)：拉氏變換、傅氏變換都存在，但傅氏變換中含有沖激函數(shù)4.2拉普拉斯變換的性質(zhì)

在實際應用中，通常不是利用定義式計算拉氏變換，而是巧妙地利用拉氏變換的一些基本性質(zhì)來求取。拉氏變換的有些性質(zhì)與傅氏變換性質(zhì)極為相似，只要把傅氏變換中的jω

用s

替代即可。但是傅氏變換是雙邊的，而我們這里討論的拉氏變換是單邊的，所以某些性質(zhì)又有差別。1.線性例：求單邊正弦信號和單邊余弦信號的拉氏變換。解：2.時移性例

求圖示鋸齒波f(t)

的拉氏變換解：根據(jù)時移性，有所以：利用時移性可以求單邊周期信號的拉氏變換設f1(t)

表示第一個周期的函數(shù)，則

說明周期信號的拉氏變換等于它第一個周期波形的拉氏變換F1(s)

乘以因子周期函數(shù)可以是廣義的，例如臺階函數(shù)例

求半波正弦函數(shù)的拉氏變換3.尺度變換（比例性）再應用比例性，得解法一：先應用時移性，可得例解法二：先應用比例性，可得再應用時移性，得4.頻移性與傅氏變換比較：這里，s0

可以是實數(shù)，也可以是虛數(shù)或復數(shù)。例5.時域微分主要用于研究具有初始條件的微分方程證明：根據(jù)定義例由于f(0-)不同，所求導數(shù)的拉氏變換不同。6.時域積分證明：由定義若積分下限由-

開始所以例7.復頻域微分與積分基本公式復頻域積分性質(zhì)時域積分性質(zhì)8.初值定理證明：利用時域微分性質(zhì)注意：例：已知，試求初值。實際上：如果不加以分析而直接套用公式，將會得到的錯誤結果。9.終值定理兩邊取s

趨于零的極限，得證明:根據(jù)時域微分性質(zhì)，有條件是：存在

這相當于F(s)

的極點都在S平面的左半平面，并且如果在虛軸上有極點的話，只能在原點處有單極點。否則會得到的錯誤結果。其極點s=

在s平面的右半平面，不能用終值定理。例：已知，試求f(t)

的終值。解：因為F(s)

的極點為s1=0，s2=-1

和s3=

-2，滿足終值定理的條件。所以有其它性質(zhì)：時域卷積定理復頻域卷積定理(無對稱性)例求下列函數(shù)的拉氏變換有下列公式例：求圖示函數(shù)f

(t)

的拉氏變換。解法一：按定義式求積分解法二：利用線性和時移定理解法三：利用時域微分性質(zhì)例求下列函數(shù)的單邊拉氏變換：解：4.3拉普拉斯反變換簡單的拉普拉斯反變換：直接應用典型信號的拉氏變換對及拉氏變換的性質(zhì)得到。例:例:例：解：例:解：頻域微分

部分分式展開法

常見的拉氏變換式是s的多項式之比，一般形式為如果N(s)

的階次高于D(s)的階次,可以用長除法將F(s)化成多項式與真分式之和，例如多項式部分的拉氏反變換是沖激函數(shù)及其導數(shù)，可以直接求得，例如所以只需討論真分式部分的拉氏反變換。1.D(s)

=0

的根都是實根且無重根其中例:解：遮擋法2.D(s)=0

的根有復根且無重根的反變換可以用配方法（或部分分式展開法.略）

上式右邊第二項仍用前述方法展開為部分分式，再利用對應項系數(shù)相等的方法即可求得

k1

和k2

。例：遮擋法配方法對應項系數(shù)相等法3.D(s)=0

的根有重根

k1p…k11可以通過對應項系數(shù)相等或代數(shù)恒等式法得到。例：用遮擋法，得代數(shù)恒等式法例:求下列函數(shù)的拉氏反變換：解：根據(jù)時移性質(zhì)，有解：（配方法）（長除法）例:求下列函數(shù)的拉氏反變換：解：例:4.4連續(xù)系統(tǒng)的復頻域分析

拉普拉斯變換分析法(復頻域分析法)是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具：

1.它將時域中描述系統(tǒng)的微分方程變換為

s

域中的代數(shù)方程，便于運算和求解；

2.由于變換時引入了初始狀態(tài)，所以能夠分別求解零輸入響應和零狀態(tài)響應，或者直接求解系統(tǒng)的全響應。

3.不僅可以分析穩(wěn)定系統(tǒng)，也可以分析不穩(wěn)定系統(tǒng)。

4.不僅可以從微分方程求解系統(tǒng)的全響應，也可以直接從電路求解。4.4.1求解系統(tǒng)微分方程以二階常系數(shù)線性微分方程為例：設激勵為有始信號，即對微分方程兩邊取拉氏變換，利用時域微分性質(zhì)，有整理成例系統(tǒng)的微分方程為解：對微分方程取拉氏變換，得4.4.2分析電路

已知電路時，可根據(jù)復頻域電路模型，直接列寫求解復頻域響應的代數(shù)方程。1.電阻元件電路元件的復頻域模型2.電容元件3.電感元件注意：（1）內(nèi)電源的方向；（2）串聯(lián)模型中，元件上的電壓為復頻阻抗上的電壓與內(nèi)電壓源的電壓之和。用電路的復頻域模型求解響應的步驟1.電路中的每個元件都用其復頻域模型代替（初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換為相應的內(nèi)電源）；

2.信號源及各變量用其拉氏變換式代替；

3.畫出電路的復頻域模型；

4.

應用電路分析的各種方法和定理求解響應的變換式。

5.反變換得響應的時域表達式。例：解：畫出復頻域模型如圖所示，其中由KVL得零狀態(tài)響應零輸入響應全響應例：電路的復頻域電路模型如圖所示，列節(jié)點方程代入數(shù)據(jù)整理得4.5系統(tǒng)函數(shù)4.5.1系統(tǒng)函數(shù)例：已知系統(tǒng)的微分方程為試求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，單位沖激響應和單位階躍響應。解：在零狀態(tài)條件下，對微分方程兩邊取拉氏變換，得所以，例：試求圖示電路的系統(tǒng)函數(shù)。解：電路的零狀態(tài)復頻域模型如圖利用電路的零狀態(tài)復頻域模型求解。4.5.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖zj稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點pk稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖：是系統(tǒng)函數(shù)的另一種表示方法。零點用“°”表示，極點用“×”表示，若為l

重零點或極點，則注以(l)。

實際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)必定是復變量s

的實有理函數(shù)，其零、極點一定是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)。例如例:已知系統(tǒng)的零、極點圖，并且該系統(tǒng)階躍響應的終值為3

試寫出系統(tǒng)函數(shù)的表達式。解：依題意知4.5.3系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布與系統(tǒng)沖激響應的關系1.已知系統(tǒng)函數(shù)的零極點分布就可確定系統(tǒng)沖激響應的變化規(guī)律。根據(jù)極點所在位置分成三種情況：（a）H(s)

的所有極點都為單極點1.S平面的左半平面（1）在實軸上，由于此時，響應呈指數(shù)衰減此時，響應呈衰減的正弦振蕩（2）極點為成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)，且實部為負，由于2.S平面的虛軸（1）在原點，由于3.S平面的右半平面（1）在實軸上，，響應呈指數(shù)增長。（2）極點為成對出現(xiàn)的虛數(shù)，由于，響應呈等幅振蕩。（2）極點為成對出現(xiàn)的共軛復數(shù)，且實部為正，響應呈增長的正弦振蕩。（b）若

H(s)

具有

n

重極點，則沖激響應的模式中將含有

tn-1

因子。（c）

H(s)

零點分布的情況只影響沖激響應的幅度和相位，而對沖激響應的模式?jīng)]有影響。（d）當

H(s)

為假分式時，應先化成多項式與真分式之和。多項式部分表示沖激響應中含有沖激函數(shù)及其各階導數(shù)，再分析真分式部分所對應的響應模式。4.5.4連續(xù)時間系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定系統(tǒng)：對于有界的激勵產(chǎn)生有界的響應的系統(tǒng)。2.系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別（1）穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)的所有極點均位于s

左半平面。（2）臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)在虛軸上（包括原點）有一階極點，其余的所有極點均位于s

左半平面。（3）不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有位于s

右半平面的極點，或在虛軸上（包括原點）有二階以上的極點。例已知系統(tǒng)函數(shù)，試問常數(shù)K

滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？

解：由系統(tǒng)函數(shù)要使極點都在左半平面，必須使解得K<3，所以當K<3時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。H(s)的極點為4.6連續(xù)系統(tǒng)的模擬4.6.1基本運算器

系統(tǒng)的模擬不是對系統(tǒng)的仿制，而是指數(shù)學意義上的等效，使模擬系統(tǒng)與實際系統(tǒng)具有相同的數(shù)學模型。1.加法器：