中考數(shù)學(xué)精創(chuàng)專題-勾股定理 期末壓軸題訓(xùn)練 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第17章勾股定理期末壓軸題訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標系中，∠ABO=90°，∠A=30°，B點坐標為（0，4），點C為AB的中點，動點D從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿線段AO向終點O運動，運動時間為t秒（t>0），連接CD，作點A關(guān)于直線CD的對稱點P(1)若點P恰好落在AO上，求t的值；(2)若CP⊥OA，求t的值；(3)當t≠2時，∠APB的度數(shù)是否會發(fā)生變化？若保持不變，請求出∠APB的度數(shù)：若發(fā)生變化，請說明理由2．【證明體驗】(1)如圖1，在中，為邊上的中線，延長至，使，連接．求證：．【遷移應(yīng)用】(2)如圖2，在中，，，為的中點，．求面積．【拓展延伸】(3)如圖3，在中，，是延長線上一點，，是上一點，連接交于點，若，，求的長．3．如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別在x、y軸上，點B的坐標為（0，2），∠ABO＝60°．(1)求AB的長度；(2)分別以AB、AO為一邊作等邊△ABE、△AOD，求證：BD＝EO；(3)在（2）的條件下，連接DE交AB于F，請你證明點F為DE的中點，并求出此時AF的值．4．在中，，，，點是線段延長線上的動點，點是線段上的動點，連接．(1)如圖1，若≌，求線段的長；(2)已知，如圖2．①設(shè)線段，求線段的長（用含的式子表示）；②設(shè)與的平分線相交于點，求的度數(shù)．5．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，A（a，0），B（b，c），且（a﹣8）2＋|b﹣3|＋＝0，連接AB，AB2＝（a﹣b）2＋c2(1)求點A和點B的坐標和線段AB的長度；(2)如圖2，點P是射線AO上一動點，連接BP，將△ABP沿著直線BP翻折至△QBP，當PQAB時，求點P和點Q的坐標；(3)在（2）的情況下，如圖3，點F是線段AP延長線上一動點，連接BF，將△ABF沿著直線BF翻折至△MBF，連接MQ．當MFBP時，試探究∠QMF，∠QBF與∠MQB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．6．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移動的等邊三角形DEF的兩個頂點E、F始終在邊BC上，DE、DF分別與AB相交于點G、H．(1)如圖1，當點F與點C重合時，點D恰好在斜邊AB上，求△DEF的周長；(2)如圖2，在△DEF作平行移動的過程中，圖中是否存在與線段CF始終相等的線段？如果存在，請指出這條線段，并加以證明；如果不存在，請說明理由；(3)假設(shè)C點與F點的距離為x，△DEF與△ABC的重疊部分的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域．7．點P到∠AOB的距離定義如下：點Q為∠AOB的兩邊上的動點，當PQ最小時，我們稱此時PQ的長度為點P到∠AOB的距離，記為d(P，∠AOB)．特別的，當點P在∠AOB的邊上時，d(P，∠AOB)＝0．在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC是以點O(0，0)，A(4，0)，B(4，4)，C(0，4)為頂點的正方形，作射線OB，則∠AOB＝45°．(1)如圖1，點P1(﹣1，0)，P2(0，)，P3(1，﹣2)的位置如圖所示，請用度量的方式，判斷點P1，P2，P3中到∠AOB的距離等于1的點是；(2)已知點P在∠AOB的內(nèi)部，且d(P，∠AOB)＝1，①若點P的橫縱坐標都是整數(shù)，請寫出一個滿足條件的點P的坐標；②請在圖1中畫出所有滿足條件的點P；(3)如圖2，已知點E(0，﹣8)，F(xiàn)(﹣2，2)，G(7，2)，記射線EF與射線EG組成的圖形為圖形V．若點P在圖形V上，滿足d(P，∠AOB)＝2的點P有個．8．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．點D是直線AB上一點（點D與點A、點B不重合），以CD為直角邊作等腰直角三角形DCE，使∠DCE=90°，連接AE．(1)如圖①，點D在線段AB上，點E與點A在CD同側(cè)．求證：BD=AE．(2)如圖②，點D在BA的延長線上，點E與點A在CD的兩側(cè)，直接寫出線段AB、AD、AE三者之間的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖③，點D在AB的延長線上，點E與點A在CD同側(cè)．若AE=1，AB=4，則CD的長是多少？9．如圖1，在中，，，點D，E分別是AC，BC的中點．(1)直接寫出的形狀是______；(2)如圖2，若點M為直線DE上一動點，，，連接ND，請判斷ND與ME的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由；(3)在（2）的條件下，連接AN，請求出AN的最小值．10．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（不與點B，C重合），在AD的左側(cè)作△ADE，使得AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接BE．(1)當點D在線段BC上時，求證：△ABE≌△ACD．(2)如圖2，若，BC＝2．①求△ABC的面積．②在點D在運動過程中，若△ABE的最小角為25°，求∠EAC的度數(shù)．11．（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點D為BC邊上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE，連接CE．易求∠DCE＝°；（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，點D為BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE，類比題（1），請你猜想：線段BD、CD、DE之間的關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，在（2）的條件下，若D點在BC的延長線上運動，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的長．12．材料閱讀：如圖所示，已知直角梯形中，是上一點，，，，且，，現(xiàn)需探究直角三角形的三邊、、之間的數(shù)量關(guān)系：(1)【初步探究】猜想三角形是否與三角形全等，若是，請說明理由；(2)【問題解決】請用兩種含有，，的代數(shù)式的方法表示直角梯形的面積：______．______．由此，你能得到的、、的數(shù)量關(guān)系是：______．(3)【拓展應(yīng)用】如圖，等腰三角形中，是底邊上的中點，，，、分別是線段和上的兩個動點，求：的最小值．13．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB中點，點E，F(xiàn)分別在直線BC，AC上（點E不與點B，C重合），DF⊥DE，連接EF．(1)如圖1，當點F與點A重合時，AB＝8，DE＝3，求EF的長；(2)如圖2，當點F不與點A重合時，求證：AF2＋BE2＝EF2；(3)若AC＝8，BC＝6，EC＝2，求線段CF的長．14．在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，4），以O(shè)B為邊在y軸的右側(cè)作正三角形OAB．AC⊥y軸，垂足為C．(1)如圖1，求點A的坐標．(2)點D在線段AC上，點E是直線AB上一動點，連接DE、以DE為邊作正三角形DEF（點D，E，F(xiàn)按逆時針排列）①如圖2，當點E與點A重合時，連接OD，BF．若BF=2，求點D的坐標．②若CD=2，點P是直線DF與直線OA的交點，當OP=時，直接寫出點E的坐標．15．如圖，Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°．連接BD、CE．(1)如圖1，點B在邊ED的延長線上，求∠AEC的度數(shù)；(2)如圖2，∠AEC＝90°，射線ED交BC于點F．①求證：BF＝CF；②若BD＝kAD（k＞1），求的值（用含k的式子表示）．16．[問題發(fā)現(xiàn)]小明遇到這樣-一個問題:如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E.(1)小明發(fā)現(xiàn)，過點D作DFAC，交AC于點F，通過構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數(shù)量關(guān)系:(2)[類比探究]如圖2，當點D是線段BC上(除B，C外)任意一點時(其它條件不變)，試猜想AD與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.(3)[拓展應(yīng)用]當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC(其它條件不變)時，請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比，17．如圖，與是等邊三角形，連接，取的中點P，連接并延長至點M，使，連接，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)．(1)如圖1，當點D在上，點E在上時，則的形狀為___________；(2)將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，請判斷的形狀，并說明理由；(3)若，將由圖1位置繞點順時針旋轉(zhuǎn)，當A、C、D三點在同一直線上時，請直接寫出的值．18．定義：我們把兩條對角線互相垂直的四邊形稱為“垂美四邊形”．(1)特例感知：如圖1，四邊形ABCD是“垂美四邊形”，如果，，，則______，______．(2)猜想論證：如圖1，如果四邊形ABCD是“垂美四邊形”，猜想它的兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并給予證明．(3)拓展應(yīng)用：如圖2，分別以的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知，，求GE長．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．(1)t(2)t的值為1或3(3)∠APB＝90°，理由見解析【分析】（1）利用利用直角三角形30°的性質(zhì)求出CD，再勾股定理求出AD即可；（2）分兩種情形：分別畫出圖形，求出AD即可解決問題；（3）結(jié)論：∠APB＝90°是定值．利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理證明即可．【解析】（1）解：如圖1中，∵B（0，4），∴OB＝4，∵∠ABO＝90°，∠A＝30°，∴OA＝2OB＝8，∴AB4，∵CA＝CP，CD⊥PA，∴AD＝PD，∵AC＝CB＝2，∴CDAC，∴AD3，∴t；（2）解：如圖2﹣1中，當CP⊥OA設(shè)CP交OA于點F．∵∠A＝30°，∠CFA＝90°，∴∠ACF＝90°﹣30°＝60°，∴∠DCA＝∠DCP＝30°，∴∠A＝∠DCA＝30°，∴CD＝DA＝2DF，∵AF＝3，∴AD＝CD＝2，DF＝1，∴t1；如圖2﹣2中，當CP⊥OA，設(shè)PC的延長線交AO于點F．同法可證AF＝DF＝3，∴AD＝AF+DF＝6，∴t3．綜上所述，滿足條件的t的值為1或3．（3）結(jié)論：∠APB＝90°是定值．理由：如圖3中，∵CA＝CB＝CP，∴∠CAP＝∠CPA，∠CPB＝∠CBP，∵∠CAP+∠APB+∠ABP＝180°，∴2∠CAP+2∠CBP＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝90°，∴∠APB＝90°．【點評】本題考查了翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．2．(1)見解析(2)(3)的長為【分析】（1）根據(jù)證明三角形全等；（2）如圖2中，延長到，使得，連接．由（1）可知，推出，，利用勾股定理求出，即可解決問題；（3）如圖3中，延長到，使得，連接．證明，設(shè)，則，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．【解析】（1）證明：如圖1中，在和中，，；（2）解：如圖2中，延長到，使得，連接．由（1）可知，，，，，；（3）解：如圖3中，延長到，使得，連接．由（1）可知，，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．3．(1)4(2)見解析(3)證明見解析，點F為DE的中點，此時AF的值為1【分析】（1）根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠BAE＝∠OAD＝60°，AB＝AE，OA＝AD，求得∠OAE＝∠DAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）過E作EH⊥AB于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到BH＝AHAB＝2，根據(jù)勾股定理得到EH2，求得OA2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）解：∵點B的坐標為（0，2），∴OB＝2；∵∠ABO＝60°，∠BOA＝90°，∴∠BAO＝30°，∴AB＝2OB＝4；（2）證明：∵△ABE、△AOD是等邊三角形，∴∠BAE＝∠OAD＝60°，AB＝AE，OA＝AD，∴∠OAB+∠BAE＝∠OAB+∠OAD，即∠OAE＝∠DAB，在△BAD與△EAO中，，∴△BAD≌△EAO（SAS），∴BD＝EO；（3）解：過E作EH⊥AB于H，∵△ABE是等邊三角形，∴BH＝AHAB＝2，∵BE＝AB＝4，∴EH2，在Rt△AOB中，OA2，∴EH＝AD，∵∠OAD＝60°，BAO＝30°，∴∠DAF＝∠EHF＝90°，∵∠EFH＝∠AFD，∴△EHF≌△DAF（AAS），∴EF＝DF，AF＝HFAH＝1，∴點F為DE的中點，此時AF的值為1．【點評】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．(1)2(2)①；②90°【分析】（1）利用勾股定理求出AB＝5，再運用全等三角形性質(zhì)即可求得答案；（2）①如圖2，連接AD，運用三角形面積公式可得：S△ABD＝BD?AC＝DE?AB，即可求得答案；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出：∠BAC＝∠BDE＝90°﹣∠B，再運用角平分線定義可得：∠BAP＝∠BDP＝（90°﹣∠B）＝45°﹣∠B，再運用三角形內(nèi)角和定理即可求得答案．【解析】（1）解：∵，，，∴，

∵，∴，

∴；（2）解：①連接，∵，∴，，∴，

∵，，，

∴；

②如圖3，∵，∴，∴，

∵，分別是，的平分線，∴，

∴，∵，，

∴，

∴．【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形面積，勾股定理，全等三角形性質(zhì)，角平分線定義等，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和面積法是解題關(guān)鍵．5．(1)A（8，0），B（3，3），(2)P（8﹣，0）；Q（3﹣，3）(3)∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF，見解析【分析】（1）由（a?8）2＋|b?3|＋＝0，可得a＝8，b＝3，c＝3，故A（8，0），B（3，3），又AB2＝（a?b）2＋c2，即得AB2＝（8?3）2＋32＝34，即AB＝；（2）由ABPQ，得∠BPQ＝∠ABP，根據(jù)△ABP沿著直線BP翻折至△QBP，即得∠BPA＝∠QBP，BQAP，而AB＝BQ＝，B（3，3），故Q（3?，3），又ABPQ，BQAP，即得P（8?，0）；（3）由BQAP，得∠AFB＝∠QBF，又MFBP，得∠MFB＝∠PBF．由折疊可得：∠MFB＝∠AFB，即得∠QBF＝∠PBF，∠QBP＝2∠QBF，過點Q作直線CDMF，可得CDMFBP，可得∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，即可得∠MQB＝2∠QBF?∠QMF．【解析】（1）解：∵（a﹣8）2+|b﹣3|+＝0，又∵（a﹣8）2≥0，|b﹣3|≥0，≥0，∴a﹣8＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0，∴a＝8，b＝3，c＝3，∴A（8，0），B（3，3），∴AB2＝（8﹣3）2+32＝34，即；（2）解：如圖所示：∵ABPQ，∴∠BPQ＝∠ABP，∵將△ABP沿著直線BP翻折至△QBP，∴∠BPQ＝∠BPA，∠ABP＝∠QBP，∴∠BPA＝∠QBP，∴BQAP，又AB＝BQ＝，B（3，3），∴Q（3﹣，3），又ABPQ，BQAP，∴BQ可看作將AP平移所得，∴由平移的性質(zhì)得BQ＝AP＝，又A（8，0），∴P（8﹣，0）；（3）解：數(shù)量關(guān)系：∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．理由如下：∵BQAP，∴∠AFB＝∠QBF；∵MFBP，∴∠MFB＝∠PBF，由折疊可得：∠MFB＝∠AFB，∴∠QBF＝∠PBF，∴∠QBP＝2∠QBF，過點Q作直線CDMF，如圖所示：∵MFBP，∴CDMFBP，∴∠CQB＝∠QBP，∠CQM＝∠QMF，又∠MQB＝∠CQB﹣∠CQM，∴∠MQB＝∠QBP﹣∠QMF，又∠QBP＝2∠QBF，∴∠MQB＝2∠QBF﹣∠QMF．【點評】本題考查三角形綜合知識，涉及非負式的和為0的條件、圖像的折疊、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形形狀、大小不變．6．(1)9；(2)存在，CF=DG，證明見解析；(3)．【分析】（1）利用勾股定理求出，再證明，即可求出△DEF的周長；（2）由（1）可知：EF=DF=DE=3，進一步得到，再證明EG=BE，利用EG+DG=CF+BE=3，即可證明CF=DG；（3）求出，，利用，即可求出．【解析】（1）解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴，∠A=60，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DCE=60，∴∠ACD=30，∴∠ADC=90，∴，∴△DEF的周長為9；（2）解：結(jié)論：CF=DG.理由：∵BC=6，由（1）可知：EF=DF=DE=3，∴，∵△DEF是等邊三角形，∴∠DEF=60，∵∠DEF=∠B+∠EGB，∴∠B=∠EGB=∠DGE=30，∴EG=BE，∵EG+DG=CF+BE=3，∴CF=DG；（3）解：∵，，∴，即．【點評】本題考查勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，動點問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，等邊三角形性質(zhì)．7．(1)P1，P2(2)①(3，1)；②見解析(3)6【分析】（1）利用測量法結(jié)合點P到∠AOB的距離判斷即可．（2）①根據(jù)d（P，∠AOB）＝1，寫出滿足條件的點P坐標即可．②根據(jù)d（P，∠AOB）＝1，利用勾股定理求解，畫出圖形即可．（3）利用圖象法，畫出圖形判斷即可．【解析】（1）解：如圖1中，通過測量法，可知點P2到直線OB的距離為1，OP1＝1，OP3＞1，∴點P1，P2，P3中到∠AOB的距離等于1的點是P1，P2，故答案為：P1，P2；（2）①一個滿足條件的點P的坐標（3，1），（4，1），（5，1）等（答案不唯一）．故答案為：（3，1）（答案不唯一）．②如圖2中，所有滿足條件的點P在∠MJN的邊上．在x軸上設(shè)一點D（x,0），使點D到OB的距離為1，∵四邊形AOCB為正方形，∴∠BOA=45°，∴?DOF為等腰直角三角形，且DF=1,∴OD=，過點D作DM∥OB，作直線y=1，兩直線相交于點J，∴所有滿足條件的點P在∠MJN的邊上．（3）如圖所示：連接AC，∵四邊形AOCB為正方形，邊長為4，∴AC=，且AC⊥OB，∴CG1=AG1=，過點C與點A分別作HC∥OB∥AM，與圖形V產(chǎn)生2個滿足條件的交點（圖中標出1個，另一個由直線HC與EG直線相交產(chǎn)生）；分別作直線y=與y=-，與圖形V產(chǎn)生2個滿足條件的交點，以點O為圓心，為半徑長，畫弧與圖形V產(chǎn)生2個滿足條件的交點，故滿足條件的點P有6個，故答案為：6．【點評】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)，點P到∠AOB的距離的定義，兩點之間的距離的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解新的定義，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．8．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)等腰三角形的定義可得，然后根據(jù)三角形全等的判定證出，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）參照（1）的方法證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)線段和差、等量代換即可得出結(jié)論；（3）參照（1）的方法證出，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【解析】（1）證明：∵，∴，即，等腰直角三角形，，在和中，，，∴．（2）解：，證明如下：∵，∴，即，等腰直角三角形，，在和中，，，∴，，．（3）解：∵，∴，即，等腰直角三角形，，在和中，，，，，，，，在中，，，在中，，即，解得或（不符題意，舍去），故的長為．【點評】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，正確找出全等三角形是解題關(guān)鍵．9．(1)等腰直角三角形(2)ND=ME，ND⊥ME，理由見解析(3)【分析】（1）由中點的定義得CD＝CE，則△CDE是等腰直角三角形；（2）利用SAS證明△DCN≌△ECM，得∠CEM＝∠CDN，則∠NDM＝∠CDE＋∠DEC＝90°；（3）連接BM，作BH⊥DE于H，先證明△ACN≌△BCM（SAS），得AN＝BM，求出BM的最小值BH的長即可得出AN的最小值．【解析】（1）解：∵點D，E分別是AC，BC的中點，∴CD＝AC，CE＝BC，∵AC＝BC，∴CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形．故答案為：等腰直角三角形．（2）解：ND=ME，ND⊥ME，理由如下：∵∠DCE＝∠MCN，∴∠MCE＝∠NCD，∵CD＝CE，CM＝CN，∴△DCN≌△ECM（SAS），∴ND=ME，∠CEM＝∠CDN，∴∠NDM＝∠CDN+∠CDE=∠DEC+∠CDE＝90°，∴DN⊥ME．（3）解：連接BM，過點B，作BH⊥DE于H，如圖所示：∵∠DCE＝∠MCN，∴∠ACN=∠BCM，∵CN=CM，AC=BC，∴△ACN≌△BCM（SAS），∴AN＝BM，∴當BM最小時，AN最小，BM的最小值為BH，∵，又∵，∴，∴，∴BH=EH，∵BE＝BC＝2，∴，即，∴或（舍去），∴AN的最小值為．【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短等知識，證明△DCN≌△ECM和△ACN≌△BCM，是解題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)①，②∠EAC的度數(shù)為85°或155°或35°或25°【分析】（1）由∠DAE=∠BAC，得∠EAB=∠CAD，再利用SAS可證明△EAB≌△DAC；（2）①由（1）△ABE≌△ACD得，∠ABE=∠ACD，由BE/∥AC，得∠ABE=∠CAB，可知△ABC是等邊三角形，從而得出答案；②分點D在線段BC上或點D在CB延長線上或點D在BC延長線上三種情形，分別畫出圖形，根據(jù)△EAB≌△DAC，得∠AEB=∠ADC，從而解決問題．【解析】（1）證明：當點D在線段BC上時，∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE–∠BAD=∠BAC–∠BAD即∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)；（2）①若BE//AC，BC=2，設(shè)BC所在直線為CF，過點A作AM⊥BC于點M，如圖，則∠AMB=∠AMC=90°，∵BE//AC，∴∠EBF=∠ACB，由(1)知：△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠EBF=∠ABE=∠ABC=∠ACB∵∠EBF+∠ABE＋∠ABC=180°∴∠EBF=∠ABE=∠ABC=∠ACB=60°∴△ABC是等邊三角形，∴BM=CM=BC=1，AB=BC=2，在Rt△ABM中，由勾股定理，得即△ABC的面積為②在點D在運動過程中，若△ABE的最小角為25°，而∠ABE=60°，∴∠BAE=25°或∠AEB=25°，若∠BAE=25°，而∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，則∠EAC=∠BAE+∠BAC=25°+60°=85°，當點D在CB延長線上時，如圖由題意知，∠AEB=25°，由（1）同理可得，△EAB≌△DAC，∴∠AEB=∠ADC=25°，∴∠DAC=180°–∠ADC–∠ACB=180°-25°-60°=95°，∴∠EAC=∠EAD＋∠DAC=60°＋95°=155°當點D在BC延長線上時，如圖，當∠BAE=25°時，∠EAC=∠BAC–∠BAE=60°-25°=35°當∠AEB=25°時，由（1）同理可得△EAB≌△DAC，∴∠AEB=∠ADC=25°，∴∠DAC=∠ACB–∠ADC=60°-25°=35°∴∠EAC=∠EAD–∠DAC=60°-35°=25°綜上所述：∠EAC的度數(shù)為85°或155°或35°或25°．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟悉基本幾何模型是解題的關(guān)鍵．11．（1）120°；（2），理由見解析；（3）【分析】（1）利用等式的性質(zhì)判斷出∠BAD=∠CAE，進而得出△ABD≌△ACE，即可得出答案；（2）同（1）的方法判斷出△ABD≌△ACE，進而得出BD=CE，∠BCE=90°，即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法，即可得出結(jié)論．【解析】（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE=60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，故答案為：120；（2）DE2=CD2+BD2；理由如下：在Rt△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，根據(jù)勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；（3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝∠ECD＝90°∵BC＝6，CE＝10，∴BD＝CE＝10，∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4，∴Rt△DCE中，DE＝∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝【點評】此題是三角形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷出△ABD≌△ACE是解本題的關(guān)鍵．12．(1)是，理由見解析(2)，，(3)【分析】（1）由可得，利用即可證明≌；（2）根據(jù)梯形的面積公式以及，可得兩種含有，，的代數(shù)式的的表示方法，進而得出、、的數(shù)量關(guān)系；（3）過點作于點，交于，此時，即的最小值，利用勾股定理求出，利用面積法可求出的值，即的最小值．（1）解：≌理由如下：四邊形是直角梯形，，，，，，，在和中，，≌．（2）解：≌，，，，，，，，，，，，，，故答案為：；；．（3）過點作于點，交于，此時，即的最小值，，點為底邊的中點，，，，，，，，，的最小值為．【點評】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)以及面積的計算，勾股定理等知識；熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．13．(1)5(2)見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)DE垂直平分AB，得BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，利用勾股定理即可得出答案；（2）作AG⊥AC，交ED的延長線于G，連接FG，利用AAS證明△AGD≌△BED，得BE＝AG，DG＝DE，得出DF是GE的垂直平分線，則GF＝EF，再利用勾股定理即可證明結(jié)論；（3）點E在線段BC上或點E在BC延長線上，分別畫出圖形，利用（2）中的方法解決問題即可．【解析】（1）解：∵D為AB中點，DF⊥DE，∴DE垂直平分AB，∴BE＝EF，BD＝AB＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理得，BE＝＝5，∴EF＝BE＝5；（2）證明：作AG⊥AC，交ED的延長線于G，連接FG，∵點D為AB的中點，∴AD＝BD，∵AG⊥AC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∴AG∥BC，∴∠AGD＝∠BED，在△AGD和△BED中，，∴△AGD≌△BED（AAS），∴BE＝AG，DG＝DE，∵DF⊥DE，∴DF是GE的垂直平分線，∴GF＝EF，∵∠GAF＝90°，∴AG2＋AF2＝FG2，∴BE2＋AF2＝EF2；（3）解：當點E在線段BC上時，作BH∥AC，交FD的延長線于H，連接EH，由（2）同理可得，△ADF≌△BDH（AAS），∴BH＝AF，DH＝DF，∴DE是HF的垂直平分線，∴EF＝HE，∴CF2＋CE2＝AF2＋BE2，設(shè)CF＝x，則AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋42，解得x＝，∴CF＝；當點E在BC延長線上時，如圖，作BG∥AC，交FD的延長線于G，連接EF，EG，同理可得CF2＋CE2＝AF2＋BE2，設(shè)CF＝x，則AF＝8﹣x，∴x2＋22＝（8﹣x）2＋82，解得x＝，∴CF＝，綜上：CF＝或．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵在于利用重點作平行線構(gòu)造全等三角形．14．(1)A（6，2）．(2)①D（4，2）；②（，）或（，）．【分析】（1）由點B的坐標為（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y軸，可得AC是邊OB的中線，則C（0，2），在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AC＝6，所以A（6，2）．（2）①證明△BAF≌△OAD（SAS），所以O(shè)D＝BF＝2，因為OC＝2，所以CD＝4，則D（4，2）；②根據(jù)題意，需要分兩種情況，當點P在x軸上方時，當點P在x軸下方時，連接OD，過點E作AC的垂線，交CA的延長線于點G，易證△PDO≌△EDA（ASA），所以O(shè)P＝AE，則GE，AG，由點的平移可得點E的坐標．【解析】（1）解：∵點B的坐標為（0，4），△OAB是正三角形，且AC⊥y軸，∴AC是邊OB的中線，∴C（0，2），在Rt△ACO中，AO＝4，CO＝2，由勾股定理可得，AC＝6，∴A（6，2）．（2）①AF＝AD，AB＝AO，∵△OAB和△DEF是正三角形，∴∠CAF＝∠OAB＝60°，∵∠BAF＝∠CAF﹣60°，∠OAD＝∠OB﹣60°，∴∠BAF＝∠OAD，在△BAF和△OAD中，，∴△BAF≌△OAD（SAS），∴OD＝BF＝2，∵OC＝2，∴CD＝4，∴D（4，2）；②當點P在x軸下方時，如圖，連接OD，過點E作AC的垂線，交CA的延長線于點G，則∠GAE＝30°，在Rt△ODC中，∠OCD＝90°，CD＝2，OC＝2，∴OD＝4，∠COD＝30°，∴AD＝OD＝4，∵∠AOC=60°，∴∠AOD=30°∴∠DOP＝150°，∵∠GAE＝∠BAC＝30°，∴∠DOP＝∠DAE＝150°，∵∠CDO＝∠EDF＝60°，∴∠ODA＝∠EDP＝120°，∴∠ODA-∠DOE＝∠EDP-∠DOE∴∠PDO＝∠EDA，∴△PDO≌△EDA（ASA），∴OP＝AE，∴GE，AG，∵A（6，2），∴E（，）；當點P在x軸上方時，如圖，連接OD，過點E作EG⊥AC于點G，同上可知，△P′DO≌△EDA（ASA），∴OP＝AE，∴GE，AG，∵A（6，2），∴E（，）；綜上可知，點E的坐標為（，）或（，）．【點評】本題考查了三角形全等綜合問題，坐標與圖形，涉及手拉手全等三角形模型，等邊三角形的性質(zhì)等知識，由SAS得出三角形全等，轉(zhuǎn)化線段長是解題關(guān)鍵．15．(1)(2)①答案見解析；②【分析】（1）證明△BAD≌△CAE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出∠AEC＝∠ADB，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）①過點B作BH⊥BD，交ED的延長線于點H，證明△BFH≌△CFE（AAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出BF＝CF；②設(shè)AD＝x，由等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可得出DF＝，則可得出答案．【解析】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠AEC＝∠ADB，∵AD＝AE，∠ADE＝90°，∴∠ADE＝45°，∴∠ADB＝135°，∴∠AEC＝135°；（2）解：①證明：過點B作BH⊥BD，交ED的延長線于點H，由（1）可知△AEC≌△ADB，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，BD＝CE，∵∠DAE＝90°，AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠BDF＝∠CED＝45°，∴∠H＝45°，∴∠BDH＝∠H，∠H＝∠CEH，∴BD＝BH，∴BH＝EC，又∵∠BFH＝∠CFE，∴△BFH≌△CFE（AAS），∴BF＝CF；②解：設(shè)AD＝x，∵BD＝kAD（k＞1），∴BD＝kx，∴DE＝x，DH＝BD＝kx，∵△BFH≌△CFE，∴EF＝FH，∴DF+EF＝kx，∴DF+DE+DF＝kx，∴DF＝，∴．【點評】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．16．(1)AD=DE(2)AD=DE，證明見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；（2）由等邊三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結(jié)論；（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，證出△ADE是等邊三角形，過點A作AF⊥BC，垂足為F，設(shè)AB=BC=AC=x，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AF，OE和AD，結(jié)合三角形面積公式即可得到結(jié)論．（1）解：證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DFAC，∴∠BDF=∠BFD=60°，∴△BDF是等邊三角形，∴DF=BD，∠BFD=60°，∵BD=CD，∴DF=CD∴∠AFD=120°．∵EC是外角的平分線，∠DCE=120°=∠AFD，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，在△AFD與△EDC中，，∴△AFD≌△ECD（ASA），∴AD=DE；（2）AD=DE；證明：如圖2，過點D作D