三角函數(shù)看不懂

三角函數(shù)看不懂第一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)1．三角函數(shù)的積化和差與和差化積，這兩種互化，對(duì)于求三角函數(shù)的值、化商三角函數(shù)式及三角函數(shù)式的恒等變形，都有重要的作用，它們的作用和地位在三角函數(shù)值的變形中是十分重要的．2．積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過(guò)程本身也運(yùn)用了許多重要的教學(xué)思想和方法，在課堂教學(xué)中應(yīng)作為重要一環(huán)給予足夠的重視．(三)德育滲透點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，處處充滿辯證法，和差化積與積化和差看似是一對(duì)矛盾，但它們又處在對(duì)立統(tǒng)一體中，這些公式中，從左到右為積化和差，而從右到左則成為和差化積．在實(shí)際應(yīng)用，他們又是相輔相成的，通過(guò)這一內(nèi)容的教學(xué)，使學(xué)生受到一次辯證法實(shí)例的教育，不失為一個(gè)好時(shí)機(jī)．第二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)1．教學(xué)重點(diǎn)：理順三角公式變換的相互關(guān)系，掌握積化和差與和差化積公式的推導(dǎo)過(guò)程，并能用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題，以及用好用活2．教學(xué)難點(diǎn)：(1)公式的推導(dǎo)．(2)公式的應(yīng)用．(3)三角式的恒等變換的一般規(guī)律．三、課時(shí)安排4課時(shí)．四、教與學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)第三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第一課時(shí)三角函數(shù)的積化和差

(一)復(fù)習(xí)和、差角的正弦與余弦公式師：前階段我們已學(xué)習(xí)了和差、倍、半角的三角函數(shù)的公式，請(qǐng)問(wèn)學(xué)生回憶一下這些三角公式的推導(dǎo)，變換過(guò)程．生：所有這些三角公式都是從一個(gè)公式演化而來(lái)的，主要是證明了兩角和的余弦函數(shù)公式．之后，利用換元法以及誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)之間的關(guān)系等而導(dǎo)出一系列公式來(lái)，他們相互之間是有緊密關(guān)系的．師：和、差、倍、半角的三角函數(shù)是一組十分重要的公式，它們?cè)诮鉀Q三角恒等變換等方面有許多重要應(yīng)用．但是，光是這些關(guān)系還不足以解決問(wèn)題，今天我們還要進(jìn)一步把握它們的內(nèi)在聯(lián)系，尋求新的關(guān)系式．(二)引入新課請(qǐng)學(xué)生說(shuō)出正、余弦的和差角公式(板書(shū))第四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ(1)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsingβ(2)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(3)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ(4)師：請(qǐng)同學(xué)們注意觀察這四個(gè)公式，考慮一下能否利用這些公式得出一些新關(guān)系來(lái)．生1：把(1)式與(2)式相加可得sin(α+β)+sin(α-β)=αsinαcosβ．生2：把(1)式與(2)式相減可得sin(α+β)-sin(α-β)=αcosαsinβ．師：(3)、(4)兩式作類似的加、減還可以得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ，cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．師：若把這四個(gè)關(guān)系式整理一下，即可得到第五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二以上這四個(gè)公式的特征是把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的和、差的形式，我們把上述公式稱為三角函數(shù)的積化和差公式．積化和差公式的功能可以把三角函數(shù)的一種形式(積的形式)轉(zhuǎn)化為另一種形式(和差的形式)，這種轉(zhuǎn)化可以使得一些我們無(wú)法解決的問(wèn)題變成可能解決的問(wèn)題，它們?cè)谌鞘降淖儞Q中有很重要的作用．現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們先翻開(kāi)課本P．227，先看看這段課文，特別是注意公式的函數(shù)，函數(shù)名、角的形式等特征，記好這四個(gè)公式(五分鐘閱讀，讓學(xué)生記憶)．第六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二師：現(xiàn)在暫停讀書(shū)，這幾個(gè)公式形式比我們過(guò)去學(xué)過(guò)的其他三角公式要復(fù)雜一些，記好用好這些公式得有一段過(guò)程，當(dāng)然，千萬(wàn)不要死記硬背，適當(dāng)做一些練習(xí)，掌握這些公式的實(shí)際應(yīng)用，是可以逐步掌握它們的．讓我們看看以下的例題．例題求sin75°·cos15°的值．請(qǐng)同學(xué)們想想有什么辦法可以解決這個(gè)問(wèn)題？生1：考慮到75°±15°都是特殊角，所以想到使用積化和差公式解決之．師：很好，用我們剛剛學(xué)過(guò)的積化和差公式可以很方便地解決這個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)大家想想是否還有其他解法？生2：由于75°與15°互為余角，所以可以采用以下的解法．第七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二生3：由于75°與15°可以由45°與30°組合而成，所以只要用到和差角的三角函數(shù)公式就可以解決了．師：從這個(gè)例題的幾種解法，我們可以看出，三角函數(shù)求值或恒等變換，往往可以從不同角度考慮，進(jìn)而使用不同的三角公式，獲得問(wèn)題的解決，可謂殊途同歸，但是我們考慮問(wèn)題時(shí)，一定要根據(jù)條件及結(jié)論、選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，以求?wèn)題的解決．現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們?nèi)〕稣n堂練習(xí)本，完成以下的幾個(gè)練習(xí)．(三)課堂練習(xí)1．求sin20°·cos70°+sin10°·sin50°的值，2．求cos37.5°·cos22.5°的值，第八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二學(xué)生練習(xí)、教師巡視、答疑，對(duì)一些有困難的學(xué)生作些提示，適當(dāng)時(shí)候，安排幾個(gè)學(xué)生作板演．練習(xí)題解法：1．sin20·cos70°+sin10°·sin50°2．cos37.5°·cos22.5°第九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二而sin20°·sin40°·sin80°第十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二(四)課堂小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的積化和差公式，雖然這些公式是新出現(xiàn)的，但它和過(guò)去學(xué)習(xí)的一些三角公式有密切的關(guān)系，所以首先應(yīng)理清他們的內(nèi)在聯(lián)系，這組公式的功能可以把三角函數(shù)的積的形式轉(zhuǎn)化為和差的形式，通過(guò)例解及課堂練習(xí)，同學(xué)們也開(kāi)始發(fā)現(xiàn)這組公式的作用，希望同學(xué)們?cè)诮窈蟮膶W(xué)習(xí)中記好、用好這一組公式五、作業(yè)P．231中3；P．236中1、2．六、板書(shū)設(shè)計(jì)第十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第二課時(shí)三角函數(shù)的和差化積

一、教與學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)積化和差公式1．請(qǐng)學(xué)生復(fù)述積化和差公式，教師板書(shū)2．部分作業(yè)選講①證明cos2αcosα—sin5αsin2α=cos4α·cos3α．利用積化和差公式，可得第十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二②求cos20°、cos40°、cos80°的值．解法一第十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二師：我們知道，每個(gè)數(shù)學(xué)公式都有兩方面的應(yīng)用，即正用與逆用．積化和差公式也不例外，那么，積化和差公式的逆用應(yīng)怎么稱呼呢？生：應(yīng)稱為三角函數(shù)的和差化積公式．師：確實(shí)如此，這節(jié)課，我們就來(lái)學(xué)習(xí)三角函數(shù)的和差化積公式．(二)引入新課由三角函數(shù)的積化和差公式的逆用，我們可得以下幾個(gè)公式：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ；sin(α+β)-sin(α-β)=2cosαsinβ；cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ；cos(α+β)-cos(α-β)=-2sinαsinβ．為了突出這組公式是三角函數(shù)的和差化積公式并能方便地記憶，可作如下的換元：第十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二這樣我們就得到如下的三角函數(shù)的積化和差公式和差化積公式與積化和差公式相反，它可以把三角函數(shù)的和差的形式轉(zhuǎn)化為積的形式，從而獲得問(wèn)題的解決．如前面評(píng)講的作業(yè)，也可以一直由等式的左邊一直推到等式的右邊．第十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二例1求sin42°-cos12°+sin54°的值．分析：這是三角中常遇到的問(wèn)題，由于原題是三個(gè)三角函數(shù)的和差形式，自然想到要使用和差化積公式，由于上述問(wèn)題中現(xiàn)成的同名角函數(shù)為sin42°、sin54°，因而一般做法是將這二個(gè)函數(shù)做和差化積(稍停頓)．但本題若采用此法則無(wú)后續(xù)手段，問(wèn)題的解決將十分困難．應(yīng)該說(shuō)這種思考的方向是正確的，但我們不是為和差化積而和差化積，而是為問(wèn)題的解決而和差化積的，一般地說(shuō)出現(xiàn)多個(gè)三角函數(shù)的和差時(shí)，應(yīng)選擇能出現(xiàn)特殊角的一組進(jìn)行．鑒于此，本題應(yīng)采取下面的解法．解：原式=sin42°-sin78°+sin54°=-2cos60°sin18°+sin54°=cos54°-sin18°=2sin36°sin18°．第十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二師：進(jìn)行到此，本題的化簡(jiǎn)能進(jìn)行下去嗎？生：可試著使用正弦函數(shù)的倍角公式化簡(jiǎn)．2cos36°sin18°師：本題與前面的例題形式上是差不多的，請(qǐng)大家想一想該怎么解？生：(議論)用和差化積公式化簡(jiǎn)應(yīng)是可行的，由于本題三個(gè)函數(shù)都是余弦，而任兩角的和、差都不為特殊角，所以可任選其中的兩個(gè)先作和差化積．第十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二提問(wèn)一個(gè)學(xué)生，可得如下變形師：到此，下一步比較關(guān)鍵(指導(dǎo)學(xué)生討論)，逐步統(tǒng)一到如下解法：第十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二師：本題對(duì)初學(xué)和積互化的關(guān)系式中是比較困難的，采用同樣的方法也可以對(duì)1、3兩項(xiàng)或2、3兩項(xiàng)先使用和差化積公式，再利用余弦的倍角進(jìn)一步完成本題．本題還可以采用積化和差的辦法解決之．第二十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二(三)小結(jié)和差化積公式的左邊全是同名函數(shù)的和或差，只有負(fù)數(shù)絕對(duì)值相同的同名函數(shù)的和與差才能直接運(yùn)用公式化成積的形式，如果是一個(gè)正弦與一余弦的和或差必須先用誘導(dǎo)公式化成同名函數(shù)后，再運(yùn)用積化和差公式化成積的形式．無(wú)論是和差化積還是積化和差中的“和差”與“積”，都是指得三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是角的關(guān)系，這是必須十分清楚的．三角函數(shù)的和差化積所要求的最后結(jié)果，只要是三角函數(shù)的積的形式就可以了，不求形式上的一致．第二十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二遇到三個(gè)或三個(gè)以上的三角函數(shù)的和差化積或積化和差，可以先在其中的二個(gè)函數(shù)中進(jìn)行(遇到這種情況多半會(huì)組合出特殊角)，然后再與其他的三角函數(shù)繼續(xù)進(jìn)行下去．今天課上例2的第二種解法主要適用于三角函數(shù)式中的角是等差的，通常分子分母上同乘以公差一半的正弦．二、板書(shū)設(shè)計(jì)第二十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二第三課時(shí)習(xí)題課

三角函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，這二章(第三章與第四章)從介紹三角函數(shù)的定義、性質(zhì)、圖象開(kāi)始逐步深入，學(xué)習(xí)的進(jìn)程高潮迭起，特別是從和、差、倍、半角的三角函數(shù)直到三角函數(shù)的和差化積與積化和差，既充分揭示了三角函數(shù)的內(nèi)在關(guān)系，且每組公式又都有它自身的使用范圍，另外三角函數(shù)這塊內(nèi)容又是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)分支的重要工具，在函數(shù)研究、立體幾何、代數(shù)及解析幾何中都有廣泛的應(yīng)用，學(xué)好三角函數(shù)是學(xué)好其他數(shù)學(xué)分支的重要基礎(chǔ)．由于三角公式相當(dāng)多，所以記憶和應(yīng)用就顯得十分重要，安排兩節(jié)習(xí)題課的目的，就是希望通過(guò)練習(xí)及比較，使學(xué)生能熟練掌握進(jìn)行三角恒等變換的一般方法．(一)復(fù)習(xí)和差化積與積化和差公式(二)作業(yè)評(píng)講1．求cos20°+cos100°+cos140°．第二十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二=cos40°+cos140°=0．2．△ABC中，求證cos2A+cos2B+cos2C=-1-4cosAcosBcosC．證明：∵A、B、C為△ABC的三內(nèi)角．∴A+B+C=π，即C=π-(A+B)．∴原式左邊=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2C-1=2cos(A+B)cos(A-B)+2cos2(A+B)-1=2cos(A+B)[cos(A+B)+cos(A-B)]-1=4cos(A+B)cosAcosC-1=-1-4cosAcosBcosC．(三)范例選解例1求sin220°+cos250°+sin20°·cos50°的值．分析：本題有兩個(gè)平方式，遇到三角函數(shù)的平方式(包含三次，四次式等)，常利用余弦的倍角公式作降次處理．第二十四頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二(當(dāng)然也可以把它們視為二個(gè)三角函數(shù)的積做積化和差．)作了如下處理后，即成為三角函數(shù)一次式的和差了，自然做和差化積．若又注意到本題的結(jié)構(gòu)，以下解法也是可以考慮的．原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50°=[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°第二十五頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二當(dāng)然，也可以這樣配方原式=(sin20°-sin40°)2+3sin20°cos50°例題2求ctg70°+4cos70°的值．分析：由于本題余切函數(shù)與余弦函數(shù)共存，∴首先應(yīng)化切為弦，接著自然是要做通分，最后再考慮分子的化簡(jiǎn)，由于分子的三角函數(shù)的系數(shù)不同，一拆為二就是必然的了．第二十六頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二習(xí)題課上，教師主要講以上二例，雖為例解，但應(yīng)注意調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考，注意學(xué)生提出的問(wèn)題以及學(xué)生提出的處理方法，若方向?qū)︻^應(yīng)予以肯定，若方法不當(dāng)也應(yīng)幫助分析原因．以下幾個(gè)練習(xí)主要由學(xué)生完成，練習(xí)題預(yù)先寫(xiě)在幻燈片上，適時(shí)安排學(xué)生板演，習(xí)題課的形式是講講、議議、練練．(四)練習(xí)題第二十七頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二3．tg10°+sec50°課堂練習(xí)題分析及解法：2．類似本題的條件，有兩條路可供選擇，其一是將兩式兩邊分別平方后再相加，但這樣處理所能得到的是cos(α-β)的值，但采用這樣的辦法于事無(wú)補(bǔ)．另一條路是把兩個(gè)某式左邊的三角函數(shù)分別作和差化積可得到如下關(guān)系：第二十八頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二3．本題若只是簡(jiǎn)單處理，可能會(huì)做不下去．到此或許許多人就束手無(wú)策了，當(dāng)然，這樣做如果處理得法，還是會(huì)最后得到正確結(jié)果的，但是計(jì)算太大了．若注意到10°、50°分別與80°、40°互為余角，利用誘導(dǎo)公式可得如下解法．第二十九頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二(四)小結(jié)三角函數(shù)的恒等變換，由于三角公式較多、用起來(lái)也較活，所以應(yīng)當(dāng)掌握變形的一般規(guī)律，而一般規(guī)律的獲得主要靠自己的實(shí)踐以及理性上的升華。通過(guò)一個(gè)階段的學(xué)習(xí)與練習(xí)，應(yīng)是有一定體會(huì)的．一般說(shuō)三角變換問(wèn)題，首先要關(guān)注問(wèn)題中的角，特別是角的和、差、倍、半關(guān)系，當(dāng)然這些關(guān)系也不是一成不變的，如適當(dāng)時(shí)候，我們也可以把α看作是第三十頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二說(shuō)三角函數(shù)的恒等變換常用的規(guī)則是：化繁為簡(jiǎn)、化高為低(降次)，化復(fù)合角為單角(和差角公式)，化切割為弦，化大角為小角，和差化積，積化和差。所有這些希望同學(xué)們通過(guò)自己的實(shí)踐慢慢揣摸．，它的功能可以把任意函數(shù)而同角的正、余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)函數(shù)的形狀，這個(gè)變換對(duì)于函數(shù)三角函數(shù)的性質(zhì)，諸如確定三角函數(shù)的周期、最值、劃分單調(diào)區(qū)間等都是十分有用的，掌握好這個(gè)公式在一些看似困難的問(wèn)題都能巧妙地解決，所以課本P．234中例12的內(nèi)容單獨(dú)安排一節(jié)課．思考：把下列各式化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的形式．第三十一頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二(ii)-sinx+cosx，(iii)asinx+bcosx．∴原式=cos60°sinx-sin60°cosx=sin(x-60°)．師：很好，象這樣的問(wèn)題只要運(yùn)用三角函數(shù)的和差角公式即可了，和正弦，那么函數(shù)能分別看作正弦、余弦的應(yīng)具備什么條件？生：函數(shù)的平方和必須為1．師：那么，函數(shù)的平方和不是1的情況應(yīng)怎樣操作？后面的練習(xí)將第三十二頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二這樣這道題也可以這樣處理：原式=sin30°sinx-cos30°cosx=-(cos30°cosx-sin30°sinx)=-cos(x+30°)．雖然這兩種做法的最后結(jié)果形式也有差異，但它們實(shí)質(zhì)也是相等的，這兩種解法的結(jié)論都符合題意．弦．由于余弦值為正號(hào)、正弦值為負(fù)號(hào)，這樣的角終邊位置在第四象限．∴第三十三頁(yè)，共四十頁(yè)，編輯于2023年，星期二∴原式=sinxcos300°-cosxsin300°=sin(x+300°)．最后提及的處理方法是解決此類問(wèn)題的通法，請(qǐng)同學(xué)們觀察這種解法的幾何特征，希望大家在處理同類問(wèn)題時(shí)統(tǒng)一地用這種解法．現(xiàn)在再請(qǐng)一位同學(xué)提出第二題的處理辦法．生2：由于本題函數(shù)的平方和不為1，為了能將它們轉(zhuǎn)化為正、余弦值，應(yīng)考慮到(-1)2+12=2∴可以這樣解決之師：很好，應(yīng)該說(shuō)你們已揣摸出解這類題的真諦了，現(xiàn)在看看更一