向量和子空間投影定理

向量和子空間投影定理第一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識1、向量和子空間投影定理(1)n維歐氏空間：Rn

點(diǎn)（向量）：x

Rn,x=(x1,x2,…,xn)T

分量xi

R(實(shí)數(shù)集)

方向（自由向量）：d

Rn,d0d=(d1,d2,…,dn)T

表示從0指向d的方向?qū)嵱弥校Ｓ脁+d表示從x點(diǎn)出發(fā)沿d方向移動d長度得到的點(diǎn)d0xx+(1/2)d第二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）1、向量和子空間投影定理(2)向量運(yùn)算：x,y

Rn

n

x,y的內(nèi)積：xTy=xiyi=x1y1+x2y2+…+xnyn

i=1

x,y的距離：

‖x-y‖=[(x-y)T(x-y)](1/2)

x的長度：

‖x‖=[xTx](1/2)

三角不等式：

‖x+y‖≤‖x‖＋‖y‖

點(diǎn)列的收斂：設(shè)點(diǎn)列｛x(k)｝Rn

,xRn

點(diǎn)列｛x(k)｝收斂到x，記limx(k)=x

lim‖x(k)-x‖=0limxi(k)=xi,ikkkx+yyx第三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）1、向量和子空間投影定理(3)子空間：設(shè)

d(1),d(2),…,d(m)

Rn,d(k)

0

m

記L(d(1),d(2),…,d(m))={x=

jd(j)

jR

}

j=1為由向量d(1),d(2),…,d(m)

生成的子空間，簡記為L。正交子空間：設(shè)L

為Rn的子空間，其正交子空間為

L＝{xRn

xTy=0,

yL

}子空間投影定理：設(shè)L為Rn的子空間。那么

xRn，唯一xL,yL,使z=x+y,且x

為問題

min‖z-u‖

s.t.uL

的唯一解，最優(yōu)值為‖y‖。特別，

L

＝Rn時(shí)，正交子空間L＝{0}（零空間）第四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）規(guī)定：x,y

Rn，x≤yxi≤

yi，i

類似規(guī)定x≥y，x=y，x<y,x>y.一個(gè)有用的定理設(shè)xRn，R，L為Rn

的線性子空間，

(1)若xTy≤,

yRn

且y≥

0，

則x≤0，≥

0.(2)若xTy≤,

yLRn

，

則xL，≥

0.(特別,

L＝Rn時(shí),x=0)定理的其他形式：“若xTy≤,

yRn

且y≤

0，則x≥0，≥

0.”“若xTy≥,

yRn

且y≥

0，則x≥0，≤

0.”“若xTy≥,

yRn

且y≤

0，則x≤0，≤

0.”“若xTy≥,

yLRn

，則xL，≤

0.”第五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）2、多元函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(1)n元函數(shù)：f(x):Rn

R

線性函數(shù)：f(x)=cTx+b=cixi

+b

二次函數(shù)：f(x)=(1/2)xTQx+cTx+b=(1/2)ijaijxixj

+cixi

+b

向量值線性函數(shù)：F(x)=Ax+dRm其中A為mn矩陣，d為m維向量

F(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))T記aiT為A的第i行向量，fi(x)=aiTx第六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）2、多元函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(2)梯度（一階偏導(dǎo)數(shù)向量）：

f(x)＝(f/x1,f/x2,…,f/xn)TRn

.

線性函數(shù)：f(x)=cTx+b,

f(x)=c

二次函數(shù)：f(x)=(1/2)xTQx+cTx+b

f(x)=Qx+c

向量值線性函數(shù)：F(x)=Ax+dRmF/x=AT第七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）2、多元函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(3)Hesse陣（二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣）：

2f/x12

2f/x2x1

…2f/xnx1

2f(x)=

2f/x1x2

2f/x22

…2f/xnx2

…

…

……

2f/x1xn

2f/x2xn

…2f/xn2

線性函數(shù)：f(x)=cTx+b,

2f(x)=0

二次函數(shù)：f(x)=(1/2)xTQx+cTx+b,

2f(x)=Q第八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.0、預(yù)備知識（續(xù)）2、多元函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)(4)n元函數(shù)的Taylor展開式及中值公式：

設(shè)f(x):Rn

R

，二階可導(dǎo)。在x*的鄰域內(nèi)一階Taylor展開式：

f(x)=f(x*)+fT(x*)(x-x*)+o‖x-x*‖二階Taylor展開式：

f(x)=f(x*)+fT(x)(x-x*)+(1/2)(x-x*)T

2f(x*)(x-x*)+o‖x-x*‖2一階中值公式：對x,,使

f(x)=f(x*)+［f(x*+(x-x*))]T(x-x*)Lagrange余項(xiàng)：對x,,記xx*+(x-x*)

f(x)=f(x*)+fT(x)(x-x*)+(1/2)(x-x*)T

2f(x)(x-x*)第九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般形式

minf(x)

--------目標(biāo)函數(shù)

s.t.xS

--------約束集合，可行集其中，SRn，f:SR，xS稱（fS)的可行解最優(yōu)解:x*S，滿足f(x*)≤f(x),xS。則稱

x*為(fS)的全局最優(yōu)解(最優(yōu)解),

記g.opt.(globaloptimum),簡記opt.最優(yōu)值:x*為(fS)的最優(yōu)解,則稱f*=f(x*)

為

(fS)的最優(yōu)值(最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值)(fS)第十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般形式（續(xù)）局部最優(yōu)解:x*S，x*的鄰域N(x*)，使?jié)M足

f(x*)≤f(x),xSN(x*)

。則稱x*為(fS)的局部最優(yōu)解,記l.opt.(localoptimum)在上述定義中，當(dāng)xx*時(shí)有嚴(yán)格不等式成立，則分別稱x*

為(fS)的嚴(yán)格全局最優(yōu)解和嚴(yán)格局部最優(yōu)解。嚴(yán)格l.opt.嚴(yán)格g.opt.l.opt.第十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.1數(shù)學(xué)規(guī)劃模型的一般形式（續(xù)）函數(shù)形式:

f(x),gi(x),hj(x):RnRminf(x)(fgh)s.t.gi(x)

≤0,i=1,2,…,m

hj(x)=0,j=1,2,…,l矩陣形式:minf(x)，f(x)

:RnR(fgh)s.t.g(x)

≤0,g(x):RnRm

h(x)=0,h(x):RnRl

當(dāng)f(x),gi(x),hj(x)均為線性函數(shù)時(shí)，稱線性規(guī)劃；若其中有非線性函數(shù)時(shí)，稱非線性規(guī)劃。第十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃一、凸集1、凸集的概念：定義：設(shè)集合SRn，若x(1),x(2)S,[0,1]，必有

x(1)＋(1-)x(2)S，則稱S為凸集。規(guī)定：單點(diǎn)集{x}為凸集，空集為凸集。注:x(1)＋(1-)x(2)=x(2)＋(x(1)-x(2))

是連接x(1)與x(2)的線段。凸集非凸集非凸集第十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集1、凸集的概念：例:證明集合S={x∣Ax=b}是凸集。其中，A為mn矩陣，b為m維向量。凸組合：設(shè)

x(1),x(2),…,x(m)

Rn,j≥

0

mm

j=1,那么稱

jx(j)為x(1),x(2),…,x(m)的

j=1j=1凸組合。

m比較:z=

jx(j)

j=1jR

—

構(gòu)成線性組合——

線性子空間j≥0,

j>0—

構(gòu)成半正組合——

凸錐j≥0,

j=0—

構(gòu)成凸組合——

凸集第十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集1、凸集的概念：定理：S是凸集S中任意有限點(diǎn)的凸組合屬于S多胞形H(x(1),x(2),…,x(m))：由x(1),x(2),…,x(m)的所有凸組合構(gòu)成。單純形：若多胞形H(x(1),x(2),…,x(m))滿足，

x(2)-x(1),x(3)-x(1),…,x(m)-

x(1)

線性無關(guān)。多胞形單純形單純形第十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集

2、凸集的性質(zhì)：凸集的交集是凸集；（并？）凸集的內(nèi)點(diǎn)集是凸集；（逆命題是否成立？）凸集的閉包是凸集。（逆命題是否成立？）分離與支撐：凸集邊界上任意點(diǎn)存在支撐超平面兩個(gè)互相不交的凸集之間存在分離超平面支撐強(qiáng)分離分離非正常分離第十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))一、凸集3、凸錐：定義：C

Rn,若xC,>0

有xC,則稱C是以0為頂點(diǎn)的錐。如果C還是凸集，則稱為凸錐。集合{0}、Rn是凸錐。命題：C是凸錐C中任意有限點(diǎn)的半正組合屬于S0第十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)

1、凸函數(shù)及水平集定義:設(shè)集合SRn為凸集，函數(shù)f:SR

若x(1),x(2)S,(0,1)，均有

f(x(1)＋(1-)x(2))≤f(x(1))+(1-)f(x(2))，則稱f(x)為凸集S上的凸函數(shù)。若進(jìn)一步有上面不等式以嚴(yán)格不等式成立，則稱f(x)為凸集S上的嚴(yán)格凸函數(shù)。當(dāng)-f(x)為凸函數(shù)（嚴(yán)格凸函數(shù)）時(shí)，則稱f(x)為凹函數(shù)（嚴(yán)格凹函數(shù)）。嚴(yán)格凸函數(shù)凸函數(shù)嚴(yán)格凹函數(shù)第十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)1、凸函數(shù)及水平集：定理：f(x)為凸集S上的凸函數(shù)S上任意有限點(diǎn)的凸組合的函數(shù)值不大于各點(diǎn)函數(shù)值的凸組合。思考：設(shè)f1,f2是凸函數(shù)，設(shè)1,2>0,1f1+2f2,1f1-2f2是否凸函數(shù)？f(x)=max{f1(x),f2(x)},g(x)=min{f1(x),f2(x)}是否凸函數(shù)？

第十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)1、凸函數(shù)及水平集：定義：設(shè)集合SRn，函數(shù)f:SR，R

，稱S={xS∣f(x)≤

}為f(x)在S上的水平集。定理：設(shè)集合SRn是凸集，函數(shù)f:SR是凸函數(shù)，則對R

，S

是凸集。注：水平集的概念相當(dāng)于在地形圖中，海拔高度不高于某一數(shù)值的區(qū)域。上述定理的逆不真?？紤]分段函數(shù)f(x)=1(x≥0)或0(x<0)，函數(shù)非凸，但任意水平集是凸集。第二十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)2、凸函數(shù)的性質(zhì)：方向?qū)?shù)：設(shè)S

Rn為非空凸集，函數(shù)f:SR，再設(shè)x*

S,d為方向，使當(dāng)

>0

充分小時(shí)有x*+d

S,

如果

lim

[f(x*+d)-f(x*)]/

存在（包括）

則稱f(x)為在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)存在，記

f`(x*;d)=lim

[f(x*+d)-f(x*)]/

若f(x)在x*可導(dǎo)，則f`(x*;d)=[f(x*)]Td.第二十一頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)2、凸函數(shù)的性質(zhì)：以下設(shè)S

Rn為非空凸集，函數(shù)f:SR2）若f凸，則f在S的內(nèi)點(diǎn)集上連續(xù)；注：f在S上不一定連續(xù)。

例:f(x)＝2(當(dāng)x=1)；f(x)＝x2(當(dāng)x<1).

3）設(shè)f凸，則對任意方向方向?qū)?shù)存在。4）設(shè)S是開集，f在S上可微，則

f凸x*S，有f(x)≥f(x*)+fT(x*)(x-x*),xS.5)設(shè)S是開集，f在S上二次可微，則

a)

f凸xS，2f(x)半正定；

b)若xS，2f(x)正定，則f嚴(yán)格凸。第二十二頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))二、凸函數(shù)2、凸函數(shù)的性質(zhì)：例：

f(x)＝x12+2x1x2+2x22+10x1-4；

f(x)＝-3x12+x1x2-x22-2x32-2x2x3+26;

f(x)＝3x12+ax1x2+2x22-4x1+6(a=5,4.5)；第二十三頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.2凸集、凸函數(shù)和凸規(guī)劃(續(xù))三、凸規(guī)劃：當(dāng)（fS）中，S為凸集，f是S上的凸函數(shù)（求min），稱（fS）為凸規(guī)劃；對于（fgh）,f,gi為凸函數(shù)，hj為線性函數(shù)時(shí)，（fgh）為凸規(guī)劃。定理：設(shè)集合S

Rn為凸集，函數(shù)f:SRf(x)為凸集S上的凸函數(shù)。X*為問題（fs）的l.opt，則X*為g.opt；又如果f是嚴(yán)格凸函數(shù)，那么X*是（fs）的唯一g.opt。第二十四頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.3多面體、極點(diǎn)、極方向1）多面體：有限個(gè)半閉空間的交例：S={xRnAx=b,x≥0}第二十五頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.3多面體、極點(diǎn)、極方向2)多面體的極點(diǎn)（頂點(diǎn)）：

xS，不存在S

中的另外兩個(gè)點(diǎn)x(1)和x(2)，及λ(0,1)，使x=λx(1)+(1-λ)x(2).3)方向：xS,dRn,d

0及λ>0,總有x+λd

S.

d(1)=λd(2)(λ>0)時(shí)，稱d(1)和d(2)同方向。4)極方向：方向d

不能表示為兩個(gè)不同方向的組合(d=d(1)+d(2)).第二十六頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.3多面體、極點(diǎn)、極方向多面體S={xRnAx=b,x≥0}的極點(diǎn)和極方向定理1（極點(diǎn)特征）設(shè)A

滿秩，x

是S極點(diǎn)的充分必要條件是:

存在分解A=[B,N]，其中B為m階非奇異矩陣，使xT=[xBT,xNT],

這里xB=B-1b≥0,xN=0.S中必存在有限多個(gè)極點(diǎn)。(≤Cnm)第二十七頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二2.3多面體、極點(diǎn)、極方向多面體

S={xRnAx=b,x≥0}的極點(diǎn)和極方向定理2（極方向特征）設(shè)A=[p1,p2,…,pn]滿秩，d

是S

極方向的充分必要條件是:存在分解A=[B,N]，其中B為m階非奇異矩陣，對于N中的列向量pj

使B-1pj≤0,

dT=[dBT,dNT],這里j

dB=-B-1pj

,dN=(0,...,1,…,0)TS中必存在有限多個(gè)極方向。(≤(n-m)Cnm)第二十八頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二考慮多面體

S={xRnAx=b,x≥0}，其中

3210065

A=21010b=400300175

即

3x1+2x2+x3=652x1+x2+x4=403x2+x5=75x1,x2,x3,x4,x5≥0

例題第二十九頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二32100A=[P1,P2,P3,P4,P5]=2101003001

A矩陣包含以下10個(gè)3×3的子矩陣：

B1=[p1，p2，p3]B2=[p1，p2，p4]

B3=[p1，p2，p5]B4=[p1，p3，p4]

B5=[p1，p3，p5]B6=[p1，p4，p5]

B7=[p2，p3，p4]B8=[p2，p3，p5]

B9=[p2，p4，p5]B10=[p3，p4，p5]

例題第三十頁，共三十三頁，編輯于2023年，星期二

其中B4=0，因而B4不能構(gòu)成極點(diǎn)和極方向。其