高中數(shù)學(xué)-利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

PAGE4PAGE利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值教學(xué)設(shè)計考綱解讀：能夠認(rèn)識極值與最值的區(qū)別；會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值.學(xué)習(xí)目標(biāo):1.理解極大值、極小值的定義，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；2.能夠認(rèn)識極值與最值的區(qū)別；會利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值及最值；3.會利用函數(shù)的極值求參數(shù)的取值范圍.學(xué)習(xí)重點：會利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)極值及最值.學(xué)習(xí)難點：已知函數(shù)的極值，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍.預(yù)習(xí)要求：請同學(xué)們自己預(yù)習(xí)課本27-30頁內(nèi)容，有困難或疑問請用紅筆標(biāo)注，并獨(dú)立完成下面的問題.教材助讀：1.極值點與極值概念:⑴已知函數(shù),設(shè)是定義域內(nèi)任意一點,若對附近的所有點,都有_________,則稱函數(shù)在點處取得極大值,記作_______,______稱為函數(shù)的一個極大值點.⑵已知函數(shù),設(shè)是定義域內(nèi)任意一點,若對附近的所有點,都有_________,則稱函數(shù)在點處取得極小值,記作_______,______稱為函數(shù)的一個極小值點.⑶_________與_________統(tǒng)稱為極值,_________與_________統(tǒng)稱為極值點.2.函數(shù)的_________與_________統(tǒng)稱為最值.3.設(shè)在附近鄰域可導(dǎo).如果在的左側(cè)鄰域____，右側(cè)鄰域____，則稱是函數(shù)的極大值；如果在的左側(cè)鄰域____，右側(cè)鄰域____，則稱是函數(shù)的極小值.4.已知在定義域上可導(dǎo),條件p:;條件q:為函數(shù)的極值點.則p是q的_____條件.預(yù)習(xí)疑惑：___________________________________________________________________.探究案探究點1：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值、最值例1.5.已知函數(shù).⑴求函數(shù)的極值；⑵求函數(shù)在區(qū)間上的最值.例2.求證：當(dāng)時，.變式練習(xí)：1.設(shè)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且的圖像如圖所示,則下列結(jié)論一定成立的是()-2012A.的極大值為,極小值為;-2012B.的極大值為,極小值為;C.的極大值為,極小值為;D.的極大值為,極小值為.2.已知函數(shù).⑴求函數(shù)的極值；⑵求函數(shù)在區(qū)間上的最值.探究點2：極值、最值的應(yīng)用例3.函數(shù)在處有極大值6，在處有極小值.⑴求的值；⑵求在區(qū)間上的最大值和最小值；⑶若方程有三個不同的實根，求實數(shù)的范圍.變式練習(xí)：1.函數(shù)在內(nèi)有極小值，則（）A.B.C.D.2.已知函數(shù)在處取得極值，則實數(shù)的值是______.探究點3：恒成立與存在性問題例4.已知函數(shù)在和處取得極值.若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.變式練習(xí)：1.已知函數(shù).若，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2.已知函數(shù)在和處取得極值.若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.()課后檢測：第2題1.下列函數(shù)中,是極值點的函數(shù)是()第2題2.函數(shù)定義域為開區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)的圖象,如圖所示，則函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有()個極小值點.A．1B．2C．3D．43.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為()4.函數(shù)有極值的充要條件是()5.設(shè)函數(shù),則()A.為的極大值點B.為的極小值點C.為的極小值點D.為的極大值點6.函數(shù)在處有極值-2,則的值分別為()7.函數(shù)無極值，則實數(shù)的取值范圍是________.8.函數(shù)在上只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.9.已知,求證：.10.已知函數(shù).是否存在實數(shù)值，使在區(qū)間上取得最大值3,最小值-29.若存在,求出值;若不存在,請說明理由.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值學(xué)情分析在前面的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)有了一定的知識準(zhǔn)備。不過鑒于我校學(xué)生的水平普遍偏低，理解和應(yīng)用知識的能力稍顯不足，所以在教學(xué)中，有必要從基礎(chǔ)入手，指導(dǎo)學(xué)生先做到對解題方法和步驟的機(jī)械模仿，在此基礎(chǔ)上，努力提升認(rèn)識水平，力爭讓盡可能多的學(xué)生達(dá)到知識的融會貫通。新課程理念的顯著特征和核心任務(wù)就是從根本上轉(zhuǎn)變教學(xué)方式和學(xué)習(xí)方式。因此要讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)和合作探究的過程中，真正成為知識的發(fā)現(xiàn)者和知識的應(yīng)用者。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值效果分析本節(jié)課是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的第二節(jié)（第一節(jié)是利用導(dǎo)數(shù)知識判斷函數(shù)的單調(diào)性），學(xué)生們已經(jīng)了解了導(dǎo)數(shù)的一些用途，思想中已有了一點運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本思想去分析和解決實際問題的意識，本節(jié)課將繼續(xù)加強(qiáng)這方面的意識和能力的培養(yǎng)——利用導(dǎo)數(shù)知識求可導(dǎo)函數(shù)的極值。其后還有利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，因此本節(jié)課還要起到承上啟下的作用.由于學(xué)生對極限和導(dǎo)數(shù)的知識學(xué)習(xí)還談不上深入細(xì)致，大學(xué)里還將繼續(xù)深入學(xué)習(xí)，因此教學(xué)中更重視的是從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的探索過程，而略輕嚴(yán)格的理論證明.讓學(xué)生掌握的重點內(nèi)容：求可導(dǎo)函數(shù)的極值的方法和一般步驟，必須在課堂上就過手.對于難點問題：為函數(shù)極值點與=0的邏輯關(guān)系，可由教師層層遞進(jìn)性的主動提出，師生共同探究完成，體現(xiàn)教師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性.本節(jié)教案中的研究性問題為補(bǔ)充例題，選取它的目的是想體現(xiàn)知識的完整性，教師可根據(jù)自己學(xué)生的認(rèn)知能力以及課時情況適當(dāng)刪減.作業(yè)采取適當(dāng)分層的辦法，既可以照顧大多數(shù)，又讓學(xué)有余力者可以發(fā)揮.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值教材分析《利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值》是新課標(biāo)人教B版教材選修2-2第一章第三節(jié)的第二小節(jié)。第三章的內(nèi)容主要分為兩個部分：一是導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及其應(yīng)用；二是定積分的概念和微積分基本定理。本節(jié)屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分，是本章的重點之一，也是高考題中經(jīng)常考察的部分。前面有了導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算做基礎(chǔ)，而且還研究過了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，后面是《導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用》，所以本節(jié)在整個章節(jié)中起到了承上啟下的作用。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值評測練習(xí)一、選擇題1．設(shè)x0為f(x)的極值點，則下列說法正確的是()A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不為0[答案]C[解析]如：y＝|x|，在x＝0時取得極小值，但f′(0)不存在．2．對于可導(dǎo)函數(shù)，有一點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值異號是這一點為極值的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[答案]C3．函數(shù)y＝2－x2－x3的極值情況是()A．有極大值，沒有極小值B．有極小值，沒有極大值C．既無極大值也無極小值D．既有極大值也有極小值[答案]D[解析]y′＝－3x2－2x＝－x(3x＋2)，當(dāng)x>0或x<－eq\f(2,3)時，y′<0，當(dāng)－eq\f(2,3)<x<0時y′>0，∴當(dāng)x＝－eq\f(2,3)時取極小值，當(dāng)x＝0時取極大值．4．函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)有極小值點()

A．1個 B．2個C．3個 D．4個[答案]A[解析]由f′(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)，先增、再減、再增、最后再減，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個極小值點．5．下列命題：①一個函數(shù)的極大值總比極小值大；②可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點；③一個函數(shù)的極大值可以比最大值大；④一個函數(shù)的極值點可在其不可導(dǎo)點處達(dá)到，其中正確命題的序號是()A．①④ B．②④C．①② D．③④[答案]B6．函數(shù)y＝|x－1|，下列結(jié)論中正確的是()A．y有極小值0，且0也是最小值B．y有最小值0，但0不是極小值C．y有極小值0，但不是最小值D．因為y在x＝1處不可導(dǎo)，所以0既非最小值也非極值[答案]A7．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為()A.eq\f(2\r(3),9) B.eq\f(2\r(2),9)C.eq\f(3\r(2),9) D.eq\f(3,8)[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)∈[0,1]，所以f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9).8．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖像與x軸切于(1,0)點，則函數(shù)f(x)的極值是()A．極大值為eq\f(4,27)，極小值為0B．極大值為0，極小值為eq\f(4,27)C．極大值為0，極小值為－eq\f(4,27)D．極大值為－eq\f(4,27)，極小值為0[答案]A[解析]由題意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1①f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3③由①②得p＝2，q＝－1.∴f′(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(4,27)，f(1)＝0.9．已知函數(shù)y＝|x2－3x＋2|，則()A．y有極小值，但無極大值B．y有極小值0，但無極大值C．y有極小值0，極大值eq\f(1,4)D．y有極大值eq\f(1,4)，但無極大值[答案]C[解析]作出函數(shù)y＝|x2－3x＋2|的圖象，由圖象知選C.10．設(shè)f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1處均有極值，則下列點中一定在x軸上的是()A．(a，b)B．(a，c)C．(b，c)D．(a＋b，c)[答案]A[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由題意，知1、－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，1－1＝－eq\f(2b,3a)，b＝0.二、填空題11．函數(shù)y＝eq\f(2x,x2＋1)的極大值為____________，極小值為____________．[答案]－1，－3[解析]y′＝eq\f(2(1＋x)(1－x),(x2＋1)2)，令y′>0得－1<x<1，令y′<0得x>1或x<－1，∴當(dāng)x＝－1時，取極小值－3，當(dāng)x＝1時，取極大值－1.12．函數(shù)y＝x3－6x＋a的極大值為____________，極小值為____________．[答案]a＋4eq\r(2)a－4eq\r(2)[解析]y′＝3x2－6＝3(x＋eq\r(2))(x－eq\r(2))，令y′>0，得x>eq\r(2)或x<－eq\r(2)，令y′<0，得－eq\r(2)<x<eq\r(2)，∴當(dāng)x＝－eq\r(2)時取極大值a＋4eq\r(2)，當(dāng)x＝eq\r(2)時取極小值a－4eq\r(2).13．函數(shù)y＝x－x3(x∈[0,2])的最小值是________．[答案]－6[解析]y′＝1－3x2，令y′＝0，得x＝±eq\f(\r(3),3)，f(0)＝0，f(2)＝－6，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－eq\f(2\r(3),9)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(\r(3),3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))3＝eq\f(\r(3),3)－eq\f(\r(3),9)＝eq\f(2\r(3),9)，∴最小值為－6.14．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c)2在x＝2處取極大值，則常數(shù)c的值為________．[答案]6[解析]f(x)＝x(x－c)2＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，令f′(2)＝0解得c＝2或6.當(dāng)c＝2時，f′(x)＝3x2－8x＋4＝(3x－2)(x－2)，故f(x)在x＝2處取得極小值，不合題意舍去；當(dāng)c＝6時，f′(x)＝3x2－24x＋36＝3(x2－8x＋12)＝3(x－2)(x－6)，故f(x)在x＝2處取得極大值．三、解答題15．已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)寫出函數(shù)的遞減區(qū)間；(2)討論函數(shù)的極大值或極小值，如有試寫出極值．[解析]f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.x變化時，f′(x)的符號變化情況及f(x)的增減性如下表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)1(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增極大值f(－1)減極小值f(3)增(1)由表可得函數(shù)的遞減區(qū)間為(－1,3)(2)由表可得，當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值為f(－1)＝16；當(dāng)x＝3時，函數(shù)有極小值為f(3)＝－16.16．求下列函數(shù)的最值(1)f(x)＝3x－x3(－eq\r(3)≤x≤3)；(2)f(x)＝sin2x－xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)≤x≤\f(π,2))).[解析](1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，∴x＝1和x＝－1是函數(shù)f(x)在[－eq\r(3)，3]上的兩個極值點，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又f(x)在區(qū)間端點的取值為f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18.比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝2，f(x)min＝－18.(2)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]，∴2x＝±eq\f(π,3)，∴x＝±eq\f(π,6).∴函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的兩個極值分別為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又f(x)在區(qū)間端點的取值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比較以上函數(shù)值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).17．已知a∈R，討論函數(shù)f(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)的極值點的個數(shù)．[解析]f′(x)＝ex(x2＋ax＋a＋1)＋ex(2x＋a)＝ex[x2＋(a＋2)x＋(2a＋1)]．令f′(x)＝0，所以x2＋(a＋2)x＋2a＋1＝0○．(1)當(dāng)Δ＝(a＋2)2－4(2a＋1)＝a2－4a>0，即a<0或a>4時，設(shè)○有兩個不同的根x1，x2，不妨設(shè)x1<x2，所以f′(x)＝ex(x－x1)(x－x2).即f(x)有兩個極值點．(2)當(dāng)Δ＝0，即a＝0或a＝4時，設(shè)有兩個相等實根x1，所以f′(x)＝ex(x－x1)2≥0，所以f(x)無極值．(3)當(dāng)Δ<0，即0<a<4時，x2＋(a＋2)x＋2a＋1>0，所以f′(x)>0.故f(x)也無極值．綜上所述，當(dāng)a<0或a>4時，f(x)有兩個極值，當(dāng)0≤a≤4時f(x)無極值．18．(2010·江西理，19)設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)－ax(a>0)．(提示：[ln(2－x)]′＝－eq\f(1,2－x))(1)當(dāng)a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值為eq\f(1,2)，求a的值．[分析]所給函數(shù)的非基本函數(shù)，故求單調(diào)區(qū)間和最值可利用導(dǎo)數(shù)分析，解題的重點是求導(dǎo)的準(zhǔn)確性．及函數(shù)定義域的確定．[解析]函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(1,2－x)＋a，(1)當(dāng)a＝1時，f′(x)＝eq\f(－x2＋2,x(2－x))，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，eq\r(2))，單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\r(2)，2)；(2)當(dāng)x∈(0,1]時，f′(x)＝eq\f(2－2x,x(2－x))＋a>0，即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)＝a，因此a＝eq\f(1,2).利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值課后反思1.逐層鋪墊，降低難度如何把理論性很強(qiáng)的內(nèi)容深入淺出地讓學(xué)生理解是這節(jié)課的著力點，因此設(shè)計符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，從具體到抽象，從特殊到一般，從學(xué)生熟悉的經(jīng)驗和有興趣的問題開始，通過設(shè)疑遷疑讓學(xué)生逐步理解本課程及一些高等數(shù)學(xué)思想方法。對學(xué)生今后學(xué)習(xí)和分析數(shù)學(xué)問題很有幫助。2.恰當(dāng)使用信息技術(shù)恰當(dāng)?shù)厥褂枚嗝襟w和計算機(jī)，讓學(xué)生直觀形象地理解問題，了解知識的形成過程.3.采用“啟發(fā)引導(dǎo)—討論探究—概括歸納”教學(xué)模式精心設(shè)置問題鏈，要給每個學(xué)生提供思考、創(chuàng)造、表現(xiàn)和成功的機(jī)會。