2022-2023學(xué)年北京中央音樂學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2022-2023學(xué)年北京中央音樂學(xué)院附屬中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x2+14x+15，數(shù)列{an}滿足an=f（n），n∈N+，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大時(shí)，n=（）A．14 B．15 C．14或15 D．15或16參考答案：C【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由題意，﹣n2+14n+15≥0，得﹣1≤n≤15，即可得出結(jié)論．【解答】解：由題意，﹣n2+14n+15≥0，∴﹣1≤n≤15，∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn最大時(shí)，n=14或15．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，考查學(xué)生解不等式的能力，比較基礎(chǔ)．2.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位參考答案：B試題分析：，因此可把的圖象向右平移個(gè)單位，故選B．考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象平移．3.10．在股票買賣過程中，經(jīng)常用兩種曲線來描述價(jià)格變化情況：一種是即時(shí)價(jià)格曲線y＝f(x)，另一種是平均價(jià)格曲線y＝g(x)，如f(2)＝3表示股票開始買賣后2小時(shí)的即時(shí)價(jià)格為3元；g(2)＝3表示2小時(shí)內(nèi)的平均價(jià)格為3元，下面給出了四個(gè)圖像，實(shí)線表示y＝f(x)，虛線表示y＝g(x)，其中可能正確的是 ()參考答案：C4.設(shè)向量，則實(shí)數(shù)x的值是A．0 B．－2 C．2 D．±2參考答案：D5.已知雙曲線與橢圓有共同的焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為，則這雙曲線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D6.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，H為EF的中點(diǎn)，沿AE，EF，F(xiàn)A將正方形折起，使B，C，D重合于點(diǎn)O，在構(gòu)成的四面體A-OEF中，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．AO⊥平面EOFB．直線AH與平面EOF所成角的正切值為C．異面直線OH和求AE所成角為60°D．四面體A-OEF的外接球表面積為6π參考答案：C7.已知集合為（

）A．（1，2）

B．

C．

D．

參考答案：A8.如圖所示程序框圖中，輸出（

）A．45

B．-55

C．-66

D．66參考答案：B試題分析：該程序框圖所表示的算法功能為：，故選B.考點(diǎn)：程序框圖.9.設(shè)集合（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B10.（文）若復(fù)數(shù)，則是成立的（

）(A)充要條件

(B)既不充分又不必要條件

(C)充分不必要條件

(D)必要不充分條件參考答案：D若，則成立。若，不妨取，則有成立，但不成立，所以是成立的必要不充分條件，所以D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知向量滿足，，，則向量夾角的余弦值為

．參考答案：設(shè)向量的夾角為θ，由題意結(jié)合數(shù)量積的定義有：，據(jù)此可得：.故答案為：．

12.在等式中，x＞0，y＞0，若x+y的最小值為，則m的值為

．參考答案：30【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，∴x+y===，當(dāng)且僅當(dāng)＞0時(shí)取等號(hào)．∴，解得m=30．故答案為30．13.在中，若向量，且，則角B

。參考答案：略14.已知橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為．若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足線段相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為

．

參考答案：15.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

.參考答案：4略16.甲、乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為，如果比賽采用“五局三勝”制（先勝三局者獲勝，比賽結(jié)束）.則甲獲得比賽勝利的概率為

；設(shè)比賽結(jié)束時(shí)的局?jǐn)?shù)為，則隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望

.參考答案：;.17.的展開式中的系數(shù)為

．參考答案：4，所以展開式中的系數(shù)為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）我校要用三輛校車從本校區(qū)把教師接到東校區(qū)，已知從本校區(qū)到東校區(qū)有兩條公路，校車走公路①堵車的概率為，不堵車的概率為；校車走公路②堵車的概率為，不堵車的概率為．若甲、乙兩輛校車走公路①，丙校車由于其他原因走公路②，且三輛車是否堵車相互之間沒有影響．（1）若三輛校車中恰有一輛校車被堵的概率為，求走公路②堵車的概率；（2）在（1）的條件下，求三輛校車中被堵車輛的個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．學(xué)參考答案：解（Ⅰ）由已知條件得，……2分即，則．

……………………4分（Ⅱ）解：可能的取值為0，1，2，3．

……………5分

；

；；…………9分的分布列為：0123

………10分所以．…………12分19.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其長軸長為4，且點(diǎn)在該橢圓上。直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）．若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求四邊形

面積的最大值；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使得直線與直線的斜率之積為定值。若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。參考答案：略20.已知函數(shù)（其中）.（1）討論的單調(diào)性；（2）若對任意的，關(guān)于x的不等式恒成立，求a的取值范圍.參考答案：解：（1）的定義域?yàn)椋╥）若，則.由得或；由得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（ii）若，則在上單調(diào)遞增；（iii）若，則，由得或；由得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，（i）若，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，故對不恒成立；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，（ii）若在上單調(diào)遞增，則，故；綜上所述，的取值范圍為.

21.（本題滿分13分）數(shù)列滿足，（1）

求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）

求證：；（3）

求證：參考答案：解：（1）-----------------------2分故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。所以---------------------------------4分（2）--------------------5分，。-----------------------------------------------8分（3），

所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，即在上恒成立。-------------------------------------------------10分要證不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，。利用不等式，所以，因此。綜上可得對任意正整數(shù)成立。--------------------------13分22.△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】正弦定理．【專題】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用cosA求得sinA，進(jìn)而利用A和B的關(guān)系求得sinB，最后利用正弦定理求得b的值．（Ⅱ）利用sinB，求得cosB的值，進(jìn)而根兩角和公式求得sinC的值，最后利用三角形面積公式求得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，∴sinA==，∵B=A+．∴sinB=sin（A+）=cosA=，由正弦定理知