等腰三角形的分類討論

初中數(shù)學(xué)等腰三角形的分類討論等腰三角形是一種特殊而又十分重要的三角形，就是因?yàn)檫@種特殊性，在具體處理問(wèn)題時(shí)往往又會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，在求解有關(guān)等腰三角形的問(wèn)題時(shí)一定要注意分類討論。那么在什么情況下應(yīng)該分類討論呢？本文分以下幾種情形講述。一.遇角需討論例1.已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為75°則其頂角為（）A.30° B.75° C.105° D.30°或75°簡(jiǎn)析：75°角可能是頂角，也可能是底角。當(dāng)75°是底角時(shí)，則頂角的度數(shù)為180°－75°×2=30°；當(dāng)75°角是頂角時(shí)，則頂角的度數(shù)就等于75°。所以這個(gè)等腰三角形的頂角為30°或75°。故應(yīng)選D。說(shuō)明：對(duì)于一個(gè)等腰三角形，若條件中并沒(méi)有確定頂角或底角時(shí)，應(yīng)注意分情況討論，先確定這個(gè)已知角是頂角還是底角，再運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理求解。二.遇邊需討論例2.已知等腰三角形的一邊等于5，另一邊等于6，則它的周長(zhǎng)等于_________。簡(jiǎn)析：已知條件中并沒(méi)有指明5和6誰(shuí)是腰長(zhǎng)誰(shuí)是底邊的長(zhǎng)，因此應(yīng)由三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行分類討論。當(dāng)5是等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)就是6，則此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)等于16；當(dāng)6是腰長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)三角形的底邊長(zhǎng)就是5，則此時(shí)周長(zhǎng)等于17。故這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)等于16或17。說(shuō)明：對(duì)于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒(méi)有明確哪是底哪是腰時(shí)，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論。三.遇中線需討論例3.若等腰三角形一腰上的中線分周長(zhǎng)為9cm和12cm兩部分，求這個(gè)等腰三角形的底和腰的長(zhǎng)。簡(jiǎn)析：已知條件并沒(méi)有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應(yīng)有兩種情形。若設(shè)這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是cm，底邊長(zhǎng)為cm，可得或解得或即當(dāng)腰長(zhǎng)是6cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是9cm；當(dāng)腰長(zhǎng)是8cm時(shí)，底邊長(zhǎng)是5cm。說(shuō)明：這里求出來(lái)的解應(yīng)滿足三角形三邊關(guān)系定理。四.遇高需討論例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)。簡(jiǎn)析：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為45°，圖2中頂角為135°。例5.為美化環(huán)境，計(jì)劃在某小區(qū)內(nèi)用的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為10的等腰三角形綠地，請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地的另兩邊長(zhǎng)。簡(jiǎn)析：在等腰ΔABC中，設(shè)AB=10，作CD⊥AB于D，由，可得CD=6。如下圖，當(dāng)AB為底邊時(shí)，AD=DB=5，所以。如下圖，當(dāng)AB為腰且ΔABC為銳角三角形時(shí)，，所以，。三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有（）A、4個(gè)B、6個(gè)C、8個(gè)D、1個(gè)解：（1）、如圖一，以O(shè)A為腰，以O(shè)為頂角頂點(diǎn)時(shí)，只須以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，與坐標(biāo)軸分別交于P1（）P2（），P3（），P4（），分別連接P1A，P2A，P3A，P4A，可得到四個(gè)等腰三角形ΔOAP1，ΔOAP2，ΔOAP3，ΔOAP4（2）、如圖二，以O(shè)A為腰，以A為頂角頂點(diǎn)時(shí)，只須以A為圓心，以AO為半徑作圓，與坐標(biāo)軸分別交于P5（2,0）P6（0,2），分別連接P5A，P6A，可得到兩個(gè)等腰三角形ΔOAP5，ΔOAP6，（3）、如圖三，當(dāng)OA為底時(shí)，